第二章 ：變異觀察尺度與變異體形尺度
2.6 小結
因為
和 v 普遍隨著生物種類的變化不大。最後，(2.9) 與 (2.10) 合起來就得出 BMR m3 4的結論，即(2.7)。上述的推理不一定證明克萊伯定律的正確性，但相對於原來 單從表面積的考慮則加了深一層的複雜性。我們須要逐步導 入適當的內涵因素和優化數學模式，才可以入手研究世界上 各種複雜的靜結構和動結構。
第三章：分形幾何（fractal geometry）：包 容在歐氏空間普遍而不明顯的結構
我們生活在由左右、前後、上下正交坐標代表的3維（ xyz ） 空間，也就是歐幾里得空間（Euclidean space）22。眾所周知 的點、直綫、平面和球形或多面體便分別是歐氏幾何0維、1 維、2維和3維的典型結構23。
0, 1, 2, 3
便是歐氏幾何的維度，只限整數。三角、幾何、代數是用來描算各結構元素的相 互距離、方向、角度、大小等關係的數學方法，微積分用來 計算這些結構的局域或者全局的性質，如斜度、弧度、面積
、體積等。雖然歐氏空間可概括為包括三維以上的空間，人 們對一般物體的概念都是3維的，低於3–即2，1或0–是屬 於特殊情況24。如果要形容物體的動態，便加上時間作為第4 維度
x, y, z, t
，這還可易於想像出來。歐氏幾何有幾個定 律，如兩條平行綫不會有交點，兩點的最近距離是直綫，也 是光在真空裡走的軌跡。
22 Euclid of Alexandria (323-283 BCE), 古希臘數學家，有‘幾何之父’
之稱。
23 也稱拓撲維數。
24 我們的意識是地球上所有物體都存在於 3 維空間。如果有一個平面世
界或直綫世界，物體就分別在2 維和 1 維空間生存，這些維數稱為嵌入
維數。
圖 3.1（左）萊昂納多•達芬奇的蒙娜麗莎。圖 3.2（右）喬治•
布拉克的 The Portuguese。
歐氏幾何之外有非歐氏幾何。例如狹義相對論須採用閔可 夫斯基空間（Minkowski space）25，任何事物的時空狀態都 是相對的，由閔可夫斯基空間4維時空幾何決定。但這時空 間仍是‘平’的， 光信息還是沿直綫進行。但若處於強大 的重力場下，例如天體裡比太陽系重無數倍的星雲，根據 愛因斯坦的廣義相對論，閔可夫斯基空間與幾何則變成彎
25 Hermann Minkowski (1864-1909), 德國數學家。曾是愛因斯坦的老師。
他開發幾何數論研究。1905 年愛因斯坦發表狹義相對論，閔可夫斯基利 用他的時空間幾何詮釋狹義相對論的結果。起初愛因斯坦不以為然，後 來到他研究廣義相對論時領會到閔可夫斯基幾何是很重要的數學工具。
曲，光循著測地線（geodesics）–不一定是直綫–滑行，甚 麽是平行線更不好說了。最極端的是在黑洞（black hole）
的附近，洞裡的重力場強得不可思議，連光也只能進而不 能出。不幸乘坐太空船的遊客會感受到無比巨大的潮汐張 力，將所有東西扭歪而隨曲面勢阱被吸進黑洞。