數學概念與程序覺知的發展歷程：電腦化認知反應測驗之實徵研究

數學概念與程序覺知的發展歷程：

電腦化認知反應測驗之實徵研究

摘 要

本研究探討小學階段數學概念與程序覺知的認知反應本身、兩者間的 關聯及其發展歷程的變化。施測對象為目前九年一貫學制之國民小學五、六 年級學生，本研究採立意取樣，總計施測120位學生。所使用的研究工具為 自編電腦化數學概念與程序覺知測驗。實驗的主體以電腦化的程式記錄受測 學生的認知反應，包括作答正確性及其反應時間，以做為數學概念與程序覺 知的觀察依據。本研究發現數學概念與程序覺知間的正向關聯，及兩者在不 同學童背景間的差異。數學概念與程序覺知的發展歷程，則各有不同趨勢，

其所延伸的意涵很值得心理或教育研究參考。

關鍵詞：數學學習、數學概念覺知、數學程序覺知、認知發展

The paper was partially supported by the National Science Council, Taiwan and several contracted research grants. Opinions expressed in this paper may not be the same as those of National Science Council and are remained at the authors’ solo responsibility.

The authors thank the research assistants of CNML, NTCU for their assistants. The second author’s unpublished master thesis served theoretical and empirical inspirations and foundations for this research.

楊志堅

教授暨訪問㈻者

國立臺㆗教育大㈻教育測驗統計研究所認知神經計量實驗室 ㆗央研究院㆟文㈳會科㈻研究㆗心調查研究專題㆗心

陳麗婷

台㆗市光復國小教師

Abstract

This study examines the relations and developments of cognitive responses of mathematical conceptual and procedural awareness. Participants of this study are 120 Grade 5 and Grade 6 elementary students in Central Taiwan. Students are purposely selected to join the research, in which cognitive responses, including accuracy and speed are recorded by computerized programs that are accurate in milliseconds. The positive relationship between mathematical conceptual and procedural awareness are found and some interesting development trajectories of both awareness are discussed. Results show some interesting relations and developments that can have both theoretical and substantive implications for the research fields.

Keywords: Mathematics Learning, Math Conceptual Awareness, Math Procedural Awareness, Cognitive Developments

Chih-Chien Yang, Ph.D.

Professor & Visiting Research Fellow, Cognitive NeuroMetrics Laboratory, Graduate School of Educational Measurement & Statistics, National Taichung University

Center for Survey Research, Research Center for Humanities and Social Sciences, Academia Sinica

Cognitive Developments of

Mathematical Conceptual & Procedural Awareness:

A Computerized Neural Responses Study

Li-Ting Chen, M.ED.

Elementary School Teacher, Taichung Kung-Fu Elementary School

壹、緒論

數學學習的認知發展相關理論中，數學概念型知識、程序型知識、及 兩者間的互動關係常是研究數學解題歷程的重要議題。例如：洪萬生（2005）

從中國古典算書中討論數學概念型知識及程序型知識兩者間的關係，文中提 及學界對數學概念型知識及程序型知識兩者間的關係有諸多看法，不必然有 特定的次序關係。雖然，兩者間的先後次序在不同的數學學習主題下或不同 的個體間，存在著許多差異性，因此不見得會有一定的順序；但是兩者的關 係密切（Star, 2005），而且兩者都是數學學習歷程或數學能力的重要關鍵因 子；Star（2005）並呼籲數學教育學界應對兩者進行更進一步的研究與探討。

在實驗心理學的實徵研究中，LeFevre, Smith-Chant, Fast, Skwarchuk, Sargla, Arnup, Penner-Wilger, Bisanz, & Kamawar（2006）等人的實驗中主要 以學童在解決數學問題的處理速度（processing speed）為程序型知識的檢測

（assessment）依據，概念型知識則以學童對相同或類似問題的理解為檢測 依據。LeFevre 等人（2006）的實驗發現概念型知識與程序型知識的發展歷 程會隨著年級的增長而有明顯的不同，程序型知識的表現會隨著年級的增加 而越來越好，但是概念型知識的表現隨著年級的增加卻會成曲線型的變化，

甚至在不同的數學能力層級的學童間的發展也不相同。LeFevre 等人（2006）利 用其研究成果提出了對概念型知識與程序型知識的未來研究的一些建議，包 含教師、家長及學界應對概念型知識與程序型知識的重視，以及教學上可利 用這些關聯加強學童早期的數學問題解決能力。

從認知神經心理學的觀點來看，程序性的知識不管是對於整體的數 學學習歷程的了解，或是對於數學學習困難的辨認，以及數學學習障礙的 診斷上，都是非常重要的共同點。數學學習困難（difficulties）或障礙（

disabilities）可能發生的原因或亞型（subtypes）大致上有三個，第一個可能 的亞型為個案會有語意上的記憶（semantic memory）困難，第二個可能是 個案具有程序性（procedural）的數學學習困難，第三個可能的因素則是個 案具有視覺/空間（visual∕spatial）上的學習困難（Hale, & Fiorello, 2004）。

而從數學的學習歷程或認知歷程的觀點來看，數學的學習或認知也可以歸納 成三個關鍵階段(Herl, O’Neil, Chung, Bianchi, Wang, Mayer, Lee, Choi, Suen,

& Tu, 1999; O’neil, 1999）：內容（content）知識、程序（procedural）知識、後設

（meta-）認知等三大類，這些論點都可再次呼應數學概念與程序型知識的 重要性。本研究以LeFevre 等人（2006）的定義為藍本，並且為避免諸多文 獻中對概念型與程序型知識定義不甚一致的問題，改以「覺知」作為本研究 之操作型定義的代表。

不過，就數學概念與程序型覺知的實務檢測觀點而言，要區分受測者 的數學概念與程序覺知並不容易；傳統的數學成就紙筆測驗容易受到反覆練 習的效應，又是非速度測驗，並不容易同時有效區分概念與程序型覺知。若 能以「非典型」數學概念與程序覺知測驗，檢測學童解題時的正確性及其處 理速度，也許可能免去這些問題的干擾。Campbell, Kanz 和 Xue（1999）的實驗 方法在這個研究動機上提供了一個很好的基礎；Campbell 等人（1999）分 別以阿拉伯數字及中文數字，兩種不同的符號表徵，同時檢驗受測者在數 學解題時的正確性及其處理速度，也就是檢測受測學生在回答電腦化的試題 時之「刺激」與「反應」間的時間與實際作答的「正確性」。因此本研究也 以非典型符號表徵替代傳統的數學加、減符號，學童必須在真正的思考後，

迅速做出判斷，以避免學童受到長久練習效應或反射反應的影響，用以更真 實地檢測學童的概念覺知與程序覺知間的關聯與發展。也同時呼應Campbell 等人（1999）的研究設計，並且支持本研究建立數學概念與程序型覺知測驗 之理論及實徵基礎。

本研究的研究對象限定小學五、六年級的在學學生，研究對象經過學 校導師協助篩選後，排除身心障礙學童，例如：智能障礙、肢體障礙等類特 殊學生。研究對象間的基本電腦處理及操作能力，沒有足以影響答題表現的 顯著差異。研究對象在作答時，具有正常情緒及反應，並在施測者監控下認 真完成所有題目。研究對象在作答前，除施測者給予的少數練習題外，以確 定學童了解作答方式外，不曾見過測驗題，也不曾有任何其他練習經驗。並 以學童在處理數學概念與程序覺知測驗的正確性及其處理速度的檢測結果為

本研究中學童的數學概念與程序覺知的檢測依據，希望可以對相關研究的理 論模型提供一些實徵的研究基礎。另外，也將針對學童的簡單背景變項進行 統計檢定，相關學理基礎將在稍後中討論。

綜合以上，本研究將以了解學童在非例行性（non-routine）數學問題中 的非典型（atypical）符號學習中之概念型與程序型覺知表現之間的關聯與 認知發展歷程為研究主軸。實際的觀察重點則以學童對這些非例行性問題的 理解「正確性」為概念型覺知的檢測依據；而學童在解決這些問題時的「處 理速度」為本研究中程序型知識的檢測依據。兩者之間的關聯及認知發展將 是分析的要項，這些觀察與分析都將由電腦化的程式精確控管測驗施行時的 刺激、反應與作答的相關作業流程。

貳、數學概念與程序覺知：理論基礎

關於數學概念與程序覺知的理論基礎的討論分為以下四個主要方向：

解題認知歷程、數學學習困難、符號與語言覺知以及可能影響數學理解、成 就、能力等表現的因素等，希望從不同的論點或實徵研究結果，支持本研究 之理論基礎、研究目標及研究工具之設計。

一、從數學解題的認知歷程觀

關於數學學習的認知發展相關理論中，也有單就數學概念型知識及程 序型知識兩者間的關係進行實徵研究或理論探討的實驗成果或論文著述。近 年的國內研究中，洪萬生（2005）的論述最具代表性。洪萬生（2005）從中 國古典算書的回顧中，仔細探究數學的概念型知識及程序型知識兩者間的關 係；此外，並加上對國外該領域文獻的比較，最後，洪萬生（2005）歸納出 學界對數學概念型知識及程序型知識兩者間的關係有諸多不同的看法，兩者 間至少有四種不同的先後次序關係，換言之，數學概念型知識及程序型知識 間不必然有特定的先後關係。同時兩者間的先後次序在不同的數學學習主 題下或不同的個體間，可能存在著許多差異性，因此不見得會有一定的發展

順序。但是，Star（2005）卻也認為兩者的關係密切，而且同意兩者都是數 學學習歷程或數學能力的重要關鍵因子。除了洪萬生（2005）對此議題的關 切外，Star（2005）的論文中並呼籲數學教育學界應對兩者進行更進一步的 研究與探討。在Byrnes（2001, p145）的研究中，從心理及教育的觀點歸納 出「數學能力」其實包含了一些成分（components）。其中，數學能力的主 要成分為敘述型的知識（declarative knowledge）、程序型知識（procedural knowledge）與概念型知識（conceptual knowledge）及其他數學技能（skills）。

除了洪萬生（2005）與Star（2005）從理論上或哲學層次的研究闡述外，

從認知神經發展的觀點所進行的實徵研究中，LeFevre 等人（2006）利用實 驗心理學的研究方法所進行的觀察實驗研究，也是近年來相關研究中極具規 模且具代表性的成果。LeFevre 等人（2006）的實驗中的研究對象很廣泛，

包含了認知發展中的主角︰幼稚園及小學階段低年級的學童。合計有255位 幼稚園、一年級及小學二年級的學童參與該研究。他們的實驗中主要以學童 在解決數學問題的處理速度（processing speed）為程序型知識的檢測依據，

概念型知識則以學童對相同或類似問題的理解為檢測依據，實驗結果發現概 念型知識與程序型知識的發展歷程會隨著年級的增長而有明顯的不同，程序 型知識的表現會隨著年級的增加而越來越好，但是概念型知識的表現隨著年 級的增加卻會成曲線型的變化，甚至在不同的數學能力層級的學童間的發展 也不相同。LeFevre 等人（2006）的研究成果中，也提出了對概念型知識與 程序型知識的未來研究建議，例如︰兩者間的關聯在其他數學知識的學習發 展中，可能會有不同的情形等，這些研究建議是支持本研究的可行性及重要 性的明確證據。

數學概念與程序型覺知之間的關聯，也可以從學童在理解並解決問題 的歷程上得到證明。學童在解決問題的歷程中，需要理解數學或語言所必 須的概念知識，也須要正確掌握解決數學問題的程序性知識，才能完成複 雜的解題活動，尤其是在「非例行性」或「非典型」的數學問題中，如此的 歷程更是重要。例如：Lewis和Mayer（1987）的一致性的假設（consistency hypothesis）便在解釋為何解題的當事人需要先在「概念上」轉譯或類推這

些不一致的語言，以符合解題人本身的「解題基模」（schemas）的原因。

Pape（2003）延伸Lewis和Mayer（1987）的一致性假設並將其應用在數學文 字問題的研究，Pape（2003）認為解題者需要將這些問題的語言結構的概念 加以公式化。所以，當他們遭遇到不一致語言問題結構時，他們可以將問題 轉譯成前後一致語文的形式，其他研究，例如：Hegarty, Mayer 和 Monk （ 1995）以及Verschaffel（1994）也已經在其他不同年齡層的學生群之中，探 討或證實Lewis和Mayer（1987）的一致性假設的意涵。

二、從數學學習困難觀點

從學生在數學學習時可能發生困難的領域來看，本研究以概念知識及 程序知識作為檢驗學童在數學解題時之認知神經反應歷程為主要的研究架 構也可以獲得實質的支持，例如：Hale & Fiorello（2004）對於數學障礙（

mathematics disorders, MDs）便歸納出三種比較常見的亞型（subtypes）：

語意記憶、程序型障礙、視覺-空間感覺障礙。其中，數學障礙的亞型（

subtypes）之第一種判定原則為學童會對語意記憶（semantic memory）感到 障礙，此類學生除了有注意力與記憶力方面的問題外，而且他們也常有數 字與符號的連結（number-symbol association)及數學概念自動化（math fact automaticity)的困難，因此可視為是如同本研究中所指的概念型及程序型的 數學障礙型態，在Hale 和 Fiorello（2004）的定義中則是指此類學童具有適 當的量化知識（quantitative knowledge）但是處理的速度（processing speed）

卻是緩慢的，而且也有許多計算上的錯誤（calculation errors），此類的數學 障礙型態的內涵與本研究中的數學程序知識為主的數學學習能力檢測相當接 近，也提供了本研究中的數學程序知識為主的數學學習能力檢測相當重要理 論基礎。

Gersten, Jordan 和 Flojo（2005）的研究也指出數學學習障礙的學生，常 常具有三個主要的特徵。第一個常見的特徵是此類的學生在算式運算時缺乏 流暢度和正確性。研究數學學習困難的學者們，一致發現低年級數學學習困 難的學生無法從記憶中自動存取數事實來解決算術運算的題目。後來做實驗

進一步確認，數學學習困難的學生經過課堂的教學，仍無法熟練地利用數學 記憶來解決算術運算的題目。而其研究中所歸納的第二種數學學習障礙的特 徵為此類學童常缺乏使用有效的計算策略（Gersten, Jordan, & Flojo, 2005）。

他們發現一般學生的計算策略會由一開始全部數手指頭，變成有技巧性數手 指頭，最後將答案記憶下來並加以應用；另外，數學學習困難的學生雖接受 數學教育後，卻仍會一直停留在低階的計算策略。再者，第三種數學學習障 礙的特徵則為此類學童的數字概念缺乏（Gersten 等人，2005）。明確的特 徵是他們在幼稚園及一年級使用到的二個重要數字概念因素中：一是數數，

包含數字結構、順序結構、語意結構；二是比大小，都會有學習的困難。相 關研究發現有些學生可以正確地數數，卻無法判斷哪一個數較大，即學生無 法了解數字的基本意義，無法認知數字的相對大小。這三個主要特徵都與本 研究所探討的數學程序型語言及概念知識有高度的關連，足見相關研究的重 要性。

三、從符號與語言覺知的觀點

符號、語言與數學學習的密切關聯很容易可以在相關文獻中找到支持，

也就是本研究以替代符號：方形或三角形，取代傳統加、減符號的立論 基礎。主要目的在企圖減低數學問題以傳統符號表達時可能的練習效應或 不經思考的反射反應；藉由非典型問題引發學童的深層思考活動才能更真 實地檢測概念及程序型覺知能力。文獻上的範例，如Campbell, Kanz, 和 Xue

（1999）的研究中，便設計進行了文字或以外型為主「符號表徵」對基本的 數學能力的影響研究，該研究挑選了一些在中國大陸出生並在中國大陸接受 教育的受測者，這些受測者是具有能運用中文及英文雙語能力的成年人，該 研究主要在調查受測者的數詞唱名（number naming）、數量大小的選定（

magnitude selection）及簡單的算術（arithmetic）能力。實驗中的試題分別使 用阿拉伯數字的符號（如：7 + 8）及中文的數字符號（如：七＋八）來表達，

受測者需使用英文及中文作答（Campbell 等人, 1999）。

這個研究結果（Campbell 等人, 1999）顯示在數詞唱名（number naming）

能力的實驗中，證明了辨識中文的數字符號與辨識阿拉伯數字符號一樣容 易；但是，整體而言，在算術與數值大小選擇的實驗中，以阿拉伯數字符號 表達的試題，受測者有較快速的反應時間（response times, 簡稱RTs）及較少 的錯誤。整體而言，該研究指出在算術實驗中，不論在回答以阿拉伯數字符 號的試題或以中文數字符號呈現的試題，受測者若用英文回答時，會較以中 文回答時反應時間（RTs）來得長，不過這可能是因為若以英文作答的成本 效應會較以中文作答的成本效應來得高。另外，該研究（Campbell 等人，

1999）的數量大小選定測驗中，若以受測者的反應時間為例，研究結果也顯 示「符號」與「語言」的交互作用是顯著的，Campbell 等人（1999）認為 這主要是由於在辨認中文刺激物時，需要較長時間去處理或判斷數量的大小；

不過，在另一個研究中，Campbell 等人（1999）的數字處理程序（number processing）研究卻發現，數學符號與數學語言之間的交互作用並不見得會 有一致性的結果，他們因此建議，符號與語言的關係的組合，在不同的情境 下，會有許多不同的可能，學童也可能會由不同的強度跟效率的解題方式，

進行問題的解決活動。綜合來說，本研究將參考這些研究的發現，設計非例 行性的數學解題情境，例如：非典型數學符號的，更進一步了解學童在數學 問題解決時，若面對各種可能情境的解題歷程與基礎。

四、從影響因子觀點

可能影響數學認知能力的因子或背景變項，已經有相當多的文獻研究，

例如：性別差異、語言能力、注意及記憶力、年齡等，相關的研究對這些數 學學習或數學成就的影響因素的關心與討論，提供了本研究進行相關調查分 析的理論基礎。例如：許多學者研究都曾進行性別差異對於數學解題結果的 影響，但是發現性別對於國小數學解題而言，研究結果並不見得有一致性的 發現，有一些結果顯示男生優於女生（例如：林碧珍，1990）。但是，也有 研究發現女生的數學解題能力優於男生（例如：陳淑惠，2003）；甚至，也 有一些研究男女性別的差異並不會造成數學成就的顯著不同（例如：吳 元良，1996；郭郁智，2000）。

另外，詹碧蓮、楊志堅（2006）在編製國小一年級學童數學學習困難 的篩選工具的過程中，也針對性別差異進行分析研究。詹碧蓮、楊志堅（

2006）針對數學學習困難特徵，歸納此類學生所缺乏之五種數學基本素養，

此五種數學基本素養為視覺區辨、數大小工作記憶、理解、運算、數字概 念，編製成國小一年級數學學習困難篩選測驗並以柯華葳（2005）的方法作 最後確認數學困難的學生，詹碧蓮、楊志堅（2006）發現性別差異在不同的 數學基本素養中的表現有程度不同的影響，性別差異不見得有一致性的影響 性，但卻可能對學童數學或語言認知能力的表現，具有影響力，值得進一步 研究觀察。

劉順興、楊志堅（2006）發現男、女生在數學文字題解題表現上並沒 有顯著差異，也以此推論這群學童在數學文字題解題表現上不會因性別有所 差異（劉順興、楊志堅，2006）。劉順興、楊志堅（2006）的研究工具共分 為三部份，分別為圖畫語詞測驗、因果式語句理解測驗、數學文字題測驗。

以這些研究工具對中部三縣市九所國小261名的一年級學童施測後，進行資 料分析。Sherman（1996）則指出空間與視覺能力在性別上的差異而導致的 數學解題的不同，這些研究結果支持本研究選取相關因素的部份依據。綜 上所述，這些可能影響數學認知能力的背景變項，包含：性別、年級差 異，將被列入背景調查的項目中。

參、研究方法

本研究以量化研究為主，以下分別介紹實驗設計中的樣本取樣程序、

視覺刺激的設計及反應流程控管電腦軟體工具之使用，以及研究工具的 內容、信度、效度等。

一、實驗設計

施測對象為目前九年一貫學制之國民小學五、六年級學生，因為正式 施測時必須讓學童自行操作電腦，而且主要的認知神經反應測驗為需要紀錄 作答時間的速度測驗；因此，篩取樣本時會先取得任課導師的諮詢建議，預

先排除特殊或殘障的學童，例如：肢體或感官障礙、智能障礙、情緒障礙等 等，藉由事先的篩選程序，以排除非因數學認知能力本身的其他因素干擾，

研究結論或未來推論也可以得到較好的實徵基礎。由於這些測驗在進行時需 要以一對一的個別施測的程序進行，在有限研究資源的限制下，總計施測了 來自同一校的七個班的120位學生；其中，五年級學生有63位、六年級學生 有57位。120位學生中，女生有73位，男生47位，這120位同學參與正式施測 並完成所有測驗，詳細分佈如下表。

表1 施測樣本分佈

女生 男生 合計

五年級 38 25 63

六年級 35 22 57

合計 73 47 120

本研究參考Campbell, Kanz 和 Xue（1999）的實驗方法，該研究主旨在 探究不同的「數學符號表徵方法」對認知反應的影響，與本研究的研究目的 中「數學概念與程序覺知」之相關研究相當類似，也提供了本研究的實驗設 計的可行性很好的依據。Campbell等人（1999）的實驗程序中，利用具高解 析度螢幕的個人電腦，作為實驗者的反應平台及呈現表徵刺激物。Campbell 等人（1999）實驗中的表徵刺激物包含2到9的阿拉伯數字以及與這些阿拉 伯數字對等的中文數字，例如：二、三…、九；受測者對這兩種表徵方法 的反應差異，即為該研究的研究重點。本研究之電腦化測驗的呈現方式與 Campbell 等人（1999）之實驗相同處在於螢幕上的數字或符號是以白色呈 現，背景則為黑色，以提高受測者的專注力。而與Campbell 等人（1999）

主要不同的地方則是以簡單幾何圖形（□、△）取代常用的+或-符號；本研 究中的每一個單位圖形或符號之長與寬大約皆接近2公分左右，受試者受測 時將距離螢幕大約50公分左右，以能清楚地看到螢幕上的試題為原則。

數學概念與程序覺知認知反應測驗中，因為需要記錄受試者的立即反 應時間，因此若以傳統的手動計時器的紀錄方式，常會發生不容忽視的誤 差而影響研究結果。本研究使用E-Prime 1.2電腦軟體（PST, 2006; Schneider,

Eschman, & Zuccolotto, 2002）來進行認知反應實驗，並用來進行實驗的流程 設計及立即反應時間的紀錄。在所有的測驗中，本研究的受測者都是使用滑 鼠上的按鍵來控制電腦化測驗的進行與作答，不需使用鍵盤上的任何按 鍵，受測者只需注視螢幕即可，並不需低頭觀看鍵盤，所以，可以減少因 打字精熟能力的差距的干擾。實驗的主體主要以電腦化的程式設計方式紀錄 受測學生的認知神經反應，也就是利用電腦紀錄受測學生在回答檢測認知能 力試題時的「刺激」、「反應」的時間與作答的「正確性」。每一個測驗題 本中的試題（視覺刺激物）出現的順序與停留時間，交由電腦控制。進行實 驗時所用的電腦軟體E-prime，所紀錄的受測者認知神經反應時間可精確到1 毫秒（milliseconds）。每一位參與的受試者都是接受施測者的一對一的獨立 測驗，施測時並將可能會讓學生分散注意力的干擾源盡量排除。

E-prime是心理學界近年來在進行認知神經研究時常用的研究工具。這 套軟體是利用電腦的精密控制，將預定進行認知神經刺激的實驗程序中的圖 畫或聲音的出現時間詳細管控並紀錄，E-Prime是一套綜合媒體的管控及紀 錄應用系統，它可以提供精確性在毫秒（millisecond）內的反應時間紀錄。

E-Prime賦予研究者發展一個多變化的心理刺激與反應的測驗實驗環境，這 個實驗環境允許測驗試題，試題中可包含圖片或聲音的呈現，試題的順序可 以精確地被隨機或固定式的排序。因為學童作答時間的管控及記錄是本研究 的重點之一，所以，視覺刺激及反應流程控管工具的穩定性也是本研究的研 究工具的品質好壞的關鍵點之一，E-Prime是本研究主要的流程控管工具，

相關的研究報告指出E-Prime可以提供精確性在毫秒內的流程控制以及受測 者反應時間的精準紀錄。可以提供本研究測驗試題的電腦化施測流程的精密 控管，包含試題的出現順序、在電腦螢幕的停留時間、受測者答題的選項紀 錄及受測者答題所花費的時間等。

E-Prime與操作系統及外部的週邊設備間的互動是實驗及紀錄的準確 性的非常重要關鍵，如果操作系統或外部的週邊設備在任何時間點干擾 E-Prime的控制或紀錄時，E-Prime會繼續運作並準確地紀錄該時間標記（

time-stamp），例如：電腦顯示器的更新頻率（refreshing rates）便在E-Prime

的實驗過程的紀錄中呈現，以便提供研究者在作事後分析（post-analysis）

時可以正確地過濾這些可能的干擾。

二、研究工具

本研究根據相關文獻的建議，編製數學概念與程序型覺知的認知神經 反應電腦化測驗。並且先由專家、學者及數位國小高年級教師依據相關理論、

實際教學經驗等，進行測驗內容審查及修改。測驗內容主要為判斷以非典型 符號所表達的數學等式的正確性；即類似紙筆測驗（paper-and-pencil test）

中的是非題形式。實際施測時，學童需要以滑鼠的兩個按鍵選擇正確（○）

或錯誤（╳）的答案進行作答，電腦化的測驗程序會記錄受試者的作答反應 項目及反應時間。

實驗進行時的實際畫面是以□及△取代原有的＋或－的符號，例如：

23+45=68在實際的測驗畫面將為23□45=68，受測者在看了這個畫面後，將 被要求判斷這個等式是否為正確；以該題為例，正確答案為學童應在滑鼠選 按正確（○）鍵，學童按下該鍵的同時，總反應時間也會被記錄下來做為程 序型覺知的表現。試題畫面出現的順序為含單一運算元的等式六題，接著是 包含二個運算元的等式（例如：70□11△15=86）六題，最後六題都是包含 三個運算元的等式，詳細的雙項細目表如下。

表2 文字記憶及數學概念與程序覺知測驗雙向細目表

數學概念覺知 數學程序覺知

1 個運算元 6 題 6 題

2 個運算元 6 題 6 題

3 個運算元 6 題 6 題

合計 18 題 18 題

數學概念與程序覺知測驗的測驗時間，若包含測驗說明及作答範例，

大約可在10分鐘內完成。所有受試者完成測驗後，將施測結果之數值資料進 行統計分析。依所得分數，分析預試結果的信度、難易度、鑑別度。進行逐

一題目的分析時，將每份分測驗之受測者總成績最高的前百分之二十七取為 高分組，後百分之二十七為低分組，即可取得每一試題的鑑別度、難易度指 數，例如：將學生的前後百分之二十七分為高分組及低分組，兩組的平均答 對率為該測驗的難易度指標，而高分組與低分組的答對率之差為鑑別度指 標。最後，通過率即為全體學生的答對率。

本研究的測驗工具在預試時，也檢驗試題的難易度、鑑別度等試題指 標，預試資料分析顯示指標的數值是在合理的範圍內。測驗工具的預試結果 可以提供本研究在正式施測時的參考依據，並可做為正式研究的可行性的初 步驗證。因此，本研究在研究初期曾對十二位學童進行小規模的施測，並將 施測結果記錄。三個分測驗的逐題平均答對率（%）及逐題平均反應時間等 都在可接受的範圍內。

正式施測的資料分析中，120位學童在數學概念與程序覺知測驗的平均 答對率是 .7375（~.74）、平均完成時間是23384.86毫秒，詳細資料如下表。

另外，難易度、鑑別度等試題指標都在合理的範圍內。除了這些數據的支持 外，從實際施測過程中的觀察及與受測學童、教師的訪談中，也都認為這些 試題的難易程度適合學童的認知發展階段，所需的施測時間也是學童專注力 可以負擔的範圍內。

表3 數學概念與程序覺知測驗分析表

分測驗一 分測驗二 分測驗三 總測驗

數學概念覺知 0.71 0.76 0.75 0.74

數學程序覺知 4183.20 8686.24 10515.43 23384.86

逐題的試題分析包括：試題難易度、鑑別度等；全測驗的分析，包括：

Cronbach α 內部一致性信度係數等。答對率與答題的時間分別計算，並分別 考慮全測驗以及分測驗，這些 Cronbach α值大約在 .85左右，若以折半信度

（split-half）的計算方式來檢驗這些測驗的信度，所得的折半信度的實際數 值大致上比Cronbach α值小一些，約在.80左右，以一般的測驗標準而言，若 也考慮測驗的總題數並不多的情況下，這些信度指標值都是在可接受的範圍 內（例如：王文忠等人，2004）。

肆、研究結果與分析

結果及分析主要以了解概念覺知與程序覺知兩者的關係及其發展歷 程，首先，對兩者間的關聯性及在不同性別、年級上的差異進行分析。然 後，利用本研究的測驗工具是藉由電腦化的施測程序，每位學童的作答順序 皆相同的特性，可以針對概念覺知與程序覺知的實質發展歷程進行分析比較。

一、概念覺知與程序覺知的關係

為了瞭解數學概念覺知與程序覺知間的關聯性：首先，每位學生在三 份分測驗所得的總分經標準化過程以後，可藉此Z分數得到每位學生的概念 覺知個別得分相對於概念覺知的平均分數及其標準差的參考位置。接著，每位 學生完成所有三份測驗的所需總時間也會經過相同的標準化過程，以藉此Z分數 得到每位學生的程序覺知個別總得分相對於所有人的平均值及標準差的參考位 置。最後將每位學生在這兩份標準化成績的散佈圖（scatter plot），繪製如下：

圖1 標準化總答對率與標準化總時間的散佈圖

圖1中，Y軸代表程序覺知（時間），X軸為概念覺知（分數），斜線是 假設當兩者之間的關係為線性（linear）時，兩者之間可能的線性趨勢或預 測關係。當學生的概念覺知表現與程序覺知表現之間可以用正向（positive）的

線性關係描述時，也就是當學生的概念覺知相對表現較好時，通常可預期他 們的程序覺知表現也會增加；換句話說，當學生的概念覺知Z分數較高 時，通常其程序覺知Z分數也會較高，也就是需要較多的時間。

附錄中則將三個分測驗分別分析，以了解更進一步的細節，每位學生 在第一分測測驗的總分經標準化過程以後，可藉此Z分數得到每位學生在單 一運算符號測驗中的概念覺知個別得分相對於整個樣本的概念覺知平均分數 及其標準差的參考位置。相同地，每位學生完成該份測驗的所需總時間，也 會經過相同的標準化過程，以藉此Z分數得到每位學生的程序覺知個別總得 分相對於所有人的平均值及標準差的參考位置。每位學生在兩個與三個運算 符號測驗的也經過相同標準化程序，再將概念覺知與程序覺知的關係繪製成 線性關係圖以供參考。

以下將數學概念與程序覺知測驗依分測驗結果進行影響因子的分析，

學童在數學概念與程序覺知測驗上的得分情形與學童的背景變項的分析為本 研究的重點之一。下表中，以平均數及t統計考驗分析學童在數學概念與程 序覺知的分測驗、全測驗之總得分與學童的背景變項的關係。下表中，雖然 男學生在四項平均分數上都比女學生稍微高些，甚至在這四個項目下所需要 的平均完成時間也都還比女學生少，但是，t統計考驗的結果並無法推翻兩 者間無差異的假設。雖然，兩者間的差異趨勢符合一些文獻中的看法，但就 統計觀點而言，兩者間的實質差異也難有顯著性可言。

女學生 男學生 顯著性

概念 程序 概念 程序 概念 程序

1運算元 0.70 4212.21 0.71 4138.14 0.91 0.81

2運算元 0.75 8720.95 0.76 8632.34 0.91 0.90

3運算元 0.74 10552.13 0.77 10458.42 0.39 0.92

全測驗 0.73 23485.28 0.75 23228.90 0.68 0.88

除了在單一運算元的測驗中無法推翻概念覺知在五、六年級學生間的 差異為零外，在二、三個運算元及整份測驗中，兩個年級間的概念覺知經統

計考驗均可證實其差異均有統計上的顯著性。有趣的是，反而在程序覺知的 完成時間的統計考驗中，五、六年級學生之間的差異無法被證實。

5 年級 6 年級 顯著性

概念 程序 概念 程序 概念 程序

1運算元 0.67 4322.75 0.75 4028.95 0.10 0.34

2運算元 0.70 9065.27 0.82 8267.32 0.01 0.23

3運算元 0.71 10863.73 0.80 10130.45 0.04 0.45

全測驗 0.69 24251.76 0.79 22426.72 0.01 0.28

二、概念覺知與程序覺知的發展歷程

分析一：

概念覺知與程序覺知的發展歷程是本研究的重要目標之一，由於本研 究中的測驗題目是由電腦化的流程管控，每位受測者的答題順序都可以獲得 監控，利用這個特點，就可以分析及了解學生在概念覺知與程序覺知的發展 歷程，下圖中X軸代表的是依單一、兩個、三個運算符號測驗的順序之答題 序，1OPI1是單一運算符號（1 OPerand）測驗的第一題（Item 1）、2OPI5是 兩個運算符號測驗的第五題、其餘依此類推。Y軸代表的是依作答順序排列 的數學概念與程序覺知測驗的逐題測驗結果；其中，虛線代表該題的平均被 答對率，例如：1OPI1的平均答對率為0.65左右，1OPI2的平均答對率便略高 於前一題，其餘依此類推。實線代表該題的平均「相對完成時間」，它的計 算以在所有題目中被完成的時間最長者為參考點1.00，其餘個案的實際完成 時間與最久時間的比值即為該個案的「相對完成時間」，最後再計算平 均值。

由圖2中的線段趨勢來看，單一運算符號測驗中的六題的平均答對率似 乎逐題提升，而且這六題的平均相對完成時間則有逐題下降的趨勢。類似的 趨勢在兩個或三個運算符號測驗中的題目似乎就比較不明顯了，需要進一步 的分析。另外，若就三份分測驗之間來看，平均相對完成時間在分測驗間有

明顯的增加趨勢，也就是說，隨著運算符號個數的增加，平均相對完成時間 也會有增加的趨勢；但是，相對地，答對率在分測驗之間的變化就不是很明 顯。

圖2

分析二：

進一步的統計分析結果節錄成下表，其中的「1-OP vs. 2-OP」代表的是 將每位受測者在單一與兩個運算符號測驗間的成對比較結果，亦即每位受測 者在兩份測驗間之表現差距；例如，學童在單一與兩個運算符號兩份分測驗 之間的平均得分差距為-0.30，也就是以平均得分而言，單一運算符號的分 數低於兩個運算符號0.30分，進一步的統計考驗（成對t檢定）結果也證實：其 顯著水準0.0151超過0.05的標準，具有統計上的意義。另外，單一運算符號 的分數則低於三個運算符號0.28分，顯著性0.059則略低於0.05的標準，也具 有一些參考價值；但是，兩個運算符號的分數則僅略高於三個運算符號0.02 分，顯著性0.8507也離0.05的標準有相當的距離，就該統計考驗的結果 而言，很難推翻兩者間的具體差異為零之假設。

表4 數學概念與程序覺知測驗得分及反應時間

成對差異

Paired Differences

得分Score 反應時間RT

平均差 雙尾顯著性 平均差 雙尾顯著性

1-OP vs. 2-OP -0.30 0.0151 -4503.05 0.0000

1-OP vs. 3-OP -0.28 0.0593 -6332.23 0.0000

2-OP vs. 3-OP 0.02 0.8507 -1829.18 0.0000

註：1-OP、2-OP、3-OP（單一、兩個、三個運算符號測驗）

另外，上表中就分析其反應時間所代表的程序覺知發展歷程而言，學 童在單一與兩個運算符號測驗間（1-OP vs. 2-OP）的平均完成時間的差距為 -4503.05毫秒；也就是，相較於單一運算符號測驗，學童在兩個運算符號的 程序覺知測驗中，大約需要額外的4.5秒左右的時間才能完成。而且，這個 差距的統計考驗結果（< 0.0001）已達統計上之顯著水準（p < .05）；換言 之，學童的程序覺知表現在這兩份分測驗間具有統計上的顯著不同。另外，

學童完成3-OP測驗的時間比完成1-OP測驗的時間平均多約6.33秒左右；若將 3-OP測驗的時間與完成2-OP測驗的時間相比較，則兩者僅有1.83秒左右的差 距，值得注意的是這些程序覺知的差異之統計顯著性都超過0.05的標準。但 是，有趣的是，2-OP vs. 3-OP與前面兩組之差異比較，似乎不成比例。

分析三：

就發展歷程的觀點而言，起始點的狀態與後來的成長情形的關連是相 當值得注意的重點，也一直是教育相關研究的關注焦點，因此以下的分析則 專注在學童的概念型覺知與程序型覺知的學習起點行為與學童在測驗過程中 的發展情形。首先，分別將每位學童概念型覺知與程序型覺知的分數進行如 前段中的標準化過程，然後先將每位學童在概念型覺知測驗的三個階段之得 分當成依變項（y = 1op, 2op, 3op），其所對應的完成次序（x = 0,1, 2）當成

預測變項，以簡單線性回歸模型計算每位學童在這三個階段間的起始狀態（

截距, intercept)與成長速率（斜率, slope）。最後，將所有120組的起始狀態 與成長速率繪製成以下的散佈圖。

圖3 概念型覺知發展歷程的截距與斜率的線性關係

上圖中X軸為起始狀態（截距）、Y軸則為成長變化速率（斜率），若 假設兩者之間的關係是線性的，則這個線性關係則有隨著起始狀態的數值越 大，而成長變化速率的數值越小的負向趨勢，換句話說，如果在單一運算符 號測驗中得分越高，相對地，在後來的兩個分測驗中的成長速率就會有越低 的可能。

分析四：

為了進一步了解學童間不同的概念型覺知發展歷程，接下來的分析將 依學童的概念型覺知的總得分之高、低表現分為兩群，在120名的學童中總 得分名列前1/3者為高分群，倒數1/3者為低分群，再將高、低分群概念型覺 知發展歷程的截距與斜率的線性關係，如前段的繪圖程序，製作兩份趨勢圖 如附錄中。由於有同分的情形，因此總分排序後的倒數1/3，實際有41名受 測者，亦即從概念型覺知總分的第80名至第120名為低分群，這些低分群的

起始狀態（X軸）與成長變化速率（Y軸）的線性關係，也有隨著起始狀態 的數值越大，而成長變化速率的數值越小的負向趨勢。

高分群則為120名學童中總得分名列前1/3者，相同地，由於有同分的情 形，因此總分排序後的前1/3，實際有45名受測者，亦即概念型覺知總分的 第1名至第45名為高分群，依前段相同的繪圖程序，請參見趨勢圖如附錄 中。這些高分群的起始狀態（X軸）與成長變化速率（Y軸）的線性關係，

也有隨著起始狀態的數值越大，而成長變化速率的數值越小的負向趨勢。

分析五：

關於程序型覺知的發展歷程，以上相同的分析步驟也應用到每位學童 在程序型覺知表現的三個階段，也就是先將每位學童在三個階段中的程序 型覺知表現，亦即完成三個分測驗的所需之個別總時間，當成依變項（y = 1op, 2op, 3op），其所對應的完成次序（x = 0,1, 2）當成預測變項，以簡單 線性回歸模型計算每位學童在這三個階段間的程序型覺知表現的起始狀態（

截距, intercept）與跨越三階段間的成長速率（斜率, slope）。最後，也再將 所有120組程序型覺知表現的起始狀態與成長速率繪製成以下的散佈圖。

圖4 程序型覺知發展歷程的截距與斜率的線性關係

上圖中X軸為程序型覺知發展歷程的起始狀態（截距）、Y軸則為其成 長變化速率（斜率），若假設兩者之間的關係是線性的，則這個線性關係則 也有類似概念型覺知的隨著起始狀態的數值越大，而成長變化速率的數值越 小的負向趨勢，換句話說，如果在一開始的單一運算符號測驗中所需的完成 時間越長；相對地，在後來的兩個分測驗中的所需時間的成長速率就會有越 低的可能。不過，相較於概念型覺知發展歷程中的負向成長速率，程序型覺 知發展歷程的負向趨勢似乎較平緩。

分析六：

程序型覺知發展歷程在不同的概念型覺知背景間，可能會有哪些不同 的發展歷程？因此，接下來的分析延續前段分析中的概念型覺知的總得分之 高、低群的分類方法，將在120名的學童中概念型覺知總得分名列前1/3者為 高分群（45名），倒數1/3者為低分群（41名）；再將這兩群學童的程序型 覺知發展歷程的截距與斜率的線性關係，如前段的繪圖程序，製作兩份趨勢 圖如附錄中。這些低分群的起始狀態（X軸）與成長變化速率（Y軸）的線 性關係，也有隨著起始狀態的數值越大，而成長變化速率的數值越小的負向 趨勢。這些高分群的起始狀態（X軸）與成長變化速率（Y軸）的線性關係，

也有隨著起始狀態的數值越大，而成長變化速率的數值越小的負向趨勢。

伍、結論與建議

本研究利用非典型表徵之數學等式表達命題，以正方形或三角形取代 典型的+或-符號，替代了傳統課程的表達方式，用以更真實地檢測學童數學 概念及程序覺知，是受到NCTM（1989; 2000）、Schroeder和Lester（1989）

及相關文獻的論點的導引與支持，這些題目的設計是針對非例行性的數學解 題能力，所以，這些試題應該比較不會受到一般補習課程中重複練習效應的 影響，可以研究學童較真實的數學解題能力。實際的研究結果中的相關信、

效度指標，也證實這種非例行性問題的測驗的心理計量品質。這種非例行性 問題的測驗，將有助於觀察學童問題解決活動的實質內涵。

概念覺知與程序覺知的關係大致可以歸納為當學生的概念覺知相對表 現較好時，通常可預期他們的程序覺知表現也會增加；換句話說，當學生的 概念覺知Z分數較高時，通常其程序覺知Z分數也會較高，也就是需要較多 的時間。將三個分測驗個別分析之後，也有類似的狀況。西方的諺語曾有〝

Slow and steady wins the race.〞的論點，這在本研究中似乎可以得到很好的 支持，那些花較長時間完成測驗的受測者，在最後的平均得分也比較高，

另外，本研究也發現，性別差異並不能造成數學概念與程序覺知表現 差異的統計顯著性；也就是說，男、女學生在這兩項覺知測驗的分測驗或總 測驗的差異，並無法通過統計的顯著性考驗。不同年級的表現差異就很值得 注意，五年級的平均概念覺知低於六年級的平均概念覺知，且具有統計上的 顯著性；但是，有趣的是，在程序覺知上，也就是平均完成的時間，兩者之 間的差異並沒有統計考驗上的支持。在「熟能生巧」的信念下，六年級學童 的成熟度較高，應該可以用較短的時間完成測驗，但是，在這些非典型的測 驗中，這個預期現象並沒有科學的證據支持。不過，年級因素所代表的可能 意義有很多，也許實際影響的原因是學童的心智年齡或能力的成熟程度，但 也有可能是其他因素。以目前的實驗設計下，因為與文獻上（例如：Yang, 2001; Yang, Yang, & Chaou, 2005; Yang, Yang, & Chen, 2001）所探討的內容不 盡相同，研究結果並不能相同並論。所以本研究初步認為只能證實五、六年 級的數學概念與程序覺知測驗確有差距，但真正的原因可能需要未來進一步 的研究才能了解。

數學概念覺知與程序覺知的發展歷程的分析中可發現：學童會因運算 符號個數的增加，而需要增加平均相對完成時間；但是，相對地，答對率在 分測驗之間的變化就不是很明顯（如分析一）。就本研究的定義而言，學童 概念覺知的變化程度在這三個分測驗間相對於程序覺知的變化而言，程序覺 知的變動似乎比較大些，尤其是在單一運算元與兩個運算元測驗之間。就發 展歷程的觀察而言，數學概念覺知的發展受到運算元個數的影響程度似乎不 如程序覺知受到運算元個數的影響程度。分析二的統計考驗分析則進一步確 認這些發展歷程的差異，雖然單一運算元與兩個運算元之間的概念覺知

差異，具有統計上的顯著性，但是一、三與二、三個運算元之間的顯著性 都未通過0.05的標準。相反的，所有程序覺知的配對考驗都是具有統計上顯 著差異。這個結果似乎進一步隱喻著學童在未經任何教學或輔導的自學環境 下，概念覺知的歷程變化程度將少於程序覺知的歷程變化，這個結果也許還不 能足夠回答學童的數學學習歷程到底是「知易行難？」或是「知難行易？」，

但是，也許可以提供未來在這種電腦化自學環境的相關研究的一些啟示。

從不同觀點的發展歷程分析中，則發現起始點的狀態與後來的成長情 形的關連是相當值得注意的重點；有趣的是，學童在本研究的設計情境下，

如果他們在這兩種覺知測驗開始時的相對位置越高，相對地，在後來的成長 速率就會有越低的趨勢。就概念覺知而言，起初的平均得分越高，後來得分 成長的程度就很可能越低；就程序覺知而言，若完成初期測驗的費時越長，

則在後期測驗的完成時間的增加程度就很可能越低。這個現象不論是從整體 來看，或是分成高、低分群來看都有類似的現象，似乎只是程度上的不同而 已。就本研究中此類的自學環境而言，即使在初始的概念覺知中得分較高；

事實上，這並不見得就是後來得高分的保證，反而可能有相反的結果。有趣 的是，即使學童在初期比較簡單的運算中的程序覺知費時較長，但在後來二 或三個運算元測驗的複雜運算中，平均完成時間反而有較短的趨勢，這現象 相當值得教學設計或教育相關研究中的進一步關注。不過在因為題數、時間 有限的情況下，也許有一些研究限制，例如：天花板效應等，值得未來進一 步研究中繼續深入了解。

其他的研究限制主要來自於研究對象的立意取樣，本研究的研究對象 所選取的地理位置為台中市之市中心區，由於需操作電腦所以將學童的年級 定在小學五、六年級就讀的一般學生，與本研究內的研究對象及所在區域相 近的其他樣本，也許也會有相近的研究結果，但因為本研究為立意取樣，任 何以隨機取樣的立論或推論，並沒有嚴謹的支持，此為本研究的範圍及限制 之一。本研究所指數學概念與程序覺知皆由特定的研究工具所測量而來；研 究中的相關名詞或術語也有特定的定義，也許與一般日常語詞相似或雷 同，但應以實際在本研究內所定義的範圍為限；不嚴謹或過份的推論、類 比，都不是本研究所界定的範圍內。本研究的結果建議未來可以進一步做長

期的觀察研究，以深入了解學童的相關能力的認知發展情形，對於教育上、

教學上的學習輔導或教學應用，也可以有更廣泛而深入的貢獻。若能以本研 究的E-Prime 的研究結果，進行大腦的誘發電位（event related potentials, 簡 稱ERP）研究，應該可以進一步更詳細地探究學童在學習時的大腦的真正運 作機制，也可以在認知心理學以及後續的教育心理學的研究上提供有效的資 料。

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一、二、三個運算符號測驗之程序覺知

（Y-時間）與概念覺知（X-分數）散佈圖

低分群概念型覺知發展歷程的截距與斜率的線性關係

高分群概念型覺知發展歷程的截距與斜率的線性關係

高概念覺知群之程序覺知發展歷程的截距與斜率的線性關係 低概念覺知群之程序覺知發展歷程的截距與斜率的線性關係