3-2-5空間中的直線與平面-一次方程組
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(2) (1) 當 ∆ ≠ 0 時 ， ( x, y ) = (. ∆x ∆y , ) 為 唯 一 解 ( 稱 為 克 拉 瑪 公 式 )(Kramer ∆ ∆. formula)。 (2)當 ∆ = 0, ∆2x + ∆2y ≠ 0 時，方程組無解。 (3)當 ∆ = ∆ x = ∆ y = 0 時，方程組有無限多組解。 【討論】 1. 二元一次方程組的解及其幾何意義：. ∆x ∆y , ) ，此稱為克拉瑪公式。 ∆ ∆ 以幾何意義表示即為兩直線不平行也不重合，也就是恰有一交點。 (2)當 ∆ = 0, ∆2x + ∆2y ≠ 0 時，方程組無解，表示這兩直線平行。 (1)當 ∆ ≠ 0 時，方程組有唯一解 ( x, y ) = (. (3)當 ∆ = ∆ x = ∆ y = 0 時，方程組無限多解，表示這兩直線重合。 項 目. 解個數. 幾何意義. 交點數. 係數. (1). ∆≠0. 唯一解 ∆ ∆y ( x, y ) = ( x , ) ∆ ∆. 兩相交 直線. 一個. a1 b1 ≠ a 2 b2. (2). ∆ = 0, ∆2x + ∆2y ≠ 0. 無解. (3). ∆ = ∆x = ∆y = 0. 無限多解. 兩平行 直線 兩重合 直線. 無 無限 多個. a1 b1 c1 = ≠ a 2 b2 c 2 a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2. 【公式】 1. 平行四邊形的面積： v v v v v v 向量 a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ，若 a // b ，則由 a , b 所張成的平行四邊形面積為 v a1 a2 a v 2 v 2 v v 2 | a | | b | − | a ⋅ b | =|| a1b2 − a2b1 ||=| |=| v | 。 b1 b2 b. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P22.
(3) 【性質】 二階行列式的性質： 1. 有一行(列)全為 0 ，其值為 0 。 0 b 0 0 = 0或 = 0。 即 0 d c d 2. 每一行(列)可提公因數。 ka b ka kb a b a b =k =k 即 或 。 kc d c d c d c d 3. 將兩行(列)對調，則行列式的值變號。 a b b a a b c d =− =− 或 。 即 c d d c c d a b 4. 將某一行(列)乘以 k 倍加入另一行(列)，其值不變。 a b + ka a b a b a b = = 或 。 即 c d + kc c d c + ka d + kb c d 5. 二階行列式的行列互換，其值不變。 a b a c = 。 即 c d b d 6. 兩行(列)成比例，其值為 0 。 a ka a b = 0或 = 0。 即 c kc ka kb 7. 兩行列式的加法運算。 a + a2 b a1 b a2 a + a 2 b1 + b2 a1 b1 a 2 b2 即 1 = + 或 1 = + c1 + c2 d c1 d c2 c d c d c d. b d. 。. 【公式】 1. 三角形的面積： v v v v 設 a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) 為非平行的兩向量，則由 a , b 所張成的三角形面積為 v 1 v 2 v 2 v v 2 1 1 a1 a2 1 a | a | | b | −(a ⋅ b ) = | a1b2 − a2b1 |= | |= | v | 。 2 2 2 b1 b2 2 b 2.. 3.. 註：利用本公式，可求給定三點所圍成的三角形面積。 兩向量平行： v a a v v v 設 a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ，試證： a // b ⇔ 1 2 = 0 。 b1 b2 三點共線： 平面中三點 A(a1 , a 2 ), B(b1 , b2 ), C (c1 , c 2 ) 共線. vv. a −b a −b AB ⇔ S ∆ABC = 0 ⇔ =0 ⇔ 1 1 2 2 =0。 a1 − c1 a2 − c2 AC 4. 兩向量垂直： v v v v v v 設 a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ，若 a ⊥ b = 0 ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 。. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P23.
(4) 5.. 空間中兩向量所張成平行四邊形面積： v 空間中兩向量 a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ， v v v v v v 則由 a , b 所張成的平行四邊形的面積為 | a × b |=| a || b | sin θ ， v v 其中 θ 為 a , b 的夾角。 證明： v b. θ. v a. v v 由 a , b 所張成的平行四邊形的面積為 v v v | a || b | sin θ =| a || b | ⋅ 1 − cos 2 θ v v a ⋅b 2 v v v v v =| a || b | × 1 − ( v v ) = | a |2 | b |2 −(a ⋅ b ) 2 | a || b | = (a1 + a 2 + a3 ) 2 (b1 + b2 + b3 ) 2 − (a1b1 + a 2 b2 + a3b3 ) 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. = (a 2 b3 − a3b2 ) 2 + (a3 b1 − a1b3 ) 2 + (a1b2 − a 2 b1 ) 2 = (. a2. a3. )2 + (. a3. a1. )2 + (. a1. a2. )2. b2 b3 b3 b1 b1 b2 v v =| a × b | 【問題】 1. 試討論空間中三平面的所有可能的相交情形？共有幾種？ 解： (1) ：三平面重合。 ：兩平面重合，另一平面與之平行。 (2). (3). (4). (5). (6) (7). ：三平面互相平行。. ：兩平面重合，另一平面與之相交於一線。. ：三平面相交於一線。. ：兩平面平行，另一平面與之各相交於一線，兩線互相平行。 ：三平面兩兩交於一線，三線兩兩互相平行。. (8) ：三平面交於一點。 2. 試討論空間中三相異平面的所有可能的相交情形？共有幾種？ (解： 5 種). 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P24.
(5) 【定義】 (法一) 三元一次方程組及克拉瑪公式： ⎧ a1 x + b1 y + c1 z = d1 K(1) ⎪ 考慮三元一次方程組 ⎨a2 x + b2 y + c2 z = d 2 K(2) ⎪ a x + b y + c z = d K(3) 3 3 3 ⎩ 3 ⎧b1 y + c1 z = − a1 x + d1 由(1)(2)，使用代入消去法解之得 ⎨ ⎩b2 y + c 2 z = −a 2 x + d 2 由二元一次方程組之求解可得. ⎧ b1 ⎪ ⎪ b2 ⎨ ⎪ b1 ⎪b ⎩ 2. c1 − a1 x + d1 y= c2 − a2 x + d 2. c1 c2. − a1 x + d1 − a2 x + d 2. c1 b z= 1 c2 b2. 整理可得. ⎧ b1 ⎪ ⎪ b2 ⎨ ⎪ b1 ⎪b ⎩ 2. c1 a y=− 1 c2 a2 c1 a z= 1 c2 a2. 將(3) × a3. b1. c1. b2. c2. b1. c1. b2. c2. c1 d x+ 1 c2 d2 b1 d x− 1 b2 d2. c1 ...(4) c2 b1 ...(5) b2. 得. x + b3. b1. c1. b2. c2. y + c3. b1. c1. b2. c2. z = d3. b1. c1. b2. c2. ...(6). (4)(5)代入(6)，消去 y, z. ⎛ a x + b3 ⎜⎜ − 1 b2 c 2 ⎝ a2 整理之後得 a3. b1. c1. c1 c2. x+. d1 d2. ⎛a c1 ⎞ ⎟ + c3 ⎜ 1 ⎜a c 2 ⎟⎠ ⎝ 2. b1 b2. x−. d1 d2. ⎛ b1 c1 ⎛ b c1 a1 c1 a1 b1 ⎞ d1 ⎜ a3 ⎟x = ⎜ d3 1 b c b − + − 3 3 3 ⎜ b c ⎜ b c a2 c2 a 2 b2 ⎟⎠ d2 2 2 2 2 ⎝ ⎝ 觀察(7)式，等號左端 x 的係數中， 將 a1 , a 2 , a3 分別換成 d1 , d 2 , d 3 即成為右端的式子， 若將 a3. 則 d3. b1. c1. b2. c2. b1. c1. b2. c2. − b3. − b3. a1. c1. a2. c2. d1. c1. d2. c2. + c3. + c3. b1. c1. 表為 a 2 a3. b2 b3. c 2 (三階行列式) c3. d1. b1. c1. 可寫成 d 2. b2 b3. c2 c3. b1. a2. b2 b1. d2. b2. 第三冊 第二章. c1 d + c3 1 c2 d2. a1. a1. d1. b1 ⎞ b ⎟ = d3 1 b2 ⎟⎠ b2. d3. 空間中的直線與平面 — P25. c1 c2 b1 b2. ⎞ ⎟...(7) ⎟ ⎠.
(6) a1. b1. c1. d1. b1. c1. 因此(7)可改寫成 a 2 a3. b2 b3. c2 x = d 2 c3 d3. b2 b3. c2 c3. a1. b1. c1. 同理若令 ∆ = a 2 a3. b2. c2 ，. b3. c3. d1. b1. c1. a1. d1. c1. a1. b1. d1. 及 ∆ x = d2 d3. b2 b3. c2 , ∆ y = a2 c3 a3. d2 d3. c2 , ∆ z = a2 c3 a3. b2 b3. d2 d3. ⎧∆ ⋅ x = ∆ x ⎪ 則可得 ⎨∆ ⋅ y = ∆ y ⎪∆ ⋅ z = ∆ z ⎩. (法二) a1. b1. c1. 設 ∆ = a2 a3. b2. c 2 ≠ 0 ，三平面交點為 ( x 0 , y 0 , z 0 ). b3. c3. ⎧ a1 x0 + b1 y 0 + c1 z 0 = d1 ⎪ ⇒ ⎨ a 2 x 0 + b2 y 0 + c 2 z 0 = d 2 ⎪a x + b y + c z = d 3 0 3 0 3 ⎩ 3 0 d1. b1. c1. ⇒ ∆ x = d2 d3. b2 b3. c2 c3. a1 x0 + b1 y 0 + c1 z 0. b1. c1. = a 2 x 0 + b2 y 0 + c 2 z 0. b2. c2. a3 x0 + b3 y 0 + c3 z 0. b3. c3. a1 x0. b1. c1. = a 2 x0 a3 x0. b2 b3. c2 c3. a1. b1. c1. = x0 × a 2 a3. b2 b3. c2 c3. = x0 ⋅ ∆ ⇒ x0 =. ∆y ∆x ∆ ，同理 y = ,z = z ∆ ∆ ∆. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P26.
(7) 【性質】 三階行列式的性質： 1. 有一行(列)全為 0 ，其值為 0 。 0 b c 0 0 0 即 0 e f = 0 或 d e f = 0。 0 h i g h i 2.. 3.. 4.. 5.. 每一行(列)可提公因數。 ka b c a b c ka kb kc a 即 kd e f = k d e f 或 d e f = k d kg h i g h i g h i g 將兩行(列)對調，則行列式的值變號。 a b c d a b c b a c 即 d e f =−e d f 或 d e f = −a g h i h g i g h i g. b. c. e. f 。. h. i. e. f. b h. c 。 i. 將某一行(列)乘以 k 倍加入另一行(列)，其值不變。 a b + ka c a b c a b c a 即 d e + kd f = d e f 或 d + ka e + kb f + kc = d g h + kg i g h i g h i g 可以依照任何一行(列)降階。 a b c e f b c b 即d e f =a −d +g h i h i e g h i a 或d. b e. g. h. c e f =a h i. f i. −b. d. f. g. i. +c. d. e. g. h. c f. 。. 註：三階行列式除了可以依第一列展開之外， 也可以依任何一列或任何一行展開， + − + 只是其各項的符號要依 − + − 之格式決定， + − +. 並且盡量找出有 0 的行或列。 6. 三階行列式行列互換，其值不變。 a b c a d g 即d e f = b e h 。 g h i c f i 7.. 兩行(列)成比例，其值為 0 。 kd ke kf kb b c 即 ke e f = 0 或 d e f = 0 。 kh h i g h i 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P27. b. c. e h. f 。 i.
(8) 8.. 兩行列式的加法運算。 a1 + a 2 b1 + b2 c1 + c 2 a1 即 d = d e f g h i g. b1. c1. a2. b2. c2. e h. f + d i g. e h. f i. a1 + a2. b. c. a1. b. c. a2. b. c. 或 d1 + d 2 g1 + g 2. e. f = d1. e. f + d2. e. f 。. h. i. i. h. i. g1 h. g2. 【注意】 行列式求值時之注意事項： 1. 降階求值： 先將行列式化至某一行、列的各項中，出現盡量多個 0 ， 再利用該行或列降階求值， 只需計算二階行列式即可， 此時整個計算過程已經被簡化了。 2. 觀察各行或列是否有公因數(式)，若有則提公因數。 3. 觀察各行或列是否有成等差。 4. 觀察各行或列，逐項相加是否相等， 若相等將其加到某一項， 再提公因數， 降階求值。 【問題】 1. 凡得夢(Vandermonde)行列式：. 1 a a2 1 b b 2 = (a − b)(b − c)(c − a) 。 1 c c2 例如：. x2 2. x 試解 1. x3 4 = 0？. 3 − 9 27 2.. 若三角形三邊長 a, b, c 滿足. 1 a a2 1 b b2 = 0 ， 1 c. 3.. c2. 試問此為何種三角形？ (解：等腰三角形或正三角形) 試證：. 1 a a3 1 b b 3 = (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 。 1 c c3. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P28.
(9) 4.. 5.. 試證：. a a2. a4. b b2 c c2. b 4 = abc(a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 。 c4. 試證：. 1 a2 1 b2. a3 b 3 = (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca) 。. 1 c2. c3. 6.. 試證： 1 a b+c 1 b c+a = 0。 1 c a+b. 7.. 試證： 1 a ab 1 b bc = (a − b)(b − c)(c − a ) 。 1 c ca. 8.. 試證： a+b b+c c+a a b c b+c c+a a+b = 2b c a 。 c+a a+b b+c c a b. 9.. 試證： b+c a a b c+a b = 4abc 。 c c a+b. 10. 試證： a bc b + c b ca c + a = (a − b)(b − c)(c − a )(a + b + c) 。 c ab a + b 11. 試證：. a 2 + 1 ab ab b2 + 1 ca. bc. ca bc. = a 2 + b2 + c2 + 1 。. c2 + 1. 12. 試證： a2 b2 c2. bc a 2 + 5 ca b 2 + 5 = 5(a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 。 ab c 2 + 5. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P29.
(10) 13. 試證： 2a + b + c a a b a + 2b + c b = 2(a + b + c) 3 。 c c a + b + 2c. 14. 試證： sin 40° + sin 80° sin 20° sin 20° sin 40° sin 80° + sin 20° sin 40° sin 80° sin 80° sin 20° + sin 40°. = 4 sin 20° sin 40° sin 80° =. 3 。 2. 15. 試證： 7 1 1 1. 7 4 1 1 = 189 。 7 1 4 1 7 1 1 4 16. 試證： 1 1 1 1 a b c d = (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d ) 。 a2 b2 c2 d 2 a3 b3 c3 d 3 註： 可以視為 a 的三次多項式， 又 f (b) = f (c) = f (d ) = 0 (a − b)(a − c)(a − d ) | f (a) 同理 (b − c)(b − d )(c − d ) | f (a) 設 f (a ) = k (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d ) 比較係數可得 k = 1 。 17. 試證： 1 1 1 1 a b c d = (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d )(a + b + c + d ) 。 a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4 18. 試證： 1 1 1 1 a2 b2 c2 d 2 = (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d )(abc + abd + acd + bcd ) a3 b3 c3 d 3 a4 b4 c4 d 4 。. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P30.
(11) 19. 求： 3 1 1 1 1. 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 20. 試證： 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 2 0 0 0. 1 1 3 1. 1 1= ?。 1 3. 0 0 1 3 2. 0 0 0 = 63 。 1 3. 21. 設 ω 為 x 2 + x + 1 = 0 之一根，求： 1 2ω 3. ω. 2. ω ω2 1 ω2 3 2ω ω ω ω2. 2ω 3. ω = ?。 2ω 2 −ω4. 1 【討論】 三元一次方程組解及其幾何意義： ⎧ E1 : a1 x + b1 y + c1 z = d 1 ⎪ 試討論三元一次聯立方程組 ⎨ E 2 : a 2 x + b2 y + c 2 z = d 2 解的幾何意義。 ⎪E :a x + b y + c z = d 3 3 3 ⎩ 3 3. 1.. 當 ∆ ≠ 0 時，方程組有唯一解 ( x, y, z ) = (. ∆x ∆y ∆z , , ) ，此稱克拉瑪公式。 ∆ ∆ ∆. (1). v v. (因前兩平面交線的方向向量 n1 × n2 = (. v. b1 b2. c1 a1 ,− c2 a2. c1 a1 , c2 a2. 與第三個平面的法向量 n3 = (a3 , b3 , c3 ) 不垂直 故內積不為零 vn 1 v v v v 即 ∆ = ( n1 × n2 ) ⋅ n3 = n2 vn 3 =(. b1. c1. b2. c2. b = a3 × 1 b2. ,−. a1 a2. c1 a1 , c2 a2. c1 a − b3 × 1 c2 a2. b1 b2. ) ⋅ (a3 , b3 , c3 ). c1 a + c3 × 1 c2 a2. 第三冊 第二章. a1 b1 = a2 b2 a3. b1. c1. b2. c2 ≠ 0 ). b3. c3. 空間中的直線與平面 — P31. b1 ) b2.
(12) 2.. 當 ∆ = 0 且 ∆2x + ∆2y + ∆2z ≠ 0 時，為無解。. (1) (設前兩平面平行 故 a1 : b1 : c1 = a 2 : b2 : c 2 行列式 ∆ 中兩列成比例， 故∆ = 0 又前兩平面不重合 則 a 2 = ka1 , b2 = kb1 , c 2 = kc1 ，但 d 2 ≠ kd1 且 a1 : b1 : c1 ≠ a3 : b3 : c3 (不妨設 b1 : c1 ≠ b3 : c3 ，即 b1c3 − b3 c1 ≠ 0 ) 則∆x d1. b1. c1. = d2. b2. c2. d3. b3. c3. d1 = d 2 − kd1 d3. b1 0 b3. c1 0 c3. = −(d 2 − kd1 )(b1c3 − b3 c1 ) ≠ 0 ) (2). (因三法向量共平面 v v v 故 ∆ = ( n1 × n2 ) ⋅ n3 = 0 又後兩平面不重合 則且 a 2 : b2 : c 2 ≠ a3 : b3 : c3 (不妨設 a 2 : a3 ≠ b2 : b3 ，即 a 2 b3 − a3 b2 ≠ 0 ) 又設點 ( x 0 , y 0 ,0) 在平面 E 2 , E3 的交線上， 但不在平面 E1 上 ⎧a x + b2 y 0 = d 2 故得 ⎨ 2 0 且 a1 x0 + b1 y 0 ≠ d1 ⎩a3 x0 + b3 y 0 = d 3 a1 b1 d1 則 ∆ z = a 2 b2 d 2 a3 b3 d 3 a1. b1. d1 − a1 x 0 − b1 y 0. = a2 a3. b2 b3. 0 0. = (d1 − a1 x 0 − b1 y 0 )(a 2 b3 − a3b2 ) ≠ 0 ). 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P32.
(13) 3.. 當 ∆ = ∆ x = ∆ y = ∆ z = 0 時，為無解或無限多解。 (1) (因三平面重合， a1 : b1 : c1 : d1 = a 2 : b2 : c 2 : d 2 = a3 : b3 : c3 : d 3 ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的任兩列都成比例， 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ) (2). (因兩平面重合並與另一平面平行， ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的某兩列都成比例， 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ) (3). (因三平面平行 a1 : b1 : c1 = a 2 : b2 : c 2 = a3 : b3 : c3 故 ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的某兩行都成比例， 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ) (4). (因兩平面重合， ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z 四個行列式中的某兩列都成比例， 故 ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 ) (5). v v v. (因三法向量共平面 ⇒ ∆ = ( n1 × n2 ) ⋅ n3 = 0 又設 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 為三平面交線上的一點 d1. b1. c1. 故 ∆ x = d2 d3. b2. c2. b3. c3. a1 x0 + b1 y 0 + c1 z 0. b1. c1. = a 2 x 0 + b2 y 0 + c 2 z 0 a3 x0 + b3 y 0 + c3 z 0. b2 b3. c2 c3. a1 x0. b1. c1. = a 2 x0. b2. c2. a3 x0. b3. c3. a1. b1. c1. = x0 × a 2. b2. c2. a3. b3. c3. = x0 ⋅ ∆ = 0 ， 同理 ∆ y = ∆ z = 0 ). 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P33.
(14) 例如： ⎧x + y + z = 1 ⎧x + y + z =1 ⎪ ⎪ ⎨ x + y + z = 1 為無限多解，但 ⎨ x + y + z = 1 為無解。 ⎪x + y + z = 1 ⎪x + y + z = 2 ⎩ ⎩ ⎧ E1 : a1 x + b1 y + c1 z = 0 ⎪ 齊次方程組 ⎨ E 2 : a 2 x + b2 y + c 2 z = 0 至少會有 (0,0,0) 的解，所以 ⎪E : a x + b y + c z = 0 3 3 ⎩ 3 3. 1.. 若 ∆ ≠ 0 ，則齊次方程組只有一組解 (0,0,0) 。. 即 2. 若 ∆ = 0 ，則有無限多解 即齊次方程組除了 (0,0,0) 之外，尚有其他的解。 註：此種情形中，至少有一樣其中兩行成比例。 【定義】 三階行列式： 由前面討論可知若定義如下行列式，則以後較為方較研究 a b d e g h. c e f =a h i. f d −b i g. f d +c i g. e h. = aei + bfg + dhc − gec − ahf − bdi 。. 註：用降階定義可以推廣。 【應用】 1. 平行六面體的體積：. v. v. v v v. v. 由 a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), c = (c1 , c2 , c3 ) 三向量(設 φ 為 a × b 與 c 的夾角) 所決定的平行六面體的體積為. v v. v v v. v. V = Ah = | a × b | ×(| c | cos φ ) = ( a × b ) ⋅ c. =| (. a2 b2. =| c1. a3 a1 ,− b3 b1. a2. a3. b2. b3. − c2. a3 a1 , b3 b1 a1. a3. b1. b3. a1. a2. a3. =| b1 c1. b2 c2. b3 | 。 c3. a2 b2 + c3. ) ⋅ (c1 , c 2 , c3 ) | a1 b1. a2 | b2. v v a ×b. vc. v. φ b. v. a. 註：. v v v v v v v v v v v v ( a × b ) ⋅ c =| a × b || c | cos φ > 0 ， v v v v v v 否則 ( a × b ) ⋅ c =| a × b || c | cos φ < 0 。. (1) ( a × b ) ⋅ c 為一種有向體積，若 a × b 與 c 的夾角 φ 為銳角時，. (2)可以用來求給定空間中四個點所圍成的四面體的體積， 1 即三向量所決定的平行六面體的體積的 。 6 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P34.
(15) (3)行列式中若有任兩行或兩列成比例，其值為 0， 就幾何意義而言， 此行列式的三個向量共面， 即它不能決定空間中的一個平行六面體， 所以其行列式值必為 0， 亦即退化的平行六面體， 體積為 0。. v v v v v v. (4) ( a × b ) ⋅ c = a ⋅ (b × c ) 。 2. 設空間中有四點 A(a1 , b1 , c1 ), B(a 2 , b2 , c 2 ), C (a3 , b3 , c3 ), D(a 4 , b4 , c 4 ) ， 1 則四面體 ABCD 的體積 = (向量 AB , AC , AD 所展成平行六面體體積)。 6 3. 空間中三向量共平面：. vvv. v. v. v. 三向量 a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), c = (c1 , c2 , c3 ) 共平面的充要條件是 a1. a2. a3. b1. b2. b3 = 0 。. c1. c2. c3. 註： 若∆ ≠ 0. vvv vvv ⇔ a , b , c 不共平面. ⇔ a , b , c 所圍平行六面體的體積不為零 ⇔ 三面交一點 4. 平面上三點所圍成三角形面積： 設平面上有三點 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) ， 則三角形 ABC 的面積為 1 x − x1 y 2 − y1 ∆ABC = | 2 | 2 x3 − x1 y 3 − y1 1 0 1 = | 1 x 2 − x1 2 1 x3 − x1 x1 1 = | x2 2 x3. 5.. 0 y 2 − y1 | y 3 − y1. y1 1 y2 1 | 。 y3 1. 平面上三點共線： 平面上 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C ( x3 , y 3 ) 三點共線的充要條件為 1 x − x1 ∆ABC = | 2 2 x3 − x1. x1 y 2 − y1 | =| x 2 y 3 − y1 x3. 第三冊 第二章. y1 1 y 2 1 |= 0 。 y3 1. 空間中的直線與平面 — P35.
(16) x. 6.. 過點 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 的直線方程式為 x1 x2. 7.. 平面上三線共點： 設. y. 1. y1 1 = 0 。 y2 1. L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 , L3 : a 3 x + b3 y = c3. 表三相異直線， a1. b1. c1. 則若 L1 , L2 , L3 相交於一點 ⇒ a 2 a3. b2 b3. c2 = 0 。 c3. 註： 三線共點實際上可寫成如下： 設表三相異直線， a1. b1. c1. 則若 L1 , L2 , L3 相交於一點或三線平行 ⇔ a 2 a3. b2. c2 = 0 。. b3. c3. 註： ∆x ∆y , ) 在 L3 上 ∆ ∆ ⎛ ⎛ c1 b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ c 2 b2 ⎟ ) ∈ L3 ⇒ a 3 ⎜ ⎟ + b3 ⎜ ⎜ ⎜ a1 b1 ⎟ ⎜ ⎜a b ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 a1 c1 a1 b1 + c3 = 0 ⇒ a2 c2 a 2 b2 a3. 設 L1 , L2 之交點 P ( x0 , y 0 ) = (. ⇒(. c1 c2. b1 b2. a1 a2. b1 b2. ⇒ a3. 8.. b1. c1. b2. c2. ,. a1 a2. c1 c2. a1 a2. b1 b2. − b3. a1 a2. a1 a2 a1 a2 b1 b2 b3. c1 ⎞ ⎟ c2 ⎟ ⎟ = c3 b1 ⎟ b2 ⎟⎠ c1 c2 = 0 c3. 平面上三線平行： 設 L1 : a1 x + b1 y = c1 , L2 : a 2 x + b2 y = c 2 , L3 : a 3 x + b3 y = c3. 表三直線，若三直線平行 a1 b1 a1 b1 c1 則 a 2 b2 c 2 = k1 a 2 k1b2 k 2 a3 k 2 b3 a3 b3 c3 9.. c1 c2 = 0 c3. 空間中外積概念： a b b ⎧ax + by + cz = 0 , 如果 ⎨ ，且 d e e ⎩dx + ey + fz = 0 b c c a a b x: y:z = : : 。 d f f d d e. 第三冊 第二章. c c , f f. a 中至少有一個不為 0，則 d. 空間中的直線與平面 — P36.
(17) 【定義】 矩陣： 用數字排成的長方形中用括號括起來，稱為矩陣。矩陣中的每一個數，稱為它的 一個元素。一般矩陣形如： ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 21 a 22 L a 2 n ⎥ ⎢ M M O M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2 L a mn ⎦ 其中每一個元素 aij 都有兩個下標 i 與 j 。位於第 i 列，第 j 行的元稱為 (i, j ) 元。 矩陣中水平的每一排稱為這個矩陣的一列，依序稱第一列、第二列、…。鉛直的 一排從左往右依次稱為第一行、第二行、…。上述矩陣共有 m 列與 n 行。我們說 它的階數為 m × n 或稱它為 m × n 階矩陣。若 m = n ，則稱這個矩陣為 n 階方陣。 係數矩陣與增廣矩陣： 方程組 ⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x +L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ M ⎪ ⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm 的係數所排成的矩陣 ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1. a12 a 22 M. am2. L a1n ⎤ L a 2 n ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L a mn ⎦. 稱為這個方程組的係數矩陣。 ⎡ a11 a12 L a1n b1 ⎤ ⎥ ⎢a ⎢ 21 a 22 L a 2 n b2 ⎥ ⎢ M M O M M⎥ ⎥ ⎢ ⎣a m1 a m 2 L a mn bm ⎦ 稱為這個方程組的增廣矩陣。 矩陣的列運算： 1. 將一矩陣的某一列中的某兩列互換位置，以符號 Rij 表示。 2. 將一矩陣的某一列乘以一個不為 0 的數 r ，以符號 rRi 表示。 3. 將一矩陣的某一列乘上某一數值 r 加入另一列，以符號 rRi + R j 表示。 以上三種列運算，都不影響方程組的解，這三種列運算都稱為矩陣的基本列運算。 高斯-喬登消去法： ⎧a = 1 1. 用基本列運算使 ⎨ 11 。 ⎩ai1 = 0, ∀i ≥ 2 ⎧a = 1 2. 使 ⎨ 21 。 ⎩ai 2 = 0, ∀i ≥ 3. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P37.
(18) ⎡1 ? L ? ? ⎤ ⎢0 1 L ? ?⎥ ⎥。 3. 依此類推使成為梯陣 ⎢ ⎢ M M O M M⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 1 ?⎦ 這種解一次方程組的方法稱為高斯消去法。 若化成形如上三角矩陣 ⎡1 0 L 0 ? ⎤ ⎢0 1 L 0 ?⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M M O M M⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 1 ?⎦ 稱為高斯-喬登消去(Gauss-Jordan)法。 簡化矩陣： 一個矩陣，只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為 0 的列中，第一個不為 0 的元所屬的行中，只有這個元不等於 0。我們就稱它為一個簡化矩陣。 【問題】 1. 當我們利用高斯消去法時，試著討論最後為何種形式時，其解各為多少個？. 第三冊 第二章. 空間中的直線與平面 — P38.
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