二元随机变量

(1)

1

第三章多元随机变量及其分布关键词：二元随机变量

联合分布边际分布条件分布

随机变量的独立性随机变量函数的分布

(2)

二元随机变量

例 1 ：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高 H 的分布或仅研究体重 W 的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值

，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。

问题的提出

(3)

3

例 2 ：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚 炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。

(4)

定义：

设 E 是一个随机试验，样本空间 S={e} ；设 X=

X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量，由它们构成的向量 (X,Y) 叫做二元随机变量或二维随机变量。

S e

y

   

 ^{X e Y e}^, 

x

(5)

§1 二元离散型随机变量

定义：若二元随机变量 (X,Y) 全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称 (X,Y) 是离散型随机变量。

（一）联合概率分布

(6)

6

 

,

, , , 1, 2,

i i

X Y

x y i j  

设设设设设设设设

y₁ y₂ … y_j …

XY

p₁₁ ^p₁₂… p_1j …

p₂₁ ^p22 … p_2j …

p_i1 ^pi2 … p_ij …

… … …

…

… … …

…

x1

x2

xi

为二元离散型随机变量 (X, Y) 的联合概率分布律。可以用如右表格表示：

离散型随机变量的联合概率分布律：

(7)

分布律的性质

1

^

p

_ij

 0 , 设 i j  1, 2, 

1 1

2

_ij

1

i j

 

p

 

 



(8)

8

例 1 ：设随机变量 X 在 1 、 2 、 3 、 4 四个整数 中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y

在 1~X 中等可能地取一整数值，试求 (X,Y) 的联合概率分布。

(9)

9

( , ) ( ) ( | ) 1 1

4 1, 2,3, 4 1；

       

  

P X i Y j P X i P Y j X i

i

i j i

解： (X=i,Y=j) 的取值情况为： i=1,2,3,4 ； j 取不大于 i 的正整数。

(10)

10

116

Y X

1 2 3 4

4 ₀ 0 0 1

16

1 ¼ ⅛ ¹¹²

2 ⁰ ⅛ ¹₁₂ ¹₁₆

3 0 0 ¹₁₂ ¹₁₆

即 (X,Y) 的联合概率分布为：

(11)

  ^{ }



₂ ₁



₁ ₂

,

, 1, 2 ,

i i

t

N t t

Poisson X t

i t t X X



 

例2：某足球队在任何长度为的时间区间内得黄牌或红牌的次数服从参数为

的分布记为比赛进行分钟后的得牌数。试写出的

联合分布律。

(12)

12

    ^e

^t

^{ } _! ^t

^k

^, ^{0,1, 2,}

P N t k k

k





   

设设



1

,

2

 

1

 

2

|

1



P X  i X  j  P X  i P X  j X  i

(13)

13

对于离散型随机变量 (X,Y) ，分布律为

( _i _j) _ij , 1,2, P X x Y y 设   p i j设  

1

(

_i

) (

_i

)

_ij _i

1, 2,

j

P X x P X x Y

^

p p i

_



   ^设==    

^记为

 ^

1

(

_j

) (

_j

)

_ij _j

1,2,

i

P Y y P X Y y

^

p p j

_



    ^，==   

^记为

 ^

X,Y 的边际（边缘）分布律为：

（二）边际分布

(14)

i ij

j ij

p p j

p p

i



记号表示是由关于求和后得到的；同样是由关于

求和后得到的.

…

… … …

…

… … …

…

p11 p …

12 p

1j … p_1·

x1

p21 p …

22 p

2j … p_2·

x2

pi1 p …

i2 p_ij ^… p_i _·

xi

X Y y¹ y₂ … y_j … P X  xi 

p_·1 p_·2^… p_.j ^… 1



^j



P Y  y

注意：

(15)

0,

1, , 1 2, 0

(1) ( , ) 2

X Y

X Y

 

   

 



例3：设一群体80％的人不吸烟，15％的人少量吸烟，

5％的人吸烟较多，且已知近期他们患呼吸道疾病的概率分别为5％，25％，70％。记

不吸烟，患病

少量吸烟，不患病

吸烟较多求：的联合分布和边际分布；

（）求患病人中吸烟的概率。

(16)

16

X 0 1 2

0.80 0.15 0.05

  ¹

p

解：由题意可得：

0 1 0

1 2

0.76 0.04 0.1125 0.0375 0.015 0.035

0.80 0.15 0.05 0.8875 0.1125 1

\

X Y P X(  i)

( )

P Y  j

(17)

17

(18)

, ( ) 0, ( | )

A B P A  P B A

对于两个事件，若可以考虑条件概率，

( , )

( _i _j ) _ij , 1, 2, X Y

P X  x Y  y  p i j   设设设设设设设设设设设设设设设设设设

设

（三）条件分布

(19)

19

由条件概率公式可得：

( , )

( | )

( )

i j ij

i j

j j

P X x Y y p

P X x Y y

P Y y p

_

 

   



当 i 取遍所有可能的值，就得到了条件分布律

。

(20)

定义：设 (X,Y) 是二维离散型随机变量 , 对于固定的，

₍ _{) 0}

P Y y 

j



若，则称：

Y  y

j

X

为在条件下，随机变量的；

条件分布律

( )

( | ) 1,2

( )

i j ij

i j

j j

P X x Y y p

P X x Y y i

P Y y p_

 

    

 

设

y

j

(21)

21

( )

( | ) 1,2

( )

i j ij

j i

i i

P X x Y y p

P Y y X x j

P X x p _

 

    

 

设

X  x

i

Y

为在条件下，随机变量的。

条件分布律

( P X  x

_i

) 0 

若，则称：

同样，对于固定的，

x

i

(22)

求： (1)a,b 的值；

(2){X=2} 条件下 Y 的条件分布律；

(3){X+Y=2} 条件下 X 的条件分布律。

X Y -1

0 1

a 0.2 0.2 1

2 0.1 0.1 b

( 0 | 2) 0.5 P Y  X  

已知：

例 4 ： (X,Y) 的联合分布律为

(23)

23

( 2, 0) 0.2

0.5 ( 0 | 2) ,

( 2) 0.4

P X Y a

P Y X

P X a

  

    

 

又

解：

(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即 a+b=0.4

0   a   b 0.4

1/ 6, 1 (2) ( 2) 0.6, ( 2) 1/ 6, 0

2 / 3, 1 j

P X P Y j X j

j

  

       

 



(24)

24

(25)

例 5 ：盒子里装有 3 只黑球， 2 只红球， 1 只白球，在 其中

不放回任取 2 球，以 X 表示取到黑球的数目， Y 表示取 到红球的只数。求 :

(1)X ， Y 的联合分布律；

(2)X=1 时 Y 的条件分布律；

(3) Y=0 时 X 的条件分布律。若采用放回抽样呢？

(26)

26

解：采用不放回抽样， X, Y 的联合分布律为

X Y 0 1 2 0

1 2

0 2/15 1/15 3/15 6/15 0 3/15 0 0

1/5 3/5 1/5 6/15 8/15 1/15 1

( )

P X  i

( )

P Y  j

Y 0 1 1/3 2/3

( | 1) P Y  j X 

X 0 1 2

0 1/2 1/2

( | 0)

P X i Y  

(27)

27

采用放回抽样， X, Y 的联合分布律为

X Y 0 1 2 0

1 2

1/36 4/36 4/36 6/36 12/36 0 9/36 0 0

1/4 1/2 1/4 4/9 4/9 1/9 1

( )

P X  i

( )

P Y  j

Y 0 1 1/3 2/3

( | 1) P Y  j X 

X 0 1 2

1/16 6/16 9/16

( | 0)

P X i Y  

(28)

例 6 ：一射手进行射击，击中目标的概率为射击直中目标两次为止，设以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数，试求 X 和 Y 的联合分布律和条件分布律。

(0 1), p  p

(29)

29

解：

(30)

30

(31)

( 2,3, ), ( ) 0 n n   P Y  n 

设设设设设设

Y  n X

在条件下，的条件分布律为：

2 2 2 2

( | ) 1 , 1,2, , 1.

( 1) 1

n

P X m Y n p q m n

n p q n



  



  

  

( | 10) 1 , 1, 2, ,9.

P X  m Y   9 m   设设

(32)

32

X  m Y

在条件下，的条件分布律为：

2 2

1

( | ) 1 , 1, 2,

n

n m m

P Y n X m p q pq n m m

pq

  

        

( | 3)

ⁿ 4

, 4,5,

P Y  n X   pq

^

n   设设

( 1, 2, ), ( ) 0 m m   P X  m 

设设设设

(33)

 

( , ) ( ) ( ) ( , )

F x y P X x Y y

P X x Y y

  

  



记成

0

x

 ^{x y} ^, 

y

称为二元随机变量 (X,Y) 的分布函数。

§2 二元随机变量的分布函数

（一）分布函数

定义：设 (X,Y) 是二元随机变量 , 对于任意 实数 x,y ，二元函数

(34)

分布函数的性质

1 2

( , )

1

( , )

2

x  x  F x y  F x y

x₁ x₂

(x₁,y) (x₂,y) y

y₂

x

y₁ (x,y₁)

(x,y₂)

( , ) F x y

1 2

( , )

1

( , )

2

y  y  F x y  F x y

2 0 ( , ) 1 ( , ) 1 ,

F x y F x y

    

 ，

对任意

( F  , ) y  F x ( ,   ) F (    , ) 0

 

1

^。

F x y , 关于单调不减，即： x y ,

(35)

0

( , ) ( , ) lim F x y F x y

 _





 

x₂

y₁

x₁

y₂

0

( , ) ( , ) lim F x y F x y

 

 

 

1 2 1 2

4

^

若 x  x y ,  y

2 2 2 1 1 2 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x y F x y F x y F x y

    

 

3

^。

F x y , 关于右连续，即： x y ,



1 2 1 2



2 2 2 1 1 2 1 1

,

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 P x X x y Y y

F x y F x y F x y F x y

    

   

因为

(36)

二元随机变量 (X,Y) 作为整体，有分布函数其中 X 和 Y 都是随机变量，它们 的分布函数 , 记为： 称为边际分布函数。

( , ), F x y

( ) ( )

X Y

F x F y ，

( ) ( , ) ( ) ( , )

X Y

F x F x

F y F y

 

（二）边际（边缘）分布函数

(37)

37

( ) ( ) ( , ) F y

Y

 P Y  y  F  y 同理得：

( ) ( ) ( , ) ( , )

F x

X

 P X  x  P X  x Y    F x 

( , )

_X

( )

F x y y   F x

即在分布函数中令，就能得到

事实上，

(38)

定义：条件分布函数若

P Y

( 

y

) 0,

Y  y X

则在条件下，的条件分布函数为：

|

( , )

( | ) ( | )

( )

X Y

P X x Y y F x y P X x Y y

P Y y

 

   



( ) 0, 0, ( ) 0

P Y  y 



 P y Y  y



 若但对任给

（三）条件分布函数

Y



y X

则在条件下，的条件分布函数为：

(39)

39

| 0

0

( | ) ( | )

( , )

( )







    

   

   

F

X Y

x y lim P X x y Y y P X x y Y y

lim P y Y y

( | )

仍记为 P X  x Y  y

(40)

 ^{X Y} ^,  ^连续型

称为的二元随机变量

 ^,   ^, 

f x y X Y

称为二元随机变量的 ( 联合)概率密度

   

 

, , ,

, ,

( , ) ^y ^x ( , )

X Y F x y

f x y x y

F x y f u v dudv

 



 

定义：对于二元随机变量的分布函数

如果存在非负函数，使对于任意，

有

§3 二元连续型随机变量

（一）联合概率密度

(41)

 

3. ,

(( , ) ) ( , )

G

G xoy X Y G

P X Y G 



f x y dxdy

设是平面上的区域，点落在内的概率为：

概率密度的性质：

 

1. f x y ,  0

2.

^ ^

f x y dxdy ( , ) 1

 



 

2 ( , )

( , ) F x y ( , )

f x y f x y

x y

 

4.在的连续点(x, y)，有  

(42)

42

 

( , )

1 (( , ) ) ( , )

z f x y xoy

P X Y G z f x y



 

1 在几何上，表示空间一个曲面，

介于它和平面的空间区域的体积为 2 等于以G为底，以曲面

为顶面的柱体体积。

所以X, Y落在面积为零的区域的

注：

概率为零。

(43)

例 1 ：设二元随机变量 (X,Y) 具有概率密度：

(2 3 )

, 0 0 ( , )

0,

ke

x y

x y f x y

 

  

  

，其他

  ² ^{求分布函数；} ^{F x y} ^{( , )}

  ³ ^{求的概率.} ^{P Y} ⁽ ^ ^X ⁾

(1) 求常数； k

(44)

44

( , ) 1, f x y dxdy

 



 

－－

解： (1)利用得

2 3

0 ^x 0 ^y

6 1

k 

^

e dx

^



^

e dy k

^

  ^{ } ^k ⁶

(2 3 )

6 , 0 0

( , )

0,

x y

e x y

f x y

 

  

  

，

其他

(45)

  ^{2 ( , )} ^{F x y} ^  

_{ }^y ^x

^{f u v dudv} ^{( , )}

(2 3 )

0 0 6 , 0, 0

0 ,

y x e^ u^ v dudv x y

  

 



 

其他

2 3

0

2

0

3 , 0, 0

0 ,

x

e du

^ u y

e dv x

^ v

y

  

  



 

其他

2 3

(1 )(1 ), 0, 0 0,

x y

e^ e^ x y

    

  其他

(46)

46

  ^{3 (} ^{P Y} ^ ^X ⁾ ^  

₀^{ }_y

⁶ ^e

^⁽²^x^^{3 )}^y

^dxdy

3 2

0^

3 e

^ ^y

( e

^ ^x

| )

^_y

dy

  

3 2

0^

3 e

^ ^y

e dy

^ ^y

 

5

0^

3 e dy

^ ^y

 

5

0

3 3

5 | 5 e

^ y ^

  

(47)

例 2 ：设二元随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为

(48)

48

(1) 1

^{ }

f x y dxdy ( , )

 

  

解：

2

1

0

15

x x

dx cydy c

    ^{ } ^c ¹⁵

  ^{2 ( , )} ^{F x y} ^  

_{ }^y ^x

^{f u v dudv} ^{( , )}

(49)

49

2 3 5

15 2 1

( )

2 xy 3 y 5 x

  

3 2.5

15 2 4

( )

2 3

y

5

y

  

( , )x y

0   y 1, y x 

2

, 当时

( , )

0^y ^v

15 F x y    dv

v

vdu

(50)

3 5

15 1 1

( )

2 3 x 5 x

 

2

12 0

17 47 (3) ( 0.5) 1 15 1

64 64

u

P X   



du



u vdv   

( , )x y

(51)

对于连续型随机变量 (X,Y) ，概率密度为

f x y ( , )

( ) ( , )

X

Y

f x f x y dy f y f x y dx













（二）边际（边缘）概率密度

X,Y

的边际概率密度为：

对于连续型随机变量 (X,Y) ，概率密度为

f x y ( , )

(52)

52

X

( )

F x ^ ^{F x} ^{( ,} ^ ⁾

^x ^

f u v dv du ( , )

 

 

      



( )

 

^x

^{f u du}

^X

Y

( )

F y ^ ^F ⁽ ^ ^{, )} ^y

^y ^

f u v du dv _{( , )}

 

 

      



( )

 

^y

^{f v dv}

^Y

事实上，

同理：

(53)

例 3 ： ( 续上例 ) 设二元随机变 量 (X,Y) 的联合概率密度为

(54)

54

( ) f x

_X ^

f x y dy ( , )

 



解：

3 2 2

15 15( ), 0 1

0,

y

ydx y y y

     

   

其它

215 , 0 1

0,

x

x ydy x

  

 





其它

2 4

15 ( ), 0 1 2

0,

x x x

   

 

 其它

( ) ( , )

f y

Y ^

f x y dx

 



(55)

定义：条件概率密度

 ^{X Y}

^,

 ^{f x y}

^{( , ),}

设二元随机变量的概率密度为

 X Y ^,  关于的边际概率密度为 Y f y

Y

^{( ),}

, ( ) 0,

_Y

y f y  若对于固定的

|

( , ) ( )

( , ) ( | )

( )

Y

X Y

Y

Y y X

f x y f y

f x y f x y

f y



在的条件下，的条件概率密度则称为，

记为：

（三）条件概率密度

(56)

56

,

_X

( ) 0

_X

( )

x f x  f x

同理，若对于固定的，且连续，

(57)

0

( , ) ( , )

( ) ( )

y Y Y

F x y y F x y lim

^

F y y F y

 

  

   

0

( ( , ) ( , )) / ( ( ) ( )) /

y Y Y

F x y y F x y y lim

^

F y y F y y

 

   

    

(58)

58

(59)

例 4 ：设有一件工作需要甲乙两人接力完成

，完成时间不能超过 30 分钟。设甲先干了 X 分钟，再由乙完成，加起来共用 Y 分钟。若

X~U(0, 30)

，在 X=x 条件下， Y~U(x, 30) 。

(1)

求 (X, Y) 的联合概率密度以及条件概率 密度；

(2)

当已知两人共花了 25 分钟完成工作时，

求甲的工作时间不超过 10 分钟的概率。

( )

f

X Y

x y

(60)

60

(61)

61

(62)

62

(63)

二元均匀分布与二元正态分布

1 , ( , ) ( , )

0 ,

x y D f x y D

 

 

 的面积

其他

（ 1 ）若二元随机变量 (X,Y) 在二维有界区域

D

上取值，且具有概率密度

则称 (X,Y) 在 D 上服从均匀分布。

(64)

64 1

1 1

{( , ) } ( , )

{( , ) }

D

D D P X Y D f x y dxdy

P X Y D D

D

 



若是的子集，则，即

的面积的面积

(65)

例 5 ：设二元随机变量 (X,Y) 在区域

2 1

|

( | ) (

3 2

).

f

X Y

x y 及 P X  Y 

 ^{( , ) :} ^{x y} ^y ^{ } ^x ¹ 

内均匀分布，求条件概率密度

(66)

66

1, 1 ( , )

0,

f x y



y x

 

  其他

( ) ( , )

f y

Y ^

f x y dx







解：根据题意， (X,Y) 的概率密度为：

Y 的边际概率密度为：

1 1 , 1 1 0,

y

dx y y

     

 





其他

x

y

o ₁

(67)

67

|

1 , 1 ( | ) 1

0,

X Y

y x f x y y

  

  

 其它

于是给定 y(-1<y<1) ， X 的条件概率密度为

：

x

y

o ₁

二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布

(68)

 

1 2 1 2

2 1 2

2 2

1 1 2 2

2 2 2

1 1 2

1 2

2

( , ) 1

2 1

( ) ( )( ) ( )

exp 1 2

2(1 )

,

0 0 1

1

,

f x y

x x y y

x

Y

y

X

X Y

  

     

 

     



 

 

      

  

      

        

    



设二元随机变量的概率密度为：

其中，，，，都是常数，且，，；

称

元态

，

为二正分布

1 2 1 2

2 2

( , ) ( )

1 2 1 2

X Y N     

    

服从参数为，，，，的，

记为

二元正态分

，，

布

：～，，。

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

73

( ) ( , ) f xX ^ f x y dy







解：(1)

2 2

1 1 2 2

2 2 2

2 1 1 2 2

1 2

( ) ( )( ) ( )

1 exp 1 2

2(1 )

2 1

x x y y

      dy

  

  





      

  

        

2 2

1 2 1

2 2

2 1

1

( ) 1

2 2(1 )

2 1 2

1

2 1

x y x

e e dy

   

 

  

    

  

   

 





2 2

1 2

2 1

2 2 2

1 2 1

( ) 1 ( )

2 2 (1 )

1 2 2

1 1

2 2 1

x y x

e e dy

    

  

    

   

        

 





1 2 12

( )

2

1

1 2

x

e x





 

 

      _即 X ~ ( ,N  ₁ ₁²).

(74)

74 2 2

22

( )

2 2

( ) 1 , 2

x

f y

Y

e y





 

 

     

同理

2

2 2

~ ( , ).

Y N  

(75)

2 2

2 1

2 2

2 2 1

2

1 exp 1 ( ( ))

2(1 )

2  1    y    x 

 

    

         

( , ) ( )

( )

Y X X

f x y f y x

 f x (2)

2 2

2

2 1 2

1

( ( ), (1 ) )

X x Y

N    x   





  

即在条件下，的条件分布是正态分布，

为

2 2

1 1 2 1

2

( ( ), (1 ) )

Y y X

N    y   



  

同理，在条件下，的条件分布是正态分布，

为

(76)

76

§4 随机变量的独立性

,

的分布函数及边际分布函数，若对所有有： x y

,

称随机变量 X Y 相互独立。

(77)



^,



^,

( , ) ( ) ( )

,

若是随机变量，则相互独立的条件等价于：

即对一切都

离散

成。

型

  立

    

 ⁱ ^j ⁱ ^j

ij i j

X Y X Y

P X x Y y P X x P Y y

p p p i j

 



^,



^, ^{( , ),} ^{( ),}^, ^{( )}

( , ) ( ) ( )

X Y

X Y f x y f x f y

X Y X Y

f x y  f x f y 若是随机变量，分别是

的概率密度和边际概率密度，则相互独立的条件等价于：几乎处处成立；

即在平面上除去“面积”为零的集合以外，处连续型

处成立。

(78)

例 1 ： §3 例 1 中 X 和 Y 是否相互独立？即 (X,Y) 具有概率密度

(2 3 )

6 , 0, 0 ( , )

0,

x y

e x y

f x y

 

  

   其他

(79)

79

2

, 0 ( ) 0, x 0







   

x X

e x

f x

( , )

_X

( )

_Y

( ), , f x y  f x f y  X Y

故有因而是相互独立的。

3

, 0 ( ) 0 , 0

y Y

e y

f y y







   

解：计算得， X 和 Y 的边际概率密度分别为

：

(80)

80

请问：连续型随机变量 X,Y 相互独立，其密度函数有何特征？

     

f x,y =g x h y a<x<b,c<y<d, a,b,c,d

结论：

其中可为有限或无穷。

（注意范围：例子）

(81)

12

X

Y 0 1 P(X=j)

16

1 2

6

2 1

6 2

6 1

2

P(Y=i) 1

3 2

3

( 1, 0) 1 6

P X  Y    P X (  1) ( P Y  0)

( 2, 0) 1 6

P X  Y    P X (  2) ( P Y  0)

( 1, 1) 2 6

P X  Y    P X (  1) ( P Y  1)

( 2, 1) 2 6

P X  Y  

 P X (  2) ( P Y  1)

,

因而X Y是相互独立的。

 ^{X Y} ^, 

例2:具有分布律如下，则：

(82)

82

X Y 0 1 P(X=j)

12 16

1 2

6

2 1

2 6

6 1

2

P(Y=i) 1

2 1

2

 ^{X Y} ^, 

例3:若具有分布律如下，则：

( 1, 0) 1 6 P X  Y  

( 1) ( 0) 1 2 1 2 1 4 P X  P Y    

( 1, 0) ( 1) ( 0) P X  Y   P X  P Y 

故

因而与不相互独立。 X Y

(83)

 ^{X Y} ^, 

例4:设X与Y是相互独立的随机变量，

已知的联合分布律，求其余未知的概率值。

0 1 2 ( )

1 0.01 0.2

2 0.03

( )

X Y P X i

P Y j



 ^0.04

0.25 0.04

0.8

0.6 0.12

(84)

(85)

85

 ^{X Y} ^, 

证：因为的概率密度为：

2 1 2

2 2

1 1 2 2

2 2 2

1 2

( , ) 1

2 1

( ) ( )( ) ( )

1 2

2(1 ) f x y

x x y y

exp

  

   

  

 

      

  

      

2 2

1 2

2 2

1 2 1 2

( ) ( )

1 1

( ) ( )

2 2

X Y

x y

f x f y exp  

   

    

 

    

  

 

又由 §2 例题知，其边际概率密度的乘积为：

(86)

,

( , ), _X ( ), _Y ( ) X Y

f x y f x f y 反之，若相互独立，

由于都是连续函数，

0 x y, f x y( , ) f x f y_X ( ) ( )_Y

  

如果，则对于所有，有

,

即 X Y 相互独立。

, ( , ) _X ( ) ( )_Y x y f x y  f x f y

故对于所有的，有

1 2 1 2

( , ) _X ( ) ( ) ,_Y f    f  f 

特别的有

2 1 2

1 2

1 1

2  1  ^ 2 

即

^{ }  0

"  "

"  "

二元随机变量