本 章 歷 屆 基 測 題 數 統 計

本 章 歷 屆 基 測 題 數 統 計

6 7 5 4 3 2 1

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 5

2 2 3 4

2 6

3

★二元一次方程式

★二元一次聯立方程式

★應用問題

2 1 1 1 1 1 3 1 0 0 3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 兩次題數合計

（題）

年度（年）

2 1

能力指標分年細目

1-1 二元一次方程 式

7-a-01

能由命題中用 x、y 等 符 號 列 出 生 活 中 的 變 量 ， 並 列 成 算 式。

7-a-02

能 嘗 試 以 代 入 法 或 枚 舉 法 求 一 次 方 程 式 的 解 ， 並 檢 驗 解 的合理性。

7-a-03

能 熟 練 符 號 的 代 數 操作。

7-a-10

能 由 具 體 情 境 中 列 出 二 元 一 次 方 程 式 ， 並 理 解 其 解 的 意義。

章首圖參考解答：

■白色雞蛋有 11 顆，

褐色雞蛋有 6 顆。

本章是典型的傳統教材，其命題重點如下：

1. 二元一次方程式的列式與解的意義 2. 二元一次聯立方程式的列式與求解

3. 利用二元一次方程式或二元一次聯立方程式解應用問題

而在應用問題的解題方式上，二元一次方程式將會比一元一次方程式更有其列式上的 優點，並提供不同的解題思路。

基測停看聽

方程式 7-a-16

能 由 具 體 情 境 中 列 出 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 ， 並 理 解 其 解 的意義。

7-a-18 能 熟 練 使 用 消 去 法 解 二 元 一 次 聯立方程式。

1-3 應用問題

7-a-16

能 由 具 體 情 境 中 列 出 二 元 一 次 聯 立 方 程 式 ， 並 理 解 其 解 的意義。

7-a-18

能 熟 練 使 用 消 去 法 解 二 元 一 次 聯 立 方 程式。

教學活動內容

1-1 二元一次方程式

能利用兩個符號表徵列式，並依照符號所代表的數求出算式的值。

能處理含兩個未知數的式子化簡，並運用運算規律做式子的加減運算。

能將生活情境的問題記錄成二元一次方程式。

了解二元一次方程式解的意義，並能用代入法檢驗是否為解。

理解二元一次方程式的解有無限多組，並能在情境中檢驗解的合理性。

活動 5 活動 4 活動 3 活動 2 活動 1

1-2 二元一次聯立方程式

能將生活情境的問題記錄成二元一次聯立方程式。

了解二元一次聯立方程式解的意義，並能用代入法檢驗是否為解。

能利用代入消去法解二元一次聯立方程式。

能利用加減消去法解二元一次聯立方程式。

活動 4 活動 3 活動 2 活動 1

1-3 應用問題

能根據問題的情境與假設，列出二元一次聯立方程式，並求其解。

能根據問題的情境，做適當的假設，並列出二元一次聯立方程式及求其解。

能根據問題的情境，做適當的假設、列式與求解，並能檢驗解的合理性。

活動 3 活動 2 活動 1

教材地位分析

§1-1 活動 1 二元一次式

§1-1 活動 2 二元一次式的化簡

§1-1 活動 3∼5 二元一次方程式

§1-2 活動 1∼2 二元一次聯立方程式

§1-2 活動 3 代入消去法

§1-2 活動 4 加減消去法 七上第 3 章

一元一次方程式

八上第 3 章 因式分解

本冊第 3 章 比例

本冊第 2 章 直角坐標與二元一次

方程式的圖形

§1-3 活動 1 應用問題（有假設）

§1-3 活動 2∼3 應用問題（無假設）

13

14

教材設計理念

評量注意事項

1型如 或 的題目，因難度太高請勿命題。

2應用問題命題時請以簡易的生活情境為主，最好對於列式與求解能分段給分。

1-1 二元一次方程式

本節先由二元一次式介紹至二元一次方程式，在式子的化簡時，延續七上一元一次 式對「項」以「＋」號區隔的概念，讓合併化簡運算歸於較單純的加法，雖然多了些篇 幅，但可避免或減少學生在運算上的錯誤。利用直式做式子的加減運算記錄，更有助於 下一節加減消去法解聯立方程式的學習。

1-2 二元一次聯立方程式

本節先介紹二元一次聯立方程式，然後就將目標放在代入消去法與加減消去法的學 習，兩種方法的初例介紹，都先由簡易的題型開始，並刻意將解法以步驟呈現，來加強 學生的概念。後續例題的介紹，遵循由淺至深、由易至難的原則逐步漸進，且題型盡量 細分，並盡量安插適度的說明與引導，方便學生的學習。本節另有介紹無限多解與無解 的情形。（例題 13 和例題 14）

1-3 應用問題

本節主要目標在利用二元一次聯立方程式來解生活情境的應用問題，首先讓學生了 解，在七上學習利用一元一次方程式來解應用問題時的解題步驟，也適用於二元，接著 先以給定假設的應用問題（例題 1），來整合 §1-1 與 §1-2 的學習，再進行需自行假設 的學習，最後並加強解的合理性判斷。例題的安排也是由易入難，所列方程式也盡量設 計成不相同的題型。且為加強學生的閱題能力，解說引用題幹時，常加入「」來強調，

期能對學生在應用問題的分析能力上，能逐步提升。

－ ＝1

＋3 ＝12 y 2 x

1 y 1

x 49x＋51y＝151

51x＋49y＝149

15 參考資料

一. 數學雜談

著名的九宮格（如下圖），是將 1∼9 等九個數字填入方格中，且使各行、各 列、各對角線三數的和均相等，其和為 15〔在數字未填入時可由（1＋……＋9）÷3 求得〕。數字 1 填入時，以格子的方位來看，可分三類不同的位置（如下圖著色的格 子為同一類）來討論。

8 1 6

3 5 7

4 9 2

第一類 第二類 第三類

數字 1 填入第一類的格子是沒問題的（如前圖），但是否可以填入第二、三類 的格子呢？我們可以利用二元一次方程式來解決這個問題。

若 1 填入第二類格子，並設2填入 x、4填入 y ，如下圖。 （ x、y 為 2∼9 不 同的正整數）

由1＋2＋3＝15，1＋x＋3＝15，得3＝14－x 由1＋4＋7＝15，1＋y＋7＝15，得7＝14－y

由3＋5＋7＝15，14－x＋5＋14－y＝15，得5＝x＋y－13 由1＋5＋9＝15，1＋x＋y－13＋9＝15，得9＝27－x－y 由2＋5＋8＝15，x＋x＋y－13＋8＝15，得8＝28－2x－y 由4＋5＋6＝15，y＋x＋y－13＋6＝15，得6＝28－x－2y

最後由3＋6＋9＝15 或7＋8＋9＝15 均可得 x＋y＝18，但因 x、y 需為 2∼9 不同的正整數，所以無解，也就是數字 1 不能填入第二類的格子中。

而數字 1 也不能填入第三類（即正中央）的格子中，教師可給較資優的學生，

以同樣的方式，試著說明看看。

二. 參考書目

1《創意教學－數學篇》（2001 年） 何碧燕 幼獅出版社 2《數學誕生的故事》（2000 年） 袁小明 九章出版社 3《阿草的葫蘆》（1996 年） 曹亮吉 遠哲科學教育基金會 4《古代世界數學泰斗劉徽》（1995 年） 郭書春 明文書局 5《國民中學數學教師手冊第一冊》（1998 年） 國立編譯館

6《國中數學科教學改進專輯－數學史研究成果報告》（1996 年） 臺北市政府教育局 16

1 1

7 14－y 828－2x－y 927－x－y 2 x

4 y 5x＋y－13 628－x－2y 3 14－x 由下可得

1

17

三. 相關網站

1翰林我的網： http://www.worldone.com.tw 2翰林文教網： http://www.hle.com.tw

四. 數學遊戲

撲克牌因其正整數特性，很適合做數學遊戲的工具，本章的二元一次方程式及 聯立方程式，都可以利用撲克牌來練習。學生 2 至 5 人一組，由一位同學從一疊撲 克牌中，抽出兩張，左右手各執一張。

1練習二元一次方程式時，可告訴對方，右手點數的 3 倍與左手點數的和是多少，

且左右手的點數哪一邊較大（抽到點數相同時請重抽），然後請對方猜左右兩手點 數可能是多少。可更改條件，但左右手點數的倍數不宜太大，且不宜相同。

2練習二元一次聯立方程式時，可告訴對方，右手點數的兩倍與左手點數的和是多 少，及左手點數的兩倍與右手點數的和是多少，然後請對方猜左右兩手點數和，

及左右兩手點數各是多少。可更改條件，但倍數不宜太大。

■MPB 二元一次聯立 方程式 P1∼7

■類題熟練本 P1

■歷屆基測試題 P6 配套指示器

■5小時

能利用兩個 符 號 表 徵 列 式 ， 並 依 照 符 號 所 代 表 的 數求出算式的值。

■92 基測 I 第 1 題

■教師可視情況複習 25x 如何而得：

1 個麵包共 25×1（元）

2 個麵包共 25×2（元）

x個麵包共

25×x ＝25x（元）

教學眉批

！

教學時數

…

搭配習作P4基礎題1 對應能力指標7-a-01

■類題熟練本 P1、2

■歷屆基測試題 P5 配套指示器 1父現年 x 歲，子現年 y 歲，則 4 年前父子年齡和為 歲，4 年後父子年齡

和為 歲。

2有一個二位數，個位數字為 x，十位數字為 y，將該兩位數加上 20 後，得和為

。 補充問題 補充問題

■課 本 中 幾 乎 都 以 x、y 兩個文字符號 來代表未知數，教 師在重新布題時，

不妨使用其他文字 符號。

x＋y－8 x＋y＋8

10y＋x＋20

■91 基測 I 第 2 題

■例題 1 中的未知數 為整數，例題 2 的 未知數不一定要是 整數，教師可適度 的提醒學生這些差 異，可感受代數的 靈活。

教學眉批

■類題熟練本 P2

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 1 回

■歷屆基測試題 P5 配套指示器

■90 基測 I 第 22 題

■引進負數代入算式 時，應注意學生可 能發生的錯誤。

■可 以 先 將 3x－ 4y 寫成 3×x－4×y，

再代入數值進行計 算 。 在 處 理 3×

（－4）－4×（－5）

的算式時，要讓學 生清楚知道性質符 號與運算符號的不 同。

■將例題 3 的結果以 表 格 的 方 式 呈 現 時，教師仍宜詳加 解說。

教學眉批

！

1 若 a＝ ，b＝－ ，則 99a＋100b 的值為 。 2 若 a＝ ，b＝－2 ，則 199a－199b 的值為 。

3 1

3

3 2 3

2 補充問題 補充問題

－ 3 2 199

搭配習作P4基礎題2

■類題熟練本 P3 配套指示器 個 未 知 數 的 式 子 化 簡 ， 並 運 用 運 算 規 律 做 式 子 的 加 減 運 算。

■有關式子的化簡，

教師可適度引用情 境（如 x 表示蘋果 的單價，y 表示香 蕉的單價）來強化 同類項可再合併，

而不同類的項不可 再合併的觀念。

■延續在一元一次式 時 ， 對 「 項 」 以

「＋」號區隔的概 念，讓合併化簡歸 於較單純的加法，

可避免學生運算錯 誤，而熟練後自能 精簡省略增強運算 能力。

搭配習作P4基礎題31 教學眉批

■化簡下列各式：

12x－3y－x＋2y＋4 212x－10y－8x＋8y 3－5y－2y＋4x＋3y－5x 48x＋3y＋4x＋4y－5y 57y－3x－x＋y－5 63x－y＋2x＋5y－4x

1 x－y＋4 2 4x－2y 3－x－4y 4 12x＋2y 5－4x＋8y－5 6 x＋4y 補充問題

補充問題

■類題熟練本 P3 配套指示器

■此處分配律常需由 對兩項的分配延伸 至對三項的分配，

教師可舉一些數字 的 例 子 來 加 以 說 明，例如：

3×（5＋4＋2）

＝3×5＋3×4＋

3×2；

3×（5＋4－2）

＝3 ×〔 5 ＋ 4 ＋

（－2）〕

＝3×5＋3×4＋

3×（－2）

對 程 度 較 好 的 學 生，可以使用代數 符號，由兩項的分 配來推得三項的分 配，例如：

a×（b＋c＋d）

＝a×〔（b＋c）＋d〕

＝a×（b＋c）＋a×d

＝ab＋ac＋ad 教學眉批

搭配習作P4∼5基礎題32、3

■化簡下列各式：

1 2（x－y）＋4（－x＋2y）

2 3（－2x＋5y）＋2（－x－3y）

3（6x－y＋12）＋（－x＋4y－19）

1 －2x＋6y 2 －8x＋9y 3 5x＋3y－7 補充問題

補充問題

■類題熟練本 P3、4 配套指示器

■利用直式進行式子 的加減運算，有助 於下一節以加減消 去法解聯立方程式 的學習。

教學眉批

■化簡下列各式：

1 7（1－x－y）＋7（x＋y＋1）＝ 。

2 199（99x－19y＋1）－99（199x－19y）＝ 。 補充問題

補充問題

14

－1900y＋199

■類題熟練本 P4

■歷屆基測試題 P6 配套指示器

搭配習作P5基礎題34、5、6

■94 基測 II 第 27 題

■95 基測 I 第 18 題

■例題 6 第5小題牽 涉到分數的運算，

學 生 會 覺 得 較 困 難，教師宜放慢速 度，多做解釋。

並可補充下列的解 題方式：

（2x－y＋2）－

（3x＋y＋6）

＝ －

＝ －

＝ 12x－11y＋6 6 6x＋2y＋12

6 18x－9y＋18

6

2（3x＋y＋6）

6

9（2x－y＋2）

6 1

3 3 2

教學眉批

！

■類題熟練本 P4、5

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 2 回

配套指示器

■教師應注意學生在 進行式子的減法運 算時常犯的錯誤，

並即時提出糾正。

注意事項

■化簡下列各式：

1（－3x－9y＋1）－（－7x＋2y－12）

2_－ （12x－6y＋3）＋ （20x－15y）

1 4x－11y＋13 2 8x－8y－2 4

5 2

3

補充問題 補充問題

■利用直式進行式子 的加減運算，有助 於下一節以加減消 去法解聯立方程式 的學習。

教學眉批

■類題熟練本 P5 配套指示器

能將生活情 境 的 問 題 記 錄 成 二 元一次方程式。

■此頁的列式練習題 目都有給定假設且 限於簡易情境或概 念，教師在重新布 題時應特別注意。

教學眉批 活動3

對應能力指標7-a-02、7-a-10

■類題熟練本 P5

■歷屆基測試題 P7 配套指示器 次 方 程 式 解 的 意 義 ， 並 能 用 代 入 法 檢驗是否為解。

■國小時曾經教過不 等於符號「≠」的 用法，教師於此處 可再提醒說明。

■一個二元一次方程 式的解有無限多 組，並非表示任意 一組 x、y 的值都 是二元一次方程式 的解。

■96基測 II 第 8 題

！

搭配習作P5基礎題4

1媽媽帶 300 元到市場買菜，買了每斤 x 元的豬肉 2 斤，又買每條 y 元的魚 3 條，結 果還剩下 15 元，依題意列出二元一次方程式。 300－（2x＋3y）＝15

2若 x＝10，y＝25，則 －2x＋3y 之值為何？ 55 補充問題

補充問題

■類題熟練本 P6 配套指示器

理解二元一 次 方 程 式 有 無 限 多 組 解 ， 並 能 在 情 境 中 檢 驗 解 的 合 理 性。

活動5

1 已知 x＝2，y＝3 與 x＝3，y＝b 都是方程式 ax－y＝5 的解，求 a、b 的值。

a＝4，b＝7

2 若 x＝3，y＝－1 為方程式 ax＋y＝8 的解，亦為 2ax－by＝20 的解，則 a＋b＝？ 5 補充問題

補充問題

■類題熟練本 P6

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第 3 回

■歷屆基測試題 P8 配套指示器

■97 基測 I 第 11 題

■要找出 ax＋by＝c 正 整 數 或 0 的 解 時，當 a＞b 時，

從 x 開始找起會比 較 快 ； 當 a＜ b 時，從 y 開始找起 會比較快。

■二元一次方程式的 解的表示法通常有 幾種方式，以 5x＋3y＝37 為例：

1

x 2 5 … y 9 4 … 2

3（2 , 9）、（5 , 4）、…

其 中 3 為 數 對 表 示 法，於 2-2 節將會 再詳加說明。

教學眉批

■養樂多大減價每瓶 3 元，媽媽買了 x 瓶，優酪乳每瓶 8 元，媽媽買了 y 瓶，

共用了 150 元，求：

1依題意列出二元一次方程式。 3x＋8y＝150

2媽媽可能買了幾瓶優酪乳？A 4 瓶 B 5 瓶 C 6 瓶 D 7 瓶。 C 補充問題

補充問題

x＝2 x＝5 y＝9 y＝4 …

■無敵大補帖基礎篇 P1∼5

配套指示器

1小明到福利社，買了每個 x 元的麵包 7 個，又買了每瓶 y 元的汽水 5 瓶，共需付多 少錢？（7x＋5y）元

23（x－y＋2）－4（2x＋3y＋2）＝？ －5x－15y－2 補充問題

補充問題

■類題熟練本 P7

■考前衝刺 P2、3

■考前 100 分 P2、3

■歷屆基測試題 1-1 配套指示器

■90 基測 I 第 4 題

■93 基測 I 第 20 題

■96 基測 I 第 22 題

■96 基測 I 第 24 題

補充問題 補充問題

■在下表的空格中，填入各二元一次式的值。

4x－3y y

x 0 0.3 －4

1 0.2 －3

－3 0.6 －7

2 －1.1 14

－5x＋2y

3 2 4 3 2

－29 6 二元

一次式

■類題熟練本 P7、8 配套指示器

■一 隻 青 蛙 掉 進 60 公尺深的枯井，如 果青蛙每次可跳高 3 公尺，則需要跳 幾 次 才 能 跳 出 井 口？

因為青蛙跳高 3 公 尺 後 ， 又 跌 回 原 地 ， 所 以 跳 不 出 來。

趣味數學

■化簡下列各式：

1 2x＋7x－y＋4y－6 2 3x－5－2y－2x＋3y 3 4－2x＋3y＋4x－2y 4 9y－8＋3x－5y－x＋5

1 9x＋3y－6 2 x＋y－5 3 2x＋y＋4 4 2x＋4y－3 補充問題

補充問題

■類題熟練本 P8

■十分鐘輕鬆考進階篇 第 1 回

■無敵大補帖進階篇 P1∼3

配套指示器

■在什麼情況下，10 加 3 會等於 1？

上午 10 時＋3 時

＝下午 1 時

1班上舉行數學小考，全班 50 人，得到 60 分的有 x 人，得到 80 分的有 y 人，

而考 40 分者有 6 人，其平均為 67.2 分，則下列何者為其解？ C A x＝24，y＝20 B x＝12，y＝32 C x＝20，y＝24 ^D x＝36，y＝8

2大野牧場養了 24 隻牛及 32 匹馬，每日須供給牛 x 公斤的草料、馬 y 公斤的草料，

老闆統計每日須 272 公斤草料，則下列何者為其解答？ A A x＝6，y＝4 B x＝4，y＝6 C x＝2，y＝4 ^Dx＝4，y＝3

補充問題 補充問題