第六章 ：從數學模式到跨學科研究
6.4 擴散–布朗運動及無規行走
壓縮率／
磁化率 7/4 1 1.239±0.002 1.33±0.15 關聯函數 1/4 0 0.017±0.015 0.07±0.04 相干長度 1 1/2 0.625±0.006 0.69±0.02
Haken用協同學理念，例如勢函數和序參數在臨界前後的關 係 (見圖5.2)，認定一組主方程（master equations），可以廣 義地應用到不同的物理系統，例如激光、超導、鐵磁等。再 進一步從跨學科的步驟入手，他認為其他科學系統也有臨界 的場合，可以訂立相對的序參數，然後採用協同學方法進行 分析處理。這些序參數可能是分子數（在化學或生物學方面
）、跳動率（神經網絡）、動植物種類數（生態學）、投資 回報（市場經濟）、持意見人口（社會學）等等。
動方程：
dv
v
dt
W , (6.8) 其中 m / 6
a
~ 2107s 是花粉的平均振動週期，最 後那項代表在水裡遇到的無規性漲落
W ，
是漲落系數。我們感興趣的是無常運動的平均值 ... 和漸近值，例如
, , 0 0 0
0
e
t e
tv x x v v
v
(6.9)
v0和 x0分別是速度和位置的初始值。當觀察時間大大超過振 動週期，t ,
v 0。也可以證明
2 . 3 2
3 2 2 2
0 2
2
e
t
v
v (6.10)
所以，當t ≫
，花粉忘記初始速度，加上熱力學的動能與 溫度（T
）的關係則獲得v2 3
22 3kB
T
m
. (6.11) 因此，從宏觀變量–水溫和黏度，我們估計到微觀的花粉平 均屬性， v2 。再進一步可證明花粉位移變量的差分與時間 成正比，即, πε 2
2 )
( 2 02 2
2
k T t Dt
t t
R
B v x
x (6.12)
其中
D
是擴散係數（diffusion coefficient）69 ，它的量綱是面 積
時間。
a T D k
B
2 . (6.13) 這是布朗運動的一個重要屬性。在常溫下（
~ 300K
）花粉的方均根速度（root-mean-square velocity）是~ 2103m s，
而水分子的方均根速度為~ 600 m s。而且水分子之間距離很 短~ 31010m。這高密度的媒體是布朗運動的重要環節，讓 浮游粒子受到高頻率的媒體分子碰撞。還有，粒子重量對布 朗運動有決定性的影響，倘若粒子的密度大於水，粒子會因 重力而下沈，到達容器底部會反彈，如果粒子重量未超過一 個所謂膠體極限（colloidal limit），粒子會再被分子碰撞作 用而浮游，不然便會澱積，布朗運動則告終止。換言之，形 成布朗運動的先決條件是容許忽略粒子的慣性質量。
此外，擴散系數和溶液黏度成反比，和溫度成正比。擴散係 數和粒子的大小成反比，這對生物藥劑學很重要。例如，一 般藥劑的分子較小，在常溫水裡 D105cm2/s，大概需要 17分鐘擴散1毫米的距離。但一個蛋白質分子，例如胰島素
s / cm 107 2
D ，需要1700分鐘擴散1毫米。
69 方程 6.12 由愛因斯坦於 1905 年提出，又成為愛因斯坦公式
（Einstein’s formula）。
上述方程(6.10)至(6.13)利用擴散效應的重要條件，即粒子擴 散運動的時間尺度大大長於粒子與媒體分子碰撞的時間，t ≫
。這與第6.3節的臨界現象相反，所以正常擴散發生在 系統接近熱力平衡階段，遠離臨界區的自我組織以致相變行 為。無規行走（random walk）
無規行走是形容理想布朗運動的數學工具。行走者從時間和 地點源頭開始在一維、二維或三維的空間行走，這裡取其簡 單用一維空間描述。假設行走者在t那一刻走到x t
，他無規地走下一步需時
，距離是l t
，用以下方程表示：x t
x t
l t
. (6.14) 無規即所有步伐都是獨立（沒有記憶）和長短一致的分佈，如果步數 ，便是正態分佈。 如果行走了
N
步後到達 x t
，x t
l t
l t 2
... l
l 0
，行走者的平均漂移距離是擴散問題的重要變量。
x t l
i i
N N l ,
(6.15)因為第
i
步的位置可以寫成li l i 1
; l0 0. 行走者位置 的差分是
2,1 1
2 t xt 2 ll l l N
x
N
i N
j
j i j
i
(6.16)
其中 2
l
2 l
2. (6.17) 擴散是 t ≫
的現象，即 N t ，所以擴散系數D
和 位置差分的關係是
.2 ,
2 2
2 2
x t Dt D t
x
(6.18)這結果與方程(6.12)是一致的。
圖 6.8 擴散和恆速溜走方均根位移的比較。
短時間（t 2D v2）近距離的擴散比恆速溜走快。
圖 6.8 比較擴散與恆速溜走（x
vt
，例如對流）的移動效 率。可見擴散的移動效率很低，因為 70。但在很短距 離的環境或 t 2D v2，擴散卻比恆速溜走快。這屬性對生 物轉遞或交換溶質有很大意義，如果只限於細胞之內或通過70例如，暖化一個20 立方米的房間單靠擴散需時約 10 小時，但對流只
需約5 分鐘。
細胞膜與貼鄰的毛細管，擴散十分有效，但如要抵達其他器 官 ， 擴 散 則 效 率 太 低 ， 非 依 賴 體 內 循 環 系 統 用 對 流 （ convection）的方式協助轉遞不可。另一情況是媒體的特殊構 造，如由大分子交叉耦合造成的凝膠，嚴重阻止對流作用，
擴散成為重要的功能。
擴散與分形
首先從代表理想化擴散的無規行走入手，圖6.9(a) 表示無規 行走在二維空間（平面）的軌跡， 如果將空間尺度放大 k 倍
（圖中 k 4 ），軌跡的無規統計性保持不變（見圖6.9(b)）
，因為在放大的尺度下可以看到粒子被媒體分子碰撞更微小 的軌跡。同理，從方程(6.12)，即R(t) 2Dt，如果將時間 尺度縮小k2倍無規統計性也是一樣。所以擴散作用在時空上 具有自似性，也就是屬於分形幾何，可以用分析分形的方法 處 理 。 解 釋 擴 散 動 力 微 觀 行 為 的 數 學 方 法 有 擴 散 方 程 （ diffusion equation）或菲克定律（Fick’s law）71和朗之萬方程
72等 。分析布朗運動的一維朗之萬方程來自方程(6.8)：
dx
dt
t
, (6.19)
是摩擦力系數， 無序行走的漲落力以正態分佈為代表的71 解釋宏觀擴散行為的數學方法首先由德國生理學家 Adolf Eugen Fick
(1829-1901)研究。他早期學習數學和物理，後來轉唸醫學。與菲克第二 定律直接關聯的是擴散方程，一維的微分方程是：
t D2
x2，
是粒子在媒體的濃度，
D
是（宏觀）擴散系數。72 Langevin equation，由法國物理學家保羅•朗之萬（Paul Langevin, 1872-1946）於 1908 年提出。
t ，
是常數。這正態分佈的平均值是0，
t 0； 漲落力各自獨立，沒有關聯，即如t t，
t
t 0，否則
t
t 1。圖 6.9 無規行走運動在時空尺度變異的自似性。從 (a) 到 (b)空 間分辨率增加4倍，從 (b) 到 (a) 時間分辨率減少16倍。
我們一直用粒子浮游在媒體裡的布朗運動和無規行走來理解 擴散，粒子（如花粉）比媒體分子（如水）大很多。但常見 的擴散往往是兩種流體的互相溶混，如一滴墨在水裡擴散，
而墨分子和水分子大小差不多。其實，這兩者都源自分子間 的高頻、無定向、無序和無記憶碰撞，同出一轍。圖 6.10(a) 描述兩種液體在低溫（ T T0）下不能溶混，如麥芽糖在冰 水中，它們的界面是平滑的（除卻各自的密度漲落）。但當 溫度高過 T0時，擴散開始。它的縱切面交界的輪廓呈現分形 結構，在不同時間，如圖 6.10(b) 和 (c)，界面輪廓有自似 性。
從無規行走到擴散界面形成的分形幾何都是十分鬆透的結構
，所以擴散的分形維數都低於系統的嵌入維數（見第3.2節）
。三維擴散界面的分形維數要視乎粒子的微觀結構，如粒子
硬度或其相互作用等，一般 df 2.5 至7 4 。如果將嵌入維 數廣義化至 de 3，理論證明df de1。
圖 6.10 兩種液體從低溫無擴散 (a) 到
T
T0擴散展開後，(b)和 (c)，界面的自似性和分形結構。擴散與生長
明顯地，擴散涉及微粒在媒體空間的移動，當然與生長有 關。這種生長是隨機性的，跟第1.2節的確定性生長不一樣
。 我 們 關 注 的 名 叫 擴 散 置 限 聚 集 （diffusion-limited aggregation）73。其生長過程是從一粒種子開始，在遠處一 漂游的粒子通過擴散作用以概率 p的機會黏附到種子上，變 成聚集體的一部份。然後再產生另一粒子，它擴散黏附到 聚集體任何一粒子的概率仍然是 p，如此下去造成聚集體的 生長。這生長方式的重要因素是漂游粒子的數目不多，不
73 由美國物理學家 T. A. Witten & L. M. Sander 於 1981 年提出。
致互相干擾造成凝聚。只要粒子間吸引的關聯函數一致，
聚集體的分形維數都一樣。擴散置限聚集的分形維數一般 介乎1.3-2.0 之間。圖6.11 (a) 與 (b) 所示的是從種子（N=1
）到N = 2, 10和 N = 105粒子的生長過程。可見形成出樹枝 形狀（dendrite）的結構，它本身有自似性，所以屬於分形
。這樹枝形狀與自然界一些現象吻合。例如在電鍍過程中
，電解液裡的金屬離子通過擴散黏附到電極， 生長成如圖 6.11(c) 所示的聚集。又如將種子穩定在容器的底面（d），
生 長 成 有 方 向 性 的 樹 枝 （e ） ， 這 與 絕 緣 介 質 擊 穿 （ dielectric breakdown）放電（f）或神經細胞的樹枝狀末端相 似（g）。 此外擴散置限聚集還可以應用來闡述其他的生 長現象。
圖 6.11 用無規行走模擬擴散置限聚集， 從單粒種子開始，被第 二粒、第10粒黏上（a），直至於10,000粒子聚集成樹枝形結構，
比較電解液中金屬離子通過擴散置限聚集生長成的結構（c）。
（d, e）方向的擴散置限生長（計算機模擬），和（實驗觀察得 的）介質擊穿的放電（f）和神經細胞的樹枝狀末端（g）比較。
異常擴散（anomalous diffusion）–Lévy flight
以無序行走為代表的理想化擴散建立在下列三個先決條件：
1. 位移都各自獨立，每次與前者無關。
2. 每位移的概率分佈函數一致，所以運動過程保持定態 性（stationary）。
3. 位移的概率分佈函數的平均值和方差是有限的，例如 正態分佈。
從而，理想化擴散服從菲克定律，和無序行走的冪定律（見 方程(6.12)或(6.18)）：
R2(t) x2 t. (6.20) 同時，無序行走產生分形幾何結構，不同的概率函數引致各 種普適性的分形維數。
但自然界和社會常見的運動，如鳥群或魚群的移動路線、人 類狩獵和採集的方式、甚至捉迷藏等，都很明顯地不服從上 述條件， 這統然列為異常擴散現象（其實並不異常，只是 非理想化而已）。對如此異常擴散作初步了解，我們可以將 上述結果廣義化，例如將方程(6.20)寫成
x
2 t, (6.21)
1則回復(6.20)。如果位移愈來愈短，甚至停止，
1， 屬於次擴散（subdiffusion）；如果位移加長，或保持同一方 向，
1，屬於超擴散（superdiffusion）。在各種異常擴散模式中特別著名的是Lévy flight（又稱 Lévy walk或Lévy jump）74。它也是無序行走的一種（條件1），
但違反條件2和3。Lévy flight 的軌跡脫離定態性，如圖6.12 表示，其運動先是多次的短距離位移，接著特發性長距離跳 動，隔著長距離跳動中間都經過若干次短距離位移，和軍事 突襲行動類似。考慮朗之萬方程(6.19)的漲落力時， Lévy flight 採用另一分佈函數，其中包括冪定律 ：
P
Lévy x,
~a
x
1, 0 2 (6.22) 代替無序行走的正態分佈,
被成為Lévy指數。注意當 x 的 數值很大時這冪定律拖著一條重尾巴（見方程(6.2)），和正 態分佈PG
x
0（見方程(6.1)，服從條件3）截然不同。圖 6.12 是根據方程(6.22)以
1.5模擬Lévy flight 1000個 位移的結果。仍然是分形結構，其分形維數和
有直接關係，與布朗運動無序行走的分形維數略有不同。 如果 2
，Lévy flight會回復到理想化擴散行為。一般而言，Lévy flight（ 2 ）的擴散效率高，屬於超擴散。因此，Lévy flight模式特別受生態學重視。
74 由法國數學家 Paul Lévy (1886-1971)提出。
圖 6.12 Lévy flight 的典型軌跡。這與的無序行走（圖6.9）的軌跡 有明顯的區別。（https://en.wikipedia.org/wiki/File:LevyFlight.svg）
前面第6.3節說過，世界上現象普遍呈現帶重尾巴分佈，而不 是正態分佈，所以Lévy flight模式很受生態學重視，往往和 植物種子轉播、動物（如信天翁、大黃蜂、鹿）的漂泊、捕 食者（如蜘蛛猴、鯊魚）的突擊行為比較。我們介紹一個有 趣的研究報告，由英國、澳洲、新西蘭、和美國的團隊（
Sims et al. 200875）用實驗方法收集海洋動物捕掠時的躍進步 程，他們通過附著動物體上的電子紀錄器，從7類物種（31 樣水生動物）收集超過一百萬次順時間的躍步（垂直）高度
（ x ）數據，分析不同高度躍步的次數（
N
）分佈。發現捕掠者尋找到襲擊獵獲物的進程和Lévy flight十分相似。圖6.13 描述其中之一結果。
75 D. W. Sims et al. (2008), “Scaling laws of marine predator search behaviour”, Nature 451, 1098.