單元

(1)

單元 _6: 極限

( 課本 x 1.5)

"極限 (limit)" 的概念常出現於日常的用語中_, 如速限 (speed limit)

摔角參賽者的體重限制 (wrestler's weight limit) 忍耐度 (limit of one's endurance)

或

彈簧的伸展極限 (a spring's stretching limit) 等_, 均說明極限乃是一個界限 _(bound), 在有些情況下是無法達到的_, 但在另一些情況下是可達到並超越的_. 舉例_, 若一彈簧承受的重量大於或等於 ₁₀ 磅時_, 彈簧會壞掉_.

問 _.

如何求彈簧的最大伸展長度_?

答 _.

載重並觀察伸展長度 _s 的變化_, 如下圖所示_. 如果當載重 _w 愈接近 ₁₀ 磅時_, 長度 _s 會愈接近一實數 _L,

(2)

則稱當 _w 接近 ₁₀ 磅時_{, s} 的極限為 _L. 所以_, 最大伸展長度等於當 _w 接近 ₁₀ 磅時_{, s} 的極限_.

一 _.

極限的數學表示法數學式

x!clim f(x) = L

若且為若當 _x 由任意一邊愈來愈靠近 _c 時_{, f(x)} 可任意地靠近一實數 _L, 如圖示_.

例 _1.

試求

x!1lim (x² + 1)

<解_> 令

f(x) = x² + 1

(i) 圖形法_: 函數 _f(x) 的圖形為一拋物線_, 如圖示_. 由圖可知_, 當 _x 由兩邊愈來愈接近 ₁ 時_{, f(x)} 的值可任意地靠近 _2, 故

x!1lim (x² + 1) = 2

(3)

(ii) 數值表_: 列舉 _x 由兩邊靠近 ₁ 時_, 所對應出的 f(x) 值_, 如下表_,

x .90 .99 .999 1

f(x) 1.81 1.98 1.998 2 x 1 1.001 1.01 1.1 f(x) 2 2.002 2.02 2.2

同樣可觀察出_, 當 _x 由兩邊愈來愈接近 ₁ 時_{, f(x)} 的值可任意地靠近 _2, 故得出相同的結論

x!1lim (x² + 1) = 2

例 _2.

試由函數的圖形求下列各函數在 _{x = 1} 的極限_.

(a) f(x) = x² 1 x 1

(b) f(x) = jx 1j x 1

(c) f(x) =

( x; x 6= 1 0; x = 1

(4)

<解_{> (a)} 函數 _f(x) 在 _{x = 1} 未定義_, 且當 _{x 6= 1} 時_,

x² 1

x 1 = (x 1)(x + 1)

x 1 = x + 1

故得 _f(x) 的圖形為一在 _{x = 1} 有一缺口的直線 y = x + 1

如圖示_.

由圖形知_, 當 _x 由兩邊愈來愈接近 ₁ 時_{, f(x)} 的值可任意地靠近 _2, 故

x!1lim f(x) = 2

註 _1.

雖然 _f(x) 在 _{x = 1} 未定義 ₍因為分母等於 0), 但不影響在 _{x = 1} 的極限_, 這是因為極限是考慮 f(x) 在 _{x = 1} 附近的值的變化情形_, 而不是 _f(x) 在 x = 1 的值_.

(b) 函數 _f(x) 在 _{x = 1} 未定義_, 且當 _{x > 1} 時_, x 1 > 0, 故去絕對值時不變號_, 得

jx 1j

x 1 = x 1

x 1 = 1

(5)

同理_, 當 _{x < 1} 時, x 1 < 0, 故去絕對值時要加一個負號_, 而得

jx 1j

x 1 = (x 1)

x 1 = 1

因此_, 函數 _f(x) 的圖形如下圖所示_.

由圖知_, 當 _x 由右邊接近 ₁ 時_{, f(x)} 可任意地靠近 _1;

但當 _x 由左邊接近 ₁ 時_{, f(x)} 卻是可任意地靠近 _1, 亦即_{, f(x)} 無法同時任意地靠近一個實數 _L. 因此_,

x!1lim f(x) 不存在

(c) 由函數 _f(x) 的定義_, 當 _{x 6= 1} 時_, 圖形為一條在 x = 1 有一缺口的直線

y = x

當 _{x = 1} 時, f(x) = 0, 而得一個單點 (1; 0)

因此_, 函數 _f(x) 的圖形如下圖所示_.

由圖知_, 當 _x 由兩邊愈來愈接近 ₁ 時_{, f(x)} 的值可任意地靠近 _1, 故

x!1lim f(x) = 1

(6)

註 _2.

雖然 _f(x) 在 _{x = 1} 有定義且函數值為 _0, 但不影響極限值 _1, 此乃因為極限值是觀察函數 _f(x) 在 x = 1 附近的變化_, 而不是 _f(x) 在 _{x = 1} 的函數值_.

註 _3.

由數值表亦可得到一致的結果_, 請參看課本_.

結論 _.

極限的三個重要概念_:

(i) 數學式

x!clim f(x) = L

乃相當於當 _x 由兩邊愈來愈接近 _c 時_{, f(x)} 可任意地靠近一實數 _L.

(ii) 當 _x 由兩邊愈來愈接近 _c 時_, 若 _f(x) 任意地靠近兩個不同的實數時_, 則極限不存在_.

(iii) 函數 _f(x) 在 _{x = c} 的函數值無法決定 _f(x) 在 x = c 的極限_, 此乃因為極限是考慮函數 _f(x) 在 x = c 附近的變化情形_, 而不受 _f(x) 在 _{x = c} 的值的影響_.

(7)

二 _.

極限的性質

令 _{b, c} 為實數且 _n 為正整數_, 則

(1) 常數 _b 在 _{x = c} 的極限就是常數自己_, 亦即_,

x!clim b = b

因為無論 _x 如何地靠近 _c, 所對應的函數值恆為 _b, 故任意地靠近 _b, 如圖示_.

(2) x 在 _{x = c} 的極限就是 _c, 亦即_,

x!clim x = c

因為當 _x 由兩邊愈來愈接近 _c 時_, 所對應的函數值 x 當然是任意地靠近 _c, 如圖示_.

(3) xⁿ 在 _{x = c} 的極限就是 _cⁿ_, 亦即_,

x!clim xⁿ = cⁿ 舉例_, 當 _{n = 2} 時_, 如圖示_,

x!clim x² = c²

(8)

(4) pⁿ

x 在 _{x = c} 的極限就是 ^pⁿ _c, 亦即_,

x!clim ⁿ

px = pⁿ c 舉例_, 當 _{n = 2} 時_, 如圖示_,

x!clim

px = p c

註 _.

若 _n 為偶數_, 則 _c 必須大於 _0, 否則會出現當 x 接近 _c 時_{, x} 為負_, 而導致 ^pⁿ _x 未定義的情況_.

三 _.

極限的運算設

x!clim f(x) 與

x!clim g(x) 均存在且 _b 為一實數_, 則

(1) 純量乘積_{: b} 倍的極限等於極限的 _b 倍_, 亦即_,

x!clim[bf(x)] = b^h_x!clim f(x)ⁱ

(9)

(2) 加減法_: 加減的極限等於極限的加減_, 亦即

x!clim[f(x) g(x)] = lim_x!cf(x) lim_x!cg(x)

(3) 乘法_: 相乘的極限等於極限的乘積_, 亦即_,

x!clim[f(x) g(x)] = ^h_x!clim f(x)ⁱ ^h_x!clim g(x)ⁱ

(4) 除法_: 商的極限等於極限的商_, 亦即_, 當

x!clim g(x) 6= 0 時_,

x!clim

f(x)

g(x) = limx!cf(x) limx!cg(x)

(5) 次方_{: n} 次方的極限等於極限的 _n 次方_, 亦即_,

x!clim[f(x)]ⁿ = ^h_x!clim f(x)ⁱⁿ

(6) 方根_{: n} 次方根的極限等於極限的 _n 次方根_, 亦即_,

x!clim ⁿ

qf(x) = ^qⁿ _x!clim f(x)

(10)

四 _.

求極限的技巧

(1) 代入法

(direct substitution).

結合極限的性質與運算_, 直接將 _c 代入 _f(x) 得極限_, 如

x!2lim (x² 2x + 3)

= lim

x!2x² 2 lim

x!2x + lim

x!23

= 2² 2(2) + 3 = 3

= f(2)

其中第一個等號成立乃根據極限的運算 ₍₁₎ 與 _(2), 第二個等號成立乃根據極限的性質 _{(1), (2)} 與 _(3).

推廣 _.

₍₁₎ 設 _p(x) 為一多項式_, 則

x!clim p(x) = p(c) 亦即_, 可用代入法求多項式的極限_. (2) 設有理函數

r(x) = p(x) q(x)

(11)

其中 _{q(c) 6= 0,} 則根據極限的運算 ₍₄₎ 以及推廣 _(1), 得

x!clim r(x) = lim_x!cp(x)

lim_x!c q(x) = p(c)

q(c) = r(c)

亦即_, 當有理函數的分母在 _{x = c} 不等於 ₀ 時_, 可用代入法求有理函數在 _{x = c} 的極限_.

註 _.

其它可用代入法求極限的函數_, 會陸續地介紹_.

(2) 消去法

(cancellation technique).

根據如下的替代定理 (replacement theorem), 將共同因式消去而求極限的方法_.

替代定理 _.

令 _c 為一實數且對所有的 _{x 6= c,} f(x) = g(x)

(即_{, f(x)} 與 _g(x) 僅在 _{x = c} 不同_). 若

x!clim g(x)

存在_, 則 _f(x) 在 _{x = c} 的極限亦存在且

x!clim f(x) = lim_x!cg(x)

(12)

亦即_, 求 _f(x) 在 _{x = c} 的極限時_, 可以用 _g(x) 替代_. 為何成立_? 因為在 _{x = c} 的極限是考慮函數在 _{x = c} 附近的行為變化_, 而根據假設_, 此二函數在 _{x = c} 以外均相等_, 自然它們的行為就一樣_, 因此有相同的極限_.

以例說明消去法如下_.

例 _3.

試求

x!1lim

x³ 1 x 1

<解_{> (1)} 代入法_: 代 _{x = 1,} 得 1 1

1 1 = 0 0

不是一實數_, 稱作未定型 (indeterminate form). 因此_, 代入法不適用_.

(2) 消去法_: 未定型 ⁰

0 表示分子_, 分母均有 _{x 1} 的因式_, 故經由分解與消去_, 得

x³ 1

x 1 = (x 1)(x² + x + 1) x 1

= x² + x + 1; x 6= 1

(13)

因此_, 由替代定理_,

x!1lim

x³ 1

x 1 = lim

x!1(x² + x + 1)

= 1² + 1 + 1 = 3

其中第二個等號成立乃因為 _x² _{+ x + 1} 為一多項式_, 故可用代入法求極限_, 圖示如下_.

例 _4.

試求

x! 3lim

x² + x 6 x + 3

<解_{> (1)} 代入法_: 代 _{x = 3,} 得 ( 3)² + ( 3) 6

( 3) + 3 = 9 3 6

3 + 3 = 0 0 乃一未定型_, 故代入法不適用_.

(2) 消去法_: 未定型 ⁰

0 表示分子_, 分母有共同的因式 x + 3, 故經由分解與消去_, 得

x! 3lim

x² + x 6

x + 3 = lim

x! 3

(x + 3)(x 2) x + 3

= lim

x! 3(x 2)

= 3 2 = 5

(14)

其中第二個等號成立乃根據替代定理_, 第三個等號成立乃因為 _{x 2} 為一多項式_, 而以代入法求極限所致_, 如圖示_.

例 _5.

試求

x! 2lim

x² + x 2 x 2

<解_> 先嘗試代入法_, 代 _{x = 2,} 得

x! 2lim

x² + x 2

x 2 = ( 2)² + ( 2) 2 ( 2) 2

= 4 2 2

2 2 = 0

4 = 0 乃一實數_. 因此_, 代入法適用且

x! 2lim

x² + x 2

x 2 = 0

例 _6.

試求

x!0lim

px + 4 2 x

<解_> 代 _{x = 0,} 得

p4 2

0 = 0

0

(15)

乃一未定型_, 故代入法不適用_.

消去法_: 因為原式含有根號_, 故不易如前面的例子可以用分解的方式找出共同的因式_, 但可用有理化法分解出共同的因式並消去_, 亦即_,

px + 4 2

x =

px + 4 2

x

px + 4 + 2 px + 4 + 2

= (x + 4) 4 x(p

x + 4 + 2)

= x

x(p

x + 4 + 2)

= p 1

x + 4 + 2; x 6= 0 最後_, 根據替代定理_,

x!0lim

px + 4 2

x = lim

x!0

p 1

x + 4 + 2

= p 1

4 + 2 = 1 4

五 _.

單邊極限 (one-sided limits) 數學式

x!clim f(x) = L

(16)

表示 _x 由左邊靠近 _c 時的極限_, 如圖示_. 數學式

x!clim⁺ f(x) = L 表示 _x 由右邊靠近 _c 時的極限_, 如圖示_.

結論 _:

在 _{x = c} 的雙邊極限

x!clim f(x) = L 乃相當於

x!clim f(x) = L = lim

x!c⁺ f(x)

亦即_, 在 _{x = c} 的兩個單邊極限均存在且等於雙邊極限_, 此乃因為雙邊極限是要求函數 _f(x) 在 _{x = c} 的兩邊行為均任意地靠近 _L, 因而僅從單邊而言_, 兩個單邊的行為自然必須任意地靠近 _L, 故有此結論_.

例 _7.

令函數

f(x) =

( 4 x; x < 1 4x x²; x > 1 試求

x!1lim f(x)

(17)

<解_> 當函數需以兩個 ₍含₎ 以上的數學式子表示時_, 稱作複合函數 (compound function), 故 _f(x) 為一複合函數_, 此時不方便同時以多個式子表示 _f(x), 而求出極限_, 故可先求單邊極限再求 ₍雙邊₎ 極限_, 如下述_. 首先_, 當 _x 由左邊接近 ₁ 時_, 得

x!1lim f(x) = lim

x!1 (4 x)

= 4 1 = 3

其中第一個等號成立乃因為當 _x 由左邊接近 ₁ 時_, 表示 x < 1, 而根據 _f(x) 的定義_,

f(x) = 4 x

第二個等號成立乃因為求多項式 _{4 x} 的雙邊極限時_, 可以代入法求之_, 而單邊極限只是雙邊極限的一部份_, 故自然可用代入法將 ₁ ₍不是 _{1 )} 代入求極限_.

同理_, 當 _x 由右邊接近 ₁ 時, x > 1, 故根據 _f(x) 的定義_, 得

f(x) = 4x x² 以及

x!1lim⁺ f(x) = lim

x!1⁺(4x x²)

= 4(1) (1)² = 3

(18)

最後_, 因為此二單邊極限均存在且相等_, 故雙邊極限

x!1lim f(x) = 3

例 _7.

試求

x!0lim

j2xj x

<解_> 因為原式含有絕對值 _j2xj, 故在 ₀ 的兩邊有不同的數學表示式_, 而為一複合函數_, 需先求單邊極限_, 再決定 (雙邊₎ 極限_. 首先_, 當 _x 由左邊接近 ₀ 時, x < 0, 故

j2xj = 2x 且

x!0lim

j2xj

x = lim

x!0

2x

= lim x

x!0 ( 2) = 2

其中最後一個等號成立乃因為常數的雙邊極限就是常數自己_, 自然常數的單邊極限也是常數本身所致_.

同理_, 當 _x 由右邊接近 ₀ 時, x > 0, 故 j2xj = 2x

(19)

且

x!0lim⁺

j2xj

x = lim

x!0⁺

2x

= lim x

x!0⁺ 2 = 2 最後_, 因為兩個單邊極限不相等_, 故雙邊極限

x!0lim

j2xj x 不存在_.

註 _.

函數在 _{x = c} 的兩邊的行為不一致時_, 此函數在 x = c 的極限不存在_.

六 _.

無界行為 (unbounded behavior)

另一個造成函數 _f(x) 在 _{x = c} 的極限不存在的原因_. 舉例_, 試問

x!2lim

3 x 2 是否存在_?

(20)

首先_, 考慮左單邊極限_, 亦即 _x 由左邊接近 ₂ 時_, 故 x < 2 且 _x 可任意地接近 _2, 因而

x 2 ! 0 但為負_, 以

0

表示之_, 亦即為一任意靠近 ₀ 的負數_, 並得出左單邊極限

x!2lim

3

x 2 = 3

0 = 1

同理_, 當 _x 由右邊接近 ₂ 時_{, x > 2} 且 x 2 ! 0

但為正_, 以

0⁺

表示之_, 為一任意靠近 ₀ 的正數_, 因而右單邊極限

x!2lim⁺

3

x 2 = 3

0⁺ = +1 因此_, 二單邊極限均不存在_. 故_,

x!2lim

3 x 2

不存在且原因為_, 當 _{x ! 2} 時_{, f(x)} 乃無界地遞減到 1; 當 _{x ! 2}⁺ 時_{, f(x)} 乃無界地遞增到 _+1, 如圖示_.

(21)

練習題 _1.

試求

x!2lim⁺

x + 1 2 x

練習題 _2.

試求

x! 3lim

2 + x x² 9

練習題 _3.

試求

x! 2lim ⁺ p x

x + 2

單元

單元 6: 極限

( 課本 x 1.5)

問 .

答 .

一 .

例 1.

例 2.

註 1.

註 2.

註 3.

結論 .

二 .

註 .

三 .

四 .

(1) 代入法

推廣 .

註 .

(2) 消去法

替代定理 .

例 3.

例 4.

例 5.

例 6.

五 .

結論 :

例 7.

例 7.

註 .

六 .

練習題 1.

練習題 2.

練習題 3.

單元 _6: 極限

問 _.

答 _.

一 _.

例 _1.

例 _2.

註 _1.

註 _2.

註 _3.

結論 _.

二 _.

註 _.

三 _.

四 _.

推廣 _.

註 _.

替代定理 _.

例 _3.

例 _4.

例 _5.

例 _6.

五 _.

結論 _:

例 _7.

例 _7.

註 _.

六 _.

練習題 _1.

練習題 _2.

練習題 _3.