天要講的，是數學和物理如何互動互利，這 種關係在卡拉比/ 丘空間（Calabi-Yau space）和 弦論的研究中尤為突出。這個題目非出偶然，它正 是我和納迪斯（Steve Nadis）的新書《丘成桐談空 間的內在形狀》的主旨。書中描述了這些空間背後 的故事，個人的經歷和幾何的歷史。 我寫這本書，是希望讀者透過它，瞭解數學家是 如何看這世界的。數學並非一門不食人間煙火的抽 象學問，相反地，它是我們認識物理世界不可或缺 的工具。現在，就讓我們沿著時間，或更確切地， 沿著時空從頭說起。
今
重點摘要 ▼丘成桐因證明卡拉比猜想獲得費爾茲獎。由此確立的 卡拉比/丘空間，在愛因斯坦的廣義相對論裡，相當於 竟然存在重力非零的真空宇宙！ ▼弦論是統一四種作用力最成熟的物理理論，它斷言宇 宙是十維的時空，除了日常的四維時空，另外卷縮的六 維微小空間正是卡拉比/丘空間。 ▼弦論高度整合物理和數學的深刻洞識，反過來促進了 數學的新進展，鏡對稱預言了數學家無法想像的公式， 震驚數學界。我們真的
活在十維時空嗎？
弦論與宇宙隱藏的維度
作者：丘成桐 譯者：夏木青 作者簡介：丘成桐為美國哈佛大學數學與物理教授，費爾茲獎、克拉福德獎、沃爾夫獎得主。為幾何分析學之大師，並出入於數學與 物理之間。中央研究院院士。科普著作有《丘成桐談空間的內在形狀》。 數學與物理米爾諾的文筆是如此流暢，我通讀此文毫不費 力。他文中提及普萊斯曼（Alexandre Preissman） 的另一論文，我也極感興趣。從這些文章中可以見 到，負曲率空間的基本群受到曲率強烈的約束，必 須具備某些特定的性質。 基本群是拓樸上的概念，基本上考慮的是從定點 出發的所有迴圈，並將可互相形變的迴圈視為等 價。普萊斯曼定理說，負曲率流形的基本群中，任 兩個可交換的元素，皆能寫成某元素的自乘。這個 結果很引人入勝，我試著推廣普萊斯曼的結果，想 看看如果空間曲率非正，結果又是如何？這是我平 生第一次將空間的曲率（精確的幾何描述）和比較 粗糙、只留意形態特徵的數學理論（稱為拓樸學） 聯繫起來。 雖然，拓樸也是一種研究空間的學問，但它不涉 及距離。從這角度來看，拓樸所描繪的空間並沒有 幾何所描繪的那樣精細。幾何要量度兩點間的距 離，對空間的屬性要知道更多。這些屬性可以由每 一點的曲率表達出來，這便是幾何了。 舉例而言，甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的幾 何，但它們的拓樸卻無二樣。同樣，球面和橢球面 的幾何迥異但拓樸相同。作為拓樸空間，球面的基 本群是無聊的，在它上面的任何閉曲線，都可以透 站在巨人的肩上─黎曼幾何學 1969 年，我到了美國加州大學柏克萊分校念研 究所。在那裡我瞭解到，19 世紀幾何學在高斯和 黎曼的手上經歷了一場翻天覆地的變化。黎曼的創 見，顛覆了前人對空間的看法，給數學開闢了嶄新 的途徑。 幾何的對象，從此不再局限於平坦而線性的歐幾 里得空間內的物體。黎曼引進了更抽象的、具有任 何維數的空間。在這些空間裡，距離和曲率都具意 義。此外，在它們上面還可以建立一套適用的微積 分，作為研究與分析的工具。 大約五十年後，愛因斯坦發覺包含彎曲空間的這 種幾何學，剛好可用來統一牛頓的重力理論和狹義 相對論，沿著新路邁進，他終於完成了著名的廣義 相對論。在研究所的第一年，我念了黎曼幾何學。 它與我在香港時學的古典幾何不一樣，過去我們只 會討論在線性空間裡的曲線和曲面。在柏克萊，我 修了史帕尼爾（Edwin Spanier）的代數拓樸、勞 森（Blaine Lawson）的黎曼幾何、莫瑞（Charles Morrey）的偏微分方程。此外，我還旁聽了包括廣 義相對論在內的幾門課，我如飢似渴地盡力去吸收 知識。 當 時 柏 克 萊 數 學 系 大 約 有 500 名研 究生，地狹人眾，大家都沒有研究室。 課 餘 的 時 間 我 都 呆 在 數 學 圖 書 館， 它 簡直成了我的辨公室。我孜孜不倦地找 尋有興趣的材料來看。聖誕節到了，別 人 都 回 去 和 家 人 團 聚。 我 卻 在 讀《 微 分 幾 何 期 刊 》（Journal of Differential Geometry）上米爾諾（John Milnor）的
一篇論文, 它闡述了空間裡曲率與基本
群（fundamental group）的關係。我既
驚且喜，因為它用到了我剛剛學過的東
西。 圖中每一列的形體，在拓樸學中都被視為相同，雖然幾何性質顯然不同。；第一
彎曲就是重力─廣義相對論 狹義相對論告訴我們，時間和空間渾為一體，形 成時空，不可分割。愛因斯坦進一步探究重力的本 質，他的友人格羅斯曼（Marcel Grossmann）是數 學家，愛氏透過他認識到黎曼和黎奇（Ricci）的 工作。黎曼引進了抽象空間的概念，並且討論了其 上的距離和曲率。愛因斯坦利用這種空間，作為他 研究重力的舞臺。 愛因斯坦也引用了黎奇的工作，以他創造的曲率 來描述物質在時空的分布。黎奇曲率乃是曲率張量 的跡（trace），是曲率的某種平均值。它滿足的 畢安奇恆等式（Bianchi identity），奇妙地可以看 成一條守恆律。愛因斯坦利用了這條守恆律來把重 力幾何化，從此我們不再視重力為物體之間的吸引 力。新的觀點是物體的存在使空間產生了曲率，重 力應當看作是這種曲率的表現。 對歷史有興趣的讀者，愛因斯坦的自家說辭更具 說服力。他說： 這套理論指出重力場由物質的分布決定，並隨之 而演化，正如黎曼所猜測的那樣，空間並不是絕 對的，它的結構與物理不能分割。我們宇宙的幾 何絕不像歐氏幾何那樣孤立自足。 當然，愛因斯坦建立這個理論的過程絕非坦 途。一開始，他想將重力理論和狹義相對論結 合卻遭遇失敗。後來，他意識到這是非線性理 論，並以重力定律在所有坐標系皆相同的等效 原理（equivalence principle）作為指導原則。 1912 年，他領略到必須以帶勞侖茲符徵 （Lorentzian signature）的黎曼度量來作為重 過連續的變動而縮成一點。但環面（torus）則否， 在它上面可以找到某些閉曲線，無論如何連續地變 動都不會縮成一點。由此可見，球面和環面具有不 同的拓樸。 普萊斯曼定理討論了幾何 （曲率） 如何影響拓 樸 （基本群），我做了點推廣。在影印這些札記 時，一位數學物理的博士後費雪（Arthur Fisher） 嚷著要知道我幹了什麼。他看了那些札記後，說任 何把曲率與拓樸扯上關係的結果，都會在物理學中 用上。這句話在我心中留下烙印，至今不忘。 球面上所有的迴圈都可以縮到一個點，但環面上有些迴圈，卻沒 有這樣的性質。這表示球面和環面的拓樸不一樣。 球面上的「直線」就是大圓，經線都是大圓，但緯線除了赤道之 外都不是大圓。想像有兩個人如圖從赤道開始往北方走，明明是 「平行」開始的，卻不自覺愈走愈近，好像有力在牽引著彼此。 究其原因在於球面的曲率是正的，不像平面的曲率等於零。這說 明曲率為何可解釋為力。
我認為這種空間並不存在。如果能從數學上加以論 證，這會是幾何學上的一條美妙的定理。 柳暗花明又一村─卡拉比猜想 從上世紀70 年代開始，我便在考慮這個問題。 當 時， 我 並 不 知 道 幾 何 學 家 卡 拉 比（Eugenio Calabi）早已提出差不多同樣的問題。他的提問透 過頗為複雜的數學語言來表述，其中牽涉及凱勒流 形（Kähler manifold）、黎奇曲率、陳氏類（Chern class）等等，看起來跟物理沾不上邊。但事實上， 卡拉比抽象的猜想也可以翻過來，變為廣義相對論 裡的一個問題。 新 的 內 容 乃 是 要 求 要 找 的 時 空 具 有 某 種 內 在 的 對 稱 性， 這 種 對 稱 物 理 學 家 稱 之 為 超 對 稱 （supersymmetry，用數學語言來說，在這個情況 指的就是凱勒流形）。於是上述的問題便變成這樣： 能否找到一個緊緻而不帶物質的超對稱空間，其中 的曲率非零 （即具有重力）？ 卡拉比猜想不僅指出封閉而具重力的真空的存在 性，而且還給出系統地大量構造這類空間的途徑， 大家都認為世間那有這樣便宜的東西可撿。可是， 縱然不乏懷疑卡拉比猜想的理由，但沒人能夠反證 它。我與其他人一起試圖證明卡拉比猜想所描述的 空間並不存在，花了差不多三年。 1973 年我出席了在史丹福大學舉行的國際幾何 力勢。另外，它還必須解決兩個問題，首先是如何 將狹義相對論的場方程轉換到有黎曼度量的情況， 然後還需要釐清決定黎曼度量的法則。1912 年到 1914 年之間，他和格羅斯曼合作，發現第一個問 題要使用黎曼幾何上的黎奇與李維奇威塔（ Levi-Civita）所發展的微分計算法，第二個問題的解答， 則要應用黎曼建立的二階微分不變量。 愛因斯坦一直奮鬥到1915 年才找到正確的數學 形式，建立了廣義相對論，並找到能測試這個理論 的天文實驗方法。大概在同時，知名數學家希爾伯 特（David Hilbert）也獨立找到場方程的正確形式， 但他沒能更近一步和實驗結合。 講到自己的成就時，愛因斯坦寫道： 就學問本身而言，這些理論的推導是如此行雲流 水，一氣呵成，聰明的人花點力氣就能掌握它。然 而，多年來的探索，苦心孤詣，時而得意，時而氣 餒，到事竟成，其中甘苦，實在不足為外人道。 愛因斯坦研究重力的經歷，固然令人神往，他的 創獲更是驚天動地。但是黎曼幾何學在其中發揮的 根本作用，也是昭昭然不可抹殺的。 半個多世紀後，我研習愛因斯坦方程組時，發現 物質只能決定時空的部分曲率，為此心生困惑，自 問能否找到一個真空，即沒有物質的時空，但其曲 率並不無聊，即其重力非零。當然，著名愛因斯坦 方程的史瓦茲柴德（Schwarzschild）解具有這些性 質。它描述的乃是非旋轉的黑洞，這是個真空，但 奇怪地，極端的重力產生了質量。然而這個解具有 一個奇點（singularity），在那裡所有物理的定律 都不適用。 我要找的時空不似史瓦茲柴德解所描繪的那樣是 開放無垠的，反之，它是光滑不帶奇點，並且是 緊緻（compact）而封閉的。即是說，有沒有一個 緊緻而不含物質的空間，即封閉的真空宇宙，但其 上的重力卻不等於零？這問題在我心中揮之不去， 卡拉比和丘成桐攝於哈佛科學中心。
後，更參與了弦論的發展。 在證明卡拉比猜想時，我引進了 一個方案，用以尋找滿足卡拉比方 程的空間，這些空間現在通稱為卡 拉比/ 丘空間。我深深地感到，我 無心插柳，已經進入了一界數學高 地。它必定與物理有關，並能揭開 自然界深深埋藏的隱祕。然而，我 並不知道這些想法在那裡會大派用 場，事實上，當時我懂得的物理也 不多。 撫弦輕撥十維琴─弦論 1984 年， 我 接 到 物 理 學 家 赫 羅 維 茲（Gary Horowitz）和史聰閔格（Andy Strominger）的電 話。他們興沖沖的談到有關宇宙真空狀態的一個模 型，這模型是建基於一套叫弦論的嶄新理論。 弦論的基本假設是，所有最基本的粒子都是由不 斷振動的弦線所組成的，這些弦線非常非常細小。 某些弦論要跟量子力學相容不排斥，時空必須容許 某種超對稱性，同時時空還必須是十維的。 我在解決卡拉比猜想時證明存在的空間，得到赫 羅維茲和史聰閔格的喜愛。他們相信這些空間會在 弦論中擔當重要的角色，原因是它們具有弦論所需 的那種超對稱性。他們希望知道這種看法對不對， 我告訴他們，那是對的，他們聽到後十分高興。 不久，韋頓（Edward Witten）打電話給我，我 們是上一年在普林斯頓相識的。他認為就像當年量 子力學剛剛面世那樣，理論物理學最激動人心的時 刻來臨了。他說每一位對早期量子力學有貢獻的 人，都在物理學史上留名。愛因斯坦在他的後半生 花了三十年致力於統一理論，但至死也未竟全功。 早 期 弦 學 家 如 葛 林（Michael Green） 和 史 瓦 茲 （John Schwarz）等人的重要發現，有可能終究把 所有自然力統一起來。 會 議。 這 會 議 是 由 奧 瑟 曼（Robert Osserman）和陳省身老師組織的。 也許是由於我與兩人的關係，我有幸 作出兩次演講。在會議期間，我告訴 了一些相識的朋友，說已經找到了 卡拉比猜想的反例。消息一下子傳開 了，徇眾要求，當天晚上另作報告。 那晚30 多位幾何工作者聚集在數學 大樓的三樓，其中包括卡拉比、陳師 和其他知名學者。我把如何構造反例 說了一遍，大家似乎都非常滿意。 卡拉比還為我的構造給出一個解釋。大會閉幕 時，陳師說我這個反例或可視為整個大會最好的成 果，我聽後既感意外，又興奮不已。 可是，真理總是現實的。兩個月後我收到卡拉比 的信，希望我釐清反例中一些他搞不清楚的細節。 看見他的信，我馬上就知道我犯了錯。接著的兩個 禮拜，我不眠不休，希望重新構造反例，身心差不 多要垮掉。每次以為找到一個反例，瞬即有微妙的 理由把它打掉。 經過多次失敗後，我轉而相信這猜想是對的。於 是我便改變了方向，把全副精力放在猜想的證明 上。花了幾年工夫，終於在1976 年證明了這個重 要的猜想。好消息是，證明卡拉比猜想，也讓我之 前構造的許多「反例」變成重要的定理。 另外，在史丹福那個會議上，物理學家葛洛克 （Robert Geroch） 在 報 告 中 談 到 廣 義 相 對 論 中 的 一 個 重 要 課 題 ─ 正 質 量 猜 想（positive mass conjecture）。這猜想指出，在任何封閉的物理系 統中，總質量（能量）必須是正數。我和孫理察 （Richard Schoen）埋頭苦幹，利用了最小曲面 （minimal surface），證明了正質量猜想。 這段日子的工作把我引到廣義相對論，我們證明 了幾條有關黑洞的定理。與相對論學者交流的愉快 經驗，使我更能開放懷抱與物理學家合作。幾年之 陳省身和丘成桐。1992年攝於臺 灣中央研究院。
六維卡拉比/丘空間的二維「切片」。 印第安那大學Andrew J. Hanson提 供。 維 數 的 時 空 可 以 想 成 是 四 維 時空和六維卡拉比/ 丘空間 的乘積。因此，當我們運 用分離變數法求解算子譜 時， 它 肯 定 會 受 卡 拉 比/ 丘 空 間 所 左 右。 卡 拉 比/ 丘 空 間 的 直 徑 非 常 小， 因 此非零譜所對應的粒子質量 變得異常大。這類粒子很難觀 測到，因為它們只會在極度高能量 的狀態下才會出現。 另一方面，具有零譜的粒子是可能觀測到的，它 們取決於卡拉比/ 丘空間的拓樸。由此可見，這細 小的六維空間，其拓樸在物理中是如何舉足輕重。 愛因斯坦過去指出，重力不過是時空幾何的反映。 弦學家更進一步，大膽地說這個宇宙的規律，都可 以由卡拉比/ 丘空間的幾何推演出來。這個六維空 間究竟具有怎樣的形狀，顯然就很重要了。弦學家 正就此問題廢寢忘餐，竭盡心力地研究。 韋頓很想多知道一點卡拉比/ 丘空間。他從普林 斯頓飛來聖地牙哥，與我討論如何構造這些空間。 他還希望知道究竟有多少個卡拉比/ 丘空間可供物 理學家揀選。原先，他們認為只有少數幾個拓樸類 可作考慮，是以決定宇宙「內空間」的任務不難完 成。可是，我們不久便發現，卡拉比/ 丘空間比原 來估計的來得多。1980 年初，我想它只有數萬個， 然而，其後這數目不斷增加，迄今未止。 於是，決定內空間的任務一下子變得 無比困難，假如稍後發現有無數卡拉比 / 丘空間的話，就更遙不可及了。當然， 後 者 是 真 是 假 還 有 待 驗 證， 我 一 直 相 信，任何維度卡拉比/ 丘空間的拓樸類 型都是有限的。 當時韋頓正與坎德拉斯 （Philip Candelas）、 赫 羅維茲和史聰閔格一起， 希望搞清楚弦論中那多出 來的六維空間的幾何形狀。 他們認為這六維卷縮成極小的 空間，並稱此空間為卡拉比/ 丘空 間，因為它源於卡拉比的猜想，並由我 證明其存在。 弦論認為時空的總維數為十。我們熟悉的空間是 三維，加上時間，那便是愛因斯坦理論中的四維時 空。此外的六維屬於卡拉比/ 丘空間，它獨立的暗 藏於四維時空的每一點裡。我們看不見它，但弦論 說它是存在的。 這個添了六個維度的空間夠神奇了，但弦論並不 止於此，它進一步指出卡拉比/ 丘空間的幾何，決 定了這個宇宙的性質和物理定律。哪種粒子能夠存 在，質量是多少，它們如何相互作用，甚至自然界 的一些常數，都取決於卡拉比/ 丘空間或本書所謂 「內空間」的形狀。 理論物理學家利用狄拉克算子（Dirac operator） 來 研 究 粒 子 的 屬 性。 透 過 分 析 這 個 算 子 的 譜 （spectrum），可以估計能看到粒子的種類。十個 把四維的時空簡化成無窮延伸的直線，雖然數學的直線沒有厚度，但弦論說如果 用威力強大的放大鏡來看時空，就會發現它其實有一個隱微的厚度，任意切開， 截面都是六維的卡拉比/丘空間。
法往往奏效。例如有一個求解曲線數目的問題，懸 空了差不多一個世紀，就是這樣破解的。它使枚舉 幾何學 （enumerative geometry） 這一數學分支， 重新煥發了青春。這些進展令數學家對物理學家及 弦論刮目相看。 鏡對稱是對偶性的一個重要例子。它就像一面 窗，讓我們窺見卡拉比/ 丘空間的隱祕。利用它， 我們確定了在五次三維形（一種卡拉比/ 丘空間） 上給定階數的有理曲線的總數，這是一個非常困難 的問題。 這 類 問 題 稱 為 舒 伯 特 問 題。 它 源 於19 世紀， 德 國 數 學 家 舒 伯 特（Hermann Schubert）首先證 明，在五次三維形上共有2,875 條一階有理曲線。 到 了1986 年， 卡 茲（Sheldon Katz） 證 明 了 有 609,250 條二階曲線。1989 年前後，兩位挪威數學 家艾林斯路得（Geir Ellingsrud）和司聰默（Stein Strømme）利用代數幾何的技巧，一下子找到了 2,682,549,425 條三階曲線。 可是另一方面，以坎德拉斯為首的一組物理學 家，卻利用弦論找到317,206,375 條三階曲線。他 們在尋找的過程中，用了一條並非由數學推導出來 卻適用於任意階數曲線的公式。這公式的真確與 否，還有待數學家驗證。 1990 年 1 月，在辛格（Isadore Singer）的敦促 下，我組織了弦學家和數學家首次的主要會議。大 會 在柏 克 萊的 數理 科學 研 究 院 （MSRI）舉行。會議上擁艾林 斯路得/ 司聰默結果的人和擁坎 德拉斯團隊的人分成兩派，壁壘 分明，各不相讓。這局面維持了 幾個月，直到數學家在他們寫的 於無聲處聽驚雷─鏡對稱 卡拉比/ 丘空間的熱潮，始於 1984 年，當時的 物理學家，開始瞭解到這些複空間或會用於新興的 理論上。熱情持續了幾年，便開始減退了。可是到 了上世紀80 年代末期，格林恩（Brian Greene）、 普列瑟（Ronen Plesser）、坎德拉斯等人開始研究 鏡對稱（mirror symmetry）時，卡拉比 / 丘空間又 重新成為人們的焦點。 鏡對稱乃是兩個具有不同拓樸的卡拉比/ 丘空 間，看起來沒有什麼共通點，但卻擁有相同的物理 定律。具有這樣關係的兩個卡拉比/ 丘空間稱為「鏡 伴」（mirror partner）。 1995 年，史聰閔格、札斯洛（Eric Zaslow） 和 我提出一個猜想，對卡拉比/ 丘空間的子結構提供 洞識，為鏡對稱給出解釋。根據這個SYZ 猜想的 理論，六維卡拉比/ 丘空間本質上可以分成兩個三 維空間，其中之一是三維環面。如果模仿把半徑r 變成1/r的操作，把這些三維環面「翻轉」，並與 另一個三維空間結合起來，就會得到原卡拉比/ 丘 空間的鏡伴。這個猜想提供了鏡對稱的幾何圖象， 儘管目前只在一些特殊情況下被證明成立。 數學家把物理學家發現的鏡關係搬過來，成為數 學上強而有力的工具。在某個卡拉比/ 丘空間上要 解決的難題，可以放到它的鏡伴上去考慮，這種做 物理學家發現兩個卡拉比/丘空間，雖 然拓樸很不同，卻可能對應到同一物理 理論。這個性質稱為鏡對稱，彼此對稱 的雙方稱為鏡伴。
吉文塔（Alexander Givental）以及連文豪 / 劉克鋒 / 丘成桐各自獨立完成。 不知有吾身 此樂最為甚 話說回來，我們必須緊記，弦「論」畢竟是一套 理論而已，它還未給實驗所驗證。事實上，有關的 程式中發現錯誤，經修正後，結果竟與物理學家找 到的數目完全吻合。經此一役，數學家對弦學家深 刻的洞察力，不由得肅然起敬。 這一幕還說明了鏡對稱自有其深厚的數學基礎。 人們花了好幾年，到了1990 年代中後期，鏡對稱 的嚴格數學證明，包括坎德拉斯等人的公式，才由 歐洲核子研究組織（CERN）日內瓦實驗室的大型強子對撞機，或許可以找到餘維空間或者超對稱粒子存在的線索。這些發現可以和弦論相 容，但不足以證明其正確性。
如此的美妙，影響了不同的領域，使人們相信它在 物理中必有用武之地。可以肯定的是，故事還會繼 續下去。本人能在其中擔當一角色，與有榮焉。今 後並將傾盡心血，繼續努力。 本 文 參 考 資 料 請 見〈 數 理 人 文 資 料 網 頁 〉http://yaucenter.nctu.edu.tw/ periodical.php 本文出處 翻譯並整理自丘成桐推廣《丘成桐談空間的內在形狀》之各場英文 演講稿。 譯者簡介 夏木青為香港專業數學科普譯者。 延伸閱讀
▼Yau, Shing-Tung & Nadis, Steve，String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions, Notice 58 （2011） no. 8,
AMS。納迪斯將丘成桐演講稿擴充為文。
▼丘成桐、納迪斯，《丘成桐談空間的內在形狀》（2012）遠流。
▼Yau, Shing-Tung & Nadis, Steve，String Theory and the Universe's Hidden Dimensions, Youtube網站。丘成桐與納迪斯在哈佛出版社的 新書發表會錄影，用更輕鬆的方式與聽眾交流，介紹撰寫本書的原 因、過程、內容與困難。 http://www.youtube.com/watch?v=YYHSraW2YBY 實驗還沒有設計出來。弦論是否真的與原來設想的 那樣描述自然，還是言之過早。 如果要給弦論打分的話，從好的方面來說，弦論 啟發了某些極之精妙而有力的數學理論，從中獲得 的數學式子已經有了嚴格的證明，弦論的對錯與 否，都不能改變其真確性。弦論縱使還沒有為實驗 所證實，它始終是現存的唯一能夠統一各種自然力 的完整理論，而且它非常漂亮。試圖統一各種自然 力的嘗試，竟然導致不同數學領域的融合，這是從 來沒有想過的。 當然，現在要作總結還不是時候，過去兩千年 間，幾何學屢經更替，最終形成今天的模樣。而每 次重要的轉變，都基於人類對大自然的嶄新瞭解， 這應當歸功於物理學的最新進展。我們或將親眼看 到21 世紀的重要發展，即量子幾何的面世，這門 幾何未來將把細小的量子物理和大範圍的廣義相對 論結合起來。 抽象的數學為何能夠揭露大自然如許訊息，實在 不可思議，令人驚歎不已，《丘成桐談空間的內 在形狀》一書的主旨乃在於此。不僅如此，我們還 希望透過本書，使讀者知道數學家是如何進行研究 的。他們不必是奇奇怪怪的人，就像在電影《心靈
捕手》（Good Will Hunting） 中的清潔工般，一
面在打掃地板，另一面卻破解了懸空百年的數學難 題。傑出的數學家也不必如另一部電影和小說《美 麗境界》（A Beautiful Mind）描述的那樣，是個 精神異常、行為古怪的人。 數學家和做實驗的學者同樣研究自然，但他們採 用的觀點不同，前者更為抽象。然而，無論數學家 或物理學家，他們的工作都以大自然的真和美為依 歸。數學和物理互動時迸發的火花，重要的想法如 何相互滲透，偉大的新學說如何誕生，如此種種， 我們都在書中娓娓道來。 就弦論而言，我們看到幾何和物理如何走在一 起，催生了美妙的數學與精深的物理。這些數學是
