1-2 空 間 坐 標 系 中 的 向 量 運 算
1. 右圖是空間坐標系上的一個長方體﹐若A(3, 0, 0)﹐ (0, 4, 0)
B ﹐C(0, 0, 5)﹐試問點P的坐標為
(1)(3, 4, 0) (2)(0, 4, 5) (3)(3, 0, 5) (4)(3, 4, 5)﹒ 解： 由空間坐標系P(3, 4, 5)﹐選項為(4)﹒
2. 右圖是空間坐標系上的一個長方體﹐若P(5, 15, 8)﹐試 問點P到 x 軸的距離PA為
(1) 8 (2) 10 (3) 15 (4) 17﹒
解： P(5, 15, 8)﹐A(5, 0, 0)﹐
由兩點的距離公式得PA17﹐選項為(4)﹒
3. 設空間中一平行四邊形 ABCD ﹐A( 3, 2, 3) ﹐B(5,4, 2)﹐ (4, 1, 1)
C ﹐試問D點的坐標為
(1)( 2, 3, 6) (2)( 4, 7, 0) (3)(12, 5, 2) (4) (4,7, 0)﹒
解： 設D點坐標( , , )x y z ﹐BC
( 1, 5,3)﹐AD
(x3, y2,z3)﹐ AD
BC﹐x ﹐4 y7﹐z ﹐故0 D點的坐標為( 4, 7, 0) ﹐選項為(2)﹒
4. 設
a (3, 0, 1)﹐
b (2, 3, 1)﹐
c (3, 1, 3)﹐試求3 a
b c﹒ 解： 3 a
b c(9, 0, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 3)
(8, 4, 1)﹒
5. 設 A(5, 2, 4)﹐B(2, 1, 7) ﹐P是AB上一點﹐且AP PB: 2 :1﹐ 試求P的坐標﹒
解： 因A P B且AP PB: 2 :1﹐設P x y z( , , )﹐由分點公式得 2 2 1 5
2 1 3 x
﹐ 2 ( 1) 1 2 0
y 2 1
﹐ 2 7 1 4 6
z 2 1
﹐
知P(3, 0, 6)﹒
6. 設 A(5, 0, 1)﹐B( 4, 3, 0) ﹒若△ ABC 的重心G(1, 2, 1)﹐試求 C 的坐標﹒
解： 設C x y z( , , )﹐由重心性質可知
5 4 1
3
x
﹐0 3 2
3
y
﹐1 0 1
3
z
﹐得C(2, 3, 2)﹒
1. 在空間中A(1, 2, 3)﹐B(2, 5, 3)﹐C(2, 6, 4)﹐已知有D﹐E﹐ F三點分別與A﹐B﹐C 構成一平行四邊形﹐試求D﹐E﹐ F的坐標﹒
解： AD
BC﹐得D(1, 3, 4)﹒ AE
CB﹐得E(1, 1, 2)﹒ BF
AC﹐得F(3, 9, 4)﹒
2. 右圖是邊長為 2 的正四面體﹐P(0, 0, 0)﹐A(1, 1, 0)﹐ (1, 0, 1)
B ﹐C(0, 1, 1)﹐試求：
(1)AB中點M 及 PC 中點 N 的坐標﹒
(2)兩歪斜線 AB
與CP
的距離 MN ﹒ 解： (1) (1, 1 1, )
M 2 2 ﹐ (0, 1 1, )
N 2 2 ﹒(2)MN ﹒ 1
3. 右圖是邊長為 2 的正四角錐﹐P(0, 0, 1)﹐A(1, 0, 0)﹐ (0, 1, 0)
B ﹐C( 1, 0, 0) ﹐D(0, 1, 0) ﹐試求：
(1) AC 中點Q的坐標﹒
(2)正四角錐的高PQ﹒
解： (1)Q(0, 0, 0)﹒(2)PQ1﹒
4. 空間中一正立方體﹐其中三頂點坐標為A(1, 1, 1)﹐B( 1, 3, 1) ﹐C(0, 2,3)﹐ 試問此正立方體的體積為 6 6 ﹒
解： AB 12﹐AC 18﹐BC 6﹐ 知AB AC BC: : 2 : 3 :1﹐
知 BC 為邊長﹐得體積為( 6)36 6﹒
5. 令 A( 1, 6, 0) ﹐B(3, 1, 2)﹐C(4, 4, 5)為坐標空間中三點﹒若D為空間中的 一點且滿足3DA
4DB2DC 0﹐試求點D的坐標﹒
解： 3DA
4DB2DC 03(OA OD) 4(OB OD) 2(OC OD) 0
3 4 2
OD OA OB OC
3( 1, 6, 0)4(3, 1, 2) 2(4, 4, 5) ( 7, 30, 18)﹐知D( 7, 30, 18) ﹒
6. 設
a (2, 1, 6)﹐
b (1, 0, 2)﹐ t 為實數﹐試求：
(1)
a t b的坐標表示法﹒
(2) |
at b |的最小值﹒
解： (1)
a t b (2, 1, 6) t(1, 0, 2)(2 t, 1, 6 2 )t﹐ 得
a t b (2 t, 1, 6 2 )t﹒
(2) |
a t b | 2 2 2 (2 t) ( 1) ( 6 2 )t 5(t2)221 21﹒
1. 一個長方體盒子﹐其長﹐寬﹐高分別為 5 公分﹐8 公分﹐12 公分﹐放在一邊長為 14 公分之正立方體角落上﹐使其三相鄰 之面緊貼在正立方體﹐則圖中P﹐Q兩頂點之距離為 11 公分﹒（8 分）
解： 建置空間坐標系﹐取P(5, 8, 12)﹐Q(14, 14, 14)﹐ 得PQ (14 5) 2(14 8) 2(14 12) 2 11﹒
2. 在空間坐標中﹐設xy平面為一鏡面﹐有一光線通過點P(1, 2, 1)﹐射向鏡面上
的點O(0, 0, 0)﹐經鏡面反射後通過點R﹐若OR2PO﹐試求R點的坐標﹒
解： P對xy平面的對稱點P(1, 2, 1) ﹐ 2 2( 1, 2, 1) ( 2, 4, 2) OR
P O ﹐知R( 2, 4, 2)﹒
3. 有一塊邊長為 10 公分的正立方體積木﹐積木上有兩條對 角線AB與 CD ﹐試求這兩條線的距離﹒（10 分）
解： 設A(0, 0, 0)﹐B(10, 0, 10)﹐C(10, 10, 0)﹐D(0, 10, 10)﹐ AB的中點M(5, 0, 5)﹐ CD 的中點N(5, 10, 5)﹐
得MN 10公分﹒
