崩塌（avalanche）–能量猛烈釋放現象

能量在非綫性過程從集中、遞升、飽和而抵達臨界，以至最 終釋放時爆發般的行為，這就是崩塌。我們希望通過數學分 析可以估計能量強度增長與釋放隨時間變化（功率）和崩塌 的次數（頻率）。我們將看到這些變量呈現冪定律的變化，

而且這些規律性的結果不限於雪崩和泥沙傾塌，還可以應用

在動植物的漂移、太陽耀斑和宇宙綫的引發、核作用連鎖反 應、人口增長、市場交易起落等。

首先，能源何來？宇宙的能源體系有多個層次，從核子天體 物理（nuclear astrophysics）的核效應到太陽系、到地球大氣 層和生物圈的各種物理、化學作用和生物的新陳代謝。。。

在日常局部環境裡，能源的演化往往是綫性的，例如流進發 電站的水量與發電量成正比。但在多元化的大環境，例如氣 象狀態或全球經濟，外界能源輸入都是非綫性和無法預知的

（見第4.6節蝴蝶效應）。所以從數學出發，我們不妨假設非 綫性能量提升是根據指數函數生長，見方程(1.15)，

W t  

^{ W}0exp

t

_G







, 0 t , (6.25)

W

₀是閾能，_G是量度生長時間（t）的常數，直至

t  

， W

  

^{ W}S是飽和能量。 W_P W_S  W₀ 便是最高的能量釋放 值。

接著的是能量飽和以至的耗散，這是屬於自我組織的臨界現 象（見第5.2節）。沙堆便是一個典型例子，讓散沙不停地墜 落於一個固定位置會造成沙堆，形成像圓錐狀的沙堆逐漸地 穩定性的增大，圓錐的角度是34-37°不等（視乎沙粒的均勻 度、粿粒度、含濕度等），直至沙堆斜度的臨界點，不穩定 狀態觸發崩塌，這些崩塌的大小和發生頻率與墜沙的速度無 關，即飽和時間–



的數值–是無序的。所以我們以無序指 數函數代表



^{的分佈概率：}

N

  

^{ N0}

t_S exp 



t_S







, (6.26)

N

₀是崩塌的總次數， t_S是量度



的時間常數。

從方程(6.25)和(6.26)可以計算出能量貯升和耗散的時間變化

，見圖6.16。崩塌的發生次數和最高能量釋功率（W_P）的關 係是：

N W  

_P ^

^N

⁰



^P1



W

₀

W

_P

W

₀ 1









_P

, (6.27) 其中



_P  1



_G t_S







. (6.28) 可見崩塌的次數相對於最高功率釋放值是取決於冪定律，其 中的指數包含能量生長時間常數和飽和時間常數的比例。造 成低冪指數_P即由於生長常數小加上飽和時間長，引致功率 貯值高，冪定律說明能達到多次數的大幅釋放崩塌。

圖 6.16 能源在指數函數生長以至崩塌式的釋放，根據三個不同

_P數值的演化。(a) 功率的貯升和釋放。(b) 產生崩塌的次數與功 率最高釋放值的冪定律。見 (Aschwanden 2011)⁷⁷ （

http://www.openacademicpress.de/ojs2/index.php/socs）

其他參數還有崩塌過程的時間（

T

），釋放能量的總值（

E

 

W t  

^{ W}0dt

0

T



^{）。崩塌次數與}

^T

^和

^E

^{有類似的冪定律}

。各參數的彼此關係是：E W

 

_P ^{2, T W}P, E T²。 從上述的例子可以看出，一個十分複雜的崩塌現象，通過簡 單的非綫性假設前提，如方程(6.25)和(6.26)，便找到系統自 我組織的臨界流程，而最重要的是聯繫各參數的冪定律。由 於冪定律的普適性，這方法和答案可以轉用於其他領域的問 題。只是更換適當的參數，或用更符合問題的假設，例如用 邏輯斯諦方程代替方程(6.25)或通過適合度檢測尋找合乎實 驗數據的參數等等，從而預估系統的進化規律。

77 Markus Aschwanden (2011), “Theoretical models of SOC systems”, in

“Self-Organized Criticality Systems”, Ed. M. Aschwanden, Open Academic Press.

在文檔中 宇宙的尺度變異定律 (頁 145-149)