第二章 ：變異觀察尺度與變異體形尺度
3.1 怎樣審察日常物體包容在歐氏空間的變異尺度結構
曲，光循著測地線（geodesics）–不一定是直綫–滑行，甚 麽是平行線更不好說了。最極端的是在黑洞（black hole）
的附近，洞裡的重力場強得不可思議，連光也只能進而不 能出。不幸乘坐太空船的遊客會感受到無比巨大的潮汐張 力，將所有東西扭歪而隨曲面勢阱被吸進黑洞。
3.1 怎樣審察日常物體包容在歐氏空間的變異尺度
一層如煙若霧的非歐氏幾何元素，這就是萊昂納多擅長的‘
sfumato’技巧。圖 3.2 是喬治•布拉克28的 The Portuguese
，另一題目是‘人與吉他’（Man with a Guitar）。這幅現世 於蒙娜麗莎之後四個世紀（1911年）的畫與前者截然不同，
藝術家布拉克和畢加索29是廿世紀初立體主義（Cubism）畫 派的始創者。這幅畫是中期‘解析立體主義’的代表作。藝 術家好像與我們玩遊戲，畫中沒有分明的前景和背景，而且 畫家好像將原來的畫面打碎，我們看到的作品便是他根據個 人心思把碎片堆砌出來的結果，讓我們去辨認那些屬於人的 部份或屬於吉他的部份與及它們彼此的相互效應。面對的是 各樣2維和3維的幾何元素，這片可能是演奏者的臉，那塊彷 彿是吉他的弦。如此如此，不要求觀眾有一致的答案。而且
，每片幾何元素都含著次元素，柳暗花明，別有洞天似的。
幾何形狀和結構在藝術雕塑與建築的表現更加明顯。例如法 國巴黎艾菲爾鐵塔30（見圖 3.3），它包含的拱形、三角形
、平台架構等幾何元素與及其對稱性都很鮮明。但細看鐵塔 任何一部份（見圖 3.3右）有以下特徵：這些結構都不是實 心的，其實裡面幾何元素組合密度不高。此外，大型尺度結 構都包含著另一層的幾何結構，如此類推。
28 George Braque (1882-1963)， 法國藝術家。
29 Pablo Picasso (1881-1973)，西班牙藝術家。
30 Eiffle Tower，由居斯塔夫•埃菲爾（Gustave Eiffel, 1832-1923）設
計，與1889 年的世界博覽會建成啟幕。
圖 3.3 巴黎艾菲爾鐵塔。
我們之所以先從藝術的角度看幾何元素在3維歐氏空間與美 感的表徵關係，因為藝術有漫長的歷史，藝術家富於想像力 和原創力，部份藝術家也是科學家或工程師，他們的作品有 超時代的意義。今天察看自然環境，如圖3.4所示的煙霧、樹 皮、花莖甘藍、貝殼、山脈、波浪等，都有類似圖3.2-3.3的 從大到小的分層結構，每層都不像幾何元素那麽光滑，密度 那麽均勻。
圖 3.4 自然界宏觀景物：煙霧、樹皮、花莖甘藍、貝殼、
山脈、波浪。
最後，讓我們從物理的角度考慮微觀（microscopic）世界。
我們很可能由於好奇或其他原因而接觸到元素的週期表。稍 留心便注意到每元素均有一個晶體結構標記。即是在絕對零 度（0K, -273°C）熱力學平衡的條件下，該元素的原子都排 列成標記的3維晶體結構，是完美、長程序的歐氏幾何晶格 結構31。只要是達到適當低溫和熱力學平衡，晶體化包括所 有的化合物，這是能斯特定理（Nernst’s theorem）。可是，
在地球大氣的環境和室溫下，熱能引起的原子振動，干預著 晶體的長程序。最重要的是大部份的物質都不是晶體狀態。
如液體和氣體，原子和分子不斷地發生無規碰撞（或稱隨機 碰撞），叫布朗運動（Brownian motion）32， 數學上一般用
31 唯一的例外的是氦，在絕對零度下晶體化仍受拒於量子零能量效應，
但加壓（約66 大氣壓）氦便變成晶體。
32 由蘇格蘭植物學家 Robert Brown (1773-1858) 提出。
無規行走的模式去分析（見第6.4節）。固體也不一定是晶體 態，例如常見的玻璃，缺乏長程序的原子排列。 化合物的 原子或分子被化學鍵連鎖起來，一般比較穩定，除非受到熱 力、電磁、輻射或外來化學劑作用而被分解。另外是帶電的 原子或分子（離子）之間的相互電磁效應，或處於滲透性壓 力影響下的變化，是較柔弱的結合／分離作用。這兩者對維 持生命功能都息息雙關，例如養份和藥劑輸送、神經信息的 轉遞、蛋白、酵素和激素的化學作用等等。再者，大部份功 能材料都不是純化學合成物，而是要經過適當的摻雜程序才 能發揮功效。例如電子工業不在於生產純半導體，而是要掌 握精確地摻雜有用電導元素的半導體技術，然後再鉗製成微 型集成電路結構的晶體管。所以不難想像，在微觀世界的硬 體和軟物質，雖然被容納於歐氏空間，但它們的結構是非常 複雜，不能用簡單的歐氏幾何元素來表徵。圖3.5 描述將一 隻 名 叫 孔 雀 蝴 蝶 的 翅 膀 逐 步 放 大 映 像 。 說 明 從 宏 觀
（macroscopic）到微觀世界的複雜結構。其中一些規律性的 微結構形成光刪（grating），干涉光波以衍射出鮮明的特別 顏色。
圖 3.5 孔雀蝴蝶翅膀從宏觀 (a-b) 到細觀（mesoscopic）(c) 到微觀（d-g）的內部結構。觀察方法：(a-b) 肉眼，(c) 通 過光學顯微鏡，(d-g) 掃描電子顯微鏡（SEM）分別由50, 200, 1000 到5000倍放大，白色橫線分別代表 500, 200, 20, 和5微米的長度。
(https://en.wikipedia.org/wiki/File:Butterfly_magnification_serie s_collage.jpg)
面對各種不同層次的複雜結構及其隨著尺度變異的變化，意 味著需要一種新的幾何概念和維數定義來分析其中的對稱性 和比例規律。這種新數學工具就是分形幾何。