金 門 地 區 第 6 1 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書
科 別：數學科 組 別：國小組
作品名稱：面面俱到─IQ BLOCK智力拼圖解法之歸納與探討 關鍵詞：對稱軸、旋轉、鏡像
編 號：
目錄
摘要 ... 1
壹、研究動機 ... 1
貳、研究目的 ... 2
參、研究設備及器材 ... 4
肆、研究過程與方法 ... 5
伍、研究結果與討論 ... 9
陸、結論 ... 25
柒、參考資料 ... 27
摘要
透過幾何積木拼圖遊戲增加我們對面積與周長、對稱軸、旋轉、鏡像等數學觀念的觀察 及運用。我們利用不同形狀的幾何積木，以不同方式排列組合，在固定正方形空間來進行這 個遊戲，我們想知道如何擺放才容易完成拼圖。在拼的過程中，記錄時就出現了問題，每個 人的記錄方式不同，經過討論大家先在八種基本圖形上以小圓點貼上邊長，再討論出都可以 認同的記錄方式。為了要找出可行的方法，所以我們算出每一塊的面積、周長及對稱軸，利 用所學過的面積、邊長與周長概念去解題。在過程中我們發現，若有拼出來完整長方形，就 無法解出答案。
壹、研究動機
在「抖音」上看到面積遊戲名稱為「吃不完的巧克力」，透過切巧克力，移除、排列後與 原本的巧克力有著相似圖形。但因「吃不完的巧克力」僅是相似圖形的變化，變因較少，所 以我們改以「IQ BLOCK」幾何積木拼圖進行歸納、探討。
「IQ BLOCK」原本是老師獎勵同學的益智遊戲，這個遊戲跟「吃不完的巧克力」面積遊 戲方式有異曲同工之妙，所以組員們將這次的題目訂為「面面俱到」。透過這次的活動，增加 對於數學的興趣及推理能力。
貳、研究目的
一、了解 IQ BLOCK 基本圖形面積。
二、了解 IQ BLOCK 基本圖形周長。
三、找出 IQ BLOCK 基本圖形對稱軸。
四、探討 IQ BLOCK 每一題圖形解法。
五、探討 IQ BLOCK 中同一題的不同解法。
六、探討 IQ BLOCK 中排列方式相同，但左上角第一塊不同的題目。
七、比較提示前後是否能夠順利解出 IQ BLOCK 的題目。
我們規劃的研究架構圖如圖 2-1 所示：
圖 2-1 研究架構圖
科學展覽
面面俱到
意見討論 蒐集資料
怎樣解出 IQ BLOCK 題目
實驗過程
研究分析
討論與歸納
結論
參、研究設備及器材
一、儀器設備：電腦、觸控電腦。
二、用品器材：IQ BLOCK 拼圖組、記錄筆記本、尺、筆、橡皮擦。
三、要記錄的內容：IQ BLOCK 答案。
圖 3-1 電腦 圖 3-2 IQ BLOCK
圖 3-3 紀錄筆記本 圖 3-4 尺、筆、橡皮擦
圖 3-5 觸控電腦
肆、研究過程與方法
一、蒐集以前曾經做過的類似題材或書面資料
1. 透過網路及歷屆科展資訊網頁蒐集曾經做過的主題。
2. 搜尋相關資料與文獻。
3. 與高中數學科科展指導老師討論。
4. 與指導老師討論相關題材以及實驗設計。
二、名詞解釋與文獻探討：
1. 吃不完的巧克力：
以由下往上切的方法，把格子狀巧克力塊切開，拿走第一排(黃色)最上面一塊(紅色部分)。
切線上方白色區塊往左移，切線上方黃色區塊移至最右邊。會出現與原本巧克力相似的 圖形，但面積會變小。特別的是切線上下無法拼成完整的格子。
＜圖 4-1＞ ＜圖 4-2＞
2. IQ BLOCK 遊戲：
（一）體驗遊戲玩法
透過體驗的過程中了解遊戲的基本操作與應用。
（二）清楚遊戲規則
以便做實驗的時候，能夠清楚對玩家解說遊戲規則。
圖 4-3IQ BLOCK 遊戲 圖 4-4 隊員體驗遊戲玩法 3.文獻探討：
(一) 108 課綱數學領域第三學習階段（國民小學 5-6 年級）：確實掌握分數與小數的四則 計算。能以常用的數量關係，解決日常生活的問題。能認識簡單平面與立體形體的 幾何性質，並理解其面積與體積的計算。能製作簡單的統計圖表。
(二) 108 課綱第二學習階段學習表現：s-II-1 理解正方形和長方形的面積與周長公式與應 用。s-II-4 在活動中，認識幾何概念的應用，如旋轉角、展開圖與空間形體。
(三) 108 課綱第三學習階段學習表現：s-III-5 以簡單推理，理解幾何形體的性質。
(四) 108 課綱第四學習階段學習表現：
(1)s-IV-4 理解平面圖形全等的意義，知道圖形經平移、旋轉、鏡像後仍保持圖形全 等，並能應用於解決幾何與日常生活的問題。
(2)s-IV-5 理解線對稱的意義和線對稱圖形的幾何性質，並能應用於解決幾何與日常 生活的問題。
(五) 面積遊戲：一種在固定的面積裡，改變不同形狀與方向的遊戲。
(六) 康軒四下數學課本第八單元「周長與面積」：計算矩形的周長與面積、簡單複合圖形 的面積。
(七) 線對稱：康軒五下第五單元介紹「線對稱圖形」概念。
三、正式實驗與步驟：
（一）實驗一：了解 IQ BLOCK 基本幾何積木面積。
算出每個基本幾何積木的面積並記錄。
（二）實驗二：了解 IQ BLOCK 基本幾何積木周長。
算出每個基本幾何積木的周長並記錄。
（三）實驗三：找出 IQ BLOCK 基本幾何積木對稱軸。
實際操作並記錄。
（四）實驗四：探討 IQ BLOCK 每一題圖形解法。
實際操作並記錄。
（五）實驗五：探討 IQ BLOCK 中同一題的不同解法。
找出左上第一塊相同，但不同的解法完成拼圖。
（六）實驗六：探討 IQ BLOCK 中排列方式相同，但左上角第一塊不同的題目。
透過鏡像、旋轉找出相同排列，但左上第一塊不同之解法。
（七）實驗七：比較提示前後是否能夠順利解出 IQ BLOCK 的題目。
受試者超過 2 分鐘無法解出，再給予提示。
圖 4-5 研究流程圖 分析
1.
面積相同但周長不同。2.
不是每個基本幾何積木都有對稱軸。3.
幾個幾何積木會結合在一起。4.
三個沒有對稱軸的幾何積木，不會三個連接在一起。5.
有些題目能有不同的解法。6.
有些解法有旋轉或鏡像關係。7.
比較提示前後是否能夠順利解出 IQ BLOCK 的題目。步驟一：
解出 IQ BLOCK 題目。
實驗一：
了解 IQ BLOCK 基 本圖形面積。
擬定主題
研究活動
實驗二：
了解 IQ BLOCK 基 本圖形周長。
實驗四：
探討 IQ BLOCK 每 一題圖形解法。
實驗六：
探討 IQ BLOCK 中 排列方式相同，但 左上角第一塊不同 的題目
面面俱到
步驟二：
蒐集文獻與文獻探討。
實驗三：
找出 IQ BLOCK 基 本圖形對稱軸。
實驗五：
探討 IQ BLOCK 中 同一題的不同解 法。
實驗七：
比較提示前後是否 能夠順利解出 IQ BLOCK 的題目。
伍、研究結果與討論
【實驗一】了解 IQ BLOCK 基本幾何積木面積。
〈方法〉算出每個基本幾何積木的面積並記錄。
〈結果與發現〉基本幾何積木的面積都一樣，均為 8 平方公分。
圖 5-1 IQ BLOCK 基本幾何積木
圖 5-2 研究手稿 圖 5-3 計算過程
【實驗二】了解 IQ BLOCK 基本圖形周長。
〈方法〉算出每個基本幾何積木的周長並記錄。
〈結果與發現〉基本幾何積木的周長並不相同，周長分別有 12 公分、13 公分、14 公分、
18 公分。以周長為 14 公分的幾何積木為多數。
＜表 5-1 幾何積木周長＞
圖 5-4 研究手稿 圖 5-5 IQ BLOCK 邊長標示
幾 何 積 木
周 長
12 公分 13 公分 14 公分 18 公分
【實驗三】找出 IQ BLOCK 基本幾何積木對稱軸。
〈方法〉實際操作並記錄。
〈結果與發現〉不是每塊幾何積木都有對稱 軸。
幾何拼圖
對稱軸數(條) 1 1 1 0
幾何拼圖
對稱軸數(條) 0 0 1 2
＜表 5-2 幾何積木對稱軸數＞
圖 5-6 對稱軸紀錄
【實驗四】探討 IQ BLOCK 每一題圖形解法。
〈方法〉實際操作並記錄。
〈結果與發現〉
1. 有幾道題目解法是相同的。
題號 3=題號 17 題號 4=題號 7=題號 11=題號 27 題號 5=題號 39 題號 8=題號 14 題號 9=題號 22(不同排列方式) 題號 10=題號 36
題號 15=題號 25(不同排列方式)=題號 31 題號 18=題號 24 題號 19=題號 28 題號 20=題號 23 題號 33=題號 37
＜表 5-3 相同解法的題號＞
2. 40 道題中，1～39 題均可解出，但題號 40 出題方式不同於其他題號，無法運用之 前歸納出來的方式解出，所以目前仍無法解出。
3.
題號 40 短邊在周界，與其他題號中均為長邊在周界不同。
4.
我們發現下面這兩個幾何積木，在題號 1～題號 39 都組合在一起。
圖 5-7 解法之紀錄
5. 我們發現 常接在一起，但可能有不一樣的排列。
完全分開
題號 1、題號 2、題號 3、題號 4
、題號 5、題號 6、題號 7、題號 8
、題號 11、題號 13、題號 14、題號 15
、題號 17、題號 18、題號 19、題號 20
、題號 21、題號 23、題號 24、題號 25
、題號 26、題號 27、題號 28、題號 29
、題號 30、題號 31、題號 33、題號 36
、題號 37、題號 38、題號 39 (31 道題)
題號 10、題號 12
、題號 32、題號 35 (4 道題)
題號 9、題號 16
、題號 22、題號 34 (4 道題)
＜表 5-4 每種排列方式出現的題號＞
6. 我們發現沒有對稱軸的三個幾何積木，最多兩個連在一起，不會三個連。
7. 以下是我們整理出的 39 道題解法：
＜表 5-5 解法＞
【實驗五】探討 IQ BLOCK 中同一題的不同解法。
〈方法〉找出左上第一塊相同，但不同的解法完成拼圖。
〈結果與發現〉有兩組不同排列的解法。
1、 題號 9 V.S 題號 22 不同排列的解法
題號 題號 9 題號 22
排列
＜表 5-6 不同排列的解法 1＞
2、 題號 15 V.S 題號 25 不同排列的解法
題號 題號 15 題號 25
排列
＜表 5-7 不同排列的解法 2＞
圖 5-8 實驗紀錄
【實驗六】探討 IQ BLOCK 中排列方式相同，但左上角第一塊不同的題目。
〈方法〉透過鏡像、旋轉找出相同組合，但左上第一塊不同之解法。
(1) 順時針旋轉 旋轉
角度 90 度 180 度 270 度
題號 13 30 7 11 15 20 22 24 25 6 10 12 24 15 相對
應題 號
25 23 18 35 29 1 16 4 6 33 6 32 3 21
＜表 5-8 旋轉對應題號＞
(2) 左右鏡像，再順時針旋轉 旋轉角
度
0 度 90 度 180 度 270 度
題號 4 6 34 1 25 29 6 9
相對應 題號
33 7 16 2 19 17 8 22
＜表 5-9 鏡像旋轉對應題號＞
〈結果與發現〉向順時針旋轉 180 度，兩個圖形 是上下顛倒，但左右相反。左右 鏡像再向順時針旋轉 180 度，除 了上下𩔊倒外，左右是相同的，
也就是上下鏡像關係。
圖 5-9 對應題號與圖形
【實驗七】比較提示前後是否能夠順利解出 IQ BLOCK 的題目。
〈方法〉受試者超過 2 分鐘無法解出，再給予提示。
受試者編號 題號 解出時間(s)
提示與否
備註 未提示 提示
1 2 60 ✓ 提示 1、提示 2，40 歲
2 22 35 ✓ 小五
3 13 47 ✓ 提示 1、提示 2，小五
4 20 140 ✓ 提示 1、提示 2，小五
5 24 135 ✓ 提示 1、提示 2，小五
6 11 205 ✓ 小五
7 4 375 ✓ 提示 1、提示 2、提示 3，小五
8 23 60 ✓ 小五
9 19 63 ✓ 小五
10 17 35 ✓ 小五
11 18 119 ✓ 提示 1、提示 2，小六
12 39 629 ✓ 幼稚園小班
13 27 490 ✓ 小三
14 16 438 ✓ 提示 1、提示 2，小二
15 19 371 ✓ 提示 1、提示 2，小四
16 28 300 ✓ 提示 1、提示 2，小五
17 37 479 ✓ 提示 1、提示 2，幼稚園小班
18 26 188 ✓ 高職
19 20 269 ✓ 大學
20 15 627 ✓ 提示 1、提示 2，幼稚園大班
21 14 1210 ✓ 提示 1、提示 2，幼稚園大班
22 1 1032 ✓ 提示 1、提示 2，幼稚園中班
23 2 794 ✓ 提示 1、提示 2，幼園班中班
24 4 1091 ✓ 提示 1、提示 2，幼稚園中班
25 7 431 ✓ 提示 1、提示 2，小一
26 9 360 ✓ 提示 1、提示 2，小五
27 11 249 ✓ 小六
28 21 367 ✓ 小二
29 23 304 ✓ 提示 1、提示 2，小六
30 13 428 ✓ 小六
31 3 634 ✓ 小三
32 4 924 ✓ 小二
33 5 1028 ✓ 84 歲爺爺
34 6 1003 ✓ 提示 1、提示 2，幼稚園小班
35 8 900 ✓ 提示 1、提示 2，幼園大班
36 10 872 ✓ 提示 1、提示 2，小一
37 12 944 ✓ 提示 1、提示 2，小二
38 17 906 ✓ 提示 1、提示 2，小四
39 22 847 ✓ 小二
40 24 634 ✓ 小一
41 25 701 ✓ 小三
42 29 1079 ✓ 高職
43 30 1198 ✓ 大學
44 31 607 ✓ 家長
45 32 678 ✓ 小二
46 33 337 ✓ 小四
47 34 66 ✓ 提示 1、提示 2，3 歲
48 35 204 ✓ 提示 1、提示 2，30 多歲
49 36 239 ✓ 提示 1、提示 2，30 歲
50 38 212 ✓ 提示 1、提示 2，30 歲
51 1 48 ✓ 小二
52 3 233 ✓ 提示 1、提示 2，小六
53 25 320 ✓ 提示 1、提示 2，小六
54 26 157 ✓ 提示 1、提示 2，小六
55 37 183 ✓ 提示 1、提示 2，小六
56 4 287 ✓ 提示 1、提示 2，小六
57 16 152 ✓ 提示 1、提示 2，小六
58 17 92 ✓ 提示 1、提示 2，小六
59 32 155 ✓ 小六
60 7 247 ✓ 小六
61 3 195 ✓ 小六
62 5 249 ✓ 小六
63 4 361 ✓ 提示 1、提示 2，小六
64 8 276 ✓ 小六
65 15 227 ✓ 小六
66 9 296 ✓ 提示 1、提示 2，小六
67 27 327 ✓ 小六
68 32 186 ✓ 小六
69 17 126 ✓ 小六
70 1 94 ✓ 提示 1、提示 2，小六
71 1 211 ✓ 提示 1、提示 2，小六
72 5 149 ✓ 提示 1、提示 2，小六
73 2 159 ✓ 提示 1、提示 2，小六
74 1 164 ✓ 提示 1、提示 2，小六
75 22 191 ✓ 提示 1、提示 2，小六
76 34 139 ✓ 提示 1、提示 2，小六
77 38 218 ✓ 提示 1、提示 2，小六
78 39 147 ✓ 提示 1、提示 2，小六
79 9 281 ✓ 提示 1、提示 2，小六
80 6 65 ✓ 小六
〈結果與發現〉
1. 全部 80 位受試者，未提示解出者 34 位(42.5%)，經提示解出者 46 位(57.5%)，所以我 們判斷提示是有助於解題。
2. 給提示之後大部分受試者都能解出，所花的時間也相對比較少。
受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
22 1 1032 ✓
大班幼兒
48 156
51 1 48 ✓
70 1 94 ✓
71 1 211 ✓
74 1 164 ✓
受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
1 2 60 ✓
338
23 2 794 ✓
73 2 159 ✓
受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
31
3
634 ✓415 233
52
3
233 ✓61
3
195 ✓受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
7 4 405 ✓
924 351
24 4 1091 ✓
32 4 924 ✓
56 4 287 ✓
63 4 361 ✓
受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
33 5 1028 ✓
249 149
62 5 249 ✓
72 5 149 ✓
受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
26 9 360 ✓
312
66 9 296 ✓
79 9 281 ✓
受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
10 17 35 ✓
81 499
38 17 906 ✓
58 17 92 ✓
69 17 126 ✓
受試者編號 題號 解出時間(s) 未提示 有提示 未提示平均 有提示平均
2 22 35 ✓
441 191
39 22 847 ✓
75 22 191 ✓
＜表 5-11 受試者解出整理＞
3. 我們的受試者中，3 歲幼兒至 84 歲長者，經過提示都能開心的解出，增加了對拼圖的 樂趣，想繼續完成別的題目。
圖 5-10 遇到的困難與克服歷程
1.人
(1)參考文獻蒐集少。
(2)變因少 2.記錄
(1)記錄方式不一致。
3.解決方法
(1)更改實驗題目。
(2)商討出有共識的記錄方法。
4.策略
(1)先分別以不同斜率切紙，
並進行歸納。
(2)以面積與周長為主題，
更換實驗內容。
5.總結
(1)歸納如何快速解出IQ BLOCK的秘訣。
(2)提升參與同學數學運算能力。
(3)提升參與學生對於數學學習興趣。
陸、結論
一、我們發現這 8 個基本幾何積木的面積均為 8 平方公分，其中僅有一個是簡單的長方形，
其他七個均為複合圖形。
二、這 8 個基本幾何積木的周長並不相同。周長分別是 12 公分、13 公分、14 公分、18 公分，
正如數學課學到的：面積相同，不同形狀周長會不相同。
三、這 8 個基本幾何積木並非全都有對稱軸。對稱軸數分別有 0 條、1 條、2 條對稱軸。
四、IQ BLOCK 智力拼圖盒中的 40 道題，大家分工合作解出題號 1 至題號 39，目前尚有一題 (題號 40)無法解出。
五、我們找出左上第一塊相同，但不同的解法完成拼圖。在所有解法中，有兩組分別為：題 號 9 V.S 題號 22；題號 15 V.S 題號 25 是不同排列方式解出。
六、我們找出左上角第一塊不同的題目，透過鏡像、旋轉找出相同組合，以順時針旋轉或鏡 像再順時針旋轉 90 度、180 度、270 度，歸納出相同的解法。
七、我們找路人隨機進行實驗，有些人很快地解出來，但大部分須花較多時間嘗試或無法解 出。我們發現有提示，能讓速度有明顯的變快。
總結這次的科展，我們複習了幾何複合圖形的面積、周長及對稱軸概念，能根據題目解 出所有可能性。在整個過程中，隨著常出現的規則讓我們更快解出。在我們親自操作及請路 人操作時，觀察到有些人對幾何圖形有高度敏感，可以很快的拼出；有些人對幾何圖形反應 沒有那麼靈敏，但經過提示大多能解出，這個遊戲增加了受試者對智力拼圖的興趣，而且讓 受試者欲罷不能，不停詢問如何購得這個幾何拼圖。坊間有許多面積相關的拼圖或手遊，深 深佩服這些設計者，讓大家腦力激盪，也讓我們增加了許多對於數學遊戲的學習興趣，接著 我們會繼續把題號 40 完成，嘗試驗證我們是否真的能夠「面面俱到」。
【預計進行的延續性研究】
1. 利用這次的經驗嘗試去解出更多相關智力遊戲的答案。
2. 由於這次科展競賽準備時間有限，來不及解完題號 40，讓我們心中難免有個缺憾，但我 們仍然會繼續嘗試解出題號 40 的方法。
＜表 6-1 幾何積木整理＞
圖形 面積 周長
起始圖形 同解法 (方向可不同)
起始圖形 同解法 (方向同)
關係組合 1 (1-39 連成一體)
關係組合 2 (1-39 大部 分在一起)
對稱軸 (條)
8 12 6 3 1
8 14 2 2 1
8 14 4 2 1
8 13 2 1 0
8 14 4 4 0
8 14 8 3 0
8 18 8 2 1
8 12 6 2 2
柒、參考資料
一、賴韻如等人(2010)。五方連塊之乾坤大挪移武功祕笈。第 50 屆中小學科學展覽會 https://twsf.ntsec.gov.tw/activity/race-1/50/elementary04.htm
二、網站『昌爸工作坊/數學遊戲』http://www.mathland.idv.tw/game/mathgame.htm
三、楊瑞智等人(2020)。國小五上數學課本第八單元面積。康軒文教事業。P97-P114。
四、楊瑞智等人(2021)。國小五下數學課本第五單元線對稱圖形。康軒文教事業。P57-P70。
五、吃不完的巧克力 https://www.youtube.com/watch?v=OpBNwysqnYI
六、趙翊君(2015)。團體遊戲之研發及融入五年級數學複習對學生學習之改變。國立中山大學 碩士論文。https://reurl.cc/E2mWpg
七、教育部(2018)。數學學習重點。十二年國民基本教育課程綱要數學領域。
https://reurl.cc/Ag9jQY
