分形的類別

識都存在著嚴重的慣性，對革命性的理論有一定的阻力。

equation），也叫映射（map），來定義：

z_i1 g z

 

_i , i 1,2, 3,... (3.4)

z

_i是第

i

步的輸入； z_i1是輸出，同時也是第

i 1

步的輸入；

g z

 

_i 是定義替換規律的函數。不難看出，科赫曲線的產生是 從每一直綫段分三等份，然後將中段改為兩條同樣長度連起 來的直綫，如此繼續。我們問：科赫曲線的長度是多少？這 就奇怪了，科赫曲線的長度要視乎尺刻度的疏密–即分辨率 –而定。如果有無窮的分辨率，

i  

^{，長度 ！}

按歐氏幾何來說，曲線是屬於1維。但科赫曲線是分形，它 的分形維數不是整數。決定分形維數是分形的自相似性。假 設將分辨率改變 r 倍，然後產生同形狀的分形部份的數目是

m ，那分形維數便是

d_f  ln m

ln r. (3.5) 這裡也看到分形維數是一個冪定律的指數：

m r^df. (3.6) 先看看科赫曲線（見圖 3.7 b），它的替換規律告訴我們每 替換一次直綫度縮短3倍（

r  3

），而產生4個小三角（

m  4

^{）。因此，}d_f  ln 4 ln 3  1.2619。科赫曲線的維數高 過一般歐氏幾何曲線維數（1）是因為它的自相似輪廓；d_f 低於2是因為它不足以覆蓋歐氏幾何的平面（維數＝2）。一 般而言，

^dt  d_f  d_e. (3.7)

d_f  d_t 告訴我們以分形代表的系統它的不規則程度，差額 越高，不規則程度越大。

至於康托爾塵、謝爾賓斯基三角形與及門格海綿（見圖 3.7 a, c & d），你們能察看出它們的替換規律嗎？³⁷ 康托爾塵 的分形維數是的ln 2 ln 3 0.63093，但碎段的總長為

0

^!；謝

爾賓斯基三角形的分形位數是ln3/ln21.5850；門格海綿的 分形位數是 ln20 ln 3 2.7268 。

2. 無規性分形： 分形的產生由於組織統計值的自相似性。

大部份自然界的分形，如圖3.4的例子，都不是數學差分方程 (3.4) 產生出來的， 而是‘參與個體’（因分形而異，可能 是原子、分子、細胞、物種、股份等）在一定環境或條件下 通過隨機性（stochastic）組織過程產生的合成現象。這合成 現象任何一個子群或隸屬組織的統計值，如平均值、方差、

高次方矩等，與全局現象有自相似性。

37 康托爾塵：一條棍子切去中間三分之一部份，經過

i

^{次後棍子便變成}

2ⁱ段。謝爾賓斯基三角形：每一步除掉黑色等邊三角形中央1/4 面積的

等邊三角形。門格海綿: 每一步於正方體的每面除掉一個 1/3 邊長的正 立方體，而不要移動角落或周邊的正方體。

圖 3.8 利用覆蓋方法去決定無規性分形的維數。

無規性分形缺乏數學的產生公式，那就不能利用 (3.5) 方程 來計算維數，而要用覆蓋的方法。圖3.8 舉例說明。面對一 個圖形或體積，(a), (b) 或 (c)，我們想用最經濟的方法將圖 形以圓球或圓盤覆蓋³⁸。(a) 是一些沒面積的點，每點可用一 圓盤覆蓋，圓盤彼此不接觸，0重疊。(b) 是一條在平面上的 線，如果兩個圓盤僅相切地接觸，如(b)左，線上A、B點不 算被覆蓋。(b)中，圓盤重疊過多，不夠經濟。(b)右，每雙圓 盤重疊一次，1重疊。(c) 是一個平面，最經濟的情況是每三 個圓盤重疊兩次，2重疊。（如果1重疊只能覆蓋平面上的曲 線，不足以覆蓋平面。）如果圖形是立體，那圓球起碼要3 重疊，如此類推。

假設圓球的直徑是



^{，至少需要的圓球數是}n

 

 ^{，那麽，分}

38 其實不一定要圓球，2 維的圖形可以用圓盤或方塊，3 維可以用圓球

或正立方體。

形維數就是：

df  lim

0

ln n

 



ln 1

 

 ^{ lim0ln nln}

  ^{ }

^ . (3.8) (3.8) 與 (3.5 )比較之下，(3.5) 的同形狀分形部份數目 m 被 圓球數目代替，(3.5) 的分辨率改變倍數 r 被 1 代替。如 果 要 測 量 的 結 構 不 是 分 形 （ 如 圖3.8），從 (3.8) 會得出

d

_f  d_t。不然 (3.7) 普遍成立。

換言之，分形維數告訴我們在圓球變小（分辨率變高）的情 況下所需圓球數目的改變。上述的量度概念，最先由德國數 學家豪斯多夫（Felix Hausdorff, 1868-1942）於1918年提出，

當時的應用對象是集合論。因此，利用 (3.8) 方程計算的分 形維數也稱為豪斯多夫維數。

圖 3.9 左：靜態的空間分形，右：健康成人心跳率在時間上的 變化，從上到下改變時間尺度，但模式保持自相似性，這是分形 的動力結構。取自 Goldberger et al. (2002)³⁹。

39 A. L. Goldberger, L. A. N. Amarai, J. M. Hausdorff, P. Ch. Ivanov, C.-K.

Peng, and H. E. Stanley (2002), “Fractal dynamics in physiology: Alterations with disease and aging”, PNAS, 99, 2466-2472.

在文檔中 宇宙的尺度變異定律 (頁 60-66)