從 Lucas 的 一 則 方 程說起

從 ^Lucas 的一則方程說起

吳振奎

Lucas 的一則方程式

1875 年英國數學家魯卡斯 (E. Lu- cas) 向 「新數學年鑑」 的讀者發出挑戰, 徵求下面命題的證明:

用砲彈堆砌成的正方棱錐 (每層砲 彈數分別為 1², 2², 3²,. . .), 只有當最底 層砲彈為 24² 顆時, 整個堆垛所堆砲彈 數才是一個完全平方數。

這實際上相當要於證明方程

1²+ 2²+ 3²+ . . . + x² = y², (x, y ∈ Z) 只有 x = 24, y = 70 的一組非平凡解。

次年, 布藍斯 (M. Moret−Blanc) 給出一證明, 但不久人們發現了他的缺陷, 爾後魯卡斯 本人也給出一個小有紕漏的證明。 第一個嚴格證明出自英國數學家沃特森 (G. N. Watson) 之 手, 時在 1918 年, 為此他甚至動用了橢圓函數工具。 1985 年 De Gang Ma 首先給出問題的 一個完全初等的證法。 五年後, 安吉林 (W. S. Anglin) 又給出一個更簡的初等證明 [1]。

尋找幾何解釋

人們對於 Lucas 方程興趣始終未減的原因, 在於問題本身貌似不難 (注意到 1² + 2² + 3²+ . . . + n² = ¹₆n(n + 1)(2n + 1), 顯然人們試圖尋找它是完全平方數的條件), 加之問題看 上去有趣。

55

這兒順便先講幾句關於公式 (自然數前 n 項平方和):

n

X

k=1

k² = 1

6n(n + 1)(2n + 1) (1) 的背景, 據史料記載, 人們很早就知道公式 (自然數前 n 項和):

n

X

k=1

k = 1

2n(n + 1), (2)

且於公元前 200 多年, 古希臘的阿基米德、 畢達哥拉斯及其學派學子尼科馬修斯 (Nicomachus) 等就已經知道上面自然數平方和公式及立方和公式:

n

X

k=1

k³ =

1

2n(n + 1)

2

. (3)

至於自然數四次方和公式, 直到 11 世紀才由阿拉伯數學家給出。 更高次方冪和是由荷蘭 數學家雅谷·伯努利 (J. Bernoulli) 在其所著 「猜度術」 一書中給出的, 且為此引進了 Bernoulli 數。

對於公式 (1)、 (3), 我們可通過計算下面圖表裡 “ ” 形中諸數和與整個數表中全部數和 之關係, 能比較方便地推導出它們:

1 1 2 3 4 . . . n 1 + 2² 1 2 3 4 . . . n (1 + 2) + 3² 1 2 3 4 . . . n (1 + 2 + 3) + 4² 1 2 3 4 . . . n ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(1+2+· · ·+n − 1)+n² 1 2 3 4 . . . n

1³ 1 2 3 4 . . . n 2³ 2 4 6 8 . . . 2n 3³ 3 6 9 12 . . . 3n 4³ 4 8 12 16 . . . 4n ... ... ... ... ... ... ... ...

n³ n 2n 3n 4n . . . n² 當然還可以通過下圖導出公式 (1), 只須按不同方式計算大矩形面積然後列出等式即可:

6² 5²

4² 3²

2² 1²

據稱, 此方法係 11 世紀波斯數學家阿爾·海賽姆 (al-Haitham) 給出。 用他的方法還可類 比地得到自然數 3 次、 4 次、· · ·、m 次方冪和。

仿上方法通過下面兩圖中大正方形面積計算 (圖中數字表示該正方形邊長), 亦可導出公式 (3), 注意下左圖中陰影圖形面積與折線圖形面積抵消:

回到我們的問題, 試想等式 1²+ 2²+ 3²+ . . . + 24² = 70² 的意思顯然又是在說: “邊長 分別為 1, 2, 3,. . ., 24 的正方形面積和恰好等於一個邊長為 70 的大正方形面積”。 反過來是 講: 可以用邊長分別是 1, 2, 3,. . ., 24 的小正方形完全覆蓋 (不重疊且無縫隙) 一個邊長為 70 的大正方形。 然而這種想法並不現實, 因而為此所做的努力是徒勞的, 人們已證明它不可能。

時至今日, 人們找到的最佳覆蓋 (所剩 面積最少) 如左圖。 圖中數字表示該正方形 邊長, 顯然它存在一些縫隙 (圖中黑色處), 且用了 24 個小正方形中的 23 個 (邊長為 7 者未用上, 因而縫隙總面積為 49)。 細細 想來, 這種幾何解釋中蘊含兩類問題: 一是 圖形包容問題, 一是完美正方形問題。

所謂圖形包容是指一些圖形 A₁, A₂, . . . , A_n 可以無重疊放置在圖形 B 上, 稱 B 包容 A₁, A₂, . . . , A_n。

人們曾經探索: 能包容邊長為 1 ∼ n 的全部整數邊長的正方形的最小正方形邊長是多少 ? 若用 a 表示最小正方形邊長, 用 r 表示 剩餘 (覆蓋剩餘):

r = a²− (1²+ 2²+ 3²+ . . . + n²),

時至目前人們已經知道下表所給出的部分結果:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . a 1 3 5 7 9 11 13 15 18 21 24 27 30 33 36 39 43 46 . . . r 0 4 11 19 26 30 29 21 39 56 70 79 81 74 56 25 64 7 . . .

在前述問題中, 能包容 1 ∼ 24 邊長正方形的最小正方形邊長將大於 70。

接下來我們簡單介紹一下與之相關的另一個問題−− 完美正方形問題。

完美正方形

把一個整數邊長的正方形剖分成若干規格 (大小) 不同的整數邊長的小正方形問題稱為 完美正方形剖分問題, 能被剖分的正方形稱為完美正方形。 問題據稱始於 Lw´ow 大學的 S.

Ruziewcz 教授。 1925 年, Z. Moron 找到了一種將矩形剖分成規格不同小正方形的例子, 人 們稱之為完美矩形。 被剖分成的小正方形塊數稱為階。 人們還發現階數最小的完美矩形為 9 階, 且僅存在兩種 (見下圖, 圖中數字表示該正方形邊長)。

兩種 9 階完美矩形

1960 年 Bouwkamp 等人給出 9∼15 階全部完美矩形 (借助於電子計算機)。

10 階完美矩形本質上講僅有以下 6 種:

六種 10 階完美矩形

23 階 1:2 的完美矩形 對於某些特殊的完美矩形, 人們對其

興趣不減。 比如 1968 年 R. L. Brooks 給 出一個長寬之比為 1:2 的完美矩形, 它的階 數是 1323。 次年, P. J. Federico 憑藉所 謂經驗法構造一個階數僅為 23 的長寬之比 為 1:2 的完美矩形 (見右圖)。

下面是兩個由相同尺寸的 13 塊小正

方形拼成的完美矩形 (112×75), 但它們的拼法卻截然不同, 這種例子在完美矩形中並不多見。

對絕大多數完美矩形而言, 都不存在一種以上的拼法 (特別是小正方塊尺寸都相同)。

由 13 塊相同的小正方形拼成的兩種不同的 13 階完美矩形

在完美矩形中, 同一規格的矩形, 完全不同的剖分雖然存在 (詳見後文), 但亦不多見。

2261×3075 矩形的幾乎全然不同的完美剖分

完美矩形被發現後, 人們在尋找完美正方形經過努力未果時, 曾懷疑這種正方形的存在 (比如前蘇聯的 N. N. Lusin 等)。

這時卻有一些 “擬” 或 “准” 完美正方形相繼被發現 (但它們畢竟不是真正意義下的完美 正方形), 比如下左圖是一個 11 階完美矩形, 它的兩邊長分別是 177 和 176 (僅差一點點); 下 右圖是 80×80 的正方形被剖分成 12 個大小不同的小正方形, 遺憾的是中間有一小條未被剖 分 (圖中塗黑部份, 又是僅差一點點):

177×176 的完美矩形 僅差一小條的擬完美正方形

(前面 Lucas 方程幾何解釋圖從某種意義上講也可視為 “擬完美”)

此後, 對於完美正方形的尋找人們仍未放棄, Moron 曾擬出一個由兩塊完美矩形拼接成一 個完美正方形的方案。 1939 年, R. Sprague 按照 Moron 的想法構造出世界上第一塊完美正 方形, 它有 55 階, 邊長為 4205。 幾個月後, 劍橋大學三一學院的 Brooks 等人構造出階數更

小 (28 階), 邊長更短 (邊長為 1015) 的完美正方形。

這個階數最小的記錄一直保持近十年 (至 1948 年才被打破)。

55 階的完美正方形 28 階完美正方形

接下來, 人們又陸續構造出其他一些階數更小的完美正方形。

24 階完美正方形 25 階完美正方形

順便一提: 對於完美正方形來講, 若它內部不包含完美矩形, 則稱它為 “純完美正方形”;

否則稱之為 “混完美正方形”。 如上述 55 階、 28 階、 24 階完美正方形都是 “混完美正方形”, 而所給 25 階完美正方形係 “純完美正方形”, (其中前兩者中各含有一對尺寸相同但不同剖分 的完美矩形) 起初人們用完美矩形去構造完美正方形, 那時所給出的完美正方形皆為混完美型。

由於要拼裝, 故混完美圖形相對階數要略高些。 混完美正方形最小階數為 24; 而純完美正方形

最小階數為 21, 請見下文。

21 階完美正方形 時至 1978 年, 人們已發現 2000 餘個

完美正方形, 但其中最小階數為 24。

早在 1962 年荷蘭溫切斯特大學的 Duijvestijn 已證明 (借助於電子電路 理論)^[6]:

不存在 20 及 20 以下階數的完美 正方形。

16年後他構造出了世界上唯一的一 塊最低階數 (21 階) 的完美正方形 (純 完美正方形, 見右圖)。

1982 年他還證明了混完美正方形 的最小階數是 24。 至此完美正方形問題 研究劃上了一個完滿的句號。

用小正方形去覆蓋整個平面

解決完完美正方形問題後, 有人又提出下面問題:

用邊長分別為 1, 2, 3,. . . 的小正方形, 能否覆蓋住整個平面?

這是一個至今尚未獲釋的問題。^[3] 但是人們借助於斐波那契 (Fibonacci) 數列 (滿足 f0 = f₁ = 1, fn+1 = fn+ f_n−1, n≥ 1 的數列 {fⁿ}) 的性質證明了:

用邊長分別為 1, 2, 3,. . . 的正方形, 至少可覆蓋整個平面的四分之三。

從上圖可看出: 在以虛線為軸的座標系中, 將整個平面分成了四部份。 用 Fibouacci 數列 中的數 (1), 2, 3, 5, 8,. . . (這裡括號中的數字為暫未用上者, 下同) 為邊的正方形可覆蓋座標 平面第四象限; 用廣義 Fibonacci 數列 (Lucas 數列): (6), 9, 15, 24,. . . 為邊的正方形可覆 蓋座標平面第一象限; 用廣義 Fibonacci 數列中: 7, 11, 18, 29, . . . 為邊的正方形可覆蓋座標 平面的第三象限; 在 1, 2, 3, 4,. . . 中剩下的數 4, 6, 10, 12, 14,. . . 為邊的正方形堆放在第二 象限。

從圖可以看出: 整個平面被邊長為 1, 2, 3,. . . 的正方形至少蓋住了四分之三。 當然, 這裡 還需考慮上述三個數列不交問題, 這應該沒有問題。

若記 {fⁿ}n=0,1,2,3,... 為 1, 1, 2, 3, 5,. . . 即 Fibonacci 數列; 又記 {Lⁿ}n=0,1,2,3,... 為 Lucas 數列 L0 = r, L1 = s, 且 Ln+1 = Ln+ L_n−1 (n ≥ 1), 則容易證明該數列通項與 Fibonacci 數列通項間關係:

L_n+1 = rf_n−1+ sfn (n ≥ 1).

則對於數列: 6, 9, 15, 24,. . . 而言, 其通項:

L^′_n+1 = 6f_n−1+ 9fn. (∗) 又對於數列: 7, 11, 18, 29,. . . 而言, 其通項:

L^′′_n+1 = 7fn−1+ 11fn. (∗∗) 可以證明: f_n+4 < L^′_n < L^′′_n < f_n+5. (∗ ∗ ∗)

這只須注意到:

f_n+4 = fn+3+ fn+2 = 2fn+2+ fn+1 = . . . = 8fn+ 5f_n−1, 且 f_n+5 = f_n+4+ f_n+3 = 2f_n+3+ f_n+2 = . . . = 13fn+ 8f_n−1 即可。

由 (∗) 及 (∗∗) 式, 知 (∗ ∗ ∗) 式成立。 此即說前述三數列中無相同項, 即三數列的交集是 空集。

這一點我們還可以通過比內 (J. P. M. Binet) 公式闡述。 我們知道: Fibonacci 數列的 通項可用公式

f_n = 1

√5

1 +√ 5 2

n+1

− 1

√5

1 −√ 5 2

n+1

, n = 0, 1, 2, . . . 表示。 對於 Lucas 數列: L₀ = r, L1 = s, Ln+1 = Ln+ L_n−1 (n ≥ 1) 其通項為

L_n= c₁

1 +√ 5 2

n

+ c₂

1 −√ 5 2



, (n ≥ 0)

其中 c₁, c2 滿足方程組:







c₁+ c2 = r, 1 +√

5

2 c₁+ 1 −√ 5

2 c₂ = s.

由於 c₁, c2 不同, 數列通項表達式相異, 換言之它們將表示不同的數 (或數列不交)。

Lucas 問題的拓廣

人們在研究 Lucas 方程

1²+ 2²+ 3²+ . . . + x² = y² 時還發現: 對於其拓廣問題 (平方和不是從 1 開始):

x

X

i=1

(k + i)² = y², 有許多解, 比如下表所給數據 (k, x, y):

k 17 24 37 455 853 . . . x 10 25 10 10 10 . . . y 77 195 143 1529 2849 . . . 給出了方程的五組解。

此外人們也發現了不連續整平方和為完全平方數的例子, 如

2²+ 5²+ 8²+ 11²+ 14²+ 17²+ 20²+ 23²+ 26² = 48² 等等。 其指數上的另外拓廣有解如:

3³ + 4³+ 5³ = 6³,

30⁴+ 120⁴+ 272⁴+ 315⁴ = 353⁴, 27⁵+ 85⁵+ 110⁵+ 135⁵ = 144⁵

· · · · 當然, 對於一般問題即方程

x

X

k=1

kⁿ= gⁿ (n ≥ 3) (∗)

解的研究仍未果, 人們在弱化某些條件後僅取得一些局部進展, 如: 1953 年 Leo Moser 證明 了方程

x−1

X

k=1

kⁿ= xⁿ

在 x < 10¹⁰⁶ 內無解。 顯然它不是 Lucas 方程的直接推廣。 此結論亦不合方程 (∗)。

參考文獻

1. W. S. Anglin, The square pyramid puzzle, Amer. Math. Monthly, 97(1990).

2. 吳振奎、 俞曉群, 今日數學中的趣味問題, 天津科學技術出版社, 1990。

3. 吳振奎, 斐波那契數列, 遼寧教育出版社, 1989 (臺灣九章出版社, 1993)。

4. 吳振奎, 完美正方形, 自然雜誌, 1992(10)。

5. 曹富珍, 數論中的問題與成果, 哈爾濱工業出版社, 1996。

6. 吳振奎, 數學解題中的物理方法, 河南科技出版社, 1998。

—本文作者任教於中國天津商學院_—