1-2 向量的基本應用例題

(1)

1-2 向量的基本應用

例題 1

設△ABC 中，

1

─

BC 上的點 D 滿足 ─ BD：─

CD＝3：2，將 AD 表示成 xAB＋y AC‧

2

─

AD 上的點 E 滿足 ─ AE：─

DE＝2：1，將 AE 表示成 αAB＋βAC‧

■^解：

1

AD＝ 2

5 AB＋ 3 5 AC

2

AE＝ 2

3 AD＝ 2 3 （ 2

5 AB＋ 3

5 AC）＝ 4

15 AB＋ 2 5 AC

例題 2

△ABC 中，點 M 在 ─

AB 上且 ─ AM：─

BM＝2：3，點 P 在 ─ CM 上

且 ─ CP：─

MP＝4：1，若 AP＝xAB＋y AC，則數對（x，y）＝ ‧

■^解：

AP＝ 4

5 AM＋ 1

5 AC＝ 4 5 ‧ 2

5 AB＋ 1

5 AC ＝ 8

25 AB＋ 1 5 AC ∴數對（x，y）＝（ 8

25 ， 1 5 ）

例題 3

平面上 A，B，C 三點共線，O 為不在此線上之任一點，若

（2t＋1）OA＋（3t＋4）OB＋5OC＝ 0 ，求實數 t＝ ‧

■^解：

OC＝－ 2t＋1

5 OA－ 3t＋4 5 OB ∵C，A，B 共線 ∴－ 2t＋1

5 － 3t＋4

5 ＝1 t＝－2

(2)

例題 4

設 A，B，C 三點不共線‧P 點與 A，B，C 三點在同一平面 上且 AP＝3AB＋2AC‧令 ─

AP 與 ─

BC 交於 M，試將 AM 寫成

rAB＋sAC 之形式‧

■^解：∵AM // AP 令AM＝tAP

∴AM＝t AP＝3t AB＋2t AC ………（*）

又 B，M，C 三點共線，因此令 3t＋2t＝1 ∴t＝ 1

5 代入（*）

所以 AM＝ 3

5 AB＋ 2

5 AC 得 r＝ 3

5 ，s＝ 2 5

例題 5

設 u 與 v 是平面上任意兩不互相平行的非零向量，又 OP＝u＋v ，OQ＝2u－ v ，

OR＝r u ＋s v ，若 P，Q，R 三點共線且 r＋s＋1＝0，試求 r＝，s＝ ‧

■^解：PQ＝OQ－OP＝u－2v，PR＝（r－1）u＋（s－1）v ∵P，Q，R 三點共線

∴PR＝t PQ PR

PQ ＝t r－1

1 ＝ s－1 －2 ＝t

∴－2r＋2＝s－1 2r＋s＝3………○¹ 又已知 r＋s＋1＝0………○2

由○1、○²知 r＝4，s＝－5

(3)

A，B，C 為平面上不共線三點，令 AD＝ 1

2 AB＋ 1 3 AC，

設 ←→

AD 與 ─

BC 交於 P，則 ─ AD：─

AP 之比值為 ‧

■^解：

∵A，D，P 三點共線 ∴AP＝k AD＝ k

2 AB＋ k 3 AC

∵P，B，C 三點共線 ∴ k 2 ＋ k

3 ＝1 k＝ 6 5 ∴

─AD ─AP

＝ 5 6

例題 7 試證：

1

內分比：△ABC 中，若∠A 內角平分線 ─

AD 交 ─

BC 於 D ─ BD：─

CD＝─ AB：─

AC

2

外分比：△ABC 中，若∠A 外角平分線 ─

AE 交 ─

BC 於 E ─ BE：─

CE＝─ AB：─

AC

■^證：

1

令∠BAC＝2θ，利用面積公式可求出 ─

BC 的內分比

─BD ─CD

＝ △ABD 的面積 △ACD 的面積 ＝

1 2 ×─

AB×─

AD×sinθ 1

2 ×─ AC×─

AD×sinθ

＝

─AB ─AC

2

同理

─BE ─CE

＝ △ABE 的面積 △ACE 的面積

＝ 1 2 ‧─

AB‧─

AE‧sin（α＋β）

1 2 ‧─

AC‧─

AE‧sinα

＝ 1 2 ‧─

AB‧─

AE‧sin（π－α）

1 2 ‧─

AC‧─

AE‧sinα

＝

─AB ─AC

(4)

例題 8

△ABC 中，｜AB｜＝2，｜AC｜＝1，

1

若∠A 內角平分線 ─

AD 交 ─

BC 於 D，則 AD＝ AB＋ AC‧

2

若∠A 外角平分線 ─

AE 交 ─

BC 於 E，則 AE＝ AB＋ AC‧

■^解：

1

∵─

AD 為∠A 之內角平分線

∴─ BD：─

CD＝─ AB：─

AC＝2：1 ∴AD＝ 1

2＋1 AB＋ 2

2＋1 AC＝ 1

3 AB＋ 2 3 AC

2

∵─

AE 為∠A 之外角平分線

∴─ BE：─

CE＝─ AB：─

AC＝2：1 ∴AE＝ －1

2－1 AB＋ 2

2－1 AC＝－AB＋2AC

例題 9

設△ABC 中，─

AB＝4，─

BC＝5，─

CA＝6，其中 K 在 ─ BC 上，

求∠A 的內角平分線 ─

AK 的長為 ‧

■^解：

∵

─BK ─KC

＝

─AB ─AC

＝ 4 6 ＝ 2

3

∴AK＝ 3

5 AB＋ 2 5 AC ｜AK｜²＝（ 3

5 AB＋ 2

5 AC）‧（ 3

5 AB＋ 2 5 AC）

(5)

而 AB‧AC＝AB ＋CA －BC

2 ＝ 4＋6 －5

2 ＝ 27 2

｜AK｜²＝

9‧4²＋12‧ 27

2 ＋4‧6²

25 ＝ 144＋162＋144

25 ＝18 ｜AK｜＝3 2

例題 10

△ABC 中，─

AB＝4，─

BC＝6，─

AC＝5，D 為∠A 的平分線與 ─ BC 的 交點，I 為△ABC 之內心，

1

試求 ─ AI AD ─

＝ ‧

2

若 AD＝xAB＋y AC，則 x＝，y＝ ‧

3

若 AI ＝αAB＋βAC，則α＝，β＝ ‧

4

試求 OI＝ ‧（其中 O 為異於 A，B，C 的任意點）

■^解：

1

∵AD 平分∠A

∴─ BD：─

CD＝4：5 ─ BD＝ 4

5＋4

─BC＝ 4×6 5＋4 ＝ 8

3 又 ←→

BI 平分∠B ∴─

AI ：─ ID ＝─

AB：─

BD＝4： 4×6

5＋4 ＝（5＋4）：6

∵─ AD＝─

AI ＋─ ID ∴

─AI ─AD

＝ 5＋4

6＋5＋4 ＝ 9 15

2

∵←→

AD 平分∠A ∴─ BD：─

CD＝4：5 ∴AD＝ 5

5＋4 AB＋ 4

5＋4 AC＝xAB＋y AC ∴x＝ 5

9 ，y＝ 4 9

(6)

3

AI ＝ 5＋4

6＋5＋4 AD＝ 5＋4

6＋5＋4 （ 5

5＋4 AB＋ 4

5＋4 AC）＝ 5

6＋5＋4 AB＋ 4

6＋5＋4 AC ＝αAB＋βAC ∴α＝ 5

15 ＝ 1

3 ，β＝ 4 15

4

∵AI＝ 5

6＋5＋4 AB＋ 4

6＋5＋4 AC OI－OA＝ 5

6＋5＋4 （OB－OA）＋ 4

6＋5＋4 （OC－OA）

∴OI＝（6＋5＋4－5－4）OA＋5OB＋4OC

6＋5＋4 ＝ 1

6＋5＋4 （6OA＋5OB＋4OC）

＝ 1

15 （6OA＋5OB＋4OC）

例題 11

設 G 為△ABC 的重心，O 為同一平面上任一點，則下列何者正確？

A

AG＋BG＋CG＝0

B

OA＋OB＋OC＝3OG

C

△ABG 的面積＝△ACG 的面積＝△BCG 的面積

D

AB＋AC＝3AG

E

BG＝ 2

3 BA＋ 2 3 BC

■^解：

∵G 為重心 ∴OG＝ 1

3 （OA＋OB＋OC）且 GA＋GB＋GC＝0 又△ABG 的面積＝△ACG 的面積＝△BCG 的面積

AG＝ 1

3 AB＋ 1

3 AC，BG＝ 1

3 BA＋ 1

3 BC 故選

A B C D

例題 12

在△ABC 的三邊 ─ BC，─

CA，─

AB 上分別取 D，E，F 三點，

使 DC＝4BD，EC＝2AE，FB＝2AF（如右圖）‧設 G 為

(7)

∵G 為△DEF 的重心 ∴AG＝ 1

3 （AD＋AE＋AF） …………○1 又 DC＝4BD ∴AD＝ 4

5 AB＋ 1

5 AC………○2 ∵EC＝2AE ∴AE＝ 1

3 AC ………○3 又 FB＝2AF ∴AF＝ 1

3 AB………○4 由○1、○²、○³、○⁴得 AG＝ 17

45 AB＋ 8

45 AC ∴α＝ 17

45 ，β＝ 8 45

例題 13

三角形的垂心性質：H 是△ABC 的垂心，試證 AB‧AH＝AC‧AH＝AB‧AC‧

■^證：AH‧AB＝（AC＋CH）‧AB＝AC‧AB＋CH‧AB ＝AC‧AB＋0＝AC‧AB

同理 AH‧AC＝AB‧AC

例題 14

三角形的外心性質：O 是△ABC 的外心，試證：

1

AO‧AB＝ 1

2 ｜AB｜²‧

²

AO‧AC＝ 1

2 ｜AC｜²‧

■^證：

1

AO‧AB＝（AD＋DO）‧AB＝AD‧AB＋DO‧AB ＝ 1

2 AB‧AB＋0＝ 1

2 ｜AB｜²

2

AO‧AC＝（AE＋EO）‧AC＝AE‧AC＋EO‧AC ＝ 1

2 AC‧AC＋0＝ 1

2 ｜AC｜²

例題 15

在△ABC 中，已知 ─

AB＝4，─

BC＝6，─

CA＝5，令 H 為垂心，

O 為外心，試求：

(8)

1

○1 AB‧AC＝ ‧ ○2 BC‧BA＝ ‧ ○3 CA‧CB＝ ‧

2

○1 AB‧AH＝，AC‧AH＝ ‧

○2 AH＝αAB＋βAC，則α＝，β＝ ‧

3

○1 AB‧AO＝，AC‧AO＝ ‧

○2 AO＝sAB＋tAC，則 s＝，t＝ ‧

■^解：

1

○1 AB‧AC＝ 4²＋5²－6² 2 ＝ 5

2 ；○2 BC‧BA＝ 4²＋6²－5² 2 ＝ 27

2 ； ○3 CA‧CB＝ 5²＋6²－4²

2 ＝ 45 2

2

○1 ∵H 為△ABC 之垂心

∴

 



AB‧AH＝AB‧AC＝ 5 2 AC‧AH＝AB‧AC＝ 5 2

○2



AH‧AB＝α∣AB∣²＋β（AC‧AB）

AH‧AC＝α（AB‧AC）＋β∣AC∣²

  

^16α＋⁵₂^β＝⁵₂

5

2 α＋25β＝ 5 2

α＝ 1

7 ，β＝ 3 35

3

○1 O 為△ABC 之外心

 



^AB‧AO＝¹₂^｜AB｜²^＝8

AC‧AO＝ 1

2 ｜AC｜²＝ 25 2 ○2



AB‧AO＝s｜AB｜²＋t（AB‧AC）

AC‧AO＝s（AB‧AC）＋t｜AC｜²

 

^16s＋⁵₂^t＝8

3 16

(9)

平行四邊形 ABCD，若｜AB｜＝5，｜BC｜＝7，則 AC‧BD＝ ‧

■^解：AC‧BD＝（AB＋BC）‧（BC－AB）

＝｜BC｜²－｜AB｜²＝7²－5²＝24

例題 17

△ABC 中，若 ─

AB＝3，─

BC＝6，─

AC＝5，M 為 ─

BC 之中點，

則 ─

AM＝ ‧

■^解：

利用中線定理：─

AB ²＋─

AC ²＝2［─ AM ²＋（

─BC 2 ）²］ 9＋25＝2（─

AM ²＋3²） ─

AM ²＝8 ∴─

AM＝2 2

1-2 向量的基本應用 例題