幾何與證明

幾何與證明

【中垂線作圖】：

【範例】過直線上一點作此直線的垂線。

【已知】直線 L 和 L 上一點 A。

【求作】畫一直線通過 A，且與 L 垂直。

【作法】步驟一: 以適當長為半徑，A 為圓心畫圓弧，

交 L 於 C、D 兩點。

步驟二: 以 CD 為半徑，C、D 為圓心畫兩圓弧，設其交點為 B（如圖一） 。 步驟三: 連 AB ，即為所求（如圖二） 。

圖一 圖二

【平行線作圖】：

【範例】給定任一直線及線外一點，作出過此點且與此直線平行的直線。

【已知】直線 L 與線外ㄧ點 A（如右圖） 。

【求作】過 A 點作ㄧ平行線 M 與 L 平行。

【作法】步驟一: 過 A 點作 AH suur

^L（如圖一） 。 步驟二: 過 A 點作直線 M 垂直 AH suur

，則 M//L（如圖二） 。

圖一 圖二 

A 

L 

C  A  D  L 

A 

L  B 

C  D  A 

L  B 

C  D 

L  A 

L  A 

H 

L  A 

H 

M

【角平分線作圖】：

【範例】給一任意角度作此角的平分線。

【已知】某任意角∠ABC。

【求作】∠ABC的角平分線。

【作法】步驟一:以適當長為半徑，B 點為圓心畫弧交 BA 、BC 於 X、Y 兩點（如圖一） 。 步驟二:以相同的半徑，X、Y 為圓心畫兩個圓弧，設其交點為 Z（如圖二） 。 步驟三:連 BZ ，即為 Ð ABC 的角平分線（如圖三） 。

圖一 圖二 圖三

中垂線(垂直平分線)性質：

(1)一線段的垂直平分線上任一點到線段兩端點等距離。

(2)與線段兩端點等距離的點在它中垂線上。

角平分線(分角線)性質：

(1)一個角的角平分線上任一點到角的兩邊等距離。

(2)與一個角的兩邊等距離的點在這個角的角平分線上。

外心的定義與性質：

1.定義：三邊中垂線之交點。

2.性質：(1)外心到三頂點等距離。

(2)外心即為外接圓的圓心。

(3)若O為 D ABC 的外心，則：

○ ¹ Ð A 為銳角時， ÐBOC= Ð 2  A 。

○ ² Ð A 為銳角時， ÐBOC=306^o - Ð 。 2  A (4)三角形外心的位置

A

C  B 

A  X 

B 

Y  C 

Z  A 

X 

B 

Y  C 

Z  A 

X 

B 

Y  C 

A 

O 

B  C 

A 

B  O 

C

內心的定義與性質：

1.定義：三個角平分線之交點。

2.性質：(1)內心到三邊等距離。

(2)內心的位置恆在三角形的內部。

(3)內心即為內切圓的圓心。

(4)設I 為 D ABC 的內心，則：

○ ¹ 三角形面積△AIB：△AIC ：△ BIC= AB : AC : BC 。

○ ² 設△ABC的周長等於 s ，其內切圓半徑等於 r ，則△  1  ABC= 2 rs 。

○ ^{3  o}  1  90 +  BIC 2  A Ð = Ð 。 重心的定義與性質：

1.定義：三中線之交點。

2.性質：(1)重心到三頂點之距離為其中線長的  3  2 倍。

(2)重心的位置在三角形的內部。

(3)設G 為 D ABC 的內心，則：

○ ¹  2  2  3 

AG = DG = AD 。

○ ² △ABG =△BCG =△  1 

ACG = 3 △ABC。

○ ³ △AGF =△BGF =△BGD =△CGD =△CGE =△  1 

AGE = 6 △ABC。

※補充：1.正三角形的外心、內心、重心三心在同一點上。

則：(1) 正三角形的高＝  3  2 a  (2) 內切圓半徑  ¹ 

r = 3 高。

(3) 外接圓半徑  ²  R = 3 高。

2.直角三角形中，若 ÐA= 90 ^o ， 則：(1) 內切圓半徑 

2 

斜邊長 兩股長之和 -

= 

r  。

(2) 外接圓半徑 

2 

= 斜邊長

R  。 

A

I 

B  C 

A 

G 

B  D  C 

R  A 

B  C 

r  A 

B  C 

G  D  R  a 

r

1. 如右圖， AB是圓O的直徑，BC 是過B 點之切線，D 在 ^» AB 上。求作：在BC 上取P 點，使 得 AP平分△ ABC的面積。下列有四個尺規作圓的方法，何者錯誤？【90 年第一次基測】 

(A)  取BC 的中點P ，連 AP 

(B)  作∠A 之角平分線交BC 於P 點  (C)  作BD 的中垂線交BC 於P 點，連 AP 

(D)  過O點作直線平行 AC交BC 於P 點，連 AP 

2. 如附圖，已知直線CD 為 AB的中垂線，且交 AB於D 點。

則下列哪一個敘述是錯誤的？ 【90 年第一次基測】 

(A)  以C 為圓心，CB 為半徑畫圓，則圓必過 A點  (B)  以 A為圓心， AB為半徑畫圓，則圓必過C 點  (C)  以B 為圓心， AC為半徑畫圓，則圓必過C 點  (D)  以D 為圓心， AD為半徑畫圓，則圓必過B 點

3. 如圖(一)，△ABC中，D、E、

F

AG ： AC =1：3，H 為 AB 之中點。下列哪一個點為

△ABC的重心？ 【90 年第一次基測】 

(A)X  (B)Y  (C)Z  (D)W 

4. 如圖(十一)，已知在△ABC中， ÐACB = 90 ^o 且 BC ＞ AC 。 求作：一圓與 AC、BC 相切，且圓心O在 AB 上。

下列四個取得圓心O的作圖方法，何者正確？【90 年第一次基測】 

(A)  取 AB 中點為O  (B)  作 AC 中垂線交 ^AB於O  (C)  作 BC 中垂線交 ^AB於O  (D)  作∠ACB 平分線交 AB 於O 

A  O 

D 

B 

A 

C 

D  B 

C 

H 

B  D  E  F  C 

G  W  Y  X 

Z  A 

圖(一) 

A 

B  C 

O 

圖(十一)

5. 如圖，△ABC 為直角三角形，∠B＝90˚， AB ＝8， BC ＝6，

O 為△ABC 的內切圓圓心，則 OB ＝？【90 年題本一】

(A)2 (B)  8  (C)  3 

10  (D)  3  20 

6. 坐標平面上直線 4 x +  y 3  = 12 交 x 軸於 A點，交y軸於B點。

若O為原點，  I 為△AOB 之內心，則△AIB 的面積=？  (A) 2  (B) 

2 

5  (C) 4  (D) 5  【90 年第二次基測】

7. 如右圖，在坐標平面上有A、B、C三點，O是原點， OA^ AB  且 OA¹ AB 。今想在第一象限內找一點D，使得D到 x 軸的距離 與D到y軸的距離相等，且 DB = DA ，則D點要用下列何種方法

求得？ 【90 年第二次基測】 

(A)  作 AB 中垂線與 OA 中垂線的交點。 

(B)  作 AB 中垂線與 Ð BAO 平分線的交點。 

(C)  作 AB 中垂線與 Ð COA 平分線的交點。 

(D)  作 Ð COA 平分線與ÐBAO平分線的交點。 

O 

B 

A  x  y 

C 

O  A 

B  C 

y 

O  x 

A (3  0) ,  B (0  4) , 

4 

3  圖(一)

8. 如圖(十五)， AD 是圓O的直徑，B、C兩點在 » AD 上，

如要在 BC 上取一點^»  M ，使得 BM^¼ = CM ^¼  ，則下列四個 作法中，哪一個是錯誤的？ 【91 年第一次基測】

(A)作 Ð BAC 之平分線交 BC 於^»  M  (B)作 BC 中垂線交 BC 於^»  M 

(C)自A作 BC 邊的中線延長交 BC 於^»  M 

(D)作O與 BC 邊的中點連線，延長交 BC 於^»  M 

9. 如圖(六)，有一質地均勻的三角形鐵片，其中 一中線 AD 長 24 公分。若阿龍想用食指撐住此 鐵片，如圖(七)，則支撐點應設在 AD 上的何處 最恰當？【91 年第一次基測】 

(A)距離D點 6 公分處  (B)距離D點 8 公分處 (C)距離D點 12 公分處 (D)距離D點 16 公分處

10. 如圖(十六)，梯形 ABCD 中， AD// BC ， AB¹ DC 。請問下列 哪一種作圖法，可將此梯形分割為兩個面積相等的圖形？ 

(A)連接 AC  (B)作 BC 的中垂線 L  【91 年第二次基測】 

(C)分別取 AB 和 CD 的中點 P、Q，連接PQ  (D)分別取 AD 和 BC 的中點 H、K，連接 HK 

24 公分 

A 

D 

圖(六) 圖(七) 

C  B 

A  D 

圖(十六) 

O  D 

C  B 

A 

圖(十五)

11. 如附圖，已知△ABC中， AB < AC < BC 。

求作：一圓的圓心O，使得O在 BC 上且圓O與 AB 、 AC 皆相切。

下列四種作法中，哪一種是正確的？ 【92 年第一次基測】 

(A)作 BC 的中點O  (B)作 Ð A 的平分線交 BC 於O點 

(C)作 AC 的中垂線，交 BC 於O點  (D)自A點作一直線垂直 BC ，交 BC 於O點

12. 如圖(十五)，△ABC中， ÐABC = 90 ^o ，O為△ABC的外心， 

60 o 

=

ÐC  ， BC = 2 。若△AOB的面積  a = ，△OBC的面積 = b ， 則下列敘述何者正確？ 【92 年第一次基測】 

(A)  a > b  (B)  a < b  (C)  a - b = 0 (D)  a + b = 4

13. 如圖(九)，圓上三弦 AB 、 CD 、 EF ，欲在圓內找一點，

使其到三弦的距離相等。下列四種作法中，哪一種是正確

的？ 【92 年第二次基測】 

(A)作 AB 中垂線與 CD 中垂線的交點 

(B)作 Ð FAB 角平分線與 Ð ABC 角平分線的交點 

(C)取 AB 、 CD 、 EF 三邊中點M 、N 、L，作 MN 中垂線與 ML 中垂線的交點  (D)分別延長 AB 與 CD 交於P，分別延長 AB 與 EF 交於 Q ，作 Ð P 角平分線與  Q Ð 角

平分線的交點 

A 

B  C 

A 

O 

C  B 

60 ^o  2  圖(十五) 

Q  A  B  P 

M  C  L  F 

N  E  D 

圖(九)

14. 如圖(二)， BD 為圓 O 的直徑，弦 AC 未過圓心 O，

則下列哪一個敘述是正確的？ 【93 年第一次基測】 

(A) O 是△PCD 的外心  (B) O 是△APD 的外心  (C) O 是△ACD 的外心  (D) O 是△BCP 的外心

15. △ ABC 中，∠A=40°，∠B=40°，∠C=100°。若 I 為△ABC 的內心，

則下列有關△AIB、△AIC、△BIC 之面積關係的敘述何者正確﹖【93 年第二次基測】 

(A) △AIC 的面積=△BIC 的面積  (B) △AIB 的面積=△BIC 的面積  (C) △AIB 的面積=△AIC 的面積 

(D) △AIC 的面積  + △BIC 的面積=△AIB 的面積

16. 如圖(一)，四邊形 ABCD 中，∠B = 60 ^o 、∠DCB = 80 ^o 、∠D = 100 ^o 。 若 P、Q 兩點分別為△ABC 及△ACD 的內心，則∠PAQ =？

(A) 60 ^o (B) 70 ^o (C) 80 ^o (D) 90 ^o 【94 年第一次基測】

17. 如圖（十二） ， AD 是△ABC 的中線，H 點在 AC 上且 BH ⊥ AC 。 若 AB = 12 ， BC = 10 ， AC = 14 ，連接 DH ，則 DH =？ 

(A) 4      (B) 5      (C) 6      (D) 7  【94 年第二次基測】 

B 

C 

D  A 

O  P 

D  A 

C  Q 

P 

B 

H  A 

D  C 

B

18. 如右圖，有一∠A 及一直線 L，其中∠A=80 ^o ，L 上有一點 O。

小敏想以 O 為頂點、L 為角的一邊，作一角與∠A 相等。

已經進行的步驟如下： 

(1)  以 A 為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交∠A 的兩邊於  B、C 兩點。 

(2)  以 O 為圓心， AB 為半徑畫弧，交 L 於 P 點。

請問小敏繼續下列哪一個步驟後，連接OQ，∠QOP 即為所求？ 

(A)  以 O 為圓心， AC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點  (B)  以 O 為圓心， BC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點  (C)  以 P 為圓心， AC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點 

(D)  以 P 為圓心， BC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點 【94 年第二次基測】

19. 如右圖，有一∠A 及一直線 L，其中 ÐA = 70 ^o ，L 上有一點O。

甲：以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交 Ð A 的兩邊於 B、C 兩點。

乙：以O為圓心， AB 為半徑畫弧，交 L 於 P 點。

丙：以P為圓心， AC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點。

丁：以P為圓心， BC 為半徑畫弧，與前弧相交於 Q 點。

戊：連接 OQ ，可得  QOP Ð 。

若小名的作圖步驟為甲 Þ 乙 Þ 丙 Þ 戊，小芬的作圖步驟為甲 Þ 乙 Þ 丁 Þ 戊，

則有關於兩人所得的  QOP Ð 的敘述何者正確？【94 年第二次基測模擬試題】 

(A)  兩人所得的  QOP Ð 均為 70 ^o  (B)  小名所得的  QOP Ð 為 70  ，小芬為 ^o  60 ^o  (C)  兩人所得的  QOP Ð 均為 60 ^o  (D)  小名所得的  QOP Ð 為 60  ，小芬為 ^o  70 ^o 

O  P  L 

A  B 

C 

70 ^o 

O  P  L 

A  B 

C 

80 ^o

20. 如圖（六）， AB = BC ， BC > AC ，P、 Q 兩點在 AM 上，

其中 AP = PQ ，且 Q 為 D ABC 的重心。若兩直線BP、 BQ 與  AC 分別交於S 、R兩點， 則下列關係何者正確？

（A） AS = SR  （B） AR = RC 

（C） QB = QC  （D） QR = 2 PS  【95 年第一次基測】

21. 如圖(九)，△ABC中， ÐC = 90 ^o ，D在 BC 上， 

E為 AB 之中點， AD 、 CE 相交於F ，且 AD = DB 。 若 ÐB = 20 ^o ，則 ÐDFE = ？【96 年第一次基測】 

(A)  40 ^o  (B)  50 ^o  (C)  60 ^o  (D)  70 ^o 

22. 如圖(十)，△ABC的內切圓分別切 AB 、 BC 、 AC 於  D、E、F 三點，其中P、 Q 兩點分別在 DE 、 » ^»  DF 上

。若 ÐA = 30 ^o ， ÐB = 80 ^o ， ÐC = 70 ^o ，則 DPE 弧長與 ^¼  DQF ¼  弧長的比值為何？ 【96 年第一次基測】 

(A) 3 

2  (B)  7 

8  (C)  3 

4  (D)  3  8 

圖(六) 

B  M  C 

Q  P 

A  S 

R 

B  E  C 

F  P 

Q  D 

A 

圖(十) 

B  D  C 

F  E 

A 

圖(九)  20 ^o

23. 圖（九）是 10 個相同的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形。

根據圖中各點的位置，判斷 O 點是下列哪一個三角形的外心？

（A）△ABD （B）△BCD （C）△ACD （D）△ADE

【96 年第二次基測】

24. 如圖， AC 是 BD 的中垂線，O 為 AB 中點，若 BD ＝6 公分， 

AB ＝5 公分，則四邊形 BCFO 的面積是多少？

(A)4 平方公分 (B)5 平方公分 (C)6 平方公分 (D)7 平方公分

25. 如圖，正△ABC 的邊長為 3 公分，已知 G 為△ABC 的重心，則 AG ＝？

(A)2 公分 (B)1 公分 (C)  2 

3 

3  公分 (D)  3 公分

26. 如圖，△ABC 中，∠C＝90˚，D 為 AB 上一點，G ₁ 、G ₂ 分別為△BCD 與

△ADC 之重心， AC ＝9， BC ＝12，則 G ₁ G ₂ ＝？

(A)12ˉ(B)9ˉ(C)5ˉ(D)3

A B

C D

E O 圖(九) 

C 

B  A 

G2 

G 1 

D 

A 

O  F 

C  D  B 

A 

B  C 

G

27. △ABC 中，A 為（－2，6），B 為（1，7），C 為（5，5），求△ABC 的外心坐標未多少？

(A) (1，3) (B) (1，2) (C) (2，1) (D) (2，2)

28. 承上題，△ABC 外接圓的面積為何？

(A) 25

p

p

p

p

29. 如圖，等腰△ABC 中， AB ＝ AC ＝13、 BD ＝ CD ＝5，若 G 為△ABC 的重心，

I 為△ABC 的內心，則 IG 的長為多少？

(A)  ¹⁰ 

3  (B) 2 (C)  ⁵ 

3  (D)  3  2 

A 

B  D  C 

G  I