宇宙的尺度變異定律

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宇宙的尺度變異定律

數學百子櫃系列 (二十)

數學百子櫃系列 ( 二十 ) 宇宙的尺度變異定律

(2)

Universal Scaling Laws, C.-K. Loong

數學百子櫃系列 (二十)

宇宙的尺度變異定律

龍振強

教育局

(3)

版權

。本書任何部分之文字及圖片等，如未獲版權持有人之書面同意，不得用任何方式抄襲、節錄或翻印作商業用途，亦不得以任何方式透過互聯網發放。

ISBN 978-988-8159-92-5

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For Rosa Po Po Wong

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前言

2009年是英國偉大自然生物學家達爾文 (Charles Darwin, 1809-1882) 誕辰二百週年，也是他的傳世之作《物種起源

》出版一百五十週年。可能沒有多少人留意到達爾文在自傳中提及有關數學的一段話：

「我曾經嘗試學習一些數學，在1828年夏天我甚至跑到巴茅斯城聘用了一位教師私人授課 (他是一位非常枯燥無味的人)。但我的學習進度非常緩慢，我厭惡這種學習，主要因為我不明白代數起初的步驟有何意義。這種不耐煩的態度十分愚蠢，多年後我深感懊悔，為何當初我不學習至某程度，讓我至少明白數學的一些基本要點，因為懂得數學的人似乎比別人多了一重感覺 (extra sense)。」

也許這種感覺令我們能夠把事物條理看得更加清晰。正如美國威斯康辛大學數學系教授愛倫伯格(Jordan Ellenberg) 在其著作 How Not to be Wrong. The Power of

Mathematical Thinking 當中，有這樣的說法：

「懂得數學就好像具備一對X-光的透視鏡，

能看穿世上隱藏在亂雜和混沌事物背後的條理。數學是一門讓人們不會看錯事物的科學

，它的方法和體制是經過多世紀辛勤考驗磨鍊出來的。」

(11)

本書的作者，正是基於愛倫伯格的這個信念，為廣大的中學師生用心寫作了這一本好書。讓我引用作者自己的話闡明這一點：

「[…] 對很多人來說，數學是一門抽象的學問：背後有一羅網的公理和定義，陌生的地域散佈著數字、符號、形狀、公式、時空坐標等架構，航行其間要依賴計算、量度、邏輯演繹、推理等手段。不錯，運用數學方法可以從披露的現象找出某些模式或典範，從而建立一個揣測，如果揣測與事實一致，我們說數學分析支持這模式作為該事實的 “真相”。

數學還可以將相連事物的真相歸納起來，稱為規律。我們相信這些規律的運作，直至它被革新的實驗證據推翻，被改進的新規律取替為止。可惜這些辛勤磨鍊往往被視為數學的門檻，令人迴避，不敢高攀。這小冊子講的恰恰和這概念相反

。我們認為數學不但容易接近，而且會帶給你樂趣 — 即 NOT TO BE WRONG的滿意。

[…]所以數學就是人和宇宙溝通的語言，正如人與人溝通的語言，數學不是先學好，然後再運用這樣一回事，而是邊學邊用，正如學語言一樣。這本小冊子不打算向你提供一連串的數學定理和公式，各章談到的也不限於數學，會涉及物理

、生物、經濟等問題，就是那些看起來雜亂無章的現象，等待著我們用適當的數學思維方法去尋找背後的規律。

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[…] 在短短的七章裡，可以介紹的語言工具和演繹手段十分有限。但對整體概念、方法輪廓、和結論分析都通過跨領域的例子闡釋，希望讀者們能意識到揣測、驗證和歸納 — 即數學思維 — 的意義。這書的主要對象是中學生，我們不預期你們日後都成為數學家（當然做數學家是很值得和有意義的專業）。但無論你從事那一行業，總逃避不了時代潮流的衝擊和環境事物的影響，至於個人生活或人際關係也離不開物質、生理、和感情上的抉擇。能夠用數學思維分析處理事物是充實和強化自己最有利的途徑。而且此途徑最適宜從早實踐，正如語言一樣，應該從小訓練，越用越精。[…]」

第一章和第二章已經點題，先介紹幾種基本的數學函數，強調非綫性變化和多體問題是自然界和人類社會複雜現象的根源，並且指出變異尺度對觀察和分析事物的重要性。或者，

讓我也舉一個輕鬆的有關例子。愛爾蘭諷刺小說作家斯威夫特 (Jonathan Swift, 1667-1745) 在其1726年的著名小說《格列佛遊記（Gulliver’s Travel）》中也處理了一些有關比例的問題。在書中，他對船長格列佛在小人國利利普（Lilliput）的生活作出精確的描述：在當地（小人國）居民的大小是他的十二分之一，而在大人國布羅丁那格（Brobdingnag）居民的大小是他的十二倍。這個故事情節既可以當作趣味閱讀，又可以用作富有啟發的數學練習。例如，每日多少個利利普人的食糧才可以喂飽格列佛呢？(答案：1728。) 不過，作者在描述大人國那位嫉妒的宮廷小丑矮人格林大奇列治 (Glumdalclitch) 的惡意陰謀時，卻犯了一個嚴重的錯誤。格林大奇列治欲加害於格列佛，趁格列佛站在一棵蘋果樹下時

(13)

，大力搖動該蘋果樹。可憐的格列佛事後回憶說，「我碰巧低頭彎腰的時候，其中一個（掉下的蘋果）打在我的背上，

我跌得鼻青臉腫，不過還好，我沒有受到其他的傷害」。只要具備一點物理學的知識，稍作一點估算，我們就可以斷定格列佛必死無疑！

接著第三章講述分形結構和自然界及社會現象的密切關係，

第四章闡述分析非綫性動力學的數學方法。第五章介紹協同學 (Synergetics)，通過數學分析來歸納非綫性現象的各種屬性，從而導出其普適性的學問。第六章是前面各章的結晶，

列舉物理、經濟、地球生態、生物、崩潰性和擴散性的能量釋放、滯後現象、網絡通訊等跨領域例子，演示其中具普適性、貫切系統平衡到非平衡狀態的變異尺度規律。第七章介紹測量微觀世界納米空間與高頻時間尺度的實驗裝置及其與應用數學的關係。這眾多如此豐富多姿的跨領域事例，是不容易全在一本書內能夠讀到的。作者學識之廣博，可見一斑

。

龍振強博士乃資深物理學者，曾在美國從事物理硏究工作多年，他於物理和數學之湛深學養，自不待言。更難得的，是他的通識眼光和他在不同領域的廣博學識，再加上他對莘莘學子的關懷，促使他在「退而不休」後的百忙中仍然提筆為他們寫作本書，介紹數學與物理的應用及更基本的科學精神

。作者從概念開始，不時適當地加插一點歷史由來和應用的例子，介紹有關的物理知識。書的內容，是以趣味為主。但

(14)

那不等於說讀者可以不經心地，像翻閱一本消閒雜誌那樣對待這本書。如果作者存著景仰科學的感恩情懷用心去寫，讀者也應存著同樣的心和敬意去閱讀吧，這樣做，當能獲益良多。

蕭文強 2015年11月30日

(15)

引語

我們為甚麼要學習數學？美國威斯康辛大學數學系教授 Jordan Ellenberg—2014年出版 “How Not to be Wrong. The Power of Mathematical Thinking” 的作者—有這樣的說法：“

懂得數學就好像具備一對X-射綫透視鏡，能看穿世上隱藏在亂雜和混沌事物背後的條理。數學是一門讓人們不會看錯事物的科學，它的方法和體制是經過多世紀辛勤考驗磨鍊出來的。”¹ 對很多人來說，數學是一門抽象的學問：背後有一羅網的公理和定義，陌生的地域散佈著數字、符號、形狀、

公式、時空坐標等架構，航行其間要依賴計算、量度、邏輯演繹、推理等手段。不錯，運用數學方法可以從披露的現象找出某些模式或典範，從而建立一個揣測，如果揣測與事實一致，我們說數學分析支持這模式作為該事實的‘真相’。

數學還可以將相連事物的真相歸納起來，稱為規律。我們相信這些規律的運作，直至它被革新的實驗證據推翻，被改進的新規律取替為止。可惜這些辛勤磨鍊往往被視為數學的門檻，令人迴避，不敢高攀。這小冊子講的恰恰和這概念相反

。我們認為數學不但容易接近，而且會帶給你樂趣–即NOT TO BE WRONG的滿意。

伽利略曾說過：“要看懂宇宙我們必須了解它的語言和熟悉該語言的表徵。這語言就是數學，表徵就是三角形、圓形和其它幾何圖形等文字。忽略這語言我們便對宇宙一窺不通，

1 Jordan Ellenberg, (2014) How Not to be Wrong. The Power of Mathematical Thinking, The Penguin Press (New York), p.1.

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等於失落在一個黑暗的迷宮。”² 所以數學就是人和宇宙溝通的語言，正如人與人溝通的語言，數學不是先學好，然後再運用這樣一回事，而是邊學邊用，正如學語言一樣。這本小冊子不打算向你提供一連串的數學定理和公式，各章談到的也不限於數學，會涉及物理、生物、經濟等問題，就是那些看起來雜亂無章的現象，等待著我們用適當的數學思維方法去尋找背後的規律。

用數學思維從複雜的現象尋找背後的規律，談何容易？讓我們拿個笑話作比喻。有一個富豪酷愛賽馬，為了培育自己的良駒馬到成功，特意徵求專家意見。首先育種專家說，繁殖一定要從交配純種和有血統來歷的名馬開始，後代可以承繼父母的優性。但又不能過度局限基因庫，要平衡雜種優勢。

如此這般一連串的理論。然後營養學家提出，馬只有一個胃

，不會反芻，但須要消化草料的纖維，要倚靠微生物在馬消化系統內長15-21米的小腸和1.2米的大腸幫助發酵分解飼料和吸收營養；馬的胃容量少，要慢慢地多吃，一次不能過量

，疝痛是嚴重的致命原因。也是一番大道理。最後富豪也想聽聽物理學家的意見，物理學家劈頭便道，我們假設馬是球狀的！這笑話表示每人考慮同一個問題有不同的入門方法。

物理學家將複雜的培育賽馬問題簡單化得太過份吧？可是從另一角度來看，尋找複雜現象背後的規律，不一定要將複雜性如數家珍地列出。相反地，可能從簡化的前提入手，去蕪存菁地較容易找出答案，至於那些被疏忽的細節可能與大方向關係不大，到頭來互相抵消。

2 Galileo Galilei (1564-1642), Opere il Saggiatore, p. 171.

(17)

十四世紀奧卡姆的威廉（William of Ockham, 約1287-1347）

是英格蘭著名的邏輯家和哲學家。他的言論和處事方法主張求其樸素的精神，如果有兩個辯證方法找到同樣結論，應採用兩者之中較簡單的方法。後世人稱之為奧卡姆剃刀（ Occam’s razor）。這小冊子將提到的現象，如物理相變、生長擴散、雪崩、動物毛皮圖紋、人口財富分佈、信息網絡等

，每項和相關的數學方法都足以用單行本介紹，但我們揮動奧卡姆剃刀，經雕削後包含在一本小冊子裡，希望不只化繁為簡，還增加其趣味性和可讀性。

第一章介紹幾種基本的數學函數，強調非綫性變化和多體問題是自然界和人類社會複雜現象的根源。第二章指出變異尺度對觀察和分析事物的重要性。剛提及把馬假設為圓球的笑話，那物理學家的想法也不完全荒謬的，這假設可以用來解釋為甚麽細小的老鼠要吃糓物維生，而比老鼠大多的馬兒只需吃草（第2.5節）。第三章講述分形結構和自然界及社會現象的密切關係。第四章闡述分析非綫性動力學的數學方法。

第五章介紹協同學，是通過數學分析來歸納非綫性現象的各種屬性，從而導出其普適性的學問。第六章是前面各章的結晶，舉列物理、經濟、地球生態、生物、崩潰性和擴散性的能量釋放、滯後現象、網絡通訊等跨領域例子，演示其中具普適性、貫徹系統平衡到非平衡狀態的變異尺度規律。第七章介紹測量微觀世界納米空間與高頻（飛秒–納秒）時間尺度的實驗裝置及其與應用數學的關係。閱讀時總有個過程

，從上述的笑話到數學函數的基本定義（1－2章），對一般讀者是‘溫故’。之後將較新的數學概念連接到自然現象（

3－5章），尤其數學方法的綜合應用以至微觀實驗求證（6

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－7章），可算是‘知新’的階段。但目的不是要把新東西 –那些看來超過中學、甚或大學入門程度的題目–鑽研根本

，而是先作概念性的基層了解。正如先欣賞整個森林的生態

，暫不理會一花一草的基因構造。以後讀者們將有漫長的機會去專注各種自然和社會的環節。這本書希望能起一點發酵的作用。書裡很多中英對照的名詞也是這個用意，當你們從外語文獻或在外地親身體驗時，不會感到陌生。

話說回來，找到一些普適性規律，可能會滿足我們一時的好奇，好奇往往是新知識、新技術的源頭，提供優化人生、成就事業機會的開始，在廿一世紀標榜全球化經濟和網絡科技化的社會，對養成數學思維習慣的年輕人，到底還有甚麽現實的好處？我們會於全書的結語嘗試給讀者們一個答案。

(19)

(20)

第一章：多項式、指數、和對數等函數

本章向你介紹幾件數學工具，但不是用教科書的形式。主要從概念入手，說一點歷史由來和應用的例子。先簡單地提出幾種函數、方程和定律，以後各章還會作較深入的討論。

1.1 多項式函數，冪級數及冪定律

多項式函數是最常見的函數之一：

f x  



a

_i

x

ⁱ

i0



n

 a₀ a₁

x

 a₂

x

² ... a_n1

x

^n1 a_n

x

ⁿ. (1.1)

為求簡單，只設一個實數的變量， x ； a₀, a₁, a₂,..., a_n是常 數； n 是正整數。圖1.1 舉兩個簡單的例子。圖 1.1 (a), f x

 

^{ 5 1.5x}



a₀  5, a₁ 1.5, a₂  a₃ a₄  ...  0



^是一條

直綫。其中 a₁

x

 1.5x 是綫性項， a₁  1.5是直綫的斜率。

圖 1.1 (b) 屬於三次方的多項式。

(21)

圖 1.1 (a) 直綫方程和 (b) 多項式

綫性項： f₁

 

x ^{ a}1x 是最基本的綫性函數。它滿足綫性函數的兩個條件，即：

1 加性 f₁



x y



^{ f}1

 

x ^{ f}1

 

y ^, (1.2)

2 齊性 f¹

  cx

^{ cf}1

  x

. (1.3) 比喻是： x, y 是作用， f₁ 是效應；兩個作用引起的效應等於其個別效應的總和，作用培增與造成效應的培增成正比。注意，直綫方程如圖1.1 (a) 的 f x

 

^{ 5 1.5x}不滿足齊性(1.3),但只要將垂直坐標的原點移一下， f x

 

^{ 5  g x}

 

^{ 1.5x}^，^{g x}

 

便滿足齊性。所以直綫方程都保持綫性的通性。

(22)

變異尺度，或稱標度（scaling）：方程 (1.3) 齊性表示改變變量的尺度，即c

 x

^{, 其結果是} c f₁

 

x ^{ f}1

 

x ^{，這與原來的} 函數成正比，而且兩者的比率就是改變尺度的係數 c。這是綫 性函數的標度不變性（scale invariance），也屬於自相似性（

self-similarity）的一種，方程 (1.3) 便是其標度定律（scaling law）。

物理學的胡克定律（Hooke’s Law³）闡述應力，

F

^{，與應變－}

即壓縮或拉長彈簧的長度， x ，的綫性關係：

F kx, (1.4)

這裡 k 是彈簧的勁度係數。阿基米德（Archimedes⁴）的槓桿原理其中力矩與矩臂長度在一定的靜力下也是綫性關係。據說他認為，只要有一個支點和夠長的槓桿，他可以把地球舉起。我們知道事實上這是不可能的，因為槓桿的硬度是有限的，過長便會彎曲，根本不能發揮槓桿的作用（見圖 1.2）。

彈簧被拉過了綫性彈性界限會永久變形，胡克定律便會失效

。這都是物質的非綫性屬性。

3 Robert Hooke (1635-1703), 英國博物學家和發明家。

4 Archimedes of Syracuse (約 287-212 BCE), 古希臘哲學家、數學家、物理學家、發明家、工程師。

(23)

圖 1.2 糟了，槓桿又彎又軟！

非綫性項：既然非綫性如此重要，我們再看方程 (1.1)

多項式函數的非綫性項：平方（a₂x²），立方（a₃x³）和其他高次方非線性項。圖 1.1 (b) ， f x

   32  32x 14x 

²

 2x

³

 ⁵⁰

，再不是直綫。如果 n  

，方程 (1.1)便成為冪級數（power series）:

f x  

^

^a

i

x

ⁱ

i0





 a₀ a₁

x

 a₂

x

²  a₃

x

³... (1.5) 冪級數之重要是由於很多非綫性函數都可以展成為冪級數，

例如：

e

^x

x

ⁿ

n0

n!



 ^{ 1 x }

^x

_2!² ^

^x

_3!³  ...., for -  x  , (1.6)

(24)

ln 1 x

 

^{ x }

^x

²

2 

x

³ 3 

x

⁴

4  ..., for 1  x  1. (1.7) 冪定律（power law）：讓我們從冪級數裡取出一項寫成冪定律：

 

x  kx^,

f  是實數但不限於整數。 (1.8) 此冪定律的尺度變異結果是

f cx

 

^{ k cx}

 

^ ^{ c}^^{f x}

 

^{ f x}

 

^. (1.9) 即改變尺度等於原來函數與c^ 的乘積，是屬於冪函數的自似性。那指數，，是無量綱的（dimensionless），可以從實數概括為某種函數。不要輕看這簡單的冪定律，它用途廣

，意義深。試想，只要有了冪指數，無論面臨宇宙任何一角落的時空尺度（是尺度變異常數），我們都可以計算出函數的變化，所以又稱作無標度（scaleless）或免標度（scale- free）。如果一個系統 5在某環境下服從冪定律，無論那系統有多複雜， 反映出系統在當時環境的一種通性。倘若很多不同的系統都服從同一冪定律，我們就發現這系統群的普適性態，即不同系統擁有共同的系列性現象，如對電磁相變、

生物增長律、市場交易狀態、生態的遷徙等動力性和非平衡的開放系統作宏觀到微觀的分析。冪定律 (1.9) 的應用面很廣，所以十分重要，是本書以後各章的主題。

方程 (1.8) 可以寫成

ln f x

 

^{ lnk }^^{ln x.} (1.10)

5 由若干彼此依賴和互相作用的組成部份合成為一個具有一定結構和功能

的整體，稱為系統（system）。

(25)

可見將 f x

 

^{和 x 繪在}log log 的尺度便成為一直綫，表示冪函數和指數函數有密切的關係，詳見下兩節。

1.2 幾何序列，生長律和衰變律

幾何序列及指數序列等概念，早在數學史正式記錄指數函數和對數函數前已經登場。中國哲學家莊子在‘天下篇’中有云： ‘ 一尺之棰，日取其半，萬世不竭。 ’ 即幾何序列 1, 1

2,1 4,1

8, 1

16,..., 1 2

 



i

, 1 2

 



i1

,... 。其中僅四個字‘日取其半’

便將序列的規律說明白，今天拿是昨天賸下來的一半，明天再拿今天拿賸的一半。每一天拿這事情都是獨立的，不受歷史的影響，但如果知道今天所賸的長度，便可以推算過去任何一天的長度（假設沒有源頭的話）。在大自然就有這樣‘

萬世不竭’的定律所產生的現象，例如核輻射。一個帶放射性的核同位素（核素），有它獨特的半衰期（half-life），從 任何一刻N0核素數量開始，經過半衰期後，核素數量便剩下 一半，即N0/2 （衰變了的可能產生新的放射性核素，依照該新一代核素的半衰期繼續衰變。）。再過一個半衰期則餘下

N

0/4，如此類推。根據物理理論，宇宙的形成來自一個大爆炸

（Big Bang），從開始以來宇宙一直在變化，通過核反應演成無數星雲，裡面有很多星系，包括地球所屬的太陽系。今天地球存在著大概270個穩定同位素和約50個不穩定的同位素。

動植物（包括人類）體內也有一些放射性核素，無時無刻地

(26)

循著核衰變定律分裂。通過分析衰變現象的手段和配合其它科學方法，我們成功地在不違反科學證據的情況下了解約一百四十億年前宇宙的形成、約四十六億年前隨著太陽系的產生地球形成、約二十五萬年前現代人－智人（Homo sapiens）

的誕生、… 甚至人類細胞DNA的構造。

衰變的反面便是生長，加倍期是半衰期的對應。中世紀後期意大利數學家斐波那契，又名比薩的列奧納多⁶

，他構想一雙

兔子的繁殖規則如下：

從一雙剛出生的兔子（雌雄各一）開始，交配需時一月。到第二月底雌兔生下一雙（雌雄各一）兔子，凡新生的需第一個月交配，翌月底雌兔才生下一雙雌雄，但每雙兔子過了第二月後，每月都生一雙雌雄兔子，繼續如此，兔子不會死亡

。

這樣下去每月兔子共有多少雙？

6 Fibonacci (Leonardo Pisano) (1175-1250).

(27)

圖1.3 兔子頭六個月繁殖，數目（雙計）循斐波那契數遞增。

從圖 1.3 可看出，兔的生長數目（雙）是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ....

 

。這就是發表於1202年著名的

斐波那契數（Fibonacci numbers）。這序列有它一定的生成程 序：從第三個起，它就是前面兩個數字的總和。 F_i1 F_i F_i1, 而 F₀  0, F₁ 1.⁷ 任何一項都可以用以下公式計算：

7 用同一個生成程序但開始兩數字不同，

L

₀  2, L₁ 1,^{這便是盧卡斯數}

（Lucas numbers），由法國數學家盧卡斯（François Édouard Anatole Lucas, 1842-1891）發明。

(28)

F

_n 

1 5 2









n

 1 5 2









n

5 .

(1.11)

圖 1.4 表示兔子數目的增長。到 n 每年年底增至（雙）144 (n=12), 46368 (n=24), 1.49310⁷ (n=36)…，很明顯，上述的兔 子繁殖規律不合符生理現實。可是，斐波那契數出現在自然界現象，如植物花瓣或種子排列的數目和雄性蜜蜂的祖先錄

，與及適用於數學、物理學、計算機科學、語言學等。數學 家們還特別出版斐波那契數季刊， The Fibonacci Quarterly http://www.fq.math.ca/。

圖1.4 斐波那契數（圓點）與擬合曲線。

複利息是另一例子，也用幾何級數表示。假設開戶額是1元，

年底付利息100％，如果一年派息兩次，存款（元）生長為 11.5, 11.5²

 

 1.5, 2.25

 

^； ^每 ^月 ^派 ^息 ^則 ^為

(29)

1₁₂¹

 

^{, 1}



12¹



²^{, ..., 1}



12¹



¹²

 

 1.0833, 1.1736, ..., 2.6130

 

^。

如果以複利年息100％計算，年底的存款是 e元，

e

 lim

n 11

n

 



n

 2.71828 18284 59045 23536... (1.12)

瑞士數學家歐拉⁸用 e 表示這數字，故又稱歐拉數字。但其實 首先計算複利息並發現這數字 e是來自另一瑞士數學家伯努利

9。從方程(1.12)，生長可以用以下的時間（t）函數表示：

 

,

1 100

2 ₀ ₀

0 

P t t T

t

e r y

y y

t

y  



 

 



 (1.13)

y₀  y 0

 

^{是生長前的數額，}

^T

是加倍期， r 是在

P

週期的生長百分率，



是加 e 倍期，而 k^1 稱為生長係數。表達衰變的方式一樣，即將上述的指數改為負值便可。

從上面的例子看到，生長或衰變的速率一般是非綫性的。換言之，當時的變量值（如當時人口、核素量、存款）影響速率的變化。在數學上變化律是用微積分的導數表示，是很簡單的微分方程：

,

dt ky

dy 

(1.14)

8 Leonhard Euler (1701-1783)，數學家及物理學家。

9 Jacob Bernoulli (1655-1705).

(30)

就是說，變化律，

dy

dt

，與變量， y ，成正比，k是比例的

常數。這方程的答案（通過積分法）便是一個指數函數 y t

 

^{ y 0}

 

^e^kt ^{ y 0}

 

^{exp kt}

 

^. (1.15)

從圖 1.5 看出，y t

 

^{的生長（ k} 0 ）速度循t的增加而變得 愈來愈快；衰變（ k  0 ）程度開始時下降得很快，然後循t的 增加趨向漸近值0。從 (1.15) 可見 y t

 

本身是非綫性函數。

但是，(1.14) 寫成 _{y t}

 

^{ ky}，右方是以 y 為變量多項式的綫 性項，所以(1.14) 卻是一條綫性方程。

圖 1.5 指數函數（e^t生長，10e^t 衰變）及對數函數（lnt^）

。lnt^與 e^t^兩曲線以y t直綫相互對稱。

(31)

我們再看圖 1.4 ，斐波那契數序可以用指數函數表達得十分準確： _y 0.45091exp 0.48109 t

 

。可是，數學史出現指數函數還是斐波那契之後五百年的事情。十八世紀末英國政治經濟學家馬以薩斯¹⁰深信人口以幾何級數遞增必然超過糧食和物資的供應，這個矛盾如不解決，只能讓天災人禍來調整人口

，還提出歷史證據。後來達爾文¹¹也受馬以薩斯的影響，促使他孕育出進化論適者生存的提論。與達爾文同時代布魯塞爾數學家韋呂勒¹²將馬以薩斯的無控人口生長方程，即(1.14) ，修訂為：

^dP

dt  rP 1 P K

 

, (1.16)

其中

K

是人口上限額。韋呂勒稱(1.16)為邏輯斯諦方程（

logistic equation）。如果人口數接近人口上限額，即

P

 ,

K

右面括弧便接近零，而人口亦接近不增長了。

方程(1.16) 答案是：

P t

 

^ ^{P 0}

 

^e^rt

1 P 0

  

^e^rt^1



^K^. (1.17) 圖 1.6 清楚地表明馬以薩斯和韋呂勒方程的不同增長形態。

有關(1.16) 與及人口動力學的理論，詳見第四章。

10 Thomas Robert Malthus (1766-1834). 於 1798 年出版著名有關人口理論。

11 Charles Robert Darwin (1809-1882), 英國博物學家和生物學家。

12 Pierre François Verhulst (1804-1849).

(32)

圖 1.6 馬以薩斯和韋呂勒方程的比較。馬以薩斯的仍是圖 1.4 的方程，即

0 , 48109 . 0 , 45091 . 0 ) 0

(   

K r P

P ^{，韋呂勒的}

加上限額 K 400^。

1.3 指數函數和對數函數

在第一節我們提出多項式和冪級數，都屬於代數函數，第二節為了解釋幾何序列的現象，如生長和衰變，我們又介紹了指數函數，它和對數函數、三角函數（如 sin x, cos x）、雙曲函數（如 sinh x, cosh x）等都屬於超越函數。其實這些超越函數可以展開成無限項連加式－如泰勒級數（Taylor series）

，是冪級數，如 (1.6) 和 (1.7) 。然後逐項的導數或積分都變得容易。這方法在微積分的發展史起過很大的作用，這是題外話。

指數函數的反函數便是對數函數：

x  log ，底數是及 0 (1.18)

(33)

對數常用的底數及其主要適用領域包括：

二進制對數y(x) 2^xx(y) log₂ y lb

 

y , 計算機科學 (1.19) 自然對數 y(x) e^x  x(y)  log_ey ln y

 

^,^一般科學

(1.20) 常用對數 y(x) 10^x  x(y)  log₁₀y lg y

 

^,^工程學

(1.21) 對數標度：圖 (1.4) 看出變量的增加，對數函數的相應增長很慢，所以很多幅度大的數量，如地震強度（黎克特制，Richter scale，底數10），溶液的酸鹼程度（pH，底數10），物理學的熵（entropy, 底數e），信息論（bits, 底數2）等都採用對數標度。顯示這些信息時如果採用二維對數標度，則可容納分佈於多量級範疇的數據。

log-log plot: 倘若數據符合冪定律(1.8) ，數據在log-log plot 上會形成一條直綫，如 (1.10) 所示，直綫的斜率便是冪指數。

例如地震學的古登堡–黎克特定律（Gutenberg-Richter law）

，指出地震發生時強度不少於M級的與其地震次數（N）相互 的冪定律關係¹³：

N  10^abM, (1.22)

a 和 b 是常數。因為強度黎克特制已是指數標度（底數是10

13由德－美地震學家Beno Gutenberg (1889-1960) 與美國地震學家和物理學

家Charles Francis Richter (1900-1985) 提出。將冪定律(1.8)的y, k, x, 分別寫成為 N, 10^a, 10^M, b ，便是 (1.22)。

(34)

，即A~10^M, A是某些與地震強度相關的變量，如振幅），所以log10-log10 plot 又如圖 1.7所表示。直綫斜率是 -b。

圖1.7 智利1973年至2009年（M<7.5, ）和1900年至2009年（

M>7,）發生的地震符合古登堡－黎克特定律。詳見 http://web.ics.purdue.edu/~braile/edumod/svintro/svintro.htm.

標度不變的冪定律是本書的重要主題，我們會在以後各章遇到各樣的 log-log plots.

log-linear plot: 倘若數據符合指數函數，如(1.21)，我們則用半指數標度。例如，1965 年美國電子工程師和企業家摩爾預言¹⁴計算機集成電路的晶體管密度每兩年增加一倍，是一條冪定律，人稱摩爾定律（Moore’s law）。圖 1.8是一個log-

14 Gordon Moore (1929-).

(35)

linear plot，描繪計算機發展四十年來處理器容納的晶體管數目，即圖中沿著直綫的黑點。可見數據基本上符合摩爾定律

。

圖 1.8 摩爾定律的log-linear plot。源自 https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Wgsimon。

(36)

1.4 小結

這章首先提出的是我們週圍以至整個宇宙的現象大部份都是非綫性的。非綫性系統十分重要，既有趣味，卻較複雜。從數學的角度而言，我們先介紹多項式和冪級數的非綫性項。

雖是簡單的代數函數，那冪定律，(1.8)，非常重要，是全書的應用焦點。此外，指數函數和對數函數是超越函數中最基本

，用來解析非綫性系統的函數。與冪級數也有密切的關係。

至於理解有關生長（或衰變）率的動力問題，我們只提出最簡單的微分方程，(1.14) 及(1.16)。固然，對付複雜的非綫性系統還需要更多的超越函數和特別函數、微積分方程、與及其他手段。我們不認為須要將這些高深的數學納入本書，真有興趣的年輕讀者將可在大學課程鑽研。正所謂“知之者不如好知者，好知者不如樂之者。”¹⁵ 這本小冊子介紹幾種基本的數學工具，是要提起你們的興趣，馬上應用到理解外界的事物和現象，務求好於運用，樂於嘗試。這也是Jordan Ellenberg 鼓勵發揮的 ”The Power of Mathematical Thinking”。

那麽，從下章開始，讓我們看看怎樣利用這幾件數學工具，

去分析自然物質、生物功能、市場經濟等現象吧。

15 論語《雍也》。

(37)

第二章：變異觀察尺度與變異體形尺度

宋朝著名詞人秦觀的雀橋仙，描寫牛郎織女被時空分隔的愛情，至今仍引起不少有情人的共鳴反響。

“纎雲弄巧，飛星傳恨，銀漢迢迢暗渡。金風玉露一相逢，便勝卻人間無數。

柔情似水，佳期如夢，忍顧鵲橋歸路。兩情若是久長時，又豈在朝朝暮暮。”

為甚麽？作者先挑起人世間每年難得相會一次的感情，卻又豪邁地將時間的尺度作超世性的延長。既然織女牛郎都是神仙，長生不老，那麽一年和一日的週期會有分別嗎？

如果真是天長地久無時盡，又怎會惋惜未能朝夕相守之恨呢？

2.1 變異觀察尺度（scaling）

上述的例子，時間是變量，感情這屬性是函數。我們將量度時間的尺度改變，也等於把時間的分辨率從一天改成一年，

而保持時間無窮無限的幅度，那感情這屬性在新尺度下會有什麼變化呢？如果屬性仍然與變量成正比，那就是某程度上的尺度不變（scale invariance）。先考慮最簡單的例子：一個

L  L  L

的正立方體和一個半徑為

R

的圓球，正立方體與

圓球的體積（

V

）和表面積（

S

）都可以寫成冪定律

X

 kx^：

(38)

正立方體圓球

S

 6L²; S 4

R

²;



  2



V

 L³; V 4

3

R

³;



  3



(2.1) 如果將直尺刻度 x 放大



倍，兩者依照同樣的冪定律，見 (1.8)，

xx L



L; RR



^{ S }^²^{S, V}^^³^{V .} (2.2) 這就是圓球和正立方在變異觀察尺度上相同的對稱性，它們不同的幾何形狀只取決於冪定律的係數 k ，例如對體積而言

，正立方的 k 1，圓球的 k  4 3，而



都是3。

圖 2.1 支柱和負荷直徑的比例。

冪定律的應用–決定冪指數



：再舉個例子，圖 2.1 表示一 條支柱（橫截面直徑 d ）承受著一個圓球（直徑

D

_，密度

）。我們安排支柱的物料強度剛好抵受圓球的重量（

(39)



D

³ 6 ），不致斷裂（不考慮縱彎曲）。那麽，負荷是











D³ 6 _

  

4 ^d²_^，

^

^和

^

由選擇物材決定，因此

d

 

2 3

  

D³ D³². ^(2.3) 如果圓球直徑增倍（

D

2

D

,

d

2³^/²

d

），支柱要多粗 2.828倍。這也是老樹（枝葉體積大）的樹幹要比幼樹（枝葉少）的樹幹粗大得多的原因（圖 2.1）。也不用感歎我們不能用雙臂舉起一輛貨櫃車，而螞蟻能夠抬起等於它體重幾十倍的東西！

2.2 感覺對變異激勵尺度的冪定律

上節談的是物性變異觀察尺度的冪定律，人的感覺–例如秦觀詞裡的情感–有冪定律嗎？根據研究結果是有的。1961年史蒂文斯（S. S. Stevens）在科學雜誌發表了人感覺系統對激勵因素的冪定律¹⁶，現稱史蒂文斯定律（Stevens’ law）：

P K S  S



₀



^^, (2.4) 以上的

P

是感覺的強度，

K

是係數，

S

是激勵變量， S₀是激勵變量的閾值（threshold，強度低過 S₀不引起反應）。下面

16 S. S. Stevens (1961), “To Honor Fechner and Repeal His Law. A power function, not a log function, describes the operating characteristic of a sensory system.”, Science, 133, 80-86. S. S. Stevens (1962), “The surprising simplicity of sensory metrics.”, Am. Psychol. 17, 29-39.

(40)

表2.1列舉符合史蒂文斯定律的感覺冪指數的例子。

表2.1 人的感覺系統對激勵因素產生符合史蒂文斯定律的冪指數



。

感覺冪指數



激勵因素

光度 (0.5, 0.33) （點光源，5°角光源）眼適應黑室

聲量 (0.54, 0.60) （單耳，雙耳）

氣味 (0.55, 0.60) （咖啡味，庚烷）

振動強度 (0.6, 0.95) （250 Hz, 60 Hz) 指頭味感 (0.8, 1.3, 1.3) （糖精，蔗糖，鹽）

溫度 (1.0, 1.6) （冷，暖）手臂

手掌上壓力 1.1 皮上靜力

重量 1.45 提起砝碼

電擊 3.5 60 Hz 指頭接觸

(41)

2.3 變異體形尺度（allometry）

十八世紀英國•愛爾蘭作家兼牧師斯威夫特¹⁷（先匿名）寫的格列佛遊記（Gulliver’s Travels），是大家耳熟能詳的故事

。當格列佛在小人國（Lilliput）蘇醒時，包圍他的是無數不超過六英吋高的小人，大概是他12分之1的大小。後來到了大人國（Brobdingnag），週圍的大人都比他大12 倍。故事中連串的傳奇，儘管是作者虛構出來用以諷刺時事的手段，

其中一個屢屢出現的論題：如果人類可以生活在體形縮小至擴大（或從大到小）的尺度環境，人們內在的價值觀如誠實

、公正等仍是行為的主導嗎？抑或只賸下弱肉強食、仗大欺小的現實呢？

圖 2.2 格列佛遊記的小人國與大人國。

科學地比較生物物種的屬性（例如新陳代謝率、器官功能、

17 Jonathan Swift (1667-1745).

(42)

妊娠期等）在體形自由度（一般是體重）變異情況下的相應轉變，謂之allometry。下面先講生物的代謝率。

圖 2.3 能量的輸進和輸出動物身體。

2.4 代謝率（metabolic rate）

新陳代謝乃身體細胞所有化學作用的總和，通過食物和氧氣的輸入，產生能量（如發熱）和貯藏能量（如製造脂肪），

輸出各種生活功能，幷發放熱能，維持生命。所以 Q_metU  Q_lossW, (2.5) 其中 Q_met和 Q_loss分別為新陳代謝產生在體內和發放出體外的熱量，

U

是製成貯在體內的能量，

W

^{是作功。代謝率就是單}

位時間產生的熱能， Q_met

dt 。這裡測量的是基礎代謝率

BMR（basal metabolic rate），即是動物在靜態（但不是睡眠

）、進食休歇後的正常環境下產生的熱能。在 (2.5) 中

W  0

^而。因此，BMR 主要是動物吸收氧，將體內貯存的能量變成熱能，維持輸出體外的熱能損耗。代謝率的

(43)

常用單位是仟卡／日（kcal/day）¹⁸。一個70公斤的人的BMR 約 1,689 kal/day ~ 81瓦。

現在我們考慮不同哺乳動物它們的BMR隨著體重（ m ）變異的關係。從最基本上考慮，熱能損耗與身體的表面積（

S

^）

成正比，即

BMR  S

。假設動物的一維尺度是

R

^，那麽 S R²，而 m R³，所以

BMR  m^{2 3}. (2.6) 換言之，動物要維持的代謝率和體重的變異是非綫性的。老鼠雖小，但要吃穀物；牛馬體形大，可以靠草料生存。由於 老鼠的m必牛馬的小，(2.6) 的冪指數  2 3  1 支持老鼠需要較高質素的養料來維持它相對於比牛馬多的熱量損耗。

2.5 克萊伯定律（Kleiber’s law）

克萊伯¹⁹是第一個仔細測量不同哺乳動物BMR的農業生物學家。他設計建造專供測量動物BMR的呼吸室。1932年發表他的研究結果，認為數據不符合方程 (2.6) ，而是：

BMR m^{3 4}. (2.7)

18 kcal = 1000 cal  Cal. cal（卡路里）是物理單位。即將1 克水

在1 大氣壓下提升 1°C 所需的熱量。1 仟卡＝4184 焦耳（J, Joule）。Cal

是食物卡路里，常用於營養學或食物標定。代謝率是功率（每單位時間產生的能量 , 常用單位是瓦 ,

W = watt

^）。 1 W = 1 J/s;

1 kcal/min = 69.7 W = 0.094 hp(horsepower, 馬力)。

19 Max Kleiber (1893-1976).

(44)

之後其他專業研究者加進了不少新的BMR數據，不限於哺乳動物，還包括細菌與及培養皿裡的單細胞生物，認為數據基本上符合(2.7)。冪定律(2.7)被稱為克萊伯定律。圖2.4 是 West & Brown 編集數據描繪的一個 log-log plot 。²⁰

圖 2.4 BMR-生物體重（質量）的log-log plot。數據包括哺乳動物

（藍色）、哺乳動物的平均單細胞（綠色）和其他有機體（橙色

）。直綫（不是虛線）代表克萊伯定律（冪指數=3/4）。(West and Brown, 2004).

20 Geoffrey B. West and James H. Brown (2004), “The origin of allometric scaling laws in biology from genomes to ecosystems: towards a quantitative unifying theory of biological structure and organization”, J. Experimental Bio. 208, 1575-1592.

(45)

West & Brown 還將克萊伯定律廣義化為“1/4-冪指數體變定律”：

y  y⁰

m

a

4, (2.8)

y 不僅是BMR，可以是其他測度的生理屬性， y

₀是正規化常 數， a 是簡單整數。目前已發表的結果：y包括壽命（

a  1

^）

，生長率和心跳率（

a  1

），腦質量、動脈直徑和樹木主幹直徑（

a  3

）等。可是，克萊伯定律並不是沒有爭議的

。有學者認為部份BMR數據不服從(2.7)，可能較接近(2.6)²¹

。但無論如何，單從表面積考慮得來的2/3 冪指數，很明顯是過於簡單，把動物都看成一個沒有內臟的球體，m R³，忽略體內輸送養料途徑網絡的複雜結構。

現在我們假設身體內的的肌肉骨骼構造是決定體重， m ，的 因素。如果肌肉骨骼成圓柱形，平均半徑是 d ，而體形一維 尺度是

L

，m d²L。根據前面2.1節的推理，d L^{3 2}, 見 (2.3)，所以 m d²

d

^{2 3}  d^{8 3}，即

d  m^{3 8}. (2.9) 再者，代謝率就決定於肌肉發揮的功率 Fv 

d

²

v ， F

^是

作用力， v是速度，



是肌肉每單位橫截面積的力度。故此 BMR Fv 



d²v d²,

(2.10)

21 P.S. Dodd, D. H. Rothman, and J. S. Weitz (2001), “Re-examination of the

“3/4-law” of Metabolism”, J. theor, Biol. 209, 9-27.

(46)

因為



和 v 普遍隨著生物種類的變化不大。最後，(2.9) 與 (2.10) 合起來就得出 BMR m^{3 4}的結論，即(2.7)。

上述的推理不一定證明克萊伯定律的正確性，但相對於原來單從表面積的考慮則加了深一層的複雜性。我們須要逐步導入適當的內涵因素和優化數學模式，才可以入手研究世界上各種複雜的靜結構和動結構。

2.6 小結

本章介紹變異觀察尺度和變異體形尺度方法，探索第一章談到冪定律的冪指數。變異觀察尺度方法分析事物系統屬性隨著觀察尺度分辨率的改變而表現的通性，結論反映出系統內含的對稱性。變異體形尺度方法分析系統物種（如各種哺乳動物）某些共同屬性隨著物種的內涵自由度（如體重）的比例變異，結論反映出物種內部組織或結構的共同性。從幾個例子我們看到如果要仔細分析冪指數的意義，再不能將所有物體都假設成一些缺乏結構的幾何體（如圓球）。大自然的海岸線、山脈和狹谷的輪廓不是由純弧形合成的，網絡、腦表層和有機體薄膜不是幾何曲面，雲霧、海綿和器官不是由球粒或方格組成的三維結構。那麽，我們怎樣用最有效的數學模式去理解如此複雜的結構呢？這就是下章的主題–分形幾何。

(47)

第三章：分形幾何（fractal geometry）：包容在歐氏空間普遍而不明顯的結構

我們生活在由左右、前後、上下正交坐標代表的3維（ xyz ）空間，也就是歐幾里得空間（Euclidean space）²²。眾所周知的點、直綫、平面和球形或多面體便分別是歐氏幾何0維、1 維、2維和3維的典型結構²³。



0, 1, 2, 3



^{便是歐氏幾何的維度}

，只限整數。三角、幾何、代數是用來描算各結構元素的相互距離、方向、角度、大小等關係的數學方法，微積分用來計算這些結構的局域或者全局的性質，如斜度、弧度、面積

、體積等。雖然歐氏空間可概括為包括三維以上的空間，人們對一般物體的概念都是3維的，低於3–即2，1或0–是屬於特殊情況²⁴。如果要形容物體的動態，便加上時間作為第4 維度



x, y, z, t



，這還可易於想像出來。歐氏幾何有幾個定律，如兩條平行綫不會有交點，兩點的最近距離是直綫，也是光在真空裡走的軌跡。

22 Euclid of Alexandria (323-283 BCE), 古希臘數學家，有‘幾何之父’

之稱。

23 也稱拓撲維數。

24 我們的意識是地球上所有物體都存在於 3 維空間。如果有一個平面世

界或直綫世界，物體就分別在2 維和 1 維空間生存，這些維數稱為嵌入

維數。

(48)

圖 3.1（左）萊昂納多•達芬奇的蒙娜麗莎。圖 3.2（右）喬治•

布拉克的 The Portuguese。

歐氏幾何之外有非歐氏幾何。例如狹義相對論須採用閔可夫斯基空間（Minkowski space）²⁵，任何事物的時空狀態都是相對的，由閔可夫斯基空間4維時空幾何決定。但這時空間仍是‘平’的，光信息還是沿直綫進行。但若處於強大的重力場下，例如天體裡比太陽系重無數倍的星雲，根據愛因斯坦的廣義相對論，閔可夫斯基空間與幾何則變成彎

25 Hermann Minkowski (1864-1909), 德國數學家。曾是愛因斯坦的老師。

他開發幾何數論研究。1905 年愛因斯坦發表狹義相對論，閔可夫斯基利用他的時空間幾何詮釋狹義相對論的結果。起初愛因斯坦不以為然，後來到他研究廣義相對論時領會到閔可夫斯基幾何是很重要的數學工具。

(49)

曲，光循著測地線（geodesics）–不一定是直綫–滑行，甚麽是平行線更不好說了。最極端的是在黑洞（black hole）

的附近，洞裡的重力場強得不可思議，連光也只能進而不能出。不幸乘坐太空船的遊客會感受到無比巨大的潮汐張力，將所有東西扭歪而隨曲面勢阱被吸進黑洞。

3.1 怎樣審察日常物體包容在歐氏空間的變異尺度結構

我們幸福地生活於3維的歐氏空間，不用擔心走進貫通時光隧道的太空船²⁶或遇到外星群的超級重力場。但是，單純歐氏幾何的結構元素往往難以表徵週圍環境。且看藝術家追求人物美感的例子。圖3.1的油畫是萊昂納多•達芬奇²⁷的蒙娜麗莎（Mona Lisa）人像。首先，媒體是一幅2維的畫布，通過傳統的透視法來表現3維的視野。藝術家從基本幾何形式 –如球體和柱體等–而脫穎到對肖像的頭、胸肩、臂和手各部份的連鎖美態描繪。但在構圖上則依賴一個等腰三角形為中心佈局，因為藝術家知道我們的注視力較易於集中到常規的幾何形狀。蒙娜麗莎媚人的眼神與微笑，卻用幾何的曲線為表達元素，這與背景裡彎曲的小徑和河道（虛線）相互對應。除此之外，無論你細看肖像的任一輪廓，都彷彿籠罩著

26 當然，一切都是相對的，地球的軌道運行速度是每秒 29.78 公里，微

觀世界粒子運動需要狹義相對論闡釋。

27 Leonardo da Vinci (1452-1519)，歐洲文藝復興高峰期意大利的藝術家、數學家、工程師和博學家。

(50)

一層如煙若霧的非歐氏幾何元素，這就是萊昂納多擅長的‘

sfumato’技巧。圖 3.2 是喬治•布拉克²⁸的 The Portuguese

，另一題目是‘人與吉他’（Man with a Guitar）。這幅現世於蒙娜麗莎之後四個世紀（1911年）的畫與前者截然不同，

藝術家布拉克和畢加索²⁹是廿世紀初立體主義（Cubism）畫派的始創者。這幅畫是中期‘解析立體主義’的代表作。藝術家好像與我們玩遊戲，畫中沒有分明的前景和背景，而且畫家好像將原來的畫面打碎，我們看到的作品便是他根據個人心思把碎片堆砌出來的結果，讓我們去辨認那些屬於人的部份或屬於吉他的部份與及它們彼此的相互效應。面對的是各樣2維和3維的幾何元素，這片可能是演奏者的臉，那塊彷彿是吉他的弦。如此如此，不要求觀眾有一致的答案。而且

，每片幾何元素都含著次元素，柳暗花明，別有洞天似的。

幾何形狀和結構在藝術雕塑與建築的表現更加明顯。例如法國巴黎艾菲爾鐵塔³⁰（見圖 3.3），它包含的拱形、三角形

、平台架構等幾何元素與及其對稱性都很鮮明。但細看鐵塔任何一部份（見圖 3.3右）有以下特徵：這些結構都不是實心的，其實裡面幾何元素組合密度不高。此外，大型尺度結構都包含著另一層的幾何結構，如此類推。

28 George Braque (1882-1963)，法國藝術家。

29 Pablo Picasso (1881-1973)，西班牙藝術家。

30 Eiffle Tower，由居斯塔夫•埃菲爾（Gustave Eiffel, 1832-1923）設

計，與1889 年的世界博覽會建成啟幕。

(51)

圖 3.3 巴黎艾菲爾鐵塔。

我們之所以先從藝術的角度看幾何元素在3維歐氏空間與美感的表徵關係，因為藝術有漫長的歷史，藝術家富於想像力和原創力，部份藝術家也是科學家或工程師，他們的作品有超時代的意義。今天察看自然環境，如圖3.4所示的煙霧、樹皮、花莖甘藍、貝殼、山脈、波浪等，都有類似圖3.2-3.3的從大到小的分層結構，每層都不像幾何元素那麽光滑，密度那麽均勻。

(52)

圖 3.4 自然界宏觀景物：煙霧、樹皮、花莖甘藍、貝殼、

山脈、波浪。

最後，讓我們從物理的角度考慮微觀（microscopic）世界。

我們很可能由於好奇或其他原因而接觸到元素的週期表。稍留心便注意到每元素均有一個晶體結構標記。即是在絕對零度（0K, -273°C）熱力學平衡的條件下，該元素的原子都排列成標記的3維晶體結構，是完美、長程序的歐氏幾何晶格結構³¹。只要是達到適當低溫和熱力學平衡，晶體化包括所有的化合物，這是能斯特定理（Nernst’s theorem）。可是，

在地球大氣的環境和室溫下，熱能引起的原子振動，干預著晶體的長程序。最重要的是大部份的物質都不是晶體狀態。

如液體和氣體，原子和分子不斷地發生無規碰撞（或稱隨機碰撞），叫布朗運動（Brownian motion）³²，數學上一般用

31 唯一的例外的是氦，在絕對零度下晶體化仍受拒於量子零能量效應，

但加壓（約66 大氣壓）氦便變成晶體。

32 由蘇格蘭植物學家 Robert Brown (1773-1858) 提出。

(53)

無規行走的模式去分析（見第6.4節）。固體也不一定是晶體態，例如常見的玻璃，缺乏長程序的原子排列。化合物的原子或分子被化學鍵連鎖起來，一般比較穩定，除非受到熱力、電磁、輻射或外來化學劑作用而被分解。另外是帶電的原子或分子（離子）之間的相互電磁效應，或處於滲透性壓力影響下的變化，是較柔弱的結合／分離作用。這兩者對維持生命功能都息息雙關，例如養份和藥劑輸送、神經信息的轉遞、蛋白、酵素和激素的化學作用等等。再者，大部份功能材料都不是純化學合成物，而是要經過適當的摻雜程序才能發揮功效。例如電子工業不在於生產純半導體，而是要掌握精確地摻雜有用電導元素的半導體技術，然後再鉗製成微型集成電路結構的晶體管。所以不難想像，在微觀世界的硬體和軟物質，雖然被容納於歐氏空間，但它們的結構是非常複雜，不能用簡單的歐氏幾何元素來表徵。圖3.5 描述將一隻名叫孔雀蝴蝶的翅膀逐步放大映像。說明從宏觀

（macroscopic）到微觀世界的複雜結構。其中一些規律性的微結構形成光刪（grating），干涉光波以衍射出鮮明的特別顏色。

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圖 3.5 孔雀蝴蝶翅膀從宏觀 (a-b) 到細觀（mesoscopic）(c) 到微觀（d-g）的內部結構。觀察方法：(a-b) 肉眼，(c) 通過光學顯微鏡，(d-g) 掃描電子顯微鏡（SEM）分別由50, 200, 1000 到5000倍放大，白色橫線分別代表 500, 200, 20, 和5微米的長度。

(https://en.wikipedia.org/wiki/File:Butterfly_magnification_serie s_collage.jpg)

面對各種不同層次的複雜結構及其隨著尺度變異的變化，意味著需要一種新的幾何概念和維數定義來分析其中的對稱性和比例規律。這種新數學工具就是分形幾何。

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3.2 分形幾何的特色和與歐氏幾何的關係

分形（fractal）這個名詞是近代美•法籍數學家本華•曼德博（Benoit B. Mandelbrot, 1924-2010）在1975年發表的文章內命名的。字源來自拉丁文 ‘fractus’，是破碎的意思。他當時寫下一個概念性（或物理性）的定義³³。分形是：

‘一個粗糙或碎屑般的幾何形狀，可以分割成若干部份，而每部份都（至少）是原來形狀的一個縮影。’

以上的定義趨向於物理性質的描寫，數學的定義過於抽像和拘謹，不適合在本書討論。我們作以下的補充解釋。

1 自相似性（self-similarity）：我們可以從圖3.4中找到例子

。如樹皮，表面粗糙，有裂痕。若細看分出來小片的表面，

還是粗糙和佈滿小裂痕。一縷煙和半縷煙的形態性質基本是一樣。甘藍的幹•分枝、貝殼的螺旋•空腔都是其中每分體的重複結構，山脈的支延與水波的紋路也是一樣。圖3.5 孔雀羽毛從大到小的羽枝元素也有同樣的性質。這叫自相似性

34。

2 多尺度性（multiscale）：上述的定義只指出空間尺度，

我們一定要加上時間的尺度，這樣分形幾何便包括靜態和動態的現象。分形幾何與歐氏幾何不是互斥的。分形物體或進

33 Mandelbrot BB (1975) Les objets fractals, forme, hasard et dimension. Flammarion, Paris.

34 注意，分形必備自相似性；但有自相似性的結構不一定是分形。例如

直綫，它任何一截都自相似，但直綫不是分形。

(56)

程包容在歐氏時空間裡面。它們最大的分別是歐氏幾何對事物的描述只用一個尺度，分形幾何包涵了多尺度的特性，即空間和時間尺度的自相似性。

3 分形維數（fractal dimension，d_f）：歐氏時空間的維數只限於正整數，其典型元素，即（點、直線、平面、方體，

時空）。分別由拓撲維素， d_t（topological dimension），即 (0, 1, 2, 3, 4) 來代表。當整個分形被容納到相對的歐氏幾何元素內，這元素的維素稱為嵌入維數（embedding dimension

），用 d_e來代表。d_f與 d_t之間的差異是d_f不限於整數。這個理念主要來自分形在時空間表面的粗糙性和內部的空透性

（或不規則性）。

4 標度（或尺度變異）定律：導入分形幾何的數學概念使我們更有利地分析自然界的複雜現象，第一章提出的標度定律（見 (1.9)）仍然有效。所以，我們已經掌握分析分形結構的基本數學工具。標度定律說明，分形的特徵（例如長度

、時間週期等）隨著量度的時空尺度（或分辨率）的變異而表現比例性的變化。

這些屬性將會在以下各章分別詳述。現先提出一個要點：數學分形的自相似是無窮無盡的，但是現實的分形現象不可能無限地放大或縮小下去，總會有一個極限，超越此極限之後自相似性便不再存在了。科學地測量和了解此極限與及分形的維數在各學科和行業的角色有重要的實用價值，也是第七章的討論重點。

宇宙的尺度變異定律