1-4 平面向量的內積 例題

1-4 平面向量的內積

例題 1

u ＝（1，－1）， v ＝（2，1），則：

1 u ‧ v ＝ ‧ ² ｜ u ＋t v ｜有最小值時，t＝ ‧

■^解：1 u‧v＝1‧2＋（－1）‧1＝1

2 ｜u＋tv｜²＝（1＋2t）²＋（－1＋t）²＝1＋4t＋4t ²＋1－2t＋t ²＝5t ²＋2t＋2 ＝5［t ²＋ 2

5 t＋（ 1

5 ）²］－ 1

5 ＋2＝5（t＋ 1

5 ）²＋ 9 5 ＞－

9 5 當 t＝－ 1

5 時，｜u＋tv｜有最小值 3 5

例題 2

x，y ，x²＋y²＝52，則：

1 2x＋3y＋1 的範圍為 ‧

2 發生最大值時的數對（x，y）＝ ；發生最小值時的數對（x，y）＝ ‧

■^解：1 令 u＝（x，y），v＝（2，3） ｜u｜²＝x²＋y²，｜v｜²＝13，u‧v＝2x＋3y 由柯西不等式得（x²＋y²）‧13＞－（2x＋3y）² －26＜－2x＋3y＜－26

∴－25＜－2x＋3y＋1＜－27

2 當 u // v， x 2 ＝ y

3 ＝t，將 x＝2t，y＝3t 代入 x²＋y²＝52 得 t＝±2 令 t＝2 時，x＝4，y＝6 2x＋3y＋1 有最大值 27

令 t＝－2 時，x＝－4，y＝－6 2x＋3y＋1 有最小值－25

例題 3

1 設 x，y 為正數，且 2x＋3y＝14，當數對（x，y）＝ 時， 8 x ＋ 3

y 有最小值 為 ‧

2 設 x，y 為正數，且 x＋2y＝8，當數對（x，y）＝ 時， 9 x ＋ 2

y 有最小值為

‧

■^解：

1 ∵x＞0，y＞0，令 u＝（ 2x ， 3y ），v＝（ 2 2 x ，

3 y ） ｜u｜²＝2x＋3y，｜v｜²＝ 8

x ＋ 3 y （2x＋3y）（ 8

x ＋ 3

y ）＞－（ 2x ‧ 2 2

x ＋ 3y ‧ 3 y ）² （2x＋3y）（ 8

x ＋ 3

y ）＞－（4＋3）²＝49 （ 8 x ＋ 3

y ）＞－ 49 14 ＝ 7

2 ∴ 8

x ＋ 3

y 有最小值 7

2 ，此時 2x 2 2 x

＝ 3y 3

y

＝t x 2 ＝ y

1 ＝t

x＝2t，y＝t 代入 2x＋3y＝14 ∴t＝2 數對（x，y）＝（4，2）

2 ∵x＞0，y＞0，令 u＝（ x ， 2y ），v＝（ 3 x ，

2 y ） ｜u｜²＝x＋2y，｜v｜²＝ 9

x ＋ 2 y （x＋2y）（ 9

x ＋ 2

y ）＞－（3＋2）² 9 x ＋ 2

y ＞－ 25

8 當 u // v 時， 9

x ＋ 2

y 有最小值 25

8 ，此時 x 3 x

＝ 2y 2 y

x 3 ＝ y

1 ＝t 代入 x＋2y＝8 得 t＝ 8

5 ∴數對（x，y）＝（ 24 5 ，

8 5 ） 例題 4

設 a ＝（x，y），已知｜a｜＝ 13 ，則當 5x＋y 有最大值時，a＝ ‧

■^解：a＝（x，y） ｜a｜²＝x²＋y²＝13

由（x²＋y²）（5²＋1²）＞－（5x＋y）² 得（5x＋y）²＜－13×26 －13 2 ＜－5x＋y＜－13 2

當 x 5 ＝ y

1 時，5x＋y 有最大值 13 2 ， x＝5y 代入 5x＋y＝13 2 得 25y＋y＝13 2 y＝ 2

2 ，x＝ 5 2

2 ，即 a＝（x，y）＝（ 5 2 2 ，

2 2 ）

例題 5

x，y 為實數，x²＋y²＋2x＝4，求 x－2y 之最小值為 ‧

■^解：x²＋y²＋2x＝4 （x＋1）²＋y²＝5

由柯西不等式［（x＋1）²＋y²］［1²＋（－2）²］＞－（x＋1－2y）²

∴－5＜－x－2y＋1＜－5 －6＜－x－2y＜－4，故最小值為－6 例題 6

△ABC 中，─

AB＝5，─

BC＝7，─

AC＝8，則：

1 AB‧AC＝ ‧² △ABC 的面積為 ‧

■^解：

1 AB‧AC＝─ AB‧─

AC‧cosA＝─ AB‧─

AC‧

─AB ²＋─ AC ²－─

BC ² 2─

AB‧─ AC

＝ 5²＋8²－7² 2 ＝20

2 △ABC 面積為 1

2 ｜AB｜²‧｜AC｜²－（AB‧AC）² ＝ 1

2 5²‧8²－20² ＝10 3

例題 7

設△ABC 的三頂點為 A（3，－2），B（－1，－4），C（6，－3），則：

1 AB‧AC＝ ‧ ² ∠A＝ ‧

3 △ABC 的面積為 ‧ ⁴ A 到 ─

BC 的距離為 ‧

■^解：1 AB＝（－4，－2），AC＝（3，－1）

AB‧AC＝（－4）（3）＋（－2）（－1）＝－12＋2＝－10

2 ｜AB｜＝ （－4）²＋（－2）² ＝ 20 ，｜AC｜＝ 3²＋（－1）² ＝ 10

cosA＝ AB‧AC

｜AB｜｜AC｜ ＝ －10

20 10 ＝－ 1

2 ∴∠A＝ 3π 4 3 △ABC＝ 1

2 





－4 3

－2

－1 ＝ 1

2 （4＋6）＝5 4 ─

BC＝ （6＋1）²＋（－3＋4）² ＝ 50

∴A 到 ─

BC 的距離為

─BC

＝ 50 ＝ 2 例題 8

u ＝（3，2）， v ＝（4，－1），

1 u 在 v 的正射影為 ‧

2 v 在 u 的正射影為 ‧

3 u 在 v 的正射影長為 ‧

4 v 在 u 的正射影長為 ‧

■^解：1 u‧v＝3‧4＋2‧（－1）＝10 ｜v｜²＝4²＋（－1）²＝17 u 在 v 的正射影為（ u‧v

｜v｜²）‧v＝ 10

17 （4，－1）＝（ 40

17 ，－ 10 17 ） 2 ｜u｜²＝3²＋2²＝13

v 在 u 的正射影為（ u‧v

｜u｜²）‧u＝ 10

13 （3，2）＝（ 30 13 ，

20 13 ） 3 u 在 v 的正射影長為







 u‧v

｜v｜ ＝ 10 17 4 v 在 u 的正射影長為





 u‧v 

｜u｜ ＝ 10 13

例題 9

設 A（a，1），B（2，b）與 C（3，4）為坐標平面上三點，而 O 為原點‧若向量 OA

與 OB 在向量 OC 上的正射影相同，則 a 與 b 滿足的關係式為 ‧

■^解：

u 在 v 方向之正射影為（ u‧v ｜v｜²）v 由已知可得 3a＋4

25 （3，4）＝ 6＋4b

25 （3，4）

∴3a＋4＝6＋4b，即 3a－4b－2＝0

例題 10

兩直線 2x＋3y＝4 與 5x－y＝7 的夾角為θ，求 cosθ＝ ‧

■^解：

cosθ＝± 2‧5＋3‧（－1）

2²＋3² ‧ 5²＋（－1）² ＝± 7

13 ‧ 26 ＝± 7

13‧ 2 ＝± 7 2 26 例題 11

求過（2，－1）與 3 x－y＝0 夾角成 30°的直線方程式為 ‧

■^解：設過（2，－1）之直線為 L¹：y＋1＝m（x－2） L1：mx－y－2m－1＝0 而 L2： 3 x－y＝0，已知兩直線夾角為 30°

因此 cos30°＝







3 m＋1 

m²＋（－1）² ‧ （ 3 ）²＋（－1）² ，平方之 （ 3 m＋1）² （m²＋1）‧4 ＝ 3

4 ∴3m²＋3＝3m²＋2 3 m＋1 2 3 m＝2 ∴m＝ 1

3 ，另一解為鉛直線 ∴L1 為 1

3 x－y－ 2

3 －1＝0 或 x＝2 x－ 3 y＝2＋ 3 或 x＝2

例題 12

設直線 L1 的方程式為 5x－12y－2＝0，L² 的方程式為 4x＋3y＋11＝0‧試求：

1 L1 與 L2 的交點坐標‧

2 L₁ 與 L₂ 的交角平分線方程式‧

■^解：

1 ^{5x－12y－2＝0}

4x＋3y＋11＝0 得 x＝－2，y＝－1 ∴交點為（－2，－1）

2 ｜5x－12y－2｜

13 ＝｜4x＋3y＋11｜

5 ∴5（5x－12y－2）＝±13（4x＋3y＋11）

交角平分線為 11x－3y＋19＝0 或 3x＋11y＋17＝0

例題 13

兩直線 L₁：2x－9y＋16＝0，L²：9x－2y－5＝0 之銳角平分線的方程式為 ‧

■^解：

(異號區)L1，L² 交角平分線 2x－9y＋16

4＋81 ＝ 9x－2y－5

4＋81 , ( L4：x－y＋1＝0 為銳角平分 線方程式