第四章 :從非綫性動力學到混沌理論再返回分形
4.5 差分方程(difference equation)與混沌(chaos)理論
(chaos)理論
回顧第1.2節韋呂勒於1838年提出模擬人口增長的邏輯斯諦微 分方程(1.16)
dP
dt rP 1 P K
, (1.16) 時間,t,是連續的變量。如果按人口繁殖次數, n ,來計 算,相對的差分方程是
pn1 pn rpn 1 pn K
. (4.12) 改換變量
) 1 (
r K x
nrp
n 和
1 r 1,(4.12) 可寫成為邏 輯斯諦差分方程:xn1xn
1xn
,0x0 1 及 1. (4.13) 從韋呂勒時代至二十世紀,一般人認為差分方程只是尋求逼 近微分方程答案所用有限差分的手段,沒有比微分方程更深 入的意義。直至1974年澳大利亞科學家Robert McCredie May (1936- )發表有關一階差分方程蘊藏著意外的複雜動力屬性43,人們才對差分方程另眼相看。以下我們用圖解的方法敘述
43 Robert M. May (1974) “Biological populations with nonoverlapping Generations: Stable points, stable cycles, and chaos”, Science, 186, 645; and Robert M. May (1976) “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Nature, 261, 459.
(4.13)的各種動力特性–從穩定演變到不穩定、分歧、混沌
,然後又連接到分形的自相似性。這樣就概括了一套基本的 數學概念和工具,好待往下各章分析物理、生物、經濟等一 系列問題。
圖 4.11 邏輯斯諦差分方程(4.13)。(a):人口漸近值隨著控制參數
的改變。(b 和 c):
2,x
s是y
f x
x 1
x
和y
x的交點,人口數值從
x
0一代一代的增長,很快會聚到漸近值x
s而 穩定下來。方程(4.13)右方規定第 n 代的繁殖公式,以供計算第
n 1
代的人口, xn1。xn
1 xn
xn1是差分方程描述動力系統的映 射 ( 亦 成 邏 輯 斯 諦 微 映 射 ) 。 相 對 的 微 分 方 程 是f x t
,
x t
,例如4.2和4.3節的方程,稱為流程(flow)。我們目的是探求社會經過長時間歷程保持的人口數 值,即與 n 無關的漸近值(asymptotic value), xs。取決於
xs xs
1 xs
,即 xs 0 或 xs 11 。圖4.11 (a) 表示 漸近值 xs 0 只能在0
1的情況下保持穩定,這是零生 長的不重要狀況,不值得考慮。賸下來有研究價值的是當
1時 xs的變化和穩定性。這便是現在要討論的中心。設定
f x
x 1
x
, (4.14) 和某
的參數值, xs是 y f x
和 y x 的交點,見圖4.11 (b) 的下朝拋物線和直線。從 x0開始,每代人口數值可以根 據 fn1 x
f .. f f x
0
..n times
計算,由逐代累積的數值點,
x
0, f x
0 , f f x
0
, f f f x
0
,...
,形成的線稱為軌道(orbit)。當
2,可見人口數值軌道很快地會聚到漸近值x
s,之後保持穩定不變,見圖4.11 (c)。圖4.11 (b) 是屬於相 空間圖,可見 xs是圖中的一個穩定點。這與微分方程 (1.16) 的答案和圖1.6是一致的。但這穩定性會隨著
的增加而保持 不變嗎?不會,複雜的動力現象馬上要發生了。圖 4.12 當
3,軌道開始出現不穩定狀態,例如 (a) 表示分 歧造成的2週期和4週期的循環。(b, c)
3.4,軌道不能會聚到漸近點,而徘徊在兩個週期值。
圖4.12 (a) 描述
剛超過 3的情況,軌道出現分歧性的不穩 定。圖4.12 (b, c) 描述
3.4的軌道不能會聚到漸近點 xs, 開始幾次迭代 xj飄離 xs(黑點),是因為經過圖(a)虛線代表 的不穩定區,繼而數值穩定下來,徘徊在 xs兩側的 xs和 xs,稱為2週期的輪換。隨後
3.42,分歧在出現,造成 4 週期的輪換44。這些分歧和多週期輪換的密度會越來越大,而且越來越複雜。
圖 4.13 邏輯斯諦差分方程 (4.13) 2.4
4的軌道圖。
344 2 分歧造成的 4 週期輪換也可以用圖解分析,圖 4.12 (b)的拋物線要改
換為
y
f2 x
,是呈現雙峰的曲線,與y
x有多處交點,因而引致4週期輪換或甚至更複雜的倍週期輪換。
區包含在
x
s輪廓內白色的部份代表穩定下來的空間。黑線代表不 穩定無週期性xj值的分佈,也是混沌區域。但混沌區之間亦存在 穩定區。方格部份放大後示於下圖,可見裡面充滿自相似性結構。
圖 4.13 是邏輯斯諦差分方程在2.4
4範疇的軌道圖。除了上述談過的特徵外,我們指出以下的重點:
1. 差分方程顯現的動力結構比相應的微分方程來得豐富 和複雜。
2. 根據控制參數
的遞增,動力系統呈現以下特徵:
1,負或零生長率,漸近值為0,無實際意義;1
3,存在唯一的穩定漸近線,符合相應的微分 方程的答案;3 3.569 945 672..., 出現一序列的 分歧和2j週期的漸近值,j 1,2,3,...。圖 4.13 的 Mj及j , 都 可 以 用 數 值 方 法 計 算 45 ; 3.569 945 672... 4 , xn數值沒有穩定性和週期性
(圖中黑線區),此現象稱為混沌 。但混沌區之間 仍存在穩定的週期輪換空間(白色部份);
4, 基本全是混沌, xn變成無規數(random number)46。45 混沌理論還有其他數學因子,如李亞普若夫指數(Lyapunov
exponent)等,其數學定義都超過本書的範疇。
46邏輯斯諦差分方程
4,即 xn1 4xn
1 xn
,有閉式答案,xn
sin
2 2
n
。它的始初條件取決於另一參數注意:
1區內的結構密度視乎計算數值的分辨率而 定,分辨率越高,結構的密度越大。這純屬數學理論 結構無法用實驗證明,因為觀察測量必有實驗誤差。3. 整個混沌區的軌跡結構具有自相似性,適合用分形幾 何方法分析。
4. 當 穩 定 的 漸 近 線 存 在 時 , 例 如 1 3.569 945 672... 區內,軌道不受始初條件影響
。但在混沌區內,軌道(黑線)對始初條件非常敏感
。兩個相差極微少的起點,只經過幾個迭代後的軌道 便完全不同。因此,若然處於混沌的情況下,數據分 析特別困難,準確地預測未來數值幾乎是無可能的。
5. 以上的動力性質不單是屬於邏輯斯諦差分方程,而是 所有非綫性映射差分方程的通性。例如美國數學物理 學家米切爾•費根鮑姆(Mitchell Feigenbaum, 1944-)
證明所有二次方單峰映射的一維差分方程都有同樣的 分歧常數,也稱費根鮑姆常數:
limnn1n2
nn1 4.669 201 609... , (4.15)
j是
的第 j個分歧的倍週期值。圖4.13裡第一輪的 ...75059 . 4 / 2
1
已接近這常數。可見差分方程在
sin1
x0
。如果
是無理數,
xn 沒有週期性,不會重複。數學家Stanislaw Ulam 和 John von Neumann 早在 1947 年用此差分方程 作為無規數產生器。
混沌理論的重要性。
6. 我們每天遇到各式的動力系統(氣象、河流、人口、
市場等),數學將它們理解為一些度量空間(metric space,屬於集合之一)的元素根據某函數映射到另外 的度量空間元素,那映射可以通過微分方程或差分方 程來表達。這些方程表面上看來不同,動力系統的表 徵現象也不一樣,但不等於是說這些動力系統就沒有 類同之處。其實,本書的目的正是希望分析現象的異 同和背後的一些規律。上面介紹邏輯斯諦差分方程 (4.13)從穩定到混沌的狀態,要經過一番功夫,倘若 我們遇到代表另一動力系統的差分方程,最好是在仔 細分析之前,能夠鑑定這差分方程是否與其他差分方 程同類。如果找到同類的方程,便可以將該方程已知 的答案適當採用,可省卻不少力氣。而且還可以將兩 個表面不同的動力系統的性質聯接理解,這不是我們 的目的嗎?
怎樣試探兩條差分方程是否‘類同’,數學上有一套 正規抽象的方法叫同胚(homoemorphism),這手段 的細節不是我們探索的焦點。這裡僅舉一例子,考慮 一對差分和微分方程
xn1 xn2; g x
x2. (4.16)( x 和都是實數),它是邏輯斯諦方程
xn1xn
1 xn
, f x
x 1
x
. (4.17)的同胚。這因為(4.16)和(4.17)存在著一個綫性共軛(
linear conjugacy):h x
x 2。即h f h f x
x 1
x
2
2x2
2x
2,g
h g h x
x 2
2
2x2
2x
24 ,
所以同胚的關係成立,即 h f g h,則
2
2 4.
(4.18) 我們找出(4.16)與邏輯斯諦方程(4.13)的同胚條件,就 是綫性共軛h x
和兩個參數的關係(4.18)。同胚的重 要是肯定這兩方程的動力表徵-從穩定性、漸近值、分歧、倍週期輪換到混沌-之間1對1相應關係。因此
,邏輯斯諦差分方程(4.13)分析得來的結論,可以應用 到差分方程(4.16),詳見第4.7 節的討論。