例題 1
A（1，13，2），B（5，0，10），C（－1，3，4），O 為原點，試求：
1 OA＋OB＋OC＝ ‧ 2 3AB－4AC＝ ‧ 3 ABCD 為平行四邊形，求 D 點坐標為 ‧
■
解：1 OA＝（1，13，2），OB＝（5，0，10），OC＝（－1，3，4）
OA＋OB＋OC＝（1＋5－1，13＋0＋3，2＋10＋4）＝（5，16，16）
2 3AB＝3（5－1，0－13，10－2）＝（12，－39，24）
－4AC＝－4（－1－1，3－13，4－2）＝（8，40，－8）
3AB－4AC＝3AB＋（－4AC） ＝（12＋8，－39＋40，24－8）＝（20，1，16）
3 令 D（x，y，z），利用 CD＝BA
（x＋1，y－3，z－4）＝（－4，13，－8）
∴x＝－5，y＝16，z＝－4 D（－5，16，－4）
例題 2
空間中，A（4，1，13），B（－1，6，5），
1 P ─ AB，─
AP：─
AB＝2：3，求 P 坐標為 ‧ 2 P ←→AB
，─ AP：─
BP＝3：1，求 P 坐標為 ‧
■
解：1 如圖一，利用分點公式得 P（ 1 4‧ ＋2‧（－1）
1＋2 ，
1 1‧ ＋2 6 ‧ 1＋2 ，
1 13‧ ＋2 5 ‧
1＋2 ）＝（ 2 3 ， 13
3 ， 23 3 ） 2 P ←→AB
○1 若 P 在 ─
AB 上，如圖二，利用內分點公式得 P（ 1 4‧ ＋3（－1）
3＋1 ，
1 1‧ ＋3 6 ‧ 3＋1 ，
1 13‧ ＋3 5 ‧
3＋1 ）＝（ 1 4 ， 19
4 ，7）
○2 若 P 在 B 之外側，如圖三，利用外分點公式得 P（（－1） 4‧ ＋3‧（－1）
3－1 ，
（－1） 1‧ ＋3 6 ‧ 3－1 ，
（－1） 13‧ ＋3 5 ‧ 3－1 ） ＝（－ 7
2 ， 17
2 ，1）
例題 3
空間中，A（1，3，－2），B（3，1，－1），C（5，3，1），試求：
1 ∠BAC 的內角平分線交 ─BC 於 D，則 D 點坐標為為 ‧ 2 ∠BAC 的外角平分線交 BC←→
於 E，則 E 點坐標為為 ‧
■
解：1 ─
AB＝ （3－1）2＋（1－3）2＋［－1－（－2）］2 ＝3 ─
AC＝ （5－1）2＋（3－3）2＋［1－（－2）］2 ＝5 ∵─
AD 平分∠BAC ─
BD：─ CD＝─
AB：─
AC＝3：5 OD＝ 5OB＋3OC 3＋5 ∴D 為（ 5 3‧ ＋3 5 ‧
3＋5 ， 5 1‧ ＋3 3 ‧
3＋5 ， 5‧（－1）＋3 1 ‧ 3＋5 ） ＝（ 30
8 ， 14 8 ，
－2
8 ）＝（ 15 4 ， 7
4 ，－ 1 4 ）
2 令 ─
AE 平分∠BAC 之外角 ─
BE：─ CE＝─
AB：─
AC＝3：5 OE＝ 5OB－3OC 5－3 E 為（ 5 3‧ －3 5 ‧
5－3 ，
5 1‧ －3 3 ‧ 5－3 ，
5‧（－1）－3 1 ‧ 5－3 ） ＝（ 0
2 ， －4
2 ， －8
2 ）＝（0，－2，－4）
a ＝（1，0，1），b＝（－1，2，1），則：
1 a ． b ＝ ‧
2 （2a－b）．（a＋b）＝ ‧
■
解：1 a．b＝1‧（－1）＋0 2‧ ＋1 1‧ ＝0
2 2a－b＝2（1，0，1）－（－1，2，1）＝（3，－2，1）
a＋b＝（0，2，2）
（2a－b）‧（a＋b）＝3 0‧ ＋（－2） 2‧ ＋1 2‧ ＝－2
例題 5
在空間中有一三角形 ABC，A（2，－3，4），B（3，－4，4），C（2，－2，3），
試求∠A＝ ‧
■
解：AB＝（1，－1，0），AC＝（0，1，－1）
AB．AC＝│AB│．│AC│．cosA －1＝ 2 ． 2 ．cosA cosA＝－ 1
2 ∠A＝ 2π 3 例題 6
如右圖，長方體 ABCD－EFGH 的長、寬、高分別為 ─
AB＝2，
AD＝6，─ ─
AE＝4，若 M 為 ─
DH 的中點，N 為 ─
FG 的中點，則 AN．BM＝ ‧
■
解：建立坐標系 A（0，0，0），B（2，0，0），
M（0，6，2），N（2，3，4）
則 AN．BM＝（2，3，4）．（－2，6，2）＝－4＋18＋8＝22
例題 7
若 a，b 為實數，則 a2＋b2＋（2a－b－12）2 的最小值為 ‧
例題 8
若 x＋2y＋z＝4，試求 x2＋y2＋z2－4x＋2z 之最小值為 ‧
■
解：x 2＋y 2＋z 2－4x＋2z＝（x－2）2＋y2＋（z＋1）2－5
［（x－2）2＋y2＋（z＋1）2］．［12＋22＋12］＞－（x－2＋2y＋z＋1）2 ［（x－2）2＋y2＋（z＋1）2］．6＞－（x＋2y＋z－1）2＝9
（x－2）＋y2＋（z＋1）2＞－ 3 2 ∴最小值為 3
2 －5＝－ 7 2
例題 9
空間中三點 P（6，－4，4），Q（2，1，2），R（3，－1，4），試求：
1 QP 在 QR 上之正射影為 ‧ 2 QP 在 QR 上之正射影長為 ‧ 3 P 在 QR←→
上之正射影點坐標 ‧ 4 P 點到直線 QR 的距離為 ‧
■
解：
1 QP．QR
│QR│2 ．QR＝（4，－5，2）．（1，－2，2）
9 ．（1，－2，2）＝（2，－4，4）
2
QP．QR
│QR│ ＝
（4，－5，2）．（1，－2，2）
3 ＝ 4＋10＋4 3 ＝6 3 由1知 QP 在 QR 上的正射影 QA＝（2，－4，4）
設 A（x，y，z），QA＝（x－2，y－1，z－2）＝（2，－4，4）
∴A（x，y，z）＝（4，－3，6）
4 P 到 QR←→
的距離為 ─
PA＝ （6－4）2＋（－4＋3）2＋（4－6）2 ＝3
例題 10
空間中三點 A（－1，－2，7），B（2，4，1），C（14，－2，13）
1 AB×AC＝ ‧ 2 △ABC 面積為 ‧ 3 A 到 BC←→
的距離為 ‧
4 若 H 為△ABC 之垂心，則 AB．AH＝ ‧
■
解：1 AB＝（3，6，－6），AC＝（15，0，6） AB×AC＝（36，－108，－90）
2 △ABC＝ 1
2 │AB×AC│＝ 1
2 │18（2，－6，－5）│＝9 65 3 BC＝（12，－6， 12），─
BC＝ 122＋（－6）2＋122 ＝ 324 ＝18 d（A，BC←→
）＝ 2△ABC
18 ＝ 2 9‧ 65
18 ＝ 65
4 AB．AH＝AB．（AC＋CH）＝AB．AC＋AB．CH＝AB．AC＝45－36＝9 （由 AB⊥CH 知 AB．CH＝0）
