98 年 數學科 學科能力測驗試卷

98 年 數學科 學科能力測驗試卷

__________科__________班　學號__________姓名__________

總 分 　　　

第 ﹕選 55 分 一部分 擇題（佔 ）

一 30 分 、單選題（佔 ）

說 ﹕第1 至6 題﹐每 ﹐每 5 分﹐答 ﹒ 明 題選出最適當的一個選項 題答對得 錯不倒扣

( 　 )1. 數 a₁2 ﹐ a_k2k ﹐ a1020 共 240﹐ 則 　 列 …﹐ …﹐ 有十項﹐且其和為

1 k 10

a   a   a 之 (1)31 (2)120 (3)130 (4)185 (5)218﹒ ﹝第 CH2﹞ 一冊 值為

( 　 )2. 令^acos ^{2 ﹐ (1)a 1 (2)}    (3)^{1 a 1}₂ 　 ^{試問下列哪一個選項是對的﹖}

1 0 2 a

   (4) 1

0 a 2 (5)1

2  ﹒a 1 ﹝第 CH3﹞ 二冊

( 　 )3. 已 ^{f x}  ^{﹐g x}  ^{是 f x}  ^{除 g x}  ^的 x⁴1 　 知 ^{兩個實係數多項式﹐且知 以 餘式為}

﹒ 不 是^{f x}  與^{g x}  的 (1)5 (2)x1 (3)x²1 (4) 試問下列哪一個選項 可能 公因式﹖

3 1

x  (5)x⁴1 ﹒

﹝第 CH3﹞ 一冊

( 　 )4. 甲 3﹑4﹑5 個 12 　 ﹑乙﹑丙三所高中的一年級分別有 班級﹒從這

個 11 班級中隨機選取一班參加國文抽考﹐再從未被抽中的

個 班 級 中 隨

機 選取一班參加英文抽考﹒則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項﹖

(1)21% (2)23% (3)25% (4)27% (5)29%﹒

﹝第 CH3﹞ 四冊

( 　 )5. 假 20 　 設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為

公 里

﹒ 兩 條 筆 直 的

公 路 交 於 丁

鎮 ﹐其中之一通過甲﹑乙兩鎮而另一通過丙鎮﹒今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為

45 ﹐ (1)24.5公 (2)25 公 (3)25.5公 (4)26 公 則丙﹑丁兩鎮間的距離約為 里 里 里 里

(5)26.5公 ﹝第 CH2﹞ 二冊 里﹒

( 　 )6. 試 ^O^0,0 到 1﹐ 且 ^A ^3,0 　 問坐標平面上共有幾條直線﹐會使得點 此直線之距離為 點

到 2﹖ (1)1條 (2)2 條 (3)3 條 (4)4 條 (5) 無 ﹝第 CH3﹞ 三冊 此直線之距離為 窮多條﹒

二 25 分 、多選題（佔 ）

說 ﹕第7 至 11 題 5 明 ﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得

分 2.5分 ﹐答錯不倒扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲 ﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

( 　 )7. 試 (1)3.1416 (2) ₃ (3)log₁₀ 5 log ₁₀ 2 (4) 　 問下列哪些選項中的數是有理數﹖

sin15 cos15 cos15 sin15

 

  (5) 方 _x³_2x²_{  x 1 0} 的 ﹝第 CH3﹞ 二冊 程式 唯一實根﹒

( 　 )8. 坐 L₁ ﹐L₂ ﹐L3 ﹐L₄ 與^x 軸 ^y 軸 　 標平面上四條直線 ﹑ 及直線

y x 的 L1 與L3 垂 L3 與L4 相關位置如圖所示﹐其中 直﹐而

平 L1 ﹐L2 ﹐L3 ﹐L4 的 y m x 1 ﹐y m x 2 ﹐ 行﹒設 方程式分別為

y m x 3 以 y m x c ₄  ﹒ (1) 及 試問下列哪些選項是正確的﹖

3 2 1

m m m (2)m m1 4  1 (3)m1 1 (4)m m2 3 1 (5)c0

﹒ ﹝第 CH1﹞ 一冊

( 　 )9. 　

某 廠 商 委 託 民 調 機 構 在 甲

﹑ 乙

兩 地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為「知名度」）﹒結果如下﹕在

95%信 ^0.50,0.58 ^﹑^{0.08, 0.16} 心水準之下﹐該產品在甲﹑乙兩地的知名度之信賴區間分別為

﹒ (1) 甲 54%的 (2) 試問下列哪些選項是正確的﹖ 地本次的參訪者中﹐ 人聽過該產品

此 (3) 次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

此 95% (4) 次調查結果可解讀為﹕甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於

若 95%的 ^{0.08, 0.16} ⁽⁵⁾ 在乙地以同樣方式進行多次民調﹐所得知名度有 機會落在區間

經 95% 密集廣告宣傳後﹐在乙地再次進行民調﹐並增加參訪人數達原人數的四倍﹐則在

信 0.04） ﹝第 CH3﹞ 四冊 心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半（即 ﹒

( 　 )10. 設^a ﹐b ﹐^c 為 　 實數﹐下列有關線性方程組

2 1

3 4 1

2 10 7 x y az

x y bz x y z c

  

    

   



的 (1) 敘述哪些是正確的﹖

若 (2) 若 11a3b7 (3) 此線性方程組有解﹐則必定恰有一組解 此線性方程組有解﹐則

若 c14 (4) 若 11a3b7 (5) 此線性方程組有解﹐則 此線性方程組無解﹐則

若 c14 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 三冊 此線性方程組無解﹐則

( 　 )11. 如 ABCD EFGH 的 2 （ _AB2 ） K 為 　 圖所示﹐正立方體 稜長等於 即 ﹐ 正方

形ABCD 的 M ﹑N 分 BF ﹑EF 的 中心﹐ 別為線段 中點﹒試問下列哪些選

項 (1) 1 1 1 是正確的﹖

2 2 2

KM

   

） _{KM AB}

 

(3)_{KM 3} (4)△KMN 為 (5)△KMN 之 積 一直角三角形 面

為 10

2 ﹒ ﹝第 CH2﹞ 三冊

第 ﹕選 二部分

填 題（ 45 分 佔 ）

說 ﹕第A至 I 題 每 完 明 ﹐ 題

全 答

對 完 得 5 分﹐答 ﹐未 全答 ﹒ 錯不倒扣 對 不 給分

A. 從 1 到 100 的 整 正

數

中 刪去 所有的 數﹑ 下最大的數為 質 2 的 3 的 剩 ___________ 倍數及 倍數之後﹐

_﹒

﹝第 CH1﹞ 一冊

B. 坐 ^O^0,0 ^﹐A^{ 3, 5} ^﹐B ^{6,0 ﹐C x y} ^,  ^{﹒ 質} 標平面上有四點 ^今有一

點

在 沿 O 點 _AO



方

向 進 停 ^{向 進 停 點} 前 ^前 _AO 距 在P ﹐ 沿_BP





方

向 進 回 前 _3CQ 距 到原點 O ﹐ ^{x y,} ^ ____________﹒ ﹝第 CH1﹞ 一冊 離後 則

C.

抽 獎 遊 戲 中

﹐ 參

加 者 自 箱 中 抽 出 一 球

﹐ 放回 ﹒只有抽得 紅色球 消費券 者） 確 定 顏色 後 藍色 或 者可得 ﹐其 金額 分別為（抽得 藍色球 2000

元

﹑ 紅色球 ﹒ 中已置 （ 有 抽 得 者） 1000 元 箱 2 顆 及5 藍色球

顆 ﹒在抽出 任 紅色球

一 之機率相等的條 下﹐ 主辦 單位 希望 參加者所得 的 球 件 消費券金額 期望 值為 300

元

﹐ 主辦 單位 應 箱 入 其 的 ﹒ 則 於 內再置 ____________ 顆 他顏 球 ﹝第 CH3﹞ 四冊 色

D. 坐 標平面上有兩條平行直線﹒

它

們 的 距 差 距 差 相 相 ^x 截 20﹐^y截 15﹒ 則 _ 這兩條平行直線的距離為

___________﹒ ﹝第 CH1﹞ 三冊

E. 假 ₁ 為 設 坐標平面上一

開 口

向 上的 拋物 線﹐其對稱軸為 3

x 4

 且

焦 點到 頂 距（ 焦 點的距離）為 1

8

﹒ 1 與 若 另一

拋

物 線 頂 ₂: y x ² 恰 1 的 點之 ^y坐 ____________﹒ 交於一點﹐則 標為

（

化 最簡分 成 數 ）

﹝第 CH1﹞ 四冊

F. 某 司 公

為 ﹐ 定在 五 公 該年二 量 為 了響應節 能減 碳政策 決 年後 將 司 氧化碳排放 降 目前排放 量的 75%﹒

公 司 希 望 每 年 依 固 定 的 比 率

（ 當 年 和 前 一

年

排 量的比 逐 的 要 標﹐則該公 每年至少 要 前 放 ） 年減少二 氧化碳 排放 量﹒若 達到這項 目 司 比 一年減少

____________% 的 氧化 二 碳

的 計算 到 數點後第一位﹐以下四 捨五入 排放 量﹒（ 小 ﹒） ﹝第 二冊

CH1﹞

G. 坐 空 標

間

中 點為 ^xy 平 頂 ^O^0,0,0 ^﹐A^8,0,0 ^﹐B^8,8,0 ^﹐C^0,8,0 面上有一正方形﹐其

﹒ P 在^xy 平 O ﹐A ﹐B ﹐C 四 6﹒ 若 另一點 面的上方﹐且與 點的距離皆等於

x by cz d   為 A ﹐B ﹐P 三 ^{b c d, ,}  ^ ____________﹒ ﹝第 三冊 通過 點的平面﹐則

CH2﹞

H. 有 橢圓 與一 雙曲 線有共同的 一

焦 軸長和 短 點F₁ ﹑F₂ ﹐ 雙曲 線的 貫 橢圓 的 軸長相等﹒設 P 且

為 橢圓 與 此

雙

曲 線的一個交點﹐ 且 PF PF₁ ₂ 64 ﹐ F F_{1 2}____________﹒ ﹝第 CH1﹞ 四冊 則

I. 在△ABC 中 _AB10 ﹐_AC9 ﹐ 3 ﹐

cosBAC8 ﹒ P ﹑Q 分 設點 別在

邊 AB ﹑AC 上 使得

△ APQ 之 積 面

為 積 可能值 化 最簡分 為 成 數 ） △ABC 面 之一 PQ 之 小 ____________﹒ （ 半 最 ﹐ 則

﹝第 CH2﹞ 二冊

答 案 　

第 ﹕選 一部分 擇題

一 、單選題　

　1.(3)　2.(2)　3.(4)　4.(5)　5.(1)　6.(3)

二 、多選題　

　7.(1)(3)(4) 　 8.(2)(3)(4) 　 9.(1)(2) 　 10.(4)(5) 　 11.(1)(4)

第 ﹕選 二部分

填 題　

　 A.95 　 B.^{4, 20} 　C.23　 D.12 　E.9

8　 F.5.6 　 G.^{0, 2,8}  H.16 　I.15 2

解 析 　

第 ﹕選 一部分 擇題

一 、單選題

1. a1 2 a2   2 2  a10 2 10 240

a1 a2 a10 2 1 2 10 240

        

∴a1a2  a10 240 110 130  故

選 (3)﹒

2. ^acos ^{2 cos 9.86 }

2 3.14 3.14 9.86

   ≒ 為 第三

象

限 角且 10

3 9.86

  3

 

∴ 1

1 a 2

    故

選 (2)﹒

3. ^{f x}  ^{g x Q x}   ^x41

由 輾轉

相

除 法 原理知  ^{f x g x}   ^,  ^^{g x x} ^{, 41}

    

4 2

1 1 1 1

x   x x x 

∴ 不 _x³_1 的 可能有 公因式

故

選 (4)﹒

4. 甲 3 班 3 2 3 校（ ）﹕

12 11 66 p  

乙 4 班 4 3 6 校（ ）﹕

12 11 66 p  

丙 5 班 5 4 10 校（ ）﹕

12 11 66 p  

同 3 6 10 19 校之機率為 0.288 28.8%

66 66 66   66≒  故

選 (5)﹒

5. △ ACD 中 1 120 ﹐ 2 45 ﹐_{AC 20} 由

正 定理知 弦 20

sin 45 sin120

 CD

 

20 3 10 6 24.5 CD 2

   ≒

故

選 (1)﹒

6. 即

求 ^{圓 徑 圓 為} 以^O^0,0 ^{為 心﹐ 為1 與 A} ^{3,0 為 心半 徑 2 半 以}

的 切 公

線

﹐

且 圓外切 二

∴ 共 3 條 有

故

選 (3)﹒

二 、多選題

7. (1)○﹕ 31416 3.1416

10000



(2)╳﹕ 3 為 無理數

(3)○﹕ 10 10 10 10

1 1

log 5 log 2 log 10 log 10

2 2

   

(4)○﹕sin15 cos15 sin 15² cos 15² 2 cos15 sin15 cos15 sin15 2sin15 cos15

    

     

2 4 sin 30

 



(5)╳﹕由 牛頓

定 理

知 有 代 不 _x³_2x²_{  x 1 0} 的 僅 _1 ﹐ x 1代 合 有理根 入均

∴ 唯 一實根必為無理數

故

選 (1)(3)(4)﹒

8. 由

圖 知 m₂ m₁0﹐m₃ m₄ 0

(1)╳

(2)○﹕L1 L3 ﹐ 而L3//L4﹐

∴ L₁L₄

∴m m1 4  1

(3)○﹕L1 直 較^{y x} 靠 線

近 ^y軸

∴m1 1

(4)○﹕m2 m10 ∴m2m3  1 (5)╳﹕令^x0 ﹐y c 0

故

選 (2)(3)(4)﹒

9. (1)○﹕  0.5 0.58

0.54 54%

p 2   (2)○﹕ 0.54 0.46

2 0.04 n 621 n

   _甲

甲

0.12 0.88

2 0.04 n 264 n

   _乙 

乙

(3)╳﹕約 95%以 在 內

(4)╳﹕ 區 變動 間可能有所

(5)╳﹕ 不 一定

故

選 (1)(2)﹒

10.

2 1

3 4 1

2 10 7 x y az

x y bz x y z c

  

    

   







 j

k l

 2

l j ﹕^6y^{7 2 a z c} ^{ 2}

 3

j k ﹕^2y^{3a b z}  ^4

(1)╳﹕可 能無

限 多解

(2)╳﹕若 6 7 2 恰有一解

11 3 7 2 3

a a b

a b

    



若 限 無

多 解

﹐ 則 6 7 2 2

2 3 4

a c a b

 

 

 11a3b7且c14

(3)╳﹕若 c14 恰有一解﹐則不一定

(4)○﹕ 方 11a3b7 且c14 程組無解﹐

(5)○

故

選 (4)(5)﹒

11. 坐 化^A^0,0,2 ﹐^B^{2,0, 2} ﹐^D^{0, 2, 2} ﹐^E^0,0,0 ﹐^F^2,0,0 ﹐^M^2,0,1 ﹐^N^1,0,0 標

﹐^K^{1,1, 2}

(1)○﹕^KM







^AE



2 2 2

KM

   

 

(3)╳﹕ KM



(4)○﹕^{KM MN}

 

(5)╳﹕^{KMN  90} ﹐ MN





積 1 6

2 3

2 2

    故

選 (1)(4)﹒

第 ﹕選 二部分

填 題

A. 由 100 往 ﹕100﹐99﹐98﹐97﹐96﹐95 前刪去

得 95﹒ 最大數為

B. ^AO



2 1 PQ BP  由

分 點 公 式﹕ 12

3 3

3

x x

 

   

0

5 15

3

y y

 

  

 ^3,15

Q 

又 1

3 CQ QO 

3 0

3 4

4

x x

     3 0

15 20

4

y y

  

∴^C^{4, 20} ﹒

C. 設 放入 n 顆 再 球

  ⁵

P 7

n

紅球  ﹐   ²

P 7

n 藍球 

2 5

300 2000 1000

7 7

n n

   

 

3n21 40 50   n 23 ﹒

D. 如 △OAB 中 圖﹐

2 2

15 20 25 AB  

△OAB 面

積 1 1

15 20 25

2 2 h

      12

h 表

示 二 平 行直線的距離為 12﹒

E. 設 1 ²  

3 1

: 4

4 8

x y k

 

      

 

₂: y x ²代 ₁ 入

得^^x3₄^^{2 1}₂^x2k