1-3 平面向量的坐標表示法

(1)

1-3 平面向量的坐標表示法

例題 1

A（－4，1），B（1，4），C（－2，－3），AB＝CD，則：

¹

D 點坐標為；

2

2AB－3BC＝；

3

｜AB＋2BC｜＝ ‧

■^解：

1

設 D（x，y）

利用 CD＝AB （x＋2，y＋3）＝（1＋4，4－1） ∴x＝3，y＝0 D（3，0）

2

∵AB＝（1＋4，4－1）＝（5，3），BC＝（－2－1，－3－4）＝（－3，－7）

2AB－3BC＝2（5，3）－3（－3，－7）＝（19，27）

3

AB＋2BC＝（5，3）＋2（－3，－7）＝（－1，－11）

｜AB＋2BC｜＝（－1）²＋（－11）² ＝ 122

例題 2

給定 a ＝（2，－1），b＝（1，2），把 c ＝（5，7）表成 ra＋sb 的形式，r，s 是實 數‧

■^解：（5，7）＝r（2，－1）＋s（1，2） ∴^2r＋s＝5

－r＋2s＝7 r＝ 3

5 ，s＝ 19 5

例題 3

給定平面上三向量 u ＝（1，－1）， v ＝（－1，2），w＝（2，1），試求：

1

2u ＋3 v －2w＝ ‧

²

｜2 u ＋3 v －2w｜＝ ‧

(2)

例題 4

梯形 ABCD 中，─ AD // ─

BC，已知 A（1，3），B（－1，2），C（2，－2），若 ─ AD＝8，

則 D 點坐標為 ‧

■^解：

令 AD＝tBC＝t（3，－4），t＞0，由 ─

AD＝5t＝8 得 t＝ 8 5 ∴AD＝ 8

5 （3，－4）＝（ 24

5 ，－ 32 5 ） OD＝OA＋AD＝（1，3）＋（ 24

5 ，－ 32

5 ）＝（ 29

5 ，－ 17 5 ）

例題 5

下圖為兩組兩兩平行的直線組合，且相鄰兩線等距離，試以 a 和 b 表下列向量：

1

AB＝；

2

CD＝；

3

EF＝ ‧

■^解：令 a＝（3，0），b＝（0，2）

1

AB＝（2，4）＝ 2

3 （3，0）＋2（0，2）＝ 2

3 a＋2b

2

CD＝（－7，3）＝－ 7

3 （3，0）＋ 3

2 （0，2）＝－ 7 3 a＋ 3

2 b

3

EF＝（－4，8）＝－ 4

3 （3，0）＋4（0，2）＝－ 4

3 a＋4b

(3)

例題 6

已知 i ＝（1，0）， j ＝（0，1），令 u＝ i ＋3 j ， v ＝－3 i ＋ j ，計算：

1

2u ＋ v ＝ ‧

²

｜2u ＋ v ｜＝ ‧

■^解：u＝ i ＋3 j ＝（1，3），v＝－3 i ＋ j ＝（－3，1）

1

2u＋v＝（2，6）＋（－3，1）＝（－1，7）

2

｜2u＋v｜＝（－1）²＋7² ＝ 50

例題 7

兩向量 u ， v 滿足方程組



 u ＋2 v ＝（3，－6）

2 u ＋ v ＝（－9，6），求 3 u ＋4 v ＝ ‧

■^解：



2u＋4v＝（6，－12）………○¹ 2u＋v＝（－9，6）………○² ○1－○2得 3v＝（15，－18）

∴v＝（5，－6）代入○¹得 u＝（－7，6） ∴3u＋4v＝（－1，－6）

例題 8

給定坐標平面上四個點 A（0，2），B（1，2），C（－2，0），D（－1，－3），使 aAC＋bAD＝－2BC＋3BD，求數對（a，b）＝ ‧

■^解：AC＝（－2－0，0－2）＝（－2，－2），AD＝（－1－0，－3－2）＝（－1，－5）

(4)



－2a－5b＝－11………○2

○1－○2得 4b＝11

∴b＝ 11

4 代入○1得 a＝－11

8 ∴數對（a，b）＝（－ 11 8 ，

11 4 ）

例題 9

在坐標平面上 A（3，2），B（1，5），C（－2，－1），若點 P 滿足 3AP＋2BP＋CP＝ 0 ，求 P 之坐標為 ‧

■^解：設 P（x，y）

3AP＝3（x－3，y－2），2BP＝2（x－1，y－5），CP＝（x＋2，y＋1）

∵3AP＋2BP＋CP＝0

3（x－3）＋2（x－1）＋（x＋2）＝0

3（y－2）＋2（y－5）＋（y＋1）＝0 ^6x－9＝0

6y－15＝0 ∴P（x，y）＝（ 3 2 ，

5 2 ）

例題 10

坐標平面上，相異兩點 A（a¹，a²），B（b¹，b²），

設點 P 在線段 AB 上且 ─ PA ：─

PB＝m：n，其中

m，n 是正數，試證明 OP＝（ na₁＋mb₁ m＋n ，

na₂＋mb₂ m＋n ）‧

■^證：∵P 在 ─

AB 上，─ PA ：─

PB＝m：n

∴─ PA ：─

AB＝m：（m＋n） AP：AB＝m：（m＋n）

（OP－OA）：（OB－OA）＝m：（m＋n）

m（OB－OA）＝（m＋n）（OP－OA）（m＋n）OP＝nOA＋m OB OP＝ nOA＋mOB

m＋n ＝ n

m＋n （a1，a²）＋ m

m＋n （b1，b²）＝（ na1＋mb1

m＋n ，

na2＋mb2

m＋n ）

(5)

例題 11

坐標平面上，點 P 是 A（4，－3），B（－1，2）兩點連線段上的點，且

─PA ：─

PB＝2：3，求點 P 的坐標‧

■^解：點 P 是 A（4，－3），B（－1，2）兩點連線段上的點，且 ─ PA ：─

PB＝2：3

故點 P 的坐標是（ 3‧4＋2‧（－1）

5 ， 3‧（－3）＋2‧2

5 ），即（2，－1）

例題 12

坐標平面上，△ABC 的三頂點坐標為 A（－1，－2），B（－3，5），

C（2，6），點 D 在邊 ─

BC 上且 ─ DB：─

DC＝3：1，求 D 的坐標為 ‧

■^解：AB＝（－3－（－1），5－（－2））＝（－2，7）

AC＝（2－（－1），6－（－2））＝（3，8）

AD＝ 1

3＋1 AB＋ 3

3＋1 AC＝ 1

4 （－2，7）＋ 3

4 （3，8）＝（ 7 4 ，

31 4 ） 令 D（x，y）,∵AD＝（x＋1，y＋2）＝（ 7

4 ， 31

4 ） ∴D（x，y）＝（ 3 4 ，

23 4 ）

例題 13

求下列直線的參數式：

1

通過 P（1，3），Q（2，4）的直線；

2

方程式為 x－2y＋4＝0 的直線；

3

過 P（1，1）且平行 x－2y＋4＝0 的直線‧

■^解：

1

直線的一方向向量是 PQ＝（2－1，4－3）＝（1，1），

取方向向量（1，1），則直線的參數式為 ^x＝1＋t

y＝3＋t，t 是實數

2

令 y＝t，則 x＝2t－4，則直線的參數式為 ^x＝2t－4

y＝t ，t 是實數

(6)

L1：



x＝1－2t

y＝－3＋t，t 是實數；L2：



x＝3＋t

y＝－6－t，t 是實數；L3 的方程式是 x＋2y＝0，試求：

1

兩直線 L1 與 L2 的交點；

2

兩直線 L2 與 L3 的交點；

3

兩直線 L1 與 L3 的交點‧

■^解：

1

L1：x＋2y＝－5，L²：x＋y＝－3 L1，L² 交點為



^{x＋2y＝－5}

x＋y＝－3 （x，y）＝（－1，－2）

2



^x＋y＝－3

x＋2y＝0 （x，y）＝（－6，3）

3



^{x＋2y＝－5}

x＋2y＝0 為兩平行線，無交點

例題 15



x＝1－2t

y＝－3＋t，t＞－0 與下列何者表同一圖形？

A

x＝1＋2t

y＝－3＋t，t＞－0

^B

x＝t

y＝－5－2t，t＜－1

^C

x＝1－4t

y＝－3＋2t，t＞－0

D

x＝7－6t

y＝－6＋3t，t＞－1

^E



x＝1－3t y＝－3＋ 3

2 t，t＞－0

■^解：



^x＝1－2t

y＝－3＋t，t＞－0，起點為（1，－3），方向比為－2：1

A



^x＝1＋2t

y＝－3＋t，t＞－0，起點為（1，－3），方向比為 2：1

B



^x＝t

y＝－5－2t，t＜－1，起點為（1，－7），方向比為 1：－2

C



^x＝1－4t

y＝－3＋2t，t＞－0，起點為（1，－3），方向比為－4：2＝－2：1

D



^x＝7－6t

y＝－6＋3t，t＞－1，起點為（1，－3），方向比為－6：3＝－2：1

E



^x＝1－3t y＝－3＋ 3

2 t，t＞－0，起點為（1，－3），方向比為－3： 3

2 ＝－2：1 故選

C D E

(7)

例題 16

A（1，3），B（4，7），若有一動點 P（x，y） ─

AB，則 2x－3y＋1 之最大值為 ‧

■^解：─

AB：^x＝1＋3t

y＝3＋4t，0＜－t＜－1

設 P（1＋3t，3＋4t） 2x－3y＋1＝2＋6t－9－12t＋1＝－6t－6 ∵0＜－t＜－1 ∴－6＜－－6t＜－0 －12＜－－6t－6＜－－6，故最大值為－6