「牛吃草」問題︰從圖解到牛頓解 陳麗萍

「牛吃草」問題︰從圖解到牛頓解

陳麗萍

東華三院港九電器商聯會小學下午校 馮振業

香港教育學院數社科技學系

引子

香港數學教育學會十週年會慶發行了一套以名題欣賞為主題的書籤，

其中一題就是著名的「牛吃草」問題：

3 頭牛在二星期裡，吃完了 2 畝地上所有的草；而 2 頭 牛在四星期裡能吃完 2 畝地上所有的草。要多少頭牛，

能在六星期中吃完 6 畝地上所有的草？

（香港數學教育學會，2005）

如果沒考慮到地上會長出新草，單以 3 頭牛吃二星期的草量和 2 頭牛 吃四星期的草量比較，很容易會認為不可能同由 2 畝地供給，因前者等同 1 頭牛吃六星期的草量，而後者卻等同 1 頭牛吃八星期的草量，兩者不可 能相等！

表面看來，問題涉及牛數、土地面積和時間三個變量。然而，如果忽 略了草量這個關鍵變量，以及它與土地面積和時間的關係，將不可能成功 求解。由於要處理的關係較多，一般會認為此題較適合中學生以代數方法 計算（見附錄一）。事實上，原題出自英國數學家牛頓（Isaac Newton）的

《廣義算術》（Arithmetica Universalis），數值也比較複雜些。學會書籤列出 的一題，換上了較簡單的數值，有利於高小學生以畫圖方法求解。

本文旨在介紹以畫圖方法求解「牛吃草」問題，讓讀者拿來和牛頓的 原解對照參考。

兩個解法

要解「牛吃草」問題，必須作出下列假設：

假設 1 開始時（即牛還未開始吃草時），土地上的草量與面積成正比例；

假設 2 在相同面積的土地上，長出新草的數量，與時間成正比例；

假設 3 在同一時間內，長出新草的數量，與土地面積成正比例；

假設 4 每頭牛在任何一單位時間內吃的草量都相等。

直接考慮土地面積和牛數，或利用上面這些假設，可以推得（見附錄 二）：

命題 5 如果在同一時間內吃完地上的所有草，土地面積與牛數成正比例。

問題的已知條件和所求，可以表列如下：

牛數（頭） 土地面積（畝） 時間（星期）

3 2 2 2 2 4

? 6 6 為了在方便解說，和顯示高小學生可能用上的非正規表達的需要之間

取得平衡，以下展示的畫圖推算過程，刻意採用水平劃分表達牛數，鉛垂 劃分表達吃草時間。當要同時表達草量和牛吃草的情況，便需把圖畫重疊 考慮。為免交錯圖線妨礙解說，有時會把長草部分適當地調移（如圖一和 圖七）。

先以 代表一畝地的草量，那麼 2 畝地開始時就有草（假

設 1）： 。以 代表一畝地在一週內長出的草量

（假設 2、3），那麼我們大概可以有下列兩種入手的方法：

方法一

在沒有牛吃的情況下，2 畝地二星期後就有草（假設 2、3）：

圖 一

已知 3 頭牛在二星期裡，吃完了 2 畝地上所有的草。1 頭牛在二星期 裡，就吃掉了下面陰影部分的草（假設 4）。

圖 二

因此，1 頭牛在一星期裡，就吃掉了下面陰影部分的草（假設 4），即 3

1 畝地上的草量，再加上每畝地在 3

2 星期內長出的草量。

圖 三

另一方面，在沒有牛吃的情況下，2 畝地四星期後就有草（假設 2、3）：

圖 四

已知 2 頭牛在四星期裡，能吃完 2 畝地上所有的草。1 頭牛在四星期 裡，就吃掉了下面陰影部分的草（假設 4）。

圖 五

因此，1 頭牛在一星期裡，就吃掉了下面陰影部分的草（假設 4），即 4

1 畝地上的草量，再加上每畝地在 1 星期內長出的草量。

圖 六 與前面的圖三比較，便知：

3

1 畝地上的草量 +

1 畝地在 3

2 星期內長出的草量

= 4

1 畝地上的草量 + 1 畝地在 1 星期內長出的草量

因此， 的 3

1 便是 ( 3 1 −

4

1 ) 畝地的草量，即 12

1 畝地的草

量。由此求得 實為 4

1 畝地的草量，進而算出 1 頭牛一星期吃掉 2 1

畝地的草量。

在沒有牛吃的情況下，6 畝地六星期後就有 (6 + 4

1 × 6 × 6) 畝地的草

量（假設 2、3），即 15 畝地的草量。分六星期吃，每星期要吃 6

15 畝地

的草量。故需牛 ( 6 15 ÷

2

1 ) 頭，即 5 頭。

方法二

在沒有牛吃的情況下，2 畝地二星期後就有草（假設 2、3）：

圖 七

這些草由 3 頭牛用二星期吃完，表示若把圖七等分成 6 份（如圖八），

則每份（陰影部分）表示 1 頭牛每星期的吃草量（假設 4）。

圖 八

同理，在沒有牛吃的情況下，2 畝地四星期後就有草（假設 2、3）：

圖 九

這些草由 2 頭牛用四星期吃完，表示若把圖九等分成 8 份（如圖十），

則每份（陰影部分）亦表示 1 頭牛每星期的吃草量（假設 4）。

圖 十

考慮圖十和圖八的陰影部分同樣表示 1 頭牛每星期的吃草量，那麼兩 圖所表示的整體草量差額（即 8 頭牛每星期總吃草量和 6 頭牛每星期總吃 草量的差額），便剛好是 1 頭牛每星期的吃草量的 2 倍（假設 4）。再以圖 九和圖七的差額比較，便知 1 頭牛每星期的吃草量的 2 倍 = 一畝地在一週 內長出的草量的 4 倍，即

1 頭牛每星期的吃草量 = 一畝地在一週內長出的草量的 2 倍 ... (1) 用圖表示，就是：

= = × 2

以 (1) 的關係放入圖七和圖八（也可用圖九和圖十），便知

一畝地的草量 = 1 頭牛每星期的吃草量的 2 倍 ... (2) 用圖表示，就是

= × 2 = × 2

由 (1) 和 (2) 可知

一畝地的草量 = 一畝地在一週內長出的草量的 4 倍 ... (3)

用圖表示，就是

= × 4

在沒有牛吃的情況下，6 畝地六星期後就有草（假設 2、3）：

… …

6 個 36 個

由 (3) 得知這草量等同 (6 + 4

36 ) 畝地的草量，即 15 畝地的草量。另

一方面，由 (2) 可知 1 頭牛六星期吃掉 2

6 畝地的草量，即 3 畝地的草量。

要在六星期內吃掉 15 畝地的草量，便需牛 3

15 頭，即 5 頭。

簡單來說，方法一是透過比較兩種已知情況下，每頭牛一週的吃草量，

找出一畝地在一週內長出的草量，相當於多少畝土地上的草量，即上面正 方格和長方格的換算公式；而方法二則是透過比較兩種已知情況下，耗草 量的差異，找出同樣的換算公式。

細心分析，不難發現，方法一的關鍵一步，實際上是從 3 1

x +

3 2

y =

4

1

x + y 中找到（正方格 x 和長方格 y 的）換算公式的，其中代數味道不輕。

相反地，方法二避過了較繁複的移項，但卻借助了土地面積相等的方便（同 是 2 畝）。一般而言，不能希望這有利情況會出現，例如碰上牛頓的原題

（Newton et al., 1707, pp.68 − 70），我們便沒有那麼幸運：

牛數（頭） 土地面積（畝） 時間（星期）

A 12 3

3 1

4

B 21 10 9

C ? 24 18

理論上，方法一還是可以用的，不過移項工作卻非常倒胃，倒不如乾 脆列方程罷了。反觀方法二，可以在將 A 的資料改寫成下面形式（命題 5）

後照搬無誤。

牛數（頭） 土地面積（畝） 時間（星期）

D 36 10 4 抓著土地面積同為 10 畝的好處，不難依樣葫蘆地找到 36 頭牛這個答

案，此處從略。總括而言，當兩種已知情況之中含有相同的土地面積，求 解將較容易。或許牛頓也這樣想，才刻意安排 3

3

1 和 10，使只需把前者

乘以 3 即可得到土地面積相同的好處。

牛頓的解法

牛頓在他的書中並未用上上述塗格的方法，他的解法建基於嫻熟的正 反比例運用。除了上述四個假設的正比例關係和命題 5 外，他還巧妙地用 上：

命題 6 若土地上的草不變，牛數與吃掉所有草所需的時間成反比例。

牛頓是這樣算的：他利用 D 的資料和命題 6 得知，如果 4 星期後土地 再不會長出新草，則

16 頭牛便會用 9 星期吃完 10 畝地上的所有草； ... (4) 8 頭牛便會用 18 星期吃完 10 畝地上的所有草。 ... (5) 這兒的 9 星期和 18 星期，是由 B、C 的資料決定的。接著以 (4) 和 B 比較，便知

10 畝地在 5 星期（9 星期 – 4 星期）長出的新草，剛好供 5 頭牛

（21 頭牛 − 16 頭牛）用 9 星期吃光。 ... (6) 利用 (6)、假設 2 和 4，便知 10 畝地在 14 星期（由 (5) 的 18 星期和 D 的 4 星期的差得出）長出的新草，剛好供

5 14 5×

頭牛用 9 星期吃光。

接著再用命題 6 便可算得

10 畝地在 14 星期長出的新草，剛好供 7 頭牛（由

2 5

14 5

×

× 頭牛得 出），用 18 星期（即 9 × 2 星期）吃光。 ... (7)

再比較 (5) 和 (7)，便知

15 頭牛（由 (7) 的 7 頭牛加上 (5) 的 8 頭牛而得）會用 18 星期吃 完 10 畝地上的所有草。... (8) 最後比較 C 和 (8)，利用命題 5，即得答案為

10 15×24

= 36 頭。

結語

直至目前，還未有碰上帶領小學生解「牛吃草」問題的實驗報告。如 果學生有一定的畫圖解題訓練，書籤上的「牛吃草」問題應是頗有趣味的。

對中學生而言，可用的代數工具不少，自然也會想出五花八門的解法。

附錄一

除了學會提供的，較適合初中學生的解法（詳見香港數學教育學會，

2005），也可把「牛吃草」問題換個面相，讓高中生試試。用變分的語言，

把假設 1 至 4 重寫如下：

草量 G 的一部分隨土地面積 L 正變，另一部分隨土地面積 L 和時間 T 聯變，故可有下列關係式：

G = hL + kLT

其中 h 和 k 為變分常數。

另一方面，耗草量 E 隨牛數 N 和時間 T 聯變，故可有下列關係式：

E = qNT

其中 q 為變分常數。

由書籤題的兩已知情況可得下列聯立方程：

⎩⎨

⎧

= +

= +

q k

h

q k

h

) 4 )(

2 ( ) 4 )(

2 ( 2

) 2 )(

3 ( ) 2 )(

2 ( 2

求解得：

q

h

q k

2

1 ... (#)

設當 L = 6、T = 6、N = x 時，G = E，便有下列等式：

6h + (6)(6)k = 6xq 把 (#) 代入，即可解得 x = 5。

附錄二

利用附錄一的變分表達方式，若 T 變為常數，且 G = E，便有 L = p N，

其中 p 為常數，即 L 和 N 成正比例。

參考資料

香港數學教育學會（2005）。書籤：數學名題欣賞系列之一，英國牛頓牧牛吃草問題。

於 2006 年 4 月 24 日下載自 http://www.hkame.org.hk/bookmark2005/bkmk-1.html Newton, I., Halley, E., & Whiston, W. (1707). Arithmetica universalis; sive de compositione

et resolutione arithmetica liber by Sir I. Newton. Cui accessit halleiana µquationum radices arithmetice inveniendi methodus. Cantab. &c.

作者電郵：pansyclp@yahoo.com.hk

《數學教育》第二十一期 勘誤表

第 43 頁文章標題：「為何不學幾何？」應為

「為甚麼不學幾何？」