概率论与数理统计（第二版） - 万水书苑-出版资源网

(1)

第 3 章随机变量的数字特征

l 理解数学期望的概念，会求一些随机变量的数学期望 l 理解方差的概念，会求一些随机变量的方差 l 掌握常见的随机变量的数学期望与方差 l 了解随机变量的矩、协方差与相关系数随机变量的分布函数是对随机变量概率性质的完整的刻画，描述了随机变量的统计规律性，但在实际问题中，有时不容易确定随机变量的分布；有时则并不需要完全知道随机变量的分布，而只需要知道它的某些特征就够了，因此不需要求出它的分布函数．这些特征就是随机变量的数字特征，它们是由随机变量的分布所决定的常数，刻画了随机变量某一方面的性质．例如，考察某种大批量生产的产品的使用寿命，它可以用随机变量来描述，如果知道了这个随机变量的分布函数，就可以计算产品寿命落在任一指定界限内的产品的百分比，这是对产品寿命状况的完整刻画．如果不知道随机变量的分布函数，而知道产品的平均使用寿命，虽然不能对产品寿命状况提供一个完整的刻画，但却在一个重要方面刻画了产品寿命的状况，这往往也是我们最为关心的一个方面．类似的情况很多，例如评定某地区粮食产量的水平时，经常考虑平均亩产量；对某一射手进行技术评估时，经常考察射击命中环数的平均值；检查一批棉花的质量时，所关心的是棉花纤维的平均长度等．这个重要的数字特征就是数学期望，简称为期望，常常也称为均值．另一个重要的数字特征用以衡量一个随机变量的取值的分散程度．例如对一射手进行技术评定时，除考察射击命中环数的平均值以外，还要了解命中点是分散还是比较集中．在检查一批棉花的质量时，除关心棉花纤维的平均程度以外，还要考虑纤维的长度与平均长度的偏离程度．如果两批棉花的平均长度相同，而一批棉花纤维的长度与平均长度接近，另一批棉花则相差较大，显然，前者显得整齐，也便于使用，而后者显得参差不齐，不便于使用．描述随机变量取值分散程度的数字特征就是方差．期望和方差是刻画随机变量性质的两个最重要的数字特征．数字特征能够比较容易地估算出来，在理论上和实践上都具有重要的意义．其他的数字特征还有矩和协方差、相关系数等．

3.1 随机变量的数学期望

3.1.1 离散型随机变量的数学期望 例 1 假设对一个零件的某个特征进行的 n 次测量中，有 n 次测得结果为 ₁ x ， ₁ n 次测得₂

(2)

结果为 x ，…， ₂ n 次测得结果为 _k x ，试求随机变量 X 的_k n次观测值的平均值． 解设测量结果的平均值为 x ，则 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k n n k n k i n i i n n n x x n x n x n x x x n n n n x f x x f x x f x x f x = = + + + = + + + = + + + =

å

， … … … 其中 1 ( ) k i i n i i n x n f x n = = =

å

； 是测量结果

x

_i的频率，且 1 ( ) 1 k n i i f x = =

å

． 由此可见，测量结果的平均值 x 是以频率 ( ) f_n x 为权的加权平均值． _i

由于频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，事件

{

X = x i

}

的频率 ( ) fn x 将在概率 i p 的 i

附近摆动（ 1 2 i= ，，， … k ），因此，可用概率 p 代替频率 ( ) _i f_n x ，产生和式 _i 1 k i i i x p =

å

．由此引出 离散型随机变量 X 的数学期望（或均值）． 一、离散型随机变量的数学期望的定义 定义 1 设离散型随机变量 X 的概率分布为 P X

{

=xi

}

= （ p i i = ，， 1 2 … ）， 若级数 i i i x p

å

绝对收敛，即 _i _i i x p

å

收敛，则称 _i _i i x p

å

为离散型随机变量 X 的数学期望（或均值），简称期 望，记作 ( ) E X ，即 ( ) E X = _i _i i x p

å

． 期望的定义表明，期望就是随机变量 X 的取值 x 以它们的概率为权的加权平均，从这个 _i 意义上说，把 ( ) E X 称为 X 的均值更能反映这个概念的本质． 例 2 盒中有 5 个球，其中 3 个黑球，2 个白球，现从中任取 2 个球，求取得黑球数的期望． 解用 X 表示取到的黑球数，则 X 所有可能取的值为 0，1，2，其分布列为 X 0 1 2 p 0.1 0.6 0.3 于是 ( ) E X = 0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2． 例 3 甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X1， X 2 ，它们的分布列分别为 X1 0 1 2 p 0.1 0.2 0.7 X2 0 1 2 p 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩的好坏．

(3)

解 E X = 0×0.1+1×0.2+2×0.7=1.6（分）( ₁) ， 2 ( ) E X =0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5（分）．这意味着，如果进行很多次射击，那么，甲所得分数的平均值接近 1.6 分，而乙的接近 0.5 分，很明显，乙的成绩远远不如甲的成绩．例 4 某人每次射击命中目标的概率为 0.8，现连续向一个目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的期望． 解用 X 表示直到第一次命中目标为止时的射击次数，则 X 所有可能取值为 1， 2， 3， …． X =1 意味着第一次射击命中目标，则 P X =

{

1

}

= 0.8 ， X =2 意味着第一次未命中目标，第二次射击命中目标，则 P X =

{

2

}

= 0.2×0.8． 一般地，X = k 意味着前 k - 次未命中目标，第 k 次命中目标，则 1

{

}

1 0.2k 0.8 P X =k = - ´ ，于是

{

}

1 1 1 2 1 ( ) 0.2 0.8 0.8 (1 2 0.2 3 0.2 0.2 ) k k k k E X k P X k k k ¥ ¥ - = = - = ´ = = ´ ´ = ´ + ´ + ´ + + ´ +

å

… … ，记 A = 1 2 0.2+ ´ + ´3 0.22+… + ´k 0.2 k - 1 + …，则 0.2 A = 0.2+ ´2 0.22+ ´3 0.23 +… + ´k 0.2 k + …， 0.2 A- A = 1 0.2+ +0.22+0.23 +… +0.2 k + …，右端是公比为 0.2 的等比级数，于是 0.2 A- A = 0.8 A = 1 1.25 1 0.2 - = ，从而 A = 1.25 ． 2 ( ) E X = 0.8× 1.25 2 =1.25． 注：若每次射击命中目标的概率为 p ，则

{

} (

1

)

k 1 P X =k = - p - p ，

(

)

1 1 1 ( ) 1 k k E X k p p p ¥ - = =

å

- = ．二、几种常见的离散型随机变量的期望 1．两点分布 设 X 服从参数为 0p（ < p < 1 ）的两点分布，即 X 0 ₁ p 1-p p 则 ( ) E X = 0 (1´ -p) 1 + ´p= ．p

(4)

2．二项分布 设 ~ ( , ) X B n p ，其概率分布为

{

}

Ck_n k

(

1

)

n k 0 1 2 P X =k = p -p - （ k= ，，， …，） n ，则

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) C 1 ! 1 1 ! ! 1 ! 1 1 ! 1 1 ! C 1 n n k k k n k n n k k k n n k k k n n k k k n k E X k p p n p p k n k n np p p k n k np p p - = - = - - - - = - - - - - - = = - = - - - - = - - é_ë - - - ù _û = -

å

，令 m=k - ，则 1

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 C 1 C 1 1 1 n n n n k n m k k m m n n k m p p p p p p - - - - - - - - - = = - = - =é_ë + - ù _û =

å

．从而 ( ) E X = np ． 二项分布的期望是 np， 直观上也比较容易理解这个结果． 因为 X 是 n 次试验中某事件 A 出 现的次数，它在每次试验时出现的概率为 p，那么 n 次试验中当然平均出现 np 次了． 3．泊松分布设 X : P( ) l ，概率分布为

{

}

e 0 1 2 0 ! k P X k k k l l l - = = （ = ，，，， … > ），则 1 0 1 ( ) e e ! ( 1)! k k k k E X k k k l l l l l ¥ ¥ - - - = = = = -

å

，令 m=k - ，则 1 1 1 0 e ( 1)! ! k m k k m m l l l ¥ - ¥ = = = = -

å

，从而 ( ) E X = ． l 这表明，在泊松分布中，参数l 是它的数学期望． 3.1.2 连续型随机变量的数学期望一、连续型随机变量的数学期望的定义 定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( ) f x ，若积分 ( )d +¥ -¥

ò

xf x x 绝对收敛，则称积

(5)

分 ( )d +¥ -¥

ò

xf x x 的值为随机变量 X 的期望，记为 ( ) E X ， 即 ( ) E X

=

( )d +¥ -¥

ò

xf x x ． 例 5 设在规定时间段内，某电气设备用于最大负荷的时间 X（单位：min）是一个随机 变量，其概率密度为 ( ) f x

(

)

2 2 1 0 1 500 1 500 1 3 000 1 500 3 000 1 500 0 x x x x ì ï ï - ï =_í - < ï ï ï î ，，，，，其他， ≤ ≤ ≤ 试求最大负荷的平均时间． 解最大负荷的平均时间即为 X 的数学期望，故 ( ) E X ( ) d +¥ -¥ =

_ò

xf x x

(

)

1 500 3 000 2 2 0 1 500 1 d 3 000 d 1 500 1 500 - =

_ò

x x x+

_ò

x x- x 1 500 = （min）．所以，最大负荷的平均时间为 1500min. 例 6 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) f x 1 e 2 x x - = （ - ¥ < < +¥ ），求 ( ) E X ． 解 E X ( ) 0 0 1 1 1 e d e d e d 2 2 2 +¥ _- +¥ - -¥ -¥ =

_ò

x x x=

_ò

x x x+

_ò

x x x ， 使用分部积分法，可得 ( ) E X =0． 二、常见的连续型随机变量的数学期望 1．均匀分布设 X : U a b [ , ] ，其概率密度为 ( ) f x 1 0 a x b b a ì ï = í - ï î ，，，其他， ≤ ≤ 则 ( ) E X d 1

(

)

2 = = + -

ò

a b x x a b b a ． 2．指数分布 设 X 服从参数为l 的指数分布 ( ) E l ，概率密度为 ( ) f x e 0 0 0 - ì ï = í ï î x x x l l ， ≥ ，，＜（ l > 0），则

(6)

( ) E X 0 1 e d +¥ - =

_ò

xl l x x= l ． 3．正态分布设 2 ( , ) X : N m s ，其概率密度为 ( ) f x ( ) 2 2 2 1 e 2π x x m s s - - = （ - ¥ < < +¥ ），则 ( ) E X ( ) 2 2 2 e d 2π - - +¥ -¥ =

_ò

x x x m s s ， 作变量代换，令 t x m s - = ， 2 2 2 ( ) 2 1 2 e d ( )e d 2π 2π - - +¥ +¥ - -¥ = -¥ + =

ò

x t x x t t m s _m _s _m s ，从而 ( ) E X = ． m 这说明，在正态分布 2 ( , ) N m s 中，参数m 是该分布的期望． 3.1.3 随机变量函数的数学期望在实际问题中，有时我们所面临的问题涉及一个或多个随机变量的函数．例如，在一个系统中装有 3 个电子元件，每个电子元件的使用寿命是一个随机变量，该系统的使用寿命就是这些随机变量的函数．如果我们要求电子系统的平均使用寿命，就归结为计算随机变量函数的期望． 定理 3.1 设 ( ) g x 是连续函数，Y 是随机变量 X 的函数：Y = g X ( ) ． （1）X 是离散型随机变量，概率分布为 P X

{

=x_i

}

= p i （ _i = 1 2 ，，） … ，若 ( )_i _i i g x p

å

收敛，则有

[

]

( ) ( ) ( )_i _i i E Y =E g X =

å

g x p ； （2） X 是连续型随机变量，概率密度为 ( ) f x ，若积分 ( ) ( )d +¥ -¥

ò

g x f x x 收敛，则有

[

]

( ) ( ) E Y =E g X = ( ) ( ) d +¥ -¥

ò

g x f x x ． 定理 3.1 的证明从略，但从期望的定义不难理解这个定理的正确性． 定理 3.1 的重要性在于它提供了计算随机变量 X 的函数 ( ) g X 的期望的一个简便方法：不 需要先求 ( ) g X 的分布，而直接利用 X 的分布．因为有时候，求 ( ) g X 的分布并不容易． 例 7 设 X 的分布列为 X -2 0 2 p 0.4 0.3 0.3

(7)

求 ( ) E X ， E X ( 2 ) ．解 E X = (( ) - 2) ×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2， 2 ( ) E X = (-2)2´0.4+02´0.3+22 ´ 0.3 =2.8． 例 8 已知 X 服从

_[

0, 2π 上的均匀分布，求

_]

E X ( 2 ) ， (sin ) E X ． 解

X

的概率密度 ( ) f x 1 0 2π 2π 0 x ì ï = í ï î ，，，其他， ≤ ≤ 2 ( ) E X 2 ( )d +¥ -¥ =

_ò

x f x x = 2π 3 2 2π 2 0 0 1 1 4π d 2π 2π 3 3 æ ö = ç ÷ = è ø

ò

x x x ， (sin ) E X = ( ) sin d +¥ -¥

ò

f x x x

(

)

2π 2π 0 0 1 1 sin d cos 0 2π 2π =

_ò

x x= - x = ． 例 9 设 X 服从参数为 1 的指数分布 (1) E ，求 2 ( ) E X ， 2 3 e X E æç ö ÷ ç ÷ è ø ． 解 X 的概率密度为 ( ) f x e 0 0 0 x _x x - ì ï = í ï î ， ≥ ，，＜， 2 ( ) E X 2 ( )d +¥ -¥ =

_ò

x f x x = 2 0 e d 2 +¥ - =

ò

x x x ， 2 3 e X E æç ö ÷ ç ÷ è ø 2 1 3 3 0 e e d 0 e d 3 +¥ _- +¥ - =

_ò

x x x=

_ò

x x = ． 3.1.4 数学期望的性质数学期望具有下列性质（设所涉及到的随机变量的数学期望都存在）： 性质 1 设 C 为常数，则 ( ) E C = ； C 性质 2 设 k 为常数，则 (E kX)= kE X ( ) ； 性质 3 设 X Y ，均为随机变量，则 (E X +Y)=E X( )+ E Y ( ) ； 对于任意 n 个随机变量 X1，，， X2 … X n ，也有 1 2 1 2 ( _n) ( ) ( ) ( _n) E X +X +… +X =E X +E X +… + E X ． 性质 4 设 X Y ，均为随机变量且相互独立，则 (E XY)= E X E Y ( ) ( ) ．对于

n

个相互独立的随机变量 X₁，，， X₂ … X _n，也有 1 2 1 2 ( _n) ( ) ( ) ( _n) E X X … X = E X E X … E X ．例 10 将一枚均匀的骰子连掷 10 次，求所得点数之和的数学期望． 解设 X 是第 i 次掷骰子时所得的点数（ i = 1，2，…，10）_i ，则掷 10 次骰子所得点数之和为 1 2 10 X = X +X +… + X ， 1 2 10 ( ) ( ) ( ) ( ) E X =E X +E X +… + E X ． 对每个 X ，所有可能取的值为 1，2，3，4，5，6，由于骰子是均匀的，因此取每个可能_i

(8)

值的概率均为 1 6 ，于是对 i = 1，2，…，10， ( _i) E X =1× 1 6 +2× 1 6 +3× 1 6 +4× 1 6 +5× 1 6 +6× 1 6 =3.5， ( ) E X =10×3.5=35． 例 11 证明：若 X Y ，均为随机变量且相互独立，则 E

[

(X -E X( ))(Y-E Y ( ))

]

= ． 0 证因为 X Y ，相互独立，所以 (E XY)= E X E Y ( ) ( ) ，从而

[

]

[

]

( ( ))( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. E X E X Y E Y E XY YE X XE Y E X E Y E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y - - = - - + = - - + = - = 证毕．

3.2 随机变量的方差

3.2.1 方差的概念方差是随机变量的另一数字特征，它刻画了随机变量的取值在其中心位置附近的分散程 度，也就是随机变量与平均值的偏离程度．设随机变量 X 的数学期望是 ( ) E X ，偏离量 ( ) X - E X 本身也是随机的，为刻画偏离程度的大小，不能使用 X - E X ( ) ，因为其值为零，即正负偏离彼此抵消了．为避免正负偏离彼此抵消，可以使用 E X

_{

- E X ( )

_}

作为描述 X 取值分 散程度的数字特征，称之为 X 的平均绝对差，由于在数学上绝对值的处理不方便，因此常用

[

X - E X ( )

]

2 的平均值 E

{

[

X - E X ( )

]

2

}

度量 X 与 ( ) E X 的偏离程度，这个平均值就是方差． 一、方差的定义 定义 1 设 X 为一随机变量，如果 E

{

[

X - E X ( )

]

2

}

存在，则称之为 X 的方差，记为 ( ) D X 或 var( ) X ，即 ( ) D X = E

{

_[

X - E X ( )

_]

2

}

，并称 D X 为 X 的标准差或均方差． ( ) 注意到 ( ) D X 是 X 的函数

[

X - E X ( )

]

2 的期望，令 ( ) g X =

[

X - E X ( )

]

2 ，利用定理 3.1 就可以 方便地计算 ( ) D X ． 例如，对离散型随机变量 X ，若其概率分布为 P X

{

=x_i

}

= p i （ _i = 1 2 ，， …），则 ( ) D X

[

_i ( )

]

2 _i i x E X p =

å

- ;

(9)

对连续型随机变量 X ，若其概率密度为 ( ) f x ， 则 ( ) D X

[

( )

]

2 ( )d +¥ -¥ =

_ò

x- E X f x x ． 二、计算方差的重要公式利用期望的性质，有 ( ) D X =E

{

[

X- E X ( )

]

2

}

[

]

{

}

[

]

[

]

2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E X XE X E X E X E X E X E X E X E X = - + = - + = - ，即 ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 ．因此可以按下列步骤计算方差: （1）计算 ( ) E X ： ( ) ( )d +¥ -¥ ì ï = í ï î

å

ò

，， i i i x p E X xf x x （2）计算 2 ( ) E X ： 2 2 2 ( ) ( )d +¥ -¥ ì ï = í ï î

å

ò

，， i i i x p E X x f x x （3）计算 ( ) D X ： (D X = ) E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 ． 例 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 p 0.2 0.5 0.3 求 ( ) D X ． 解 E X =0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1， ( ) 2 ( ) E X =0 2 ×0.2+1 2 ×0.5+2 2 ×0.3=1.7， ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 =1.7-1.1 2 =0.49． 例 2 设随机变量 X 的概率密度为 2 0 1 ( ) 0 x x f x _{= í}ì î ，，，其他， ≤ ≤ 求 ( ) D X ． 解 E X ( ) 1 2 0 2 2 d 3 x x =

_ò

= ， X 为离散型随机变量， X 为连续型随机变量， X 为离散型随机变量， X 为连续型随机变量，

(10)

2 ( ) E X 1 3 0 1 2 d 2 =

_ò

x x = ， ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 = 2 1 2 1 2 3 18 æ ö -_ç _÷ = è ø ． 例 3 设在规定的时间段内，某电气设备用于最大负荷的时间 X（单位：min）是一个随 机变量，其概率密度为 ( ) f x

(

)

2 2 1 0 150 150 1 300 150 300 150 0 x x x x ì ï ï - ï =_í - < ï ï ï î ，，，，，其他， ≤ ≤ ≤ 试求最大负荷的方差 ( ) D X ． 解 E X ( ) ( )d +¥ -¥ =

_ò

xf x x

(

)

150 300 2 2 0 150 1 d 300 d 150 150 - =

_ò

x x x+

_ò

x x- x 150 = ， 2 ( ) E X 2 ( )d +¥ -¥ =

_ò

x f x x

(

)

150 300 2 2 2 2 0 150 1 d 300 d 150 150 - =

_ò

x x x+

_ò

x x- x 262 500 = ， ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 = 262 500 - 1502 = 26 100 ． 例 4 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) f x 1 e 2 x x - = （ - ¥ < < +¥ ） ，求 ( ) D X ． 解 E X ( ) 0 0 1 1 1 e d e d e d 2 2 2 +¥ _- +¥ - -¥ -¥ =

_ò

x x x=

_ò

x x x+

_ò

x x x ， 利用分部积分法，可得 ( ) E X =0． 2 ( ) E X 0 2 2 2 0 1 1 1 e d e d e d 2 2 2 +¥ +¥ - - -¥ -¥ =

_ò

x x x=

_ò

x x x+

_ò

x x x=2， ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 =2．三、几种常见的随机变量的方差 1．两点分布 设 X 服从参数为 0p（ <p < 1 ）的两点分布 (1, ) B p ，即 X 0 1 p 1-p p 则 ( ) E X = ´0 (1-p) 1 + ´p= ，p

(11)

2 ( ) E X =02´(1-p) 1 + 2 ´p= ， p ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 = p- p2 = p(1- p ) ． 2．二项分布设 X ~ B n p ( , ) ，其概率分布为

{

}

Ck_n k(1 )n k 0 1 2 P X =k = p - p - （ k= ，，， …，） n ，从而 ( ) E X = np ， 2 2 2 0 ( ) C (1 ) ( 1) n k k n k n k E X k p p - n n p np = =

å

- = - + （过程略）， ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 = np(1- p ) ． 3．泊松分布设 X ~ P( ) l ，概率分布为

{

}

e 0 1 2 0 ! k P X k k k l l l - = = （ = ，，， …， > ），则 ( ) E X = ， l 2 2 2 0 ( ) e ! k k E X k k l l l l ¥ - = =

å

= + （过程略）， ( ) D X =E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 = l ．这表明，在泊松分布中，它的唯一参数l 既是它的数学期望又是它的方差． 4．均匀分布 设 X ~ U a b [ , ] ，其概率密度为 ( ) f x 1 0 a x b b a ì ï = í - ï î ，，，其他， ≤ ≤ 则 ( ) E X d 1 ( ) 2 = = + -

ò

a b x x a b b a ， 2 ( ) E X 2 2 2 1 d ( ) 3 = = + + -

ò

a b x x a ab b b a ， ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 1 ( ) 2 12 b a = - ． 5．指数分布 设 X 服从参数为l 的指数分布 ( ) E l ，其概率密度为 ( ) f x e 0 0 0 x x x l l - ì ï = í ï î ， ≥ ，，＜（ l > 0），则

(12)

( ) E X 0 1 e d +¥ - =

_ò

xl l x x= l ， 2 ( ) E X 2 ₂ 0 2 e d +¥ - =

_ò

x l l x x= l ， ( ) D X =E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 1₂ l = ． 6．正态分布 设 X 2 ( , ) N m s ~ ，其概率密度为 ( ) f x 2 2 ( ) 2 1 e 2π x x m s s - - = （ - ¥ < < +¥ ），则 ( ) E X = ， m 2 ( ) E X =m2+ s2 ， ( ) D X 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) e d 2π - - +¥ -¥ - =

_ò

= x x x m s m s s （过程略）． 3.2.2 方差的性质方差具有以下重要性质: 性质 1 设 C 为常数，则 ( ) 0 D C = ； 证

{

_[

_]

2

}

( ) ( ) 0 D C =E C-E C = ． 性质 2 设 C 为常数，则 (D X +C)= D X ( ) ；证 D X( +C)=E

{

_[

(X +C)-E X( + C )

_]

2

}

[

]

{

2

}

( ) ( ). E X E X D X = - = 性质 3 设 k 为常数，则 2 ( ) ( ) D kX = k D X ；证 D kX( )=E

{

[

kX - E kX ( )

]

2

}

[

]

{

2

}

2 2 ( ) ( ) k E X E X k D X = - = ． 性质 4 设随机变量 X Y ，相互独立且方差 ( )D X ， D Y ( ) 都存在，则有 ( ) ( ) ( ) D X ±Y =D X + D Y ． 证因为 X Y ，相互独立，所以 (E XY)= E X E Y ( ) ( ) ，而

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 2 ( ( )( ( ) D X Y E X Y E X Y E X E X Y E Y E X E X E Y E Y E X E X Y E Y + = + - + = - + - = - + - + -

(13)

-{

}

{

}

( ) ( ) 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). D X D Y E XY E X E Y XE Y YE X D X D Y E XY E X E Y D X D Y = + + + - - = + + - = + 又因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D X -Y =D X +D Y- =D X + D Y ，所以 ( ) ( ) ( ) D X ±Y =D X + D Y ．证毕． 对于 n 个相互独立的随机变量 X₁，，，，也有 X₂ ¼ X _n 1 1 ( ) n n i i i i D X D X = = æ ö = ç ÷ ç ÷ è

å

ø

å

．例 5 设随机变量 X ~ B (10, 0.1) ， Y=3X - ，求 ( )5 E Y， D Y ( ) ．解 n=10 ， p=0.1 1， -p = 0.9 ， ( ) 10 0.1 1 ( ) (1 ) 10 0.1 0.9 0.9 E X np D X np p = = ´ = = - = ´ ´ = ，，所以 ( ) (3 5) 3 ( ) 5 3 1 5 2 E Y =E X- = E X - = ´ - = - ， 2 ( ) (3 5) 3 ( ) 9 0.9 8.1 D Y =D X - = D X = ´ = ． 例 6 已知随机变量 X 的数学期望 ( ) E X 和方差 (D X 都存在，且 ( )) D X > ，设随机变量 0 * ( ) ( ) X E X X D X - = ，试证明 E X( *)=0， D X ( * )= 1 ．证利用数学期望和方差的性质， 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E kX C kE X C D kX C k D X + = + + = ，， 并注意到 ( ) E X ， (D X 均为常数， ) * ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) X E X E X E X E X E D X D X é _- ù _- = ê ú = = ê ú ë û ，

[

]

* ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) D X E X X E X D X D X D D X D X D X é - ù - = ê ú = = = ê ú ë û ． 例 7 已知随机变量 X Y ，相互独立且分别服从 (10,0.1) B 和 2 ( 1, 2 ) N - ，求 Z=3X - 2 Y 的方差．解 D X =( ) 10 0.1 0.9´ ´ = 0.9 ， D Y =( ) 22 = ， 4 所以 ( ) (3 ) ( 2 ) 9 ( ) 4 ( ) 9 0.9 4 4 24.1. D Z D X D Y D X D Y = + - = + = ´ + ´ = 例 8 运用随机变量的数学期望与方差的性质，求二项分布 ( , ) B n p 的数学期望与方差．

(14)

解设事件 A 在一重伯努利试验中发生的概率为 0p（ < p < 1 ），于是它在 n 重伯努利试验

中发生的次数 X 服从 ( , ) B n p ．

另设 A 在第 i 重伯努利试验中发生的次数为 X（ _i i= 1 2 ，，，） … n ，则 X 服从以 p 为参数的 _i

两点分布．故 (E X_i)= p D X， ( _i)= p(1- p ) ．又 1 n i i X X = =

å

，于是 1 1 ( ) ( ) ( ) n n i i i i E X E X E X np = = =

å

=

å

= ．注意到 X₁，，， X₂ … X _n相互独立，所以 1 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) n n i i i i D X D X D X np p = = =

å

=

å

= - ．本例所采用的解法，其巧妙之处在于借助了随机变量分解的手段化繁为简，这是概率论独特思维方式的体现．

3.3

*

_{矩、协方差和相关系数}

3.3.1 矩的概念矩是具有广泛意义的数字特征，是随机变量某种特殊函数的数学期望．在数理统计等领域具有多方面的应用． 1．原点矩 定义 1 设 X 为随机变量，对于正整数 k ，若 (E X k ) 存在，则称它为 X 的 k 阶原点矩． 显然当 k = 时，一阶原点矩就是数学期望 ( ) 1 E X ；当 k = 时,二阶原点矩就是 2 E X ( 2 ) ．设 (E X k ) 存在，由定理 3.1 得： （1）若 X 为离散型随机变量，其概率分布为 P X

{

=x_i

}

= p i （ _i = 1 2 ，，） … ，则 ( k) _ik _i i E X =

_å

x p ； （2）若 X 为连续型随机变量，其概率密度为 ( ) f x ， 则 E X ( k ) x f x x k ( )d +¥ -¥ =

_ò

． 2．中心矩 定义 2 设 X 为随机变量，对于正整数 k ，若 E X

_[

- E X ( )

_]

k 存在，则称它为 X 的 k 阶中 心矩．显然，一阶中心矩为 E X

[

- E X ( )

]

恒为零；二阶中心矩为 E

{

[

X - E X ( )

]

2

}

， 即方差 ( ) D X ．

(15)

3.3.2 协方差和相关系数 1．协方差

对于随机变量 X Y ，，除了讨论 X 与Y 的数学期望和方差外，还要讨论 X 与Y 之间的关系．

若 X 与Y 独立，则

[

][

]

{

( ) ( )

}

( ) ( ) ( ) 0 E X -E X Y-E Y =E XY -E X E Y = ．这意味着 E

{

[

X -E X( )

][

Y-E Y( )

]

}

=E XY( )-E X E Y ( ) ( )¹ 时， X0 ，不独立，由此可以 Y 用 E

{

[

X -E X( )

][

Y-E Y( )

]

}

=E XY( )- E X E Y ( ) ( ) 来刻画 X 与 Y 之间的关系． 定义 3 设 X 与 Y 为随机变量， 若 E

_{

_[

X -E X( )

_][

Y- E Y ( )

_]

_}

存在， 则称它为随机变量 X 与

Y 的协方差，记为Cov( , ) X Y ，即

Cov( , ) X Y =E

{

_[

X -E X( )

_][

Y- E Y ( )

_]

}

．协方差的计算常采用下面的公式

Cov( , ) X Y =E XY( )- E X E Y ( ) ( ) ．协方差具有下列性质：

（1） Cov( , ) X Y = Cov( ,Y X ； )

（2） Cov(aX bY, ) = ab Cov( , ) X Y ，其中 a b ，为常数；（3） Cov(X₁+X Y ₂, ) = Cov(X Y + ₁, ) Cov(X Y ； ₂, ) （4） Cov( , ) X X = D X ； ( ) （5） (E XY)=E X E Y ( ) ( ) + Cov( , ) X Y ； （6） (D X +Y)=D X( )+D Y( )+ 2Cov( , ) X Y ． 例 1 已知 X Y ，为随机变量，且 ( ) 5D X = ， D Y( )=3 Cov( , ) 1 ， X Y = ，试求 ( 2D - X+4Y - 3) ．解 D( 2- X+4Y-3)=D( 2- X+ 4 ) Y ( 2 ) (4 ) 2Cov( 2 , 4 ) D X D Y X Y = - + + - 2 2 ( 2) ( ) 4 ( ) 2 ( 2) 4 Cov( , ) 20 48 16 52. D X D Y X Y = - + + ´ - ´ = + - = 2．相关系数 定义 4 若 Cov( , ) 0 X Y = ，则称随机变量 X 与 Y 不相关． 若 X 与Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关．但不相关的随机变量却不一定是相互独立的． 定义 5 设 X 与 Y 为随机变量，协方差 Cov( , ) X Y 存在，且 (D X)>0， D Y ( )> 0 ，则

Cov( , ) ( ) ( ) xy X Y D X D Y r = 称为随机变量 X 与 Y 的相关系数或标准协方差． 显然，相关系数为一个无量纲的量．它反映了随机变量 X 与Y 之间的相关程度． 相关系数 r _xy具有如下的重要性质：（1） r _xy ≤ ；1

(16)

（2） r_xy = 的充要条件是 {1 P Y=aX+b} 1 = ，，为常数； a b （3） r _xy = r_yx． 相关系数 r _xy反映了随机变量 X 与 Y 的线性相依程度，如果 r ¹ ，则 X 与 Y 相关；如 _xy 0 果 r = ，则 X 与 Y 不相关；若 _xy 0 r = ± ，则 X 与 Y 有线性关系. _xy 1 （4）对随机变量 X 与 Y ，下面的事实是等价的： ① X 与Y 不相关； ② Cov( , ) 0 X Y = ； ③ r = ； _xy 0 ④ (E XY)= E X E Y ( ) ( ) ； ⑤ (D X+Y)=D X( )+ D Y ( ) ． 例 2 设 X 与 Y 为随机变量， 已知 ( ) 1E X = ， D X( )=9； E Y( )=0， D Y ( ) 16 = ， 1 2 xy r = - ．另设 3 2 X Y Z = + ，试求：（1）随机变量 Z 的数学期望 ( ) E Z 与方差 ( ) D Z ；（2）随机变量 X 与 Z 的相关系数 r _xz．解（1） ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 3 2 3 E Z = E X + E Y = ， 2 2 ( ) 3 2 2Cov , 3 2 3 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 Cov( , ) 3 2 3 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 4 3 1 1 1 1 9 16 3 4 3. 9 4 3 2 xy X Y D Z D X Y X Y D D D X D Y X Y D X D Y r D X D Y æ ö = _ç + _÷ è ø æ ö æ ö æ ö = _ç _÷+ _ç _÷+ _ç _÷ è ø è ø è ø æ ö æ ö =_{ç ÷} +_ç _÷ + ´ ´ è ø è ø = + + æ ö = ´ + ´ + _ç- _÷´ ´ = è ø （2） Cov( , ) Cov , 1 1 3 2 X Z = æ_çX X + Y ö _÷ è ø 1 1 Cov( , ) Cov( , ) 3 2 1 1 9 ( 6) 0 3 2 X X X Y = + = ´ + ´ - = ，又 ( ) 9 0D X = > ， D Y ( )=16> 0 ，所以，随机变量 X 与 Z 的相关系数 r = ．_xz 0

(17)

本章小结

一、常见随机变量的数学期望与方差（见下表）常见分布的数学期望与方差分布名称简略记法分布列或概率密度数学期望 ( ) E X 方差 ( ) D X 两点分布 B(1, ) p

{

}

1 (1 ) k k P X=k = p - p - 0 1 0 1 k= ，； <p < p (1 ) p - p 二项分布 B n p ( , )

{

}

1 Ck_n k(1 ) k P X=k = p - p - 0 1 2 k= ，，，，； … n 0<p< 1 ，（自然数）为参数 n np np(1- p ) 泊松分布 P l( )

{

}

_!e k P X k k l l - = = 0 1 2 k = ，，，； … l > 为参数0 l l 均匀分布 U a b [ , ] 1 ( ) 0 a x b f x b a ì ï = í - ï î ，，其他 ≤ ≤ b> 为参数 a 2 a+ b 2 ( ) 12 b- a 指数分布 E l( ) e 0 0 ( ) 0 x f x x x l l - = = í ì ï ï î ， ≥ ，＜ 0 l > 为参数 1 l 2 1 l 正态分布 2 ( , ) N m s 2 2 ( ) 2 1 ( ) e 2π x f x m s s - - = x -¥ < < +¥ ； 0 m s -¥ < < +¥， > 为参数 m 2 s 二、随机变量的数学期望 1．离散型随机变量的数学期望 若随机变量 X 的分布列为 P X

{

=xi

}

= （ p i i = ，， 1 2 …），且 i i i x p

å

， 2 i i i x p

å

， ( )_i _i i g x p

å

绝对收敛，又 Y= g X ( ) ，则 ( ) E X = _i _i i x p

å

；

[

]

( ) ( ) ( )_i _i i E Y =E g X =

å

g x p ； 2 ( ) E X = _i2 _i i x p

å

．

(18)

2．连续型随机变量的数学期望 若随机变量 X 的概率密度为 ( ) f x ，且 ( )d +¥ -¥

ò

xf x x ， 2 ( )d +¥ -¥

ò

x f x x ， ( ) ( )d +¥ -¥

ò

g x f x x 绝对 收敛，又 Y = g X ( ) ，则 ( ) E X = ( )d +¥ -¥

ò

xf x x ； 2 ( ) E X = 2 ( )d +¥ -¥

ò

x f x x ；

[

]

( ) ( ) E Y =E g X = ( ) ( )d +¥ -¥

ò

g x f x x ． 3．数学期望的性质（设所涉及到的随机变量的数学期望都存在） 性质 1 C 为常数，则 ( ) E C = ； C 性质 2 设 k 为常数，则 (E kX)= kE X ( ) ； 性质 3 设 X Y ，均为随机变量，则 (E X +Y)=E X( )+ E Y ( ) ； 性质 4 设 X Y ，均为随机变量且相互独立，则 (E XY)= E X E Y ( ) ( ) ．三、随机变量的方差 1．方差的计算公式 ( ) D X = E

{

[

X- E X ( )

]

2

}

； ( ) D X = E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 ． 2．方差的一般计算步骤 （1）计算 ( ) E X ： ( ) ( )d +¥ -¥ ì ï = í ï î

å

ò

，， i i i x p E X xf x x （2）计算 2 ( ) E X ： 2 2 2 ( ) ( )d +¥ -¥ ì ï = í ï î

å

ò

，， i i i x p E X x f x x （3）计算 ( ) D X ： (D X = ) E X( 2 )-

[

E X ( )

]

2 ． 3．方差的性质 性质 1 设 C 为常数，则 ( ) 0 D C = ； 性质 2 设 C 为常数，则 (D X +C)= D X ( ) ； 性质 3 设 k 为常数，则 2 ( ) ( ) D kX = k D X ； 性质 4 设随机变量 X，Y 相互独立且方差 ( )D X ， D Y ( ) 都存在，则有 ( ) ( ) ( ) D X ±Y =D X + D Y ．四、矩、协方差与相关系数 1．矩 原点矩对于正整数 k ，若 (E X k ) 存在，则称它为 X 的 k 阶原点矩． （1）若 X 为离散型随机变量，概率分布为 P X

_{

=x_i

_}

= p i （ _i = 1 2 ，，） … ，则 (E X k ) = X 为离散型随机变量， X 为连续型随机变量； X 为离散型随机变量， X 为连续型随机变量；

(19)

k i i i x p

å

； （2）若 X 为连续型随机变量，概率密度为 ( ) f x ，则 (E X k ) +¥ ( )d -¥ =

_ò

x f x x ． k 中心矩设 X 是随机变量，对于正整数 k ，若 E X

[

- E X ( )

]

k 存在，则称它为 X 的 k 阶中 心矩．一阶中心矩为 E X

[

- E X ( )

]

恒为零；二阶中心矩为 E

{

_[

X- E X ( )

_]

2

}

，即方差 ( ) D X ． 2．协方差 设 X 与Y 为随机变量， E

_{

_[

X -E X( )

_][

Y- E Y ( )

_]

_}

存在，则称它为随机变量 X 与 Y 的协方

差，记为 Cov( , ) X Y ，即 Cov( , ) X Y =E

{

[

X -E X( )

][

Y- E Y ( )

]

}

．协方差的计算常采用下面的公式

Cov( , ) X Y =E XY( )- E X E Y ( ) ( ) ．协方差具有下列性质：

（1） Cov( , ) X Y = Cov( ,Y X ； )

（2） Cov(aX bY, ) = ab Cov( , ) X Y ，其中 a，为常数； b （3） Cov(X1+X Y 2 , ) = Cov(X Y + 1 , ) Cov(X Y ； 2 , )

（4） Cov( , ) X X = D X ； ( )

（5） (E XY)=E X E Y ( ) ( ) + Cov( , ) X Y ； （6） (D X +Y)=D X( )+D Y( )+ 2Cov( , ) X Y ． 3．相关系数

若 X 与Y 为随机变量，协方差 Cov( , ) X Y 存在，且 (D X)>0， D Y ( )> 0 ，则 Cov( , ) ( ) ( ) xy X Y D X D Y r = 称为随机变量 X 与 Y 的相关系数或标准协方差． 相关系数 r _xy具有如下的重要性质：（1） r _xy ≤ ； 1 （2） r_xy = 的充要条件是 {1 P Y=aX+b} 1 = ，，为常数； a b （3） r _xy = r_yx． 相关系数 r xy反映了随机变量 X 与 Y 的线性相依程度，如果 r ¹ ，则 X 与 Y 相关；如 xy 0 果 r = ，则 X 与 Y 不相关；若 _xy 0 r = ± ，则 X 与 Y 有线性关系. _xy 1 （4）对随机变量 X 与 Y ，下面事实是等价的： ① X 与Y 不相关； ② Cov( , ) 0 X Y = ； ③ r = ； _xy 0 ④ (E XY)= E X E Y ( ) ( ) ； ⑤ (D X+Y)=D X( )+ D Y ( ) ．

(20)

习题三

1．已知随机变量 X 的概率分布为

{

}

1 2 4 18 20 10 P X =k = （ k = ，， …，，） 求 ( ) E X ． 2．袋中有 5 个乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，现从中任取 3 个，用 X 表示取出的 3 个 球中的最大编号，求 ( )E X， D X ( ) ． 3．一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个．如果取出的是废品就不再放回去，求在取得合格品之前已取出的废品数的数学期望． 4．射击比赛，每人射 3 次（每次一发），约定全部不中得 0 分，只中一弹得 15 分，中两弹得 55 分，中三弹得 100 分．甲每次射击命中率为 3 5 ，问他期望能得多少分? 5．某人有 5 发子弹，射击一次（每次一发），命中率为 0.9，现连续向同一目标射击，直 到击中目标或子弹用尽为止，求其耗用子弹数 X 的数学期望 ( ) E X ． 6．设随机变量 X 的概率密度为 2 1 1 ( ) π 1 0 1 x f x x x ì < ï = í - ï î ，，， ≥ ， 求 ( ) E X ． 7．设随机变量 X 的概率密度为 0 1 ( ) 2 1 2 0 x x f x x x < ì ï =_í - < < ï î ，，，，，其他， ≤ 求 ( )E X ， D X ( ) ． 8．设随机变量 X 的分布列为 X 0 a 4 5 p 0.4 0.2 0.1 b 已知 2 ( ) 10.9 0 E X = ， a > ，求 a 和 b． 9．设随机变量 X 的分布列为 X -1 0 1 2 p 0.4 0.2 0.1 0.3 求 ( ) E X ， (2E - 3 ) X ， E X( 2)， E(3X2 - X + 5) ． 10．设随机变量 X 的概率密度为

(21)

0 e ( ) 0 0 x _x f x x - ì ï = í ï î ≥ ，，＜，，求 2 (2 ) (e X ) E X ， E - ． 11．某车间生产的圆盘其直径在区间[ , ] a b 上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望． 12．一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从指数分布，概率密度为 1 4 1 e 0 ( ) ₄ 0 0 x x f x x - ì ï = í ï î ， ≥ ，，＜，工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元．试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望． 13．设随机变量 X 的概率密度为 2 3 0 2 ( ) ₈ 0 x x f x ì < < ï = í ï î ，，，其他，求 E X( ) D X( ) E 1 ₂ X æ ö ç ÷ è ø ，，． 14．盒中共有 5 个球，3 个白色的，2 个黑色的．从中任取两个，求抽得的白球数 X 的方 差 ( ) D X ． 15．设随机变量 X 服从 1 1, 2 2 é ù -ê ú ë û 上的均匀分布，又 Y = sin X ，求 ( )E Y， D Y ( ) ． 16．设 X : N (1, 2 ) 2 ， Y= -2X + ，求 3 E X ( 2 ) ， ( ) D Y ． 17．已知 ( )E X = 30 ， ( ) 11 D X = ， 1 3 X Y = - ，求 E X ， ( )( 2 ) E Y， D Y ( ) ． 18．设随机变量 X~ P l( ) ，且已知 [(E X-2)(X -3)]= ，求2 l 的值．

19 ．已知 X ~B(100, 0.1)， Y~N( 1, 2 )- 2 ， D X( +Y )= 15 ，求 Cov(X,Y) ， r _xy及 Cov(2 , X 3 )Y E XY ( ) - ，．

自测题三

一、填空题 1． 设随机变量 X 的概率密度为 1 2 4 4 ( ) e π x x f x = - + - （ - ¥ <x < +¥ ）， 则 ( ) E X =________， ( ) D X =_________． 2．设 ( )E X = ， ( )5 D X = ，则 (23 E X + =__________， ( 21) D - X + 10) =__________． 3．若 X ~ B (50, 0.2) ，则 ( ) E X =__________， ( ) D X =__________． 4．若 X ~ P (5) ，则 ( ) E X =__________， ( ) D X =__________．

(22)

5．已知 X 的概率密度为 2 ( 1) 8 1 ( ) e 2 2π x f x x - - = （ - ¥ < < +¥ ） ，则 ( ) E X =__________， ( ) D X =__________． 6．已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 0.5， ( )E X =E Y ( )= ， 0 E X( 2)=E Y ( 2 )= ，则 2 2 ( ) Eé_ë X+Y ù _û= __________． 7．设随机变量 X 服从参数为l 的泊松分布，则 ( ) ( ) E X D X =__________． 8．设随机变量 X ~ N a ( ,1 ) 2 ，若 E X ( 2 )= ，则1 a = __________． 9． X 服从[ , ] a b 上的均匀分布，则 ( ) E X =__________， ( ) D X =__________． 10．设 X ~ N (3, 2 ) 2 ，则 (2 3 ) D - X =__________， E(2+ 3X 2 ) =__________．二、单选题 1．已知 X~ B n p ( , ) ，且 ( ) 2.4 E X = ， ( ) 1.44 D X = ，则 n p ，的值为（） A． n=4， p = 0.6 ； B． n=6， p = 0.4 ； C． n=3， p = 0.8 ； D． n=8， p = 0.3 ． 2．已知 X~ B (100, 0.1) ，则 ( ) D X 为（ ） A．9； B．10； C．90； D．120． 3．已知 X ~ N (10, 2 ) 2 ，则 (3D X +1) = （） A．9； B．4； C．36； D．37． 4．若随机变量 X 的 ( )E X = ， ( )3 D X = ，则 4 E X ( 2 ) = （） A．7； B．1； C．13； D．5． 5．设随机变量 X 的方差 ( ) D X 存在，Y =aX + （ ab ，为常数）b ，则（） A． ( )D X = D Y ( ) ； B． ( )D Y = aD X ( ) ； C． D Y( )= a D X 2 ( ) ； D． D Y( )=a D X2 ( ) + ． b 6．设 X ~N(3, 2 )2 ， Y~ E (0.2) ，则下列式子错误的是（） A． (E X +Y )= ； 8 B． (D X +Y )= 29 ； C． E X( 2+Y 2 )= 63 ； D． 5 0 2 5 2 X Y E æ_ç + - ö _÷= è ø ． 7．如果随机变量 X 服从（ ）上的均匀分布，则 ( ) 3 ( ) 4 3 E X = ， D X = A． [0, 6] ； B． [1, 5] ； C． [ 3,3] - ； D．[2, 4] ．三、计算题 1．已知随机变量 X 的分布列为 X -1 0 1 5 p 0.2 0.3 0.1 0.4

(23)

求： 2 ( ) (2 3 ) ( ) ( ) E X ， E - X ， E X ， D X ． 2．一口袋中有红球 3 个，白球 4 个，从中任取 5 个，求取出的 5 个球中所含白球数 X 的 数学期望与方差． 3．已知某人射击的命中率为 0.8，试求：（1）此人射击一次的平均命中次数；（2）此人独立射击四次的平均命中次数． 4．设 X 为连续型随机变量，且概率密度为 2 0 1 ( ) 0 x x f x _{= í}ì î ，，，其他， ≤ ≤ 求 2 ( ) ( ) ( ) E X， E X ， D X ． 5．设随机变量 X 的概率密度为 1 cos 0 π ( ) 2 2 0 x x f x ì ï = í ï î ，，，其他， ≤ ≤ 对 X 独立重复观察 4 次，用Y 表示观察值大于 π 3 的次数，求 2 Y 的数学期望．

概率论与数理统计（第二版） - 万水书苑-出版资源网

第 3 章 随机变量的数字特征

3.1 随机变量的数学期望

å

å

x

å

{

}

å

{

}

å

å

å

å

{

}

{

}

{

}

{

}

å

å

{

} (

)

(

)

å

{

}

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

)

å

å

å

å

(

)

(

)

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第 3 章随机变量的数字特征

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