95 年 數學科 學科能力測驗試卷

95 年 數學科 學科能力測驗試卷

__________科__________班 學號__________姓名__________

總 分

第 ﹕選 一部分 擇題

一 、單選題

說 ﹕第1 至5 題﹐每 ﹐每 5 分﹐答 ﹒ 明 題選出最適當的一個選項 題答對得 錯不倒扣

( )1.

_ax ² _{ bx c   0}

4 3i 

若 將此方程式的兩根與原點在複數平面上標出﹐則此三點所圍成的三角形面積為

(1)5 (2)6 (3)12 (4)16 (5)24.

﹝第 一 冊

CH5 ﹞

( )2.

選 出的兩個格子不在同行（有無同列無所謂）

的 機率為

(1) 1

20 (2)1

4 (3)3

4 (4)3

5 (5)4

5 .

﹝第 四 冊

CH2 ﹞

( )3.

OD  8

問 OAB的

_AB

(1)1 (2)

6  2

7 1 

3

﹝第 二 冊

CH2﹞

( )4.

₂

(1)

3 cos 44   sin 44 

3 cos 54   sin 54 

3 cos 64   sin 64 

3 cos 74   sin 74 

(5)

3 cos84   sin 84 

﹝第 二 冊

CH2﹞

( )5.

的 B 的 . 數量每兩個小時可以成長為兩倍﹐細菌 數量每三個小時可以成長為三倍

若 B 的 A 養分充足且一開始兩種細菌的數量相等﹐則大約幾小時後細菌 數量除以細菌

的 10﹖ 數量最接近

(1)24 小 時

(2)48 小 時

(3)69 小 時

(4)96 小 時

(5)117 小 .

﹝第 二 冊

CH1﹞

二 、多選題

說 ﹕第6 至 11 題 5 明 ﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得

分 2.5分 ﹐答錯不倒扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲 ﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

( )6.

的 公因數﹐則下列何者正確﹖

(1)c 一 56 整 定可以被 除

(2)b



(3) 若a



^{a  25}

(4)a﹐b﹐c 三 25 的 個數的最大公因數是 因數

(5)a﹐b﹐c 三

25 3 4 14   

﹝第 一 冊

CH3 ﹞

( )7.

_{( x  2)} ² _{ y} ² _{ ( x  2)} ² _{ ( y  4)} ² _{ 10}

( , ) x y

所 成的圖形﹐下列敘述何者正確﹖

(1) 此 圖形為一橢圓

(2) 此 圖形為一雙曲線

(3) 此

(2, 2) 

(4) 此

x   2 0

(5) 此

(2,3)

﹝第 四 冊

CH1 ﹞

( )8.

a a a a 1 , , , 2 3 4

0  a ₁  2

a 3  4 ﹒

b _n  2 ^a

﹐ 則以下哪些選項是對的﹖

(1)

b b b b 1 , , , 2 3 4

(2)

b 1  b 2

(3)

b 2  4

b 4  32

(5)

b 2   b 4 256

﹝第 一 冊

CH4﹞

( )9.

﹒

一 2.甲 f(x) 的 次項係數為 生在計算時把 三次項係數錯看成

2 （ f(x) 的

 2

(1)x (2)

x  1

x  2

x  1

x  2 ﹒ ﹝第 一 冊 CH5﹞

( )10.

名 婦 女 的 體 重 所 作 出 的 直

方 . 圖（圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數﹐其中各區間不包含左端點而包含右端點）

該100 名 55 公 12.5公 . 曲 N 婦女體重的平均數為 斤﹐標準差為 斤 線

代 . 表一常態分佈﹐其平均數與標準差與樣本值相同

在 2 個 此樣本中﹐若定義「體重過重」的標準為體重超過樣本平均數 標準差以上（即體重超過

80 公 斤以上）﹐則下列敘述哪些正確﹖

(1) 曲 N （ 55 公 50% 線 常態分佈）中﹐在 斤以上所佔的比例約為

(2) 曲 N （ 80 公 2.5% 線 常態分佈）中﹐在 斤以上所佔的比例約為

(3) 該 55 公 樣本中﹐體重的中位數大於 斤

(4) 該 45 公 樣本中﹐體重的第一四分位數大於 斤

(5) 該 80 公 5%.

﹝第 四 冊

CH4﹞

( )11.

1 18, 2 9,3 6   

3 6 

是

3 6 

^{p q p q  (  )}

是 n 的 ( ) p 正整數 最佳分解時﹐我們規定函數

F n  q ﹐ 3 1 例如

(18) 6 2

F   . 下 列有關函數

F(n)的 敘述﹐何者正確﹖

(1)

^{F (4) 1 }

(2) 3 (24) 8

F 

(3) 1 (27) 3

F 

(4) 若 n 是 1 一個質數﹐則

( ) F n n

(5) 若 n 是

F n ( ) 1 

﹝第 一 冊

CH3﹞

第 ﹕填 二部分 充題

說 ﹕第A至 I 題 每 5 分﹐答 ﹐未 ﹒ 明 ﹐ 題完全答對給 錯不倒扣 完全答對不給分

A.

﹐

得 到 如下數據﹐其中

( 男 女 , )

代 男 表第一個小孩是

孩 而 第 二 個 小 孩 是

女 庭 生 的 家 ﹐餘 類推 .

家

庭 庭 別 家 數

( 男 男 , )

( 男 女 , )

( 女 男 , )

( 女 女 , )

由 此數據可

估 的 計該地區有兩 庭 男﹑ 女孩 性別 比約為 個 小 孩家

________﹕100

（ 捨五 四 入

至 整 數 位

） .

﹝第 四 冊

CH2﹞

B.

立 中 點 ﹐ 則 方體﹐若 M在 段

_AB

_{BM  2 AM}

_BC

cos MON  

___

₁₀

要

化 成最 簡 分數）

﹝第 三 冊

CH2﹞

C.

( 6, 2),(2, 1),(1, 2)   

若 菱 有第四點和此三點形成一

形

（

四 長 相等）﹐則第四點的坐標為 邊 皆 ( ﹐ ) .

﹝第 一 冊

CH3 ﹞

D.

示 接四 邊 ﹐ABCD 為 內 形﹕ 圓

若

^{ DBC    30 , ABD  45 ,  CD  6}

^AD 

.

﹝第 二 冊 CH2﹞

E.

業

進 行 ﹐ 出「第二雙不 用錢 一 一」的 促銷戰 推 --- 買 送 活動 .

該

鞋 八款鞋 供 格如下﹕ 店 共 有 可 選擇﹐其 價

規 定所

送 鞋之價 的 格（例如﹕ 一個「 」 甲 乙兩 款鞋之 的 格一定少於所 買 價 買 丁 款鞋 ﹐可 送 ﹑ 一） .

若 新新鞋店 的 有一位

顧 客

買 送 帶走 的兩雙 ﹐其 搭配 方 一 有 一 一﹐則該 顧客 所 鞋 法 共 ________ 種.

﹝第 四 冊

CH2 ﹞

F.

有 電 ﹐將其分 配 新 綜 三種 類型 視 聞 藝 頻 台 台 道 ﹑ 9 個 給3 個 4 個 及2 個 育台 . 體 共

若 類型 同 電 視 台

的 相 ﹐而且 兩個 頻道保留 給體 育台 ﹐則 頻道 的分 配 有 頻道要 鄰 前 方式 共 ________ 種.

﹝第 四 冊

CH2 ﹞

G.

磚 依

照 圖形﹕ 如下的規 律拼 成若 干

拼

第 地 95 個 需用 ________ 塊 磚.

﹝第 一 冊

CH4 ﹞

H.在 ABC中 D 點

_BC

上 ﹐ 且

_{AB  7, AC  13, BD  7, CD  8}

_{AD }

﹝第 二 冊

CH2 ﹞

I.

A (0,0), (10, 0), (10,6), (0, 6) B C D

如 直線 形 果

^{y m x  (   7) 4}

ABCD

分 塊 成面積相等的兩

﹐ 化 分數） 那麼

m 

﹝第 一 冊

CH3﹞

款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛

價格 670 670 700 700 700 800 800 800

答 案

第 ﹕選 一部分 擇題

一 、單選題

1. (3) 2.(5) 3.(4) 4.(4) 5.(5)

二 、多選題

6.(2)(3)(4) 7. (1)(3)(4)(5) 8. (1)(2)(3)(4)(5) 9. (1)(3)(5) 10. (1)(2)(4)(5) 11. (1)(3)(4)(5)

第 ﹕填 二部分 充題

A. 105 B.

15

C. (9,3) D. 72 E. 21 F. 576 G. 478 H. 7 I.

解

析

第 ﹕選 一部分 擇題

一 、單選題

1.

_ax ² _{ bx c   0}

有

4 3i 

一

根 必 之 為

4 3i 

 OAB

面 積 1

6 4 12

   2 .

2.

4 4 4

2 1 1

16 2

4 5 C C C

P C

 

  .

3.  OCD

OC  4 3

 OBC

_{OB OC   cos15   4 3 cos15 }

 OAB

_{AB OB   sin15 }

(4 3 cos15 ) sin15

    

2 3(2sin15 cos15 )

  

2 3 sin 30 2 3 1 3

     2 .

4.

3 cos sin 2( cos sin )

2 2

      

2(sin 60 cos

cos 60 sin )

   

2sin(60

)

  

₂

當 2

sin(60 )

 2

   時

₂

即

60   

45  或 60 + 

 135 , 



   15

）

或

  75 ,

故

選 (4).

5.

需 過 經 6n 小 時﹐

B 10 A

 ﹐

2 3

3 10 2

n



n

² ₃

( ) 10 2

n

取 9

log,log( ) log10, 8

n

(log 9 log 8) 1,

n  

1 1

0.9542 0.9030 0.0512

n 

 ≒19.5﹐

需 過

19.5 6 117  

二 、多選題

6.

5 | , 2 3 5 7 | , 2 3 7 | , ² a ²    ^{1 2} b ²   c

(1)╳﹕ 不 . 一定

(2)○﹕

^{2100 | b}

(3)○﹕

^{( , ) 25, a b  a}

若

a  100, 則 a  25

(4)○﹕

( , , ) (( , ), ) (25, ) a b c  a b c  c  d ,

^{d | 25}

(5)╳﹕

 ^{a b c , ,}  ^{ 2 3 5 7 2    2}

7.

F ₁ (2,0), (2, 4), F ₂ 

_{PF 1  PF 2  10}

2 c F F  1 2  4, 2 a  10,

(1)○﹕∵

^{2 a  表橢圓 2 c}

(3)○﹕

F F 1 2

中 點

(2, 2) 

(4)○﹕

x   為長軸 2 0

軸 頂點 之

A (2,3)

8.

^{b n  2 a}

b 1  2 , ^a

b 2  2 , ^a

b 3  2 , ^a

b 4  2 ^a

²

1

2 2 2 , 2

a

a a d

a

b b

 



2

3 2

2 2 2 , 2

a

a a d

a

b b

 



∴

^{b n}

(2)○﹕∵

0  a 1  2, a 3  4, 表示公差 d  0,

即

a 1  a 2  a 3  a 4

2 ^a

 2 ^a

 2 ^a

 2 ^a

b 1  b 2  b 3  b 4

0  a 1  2, a 3  4,

∴

^{4   a 1 a 3  6}

^{1 3}

 



2  a 2  3

a 2 為 a a 1 , 3 之等差中項



₂ ² _{ 2} ^a

_{ 2} ³

4  b 2  8

(4)○﹕

2  a 3   a 1 4

2 2  d  4

^{1   d 2,}

4 3 4 5,

a  a     d d

4

5

2 ^a  2

b 4  32

(5)○﹕

b 2   b 4 2 ^a

 2 ^a

 2 ^a

^{ a}

 2 ^{2 a}

 2 ⁸  256

9.

f x ( ) 3  x ³  ax ²  2 x b g x  , ( )   x k ,

甲

f x ( ) 2  x ³  ax ²  2 x b  ,

乙

f x ( ) 3  x ³  ax ²  2 x b  ,

由 理 餘式定

知

_{2 k} ³ _{ ak} ² _{ 2 k b   3 k} ³ _{ ak} ² _{ 2 k b }



k ³  4 k  0



^{k k (  2)( k  2) 0 }

^{k  0, 2, 2, }

∴

^{g x ( ) 可能為 x x ,  2, x  2}

10.

常 曲線﹐平均 態 數 分 上 下各 配 占 50%.

(2)○﹕80 公 斤表

示 平均數以 2 個 占2.5%. 上 標準差

(3)╳﹕由 35~45 間 圖知體重

占 占 示 20%﹐45~55 間 33%﹐表 55 公 斤以下

占53%﹐表

示 必 中位 小於 55 公 . 數 斤

(4)○﹕ 體 35~45 間 重

占 20%﹐∴ 第 45 公 . 一四分位數大於 斤

(5)○﹕ 由 80 公 之 圖知體重超過 斤以上

比 例 大

於 5%.

11.

(2)╳﹕ 4 2

(24) 4 6

6 3 F     .

(3)○﹕ 3 1

(27) 3 9

9 3 F     .

(4)○﹕n 是 質數

∴ 1

( ) 1 F n n

   n .

(5)○﹕n 是 ( ) k 1 完全平方數﹐

F n k k k

    （ 為正整數） .k

第 ﹕填 二部分 充題

A.

孩 數

 261 2 249 1 255 1 1026      

女

 249 1 255 1 235 2 974      

1026 974 100

  x 男

女  x≒105.3﹐

男

﹐ 之 女 比約為

105 :100

B.

﹐ 令

O (0,0,0), (0,0,6), (0,6,6), (6,6,6), A B C M (0, 2,6), (3,6,6) N

(0, 2,6), (3,6,6) OM   ON  

﹐ 0 12 36

cos OM ON

MON   

    

 

48 8 8 10 4 30 15 10 2 10 9 3 10

   

 .

C.

C x y BD ( , ), 中 中  AC 中 中 ,

( , ) ( , ), 2 2 2 2

x y

 6 3 2 2 x

  

x  9

2 2

y  

^{y  3,  C (9,3)}

D.  BCD

sin 30 CD  R

 

2 6 12, 1 2 R 

 ABD

sin 45 AD  R

 ﹐

2 sin 45 12 2 6 2 72 AD R 2

        .

E.

丁 戊送 甲或乙有 庚 辛送 甲﹐乙﹐ 丙 丁 戊 ﹐

3 2 

3 5 



有

6 15 21  

F.

所

求

      1 2! 2! 3! 4! 576

體新綜

G.

a _n

a ₁  8, a ₂  13, a ₃  18,...

a ₂  a ₁  a ₃  a ₂   5 d ,

95 1 94 8 94 5 478

a a d

      

H.

2 2 2

7 15 13

cos ,

2 7 15

ABC B  

 

中   7

²

^{2 2}

cos 2 7 7

ABD B  x

 

中   49 225 169 49 49

2

2 7 15 2 7 7

   x

 

   

2

105 98

2

49 7 .

15 7

x x x

        （負不合）

I. y m x  (   7) 4

(7, 4)

直 線 ﹐

令

x  10, y  3 m  4, x  0, y   7 m  4,

形 面 積

ABEF

( 7 4 3 4) 10 (10 6)

2 m m 2

       



^{ 4 m   8 6,}

  .