差分方程（difference equation）與混沌（chaos）理論 - ：從非綫性動力學到混沌理論再返回分形

第四章：從非綫性動力學到混沌理論再返回分形

4.5 差分方程（difference equation）與混沌（chaos）理論

（chaos）理論

回顧第1.2節韋呂勒於1838年提出模擬人口增長的邏輯斯諦微分方程(1.16)

^dP

dt  rP 1 P K



 

, (1.16) 時間，t，是連續的變量。如果按人口繁殖次數， n ，來計 算，相對的差分方程是

p_n1 p_n  rp_n 1 p_n K

 

. (4.12) 改換變量

) 1 (

r K x

rp

ⁿ

  和



 1 r  1，(4.12) 可寫成為邏輯斯諦差分方程：

x_n_₁x_n



1x_n



,0x₀ 1 及  1. (4.13) 從韋呂勒時代至二十世紀，一般人認為差分方程只是尋求逼近微分方程答案所用有限差分的手段，沒有比微分方程更深入的意義。直至1974年澳大利亞科學家Robert McCredie May (1936- )發表有關一階差分方程蘊藏著意外的複雜動力屬性⁴³

，人們才對差分方程另眼相看。以下我們用圖解的方法敘述

43 Robert M. May (1974) “Biological populations with nonoverlapping Generations: Stable points, stable cycles, and chaos”, Science, 186, 645; and Robert M. May (1976) “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature, 261, 459.

(4.13)的各種動力特性–從穩定演變到不穩定、分歧、混沌

，然後又連接到分形的自相似性。這樣就概括了一套基本的數學概念和工具，好待往下各章分析物理、生物、經濟等一系列問題。

圖 4.11 邏輯斯諦差分方程(4.13)。(a)：人口漸近值隨著控制參數



的改變。(b 和 c)：



 2^，

x

_s^是

y

 f x

 

^^

^{x 1} 

^{ x}



^和

^y

^{ x}

的交點，人口數值從

x

₀一代一代的增長，很快會聚到漸近值

x

_s^而穩定下來。

方程(4.13)右方規定第 n 代的繁殖公式，以供計算第

n 1

^代的

人口， x_n1。x_n



1 x_n



^{ x}n1是差分方程描述動力系統的映射（亦成邏輯斯諦微映射）。相對的微分方程是

f x t_

 

  

_{  x t}

 

，例如4.2和4.3節的方程，稱為流程（

flow）。我們目的是探求社會經過長時間歷程保持的人口數 值，即與 n 無關的漸近值（asymptotic value）， x_s。取決於

x_s x_s



1 x_s



^{，即 x}s  0 或 x_s  11 。圖4.11 (a) 表示 漸近值 x_s  0 只能在0



 1的情況下保持穩定，這是零生長的不重要狀況，不值得考慮。賸下來有研究價值的是當



 1時 x_s的變化和穩定性。這便是現在要討論的中心。

設定

f x

 

^^

^{x 1} 

^{ x}



, (4.14) 和某



的參數值， x_s是 y f x

 

^{和 y} x 的交點，見圖4.11 (b) 的下朝拋物線和直線。從 x₀開始，每代人口數值可以根據 f_n1

  x

 f .. f f x

  

₀



^..

n times

  











 計算，由逐代累積的數值點，

x

₀, f x

 

₀ ^{, f f x}

  



^{, f f f x}

   

 

^,...

 

^{，形成的線稱為軌道（}

orbit）。當



 2，可見人口數值軌道很快地會聚到漸近值

x

_s，之後保持穩定不變，見圖4.11 (c)。圖4.11 (b) 是屬於相 空間圖，可見 x_s是圖中的一個穩定點。這與微分方程 (1.16) 的答案和圖1.6是一致的。但這穩定性會隨著



^{的增加而保持} 不變嗎？不會，複雜的動力現象馬上要發生了。

圖 4.12 當



 3，軌道開始出現不穩定狀態，例如 (a) 表示分歧造成的2週期和4週期的循環。(b, c)



 3.4^{，軌道不能會聚到}

漸近點，而徘徊在兩個週期值。

圖4.12 (a) 描述



剛超過 3的情況，軌道出現分歧性的不穩定。圖4.12 (b, c) 描述



 3.4的軌道不能會聚到漸近點 x_s， 開始幾次迭代 x_j飄離 x_s（黑點），是因為經過圖(a)虛線代表 的不穩定區，繼而數值穩定下來，徘徊在 x_s兩側的 x_s^和 x_s^

，稱為2週期的輪換。隨後



 3.42，分歧在出現，造成 4 週期的輪換⁴⁴。這些分歧和多週期輪換的密度會越來越大，

而且越來越複雜。

圖 4.13 邏輯斯諦差分方程 (4.13) 2.4



 4^{的軌道圖。}



 3

44 2 分歧造成的 4 週期輪換也可以用圖解分析，圖 4.12 (b)的拋物線要改

換為

y

 f₂

  x

，是呈現雙峰的曲線，與

y

 x^{有多處交點，因而引致}4

週期輪換或甚至更複雜的倍週期輪換。

區包含在

x

_s輪廓內白色的部份代表穩定下來的空間。黑線代表不穩定無週期性x_j值的分佈，也是混沌區域。但混沌區之間亦存在穩定區。方格部份放大後示於下圖，可見裡面充滿自相似性結構

。

圖 4.13 是邏輯斯諦差分方程在2.4



 4範疇的軌道圖。

除了上述談過的特徵外，我們指出以下的重點：

1. 差分方程顯現的動力結構比相應的微分方程來得豐富和複雜。

2. 根據控制參數



的遞增，動力系統呈現以下特徵：



 1，負或零生長率，漸近值為0，無實際意義；

1



 3，存在唯一的穩定漸近線，符合相應的微分方程的答案；3 3.569 945 672..., 出現一序列的分歧和2^j週期的漸近值,j 1,2,3,...。圖 4.13 的 M_j及

j ，都可以用數值方法計算 ⁴⁵ ； 3.569 945 672... 4 ， x_n數值沒有穩定性和週期性

（圖中黑線區），此現象稱為混沌。但混沌區之間仍存在穩定的週期輪換空間（白色部份）；



 4， 基本全是混沌， x_n變成無規數（random number）⁴⁶。

45 混沌理論還有其他數學因子，如李亞普若夫指數（Lyapunov

exponent）等，其數學定義都超過本書的範疇。

46邏輯斯諦差分方程



 4^，即 x_n1 4x_n



1 x_n



^{，有閉式答案，}

x_n

 sin

 2

ⁿ

 

。它的始初條件取決於另一參數

注意：



 1區內的結構密度視乎計算數值的分辨率而定，分辨率越高，結構的密度越大。這純屬數學理論結構無法用實驗證明，因為觀察測量必有實驗誤差。

3. 整個混沌區的軌跡結構具有自相似性，適合用分形幾何方法分析。

4. 當穩定的漸近線存在時，例如 1 3.569 945 672... 區內，軌道不受始初條件影響

。但在混沌區內，軌道（黑線）對始初條件非常敏感

。兩個相差極微少的起點，只經過幾個迭代後的軌道便完全不同。因此，若然處於混沌的情況下，數據分析特別困難，準確地預測未來數值幾乎是無可能的。

5. 以上的動力性質不單是屬於邏輯斯諦差分方程，而是所有非綫性映射差分方程的通性。例如美國數學物理學家米切爾•費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum, 1944-）

證明所有二次方單峰映射的一維差分方程都有同樣的分歧常數，也稱費根鮑姆常數：

 ^{ lim}_n_n1_n2

_n_n1  4.669 201 609... , (4.15)

j是



^的第 ^j個分歧的倍週期值。圖4.13裡第一輪的 ...

75059 . 4 / ₂

1  

  已接近這常數。可見差分方程在



 sin^1

 

x₀

^

^。如果

^

^{是無理數，}

^{ }

^xⁿ 沒有週期性，不會重複。

數學家Stanislaw Ulam 和 John von Neumann 早在 1947 年用此差分方程作為無規數產生器。

混沌理論的重要性。

6. 我們每天遇到各式的動力系統（氣象、河流、人口、

市場等），數學將它們理解為一些度量空間（metric space，屬於集合之一）的元素根據某函數映射到另外的度量空間元素，那映射可以通過微分方程或差分方程來表達。這些方程表面上看來不同，動力系統的表徵現象也不一樣，但不等於是說這些動力系統就沒有類同之處。其實，本書的目的正是希望分析現象的異同和背後的一些規律。上面介紹邏輯斯諦差分方程 (4.13)從穩定到混沌的狀態，要經過一番功夫，倘若我們遇到代表另一動力系統的差分方程，最好是在仔細分析之前，能夠鑑定這差分方程是否與其他差分方程同類。如果找到同類的方程，便可以將該方程已知的答案適當採用，可省卻不少力氣。而且還可以將兩個表面不同的動力系統的性質聯接理解，這不是我們的目的嗎？

怎樣試探兩條差分方程是否‘類同’，數學上有一套正規抽象的方法叫同胚（homoemorphism），這手段的細節不是我們探索的焦點。這裡僅舉一例子，考慮一對差分和微分方程

x_n1 x_n²; g x

 

^{ x}²^^^. (4.16)

（ x 和都是實數），它是邏輯斯諦方程

x_n1x_n



1 x_n



^, ^{f x}

 

^^^{x 1}



^{ x}



^.^(4.17)

的同胚。這因為(4.16)和(4.17)存在著一個綫性共軛（

linear conjugacy）：h x

 

^{ }^^x^^ ²^。即

h f  h f x

   

^{ }

^{ } 

^{x 1}

^

^{ x}

^ 

^

^

²^

^

²^x²^

^

²^x^

^

^2,

h  g h x     ^{ }  ^

^ ^ ² 

^ ^ ^ ^

²^x²

^ ^

²^x

^ ^

⁴ ^ ^ ^,

所以同胚的關係成立，即 h  f  g  h，則

  2    

 ^4.

(4.18) 我們找出(4.16)與邏輯斯諦方程(4.13)的同胚條件，就是綫性共軛h x

 

和兩個參數的關係(4.18)。同胚的重要是肯定這兩方程的動力表徵－從穩定性、漸近值、

分歧、倍週期輪換到混沌－之間1對1相應關係。因此

，邏輯斯諦差分方程(4.13)分析得來的結論，可以應用到差分方程(4.16)，詳見第4.7 節的討論。

在文檔中宇宙的尺度變異定律 (頁 82-89)

差分方程（difference equation）與混沌（chaos）理論

第四章 ：從非綫性動力學到混沌理論再返回分形

4.5 差分方程（difference equation）與混沌（chaos）理論

（chaos）理論

r K x

rp











x

y

 

x 1 



y

x

x

n 1





 

  

 









 

x 1 





 

  x

  



x

 

  



   

 

 



x

















y

  x

y

x

















 sin

 2

 







 





 

 





 

第四章：從非綫性動力學到混沌理論再返回分形

^{x 1} 

^y

^{x 1} 

^

^

^{ }

^{ } 

^

^ 

^

^

^

^

h  g h x     ^{ }  ^

^ ^ ² 

^ ^ ^ ^

^ ^

^ ^

⁴ ^ ^ ^,

 ^4.