1-4 空間向量的外積

(1)

1-4 空間向量的外積

1. 設



a (2, 2, 1)

﹐



b (1,2, 2)

﹐試問



a 與



b

的外積

 

a b 為 (1)(2, 1, 2) (2)( 2, 1, 2) (3)(6, 3, 6) (4)( 6, 3, 3) ﹒ 解： (2, 2, 1)



a 

﹐



b (1,2, 2)

﹐

得

 

a b (6, 3, 6)

﹐選項為(3)﹒

2. 設 A(1, 1, 2)﹐B(2, 3, 4)﹐C(3, 3, 2)﹐試問△ ABC 的面積為 (1) 3 (2) 4 (3) 5 (4) 6﹒

解： (1, 2, 2)AB





﹐AC



(2, 2, 0)

( 4, 4, 2) AB

 

AC   

﹐△ ABC 的面積為¹| | ¹ 6 3 2 AB

 

AC   2

﹐選項(1)﹒

3. 右圖是正四面體﹐且A(3, 0, 0)﹐B(0, 3, 0)﹐C(0, 0, 3)﹐ (3, 3, 3)

D ﹐試問四面體 ABCD 的體積為 (1) 6 (2) 9 (3) 12 (4) 18﹒

解： ( 3, 3, 0)AB



 

﹐AC



 ( 3, 0, 3)

﹐AD



(0, 3, 3)

﹐ (9, 9, 9)

AB

 

AC

﹐ (AB

  

AC)AD54

﹐ 四面體體積為¹| ( ) | ¹ 54 9

6 AB

  

AC AD  6 

﹐選項為(2)﹒

(2)

4. 若



a (2, 1, 2)

﹐



b (2, 2, 1)

﹐ 若向量 n 滿足

 

n  a

﹐

 

n  b

﹐ 且

|



n |6

﹐試求



n

（兩解）﹒

解： (3,

 

a b  6, 6)

﹐且 |

 

a b |9

﹐ 因 |



n |6

﹐得 ²( ) (2, 4, 4)

n 3 a b  

  

﹐

或 ²( ) ( 2, 4, 4)

n  3 a b   

  

﹒

5. 設空間中有一平行四邊形的三頂點A(1, 0, 1)﹐B(3, 0, 3)﹐ (3, 2, 2)

C ﹐試求平行四邊形 ABCD 的面積﹒

解：平行四邊形 ABCD 的面積是△ ABC 面積 2 倍﹐

即 AB



﹐AC



所展開平行四邊形的面積﹒

(2, 0, 2) AB





﹐AC



(2, 2, 1)

﹐AB

 

AC ( 4, 2, 4)

﹐ 知面積為 |AB

 

AC|6

﹒

6. 空間中四點A(1, 2, 3)﹐B(4, 1, 4) ﹐C(4, 2, 5)﹐D k( , 2, )k ﹐所決定的四面體體 積為 3﹐試問 k 值（兩解）﹒

解： (3,AB



 3, 1)

﹐AC



(3, 0, 2)

﹐AD



(k1, 0,k3)

﹐ ( 6, 3, 9)

AB

 

AC  

﹐ (AB

  

AC)AD3k21

﹐ 知¹3 21 3

6 k  ﹐ k  ﹐知7 6 k  或1 k  ﹒ 13

1. 右圖是邊長為 6 的正立方體﹐已知O(0, 0, 0)﹐P(6, 6, 6)﹐ 試求△ ABC 的面積﹒

解： A(6, 0, 0)﹐B(0, 6, 0)﹐C(0, 0, 6)﹐ ( 6, 6, 0)

AB



 

﹐AC



 ( 6, 0, 6)

﹐ (36, 36, 36)

AB

 

AC

﹐△ ABC 的面積¹| | 18 3 2 AB

 

AC 

﹒

(3)

2. 右圖是一長方體﹐長﹐寬﹐高分別為 6﹐3﹐2﹐已知 (0, 0, 0)

O ﹐P(3, 6, 2)﹐試求△ ABC 的面積﹒

解： A(3, 0, 0)﹐B(0, 6, 0)﹐C(0, 0, 2)﹐ ( 3, 6, 0)

AB



 

﹐AC



 ( 3, 0, 2)

﹐ (12, 6, 18)

AB

 

AC 

﹐△ ABC 的面積¹| | 3 14 2 AB

 

AC 

﹒

3. 右圖為一正立方體﹐BM 2AM ﹐ BN CN﹐設O(0, 0, 0)﹐C(6, 6, 6)﹐試求

△ OMN 的面積﹒

解： O(0, 0, 0)﹐M(0, 2, 6)﹐N(3, 6, 6)﹐ (0, 2, 6)

OM





﹐ON



(3, 6, 6)

﹐ ( 24, 18, 6)

OM

 

ON   

﹐

知△ OMN 的面積為¹| | 3 26 2 OM

 

ON 

﹒

4. 右圖是邊長為 3 2 的正四面體﹐已知 A(0, 0, 0)﹐B(3, 3, 0)﹐ (3, 0, 3)

C ﹐D(0, 3, 3)﹐若四個面的重心分別是P﹐Q﹐R﹐

S ﹐試問四面體PQRS的體積﹒

解：設△ ABC ﹐△ ABD﹐△ BCD ﹐△ ACD 的重心依序為P﹐ Q﹐R﹐ S ﹐得P(2, 1, 1)﹐Q(1, 2, 1)﹐R(2, 2, 2)﹐S(1, 1, 2)﹐

( 1, 1, 0) PQ



 

﹐PR



(0, 1, 1)

﹐PS



 ( 1, 0, 1)

﹐ (1, 1, 1)

PQ

 

PR 

﹐ (PQ

  

PR)PS  2

﹐

知體積 ¹| ( ) | ¹

6 3

V  PQ

  

PR PS 

﹒

5. 右圖是邊長為 2 的正立方體﹐GF ﹐GH 的中點分別為M ﹐ N ﹐試問四面體 A EMN 的體積﹒

解：設D(0, 0, 0)﹐A(2, 0, 0)﹐E(2, 0, 2)﹐M(1, 2, 2)﹐ (0, 1, 2)

N ﹐

(4)

(0, 0, 2) AE





﹐AM



 ( 1, 2, 2)

﹐AN



 ( 2, 1, 2)

﹐ ( 4, 2, 0)

AE

 

AM   

﹐ (AE

  

AH)AN 6

﹐

得 ¹| ( ) | 1

V 6 AE

  

AH AN 

﹒

6. 右圖是邊長為 6 2 的正四面體﹐設A(6, 6, 0)﹐B(6, 0, 6)﹐ (0, 6, 6)

C ﹐D(0, 0, 0)﹐H是△ ABC 的重心﹐若正四面體的

重心為 G ﹐ G 在DH 上﹐且GA GB GC GD

    

    0

﹐試問 DGkGH時的 k 值﹒

解： H(4, 4, 4)﹐G(3, 3, 3)﹐D(0, 0, 0)﹐ (3, 3, 3)

DG





﹐GH



(1, 1, 1)

﹐DG3GH ﹐知k  ﹒ 3

1. 有一個正立方體的透視圖﹐圖中的 A﹐B是稜邊的中點﹐

C ﹐D是頂點﹐已知稜長為 2﹐試問四面體 ABCD 的體積﹒

解：將正立方體坐標化﹐

設A(0, 1, 2)﹐B(1, 2, 0)﹐C(2, 0, 2)﹐D(0, 2, 2)﹐ (1, 1, 2)

AB



 

﹐AC



(2, 1, 0)

﹐AD



(0, 1, 0)

﹐ ( 2, 4, 3)

AB

 

AC   

﹐ (AB

  

AC)AD 4

﹐

知 ¹| ( ) | ⁴ ²

6 6 3

V  AB

  

AC AD  

﹒

2. 有一個藝術家想對右圖中邊長為 10 公尺的正立方體木塊做出一個藝術品﹐藝術家拿鋸子沿P﹐Q﹐R三點鋸下四面體

APQR﹐以截面PQR置於地面上﹐已知 AP ﹐8 4

AQ AR ﹐試問：

(1)△PQR的面積﹒

(2)四面體APQR的體積﹒

(3)方便運送此藝術品到展覽館﹐請幫這位藝術家算一下這一個藝術品的高﹒

(5)

解：PQR PAR QAR90﹐AP ﹐8 AQAR4﹐ 設P(8, 0, 0)﹐Q(0, 4, 0)﹐R(0, 0, 4)﹐

(1)△PQR的面積為¹| | 24 2 PQ

 

PR 

﹒ (2)此藝術品的體積為¹ 8 4 4 ⁶⁴

6    3 ﹒ (3) ¹(

V 3 △PQR面積)H﹐⁶⁴ ¹ 24

3  3 H﹐得 ⁸

H 3（公尺）﹒

1-4 空 間 向 量 的 外 積