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臺北市立松山家商100學年度第2次教師甄選初試 數學科試題卷
一、填充題：（每題 6 分，共 78 分）
1. 空間中一光線通過點 A ( 1 , 2 , 3 ) 入射經平面 E：2x＋y＋z＝1 反射通過點 B ( 3 , 2 , 2 )，其 入射角為θ，則 sinθ＝____________。
2. 在空間中，通過一直線：x＝3＋t，y＝3－t，z＝0 ( t 為任意實數 )，且與球面：x2＋y2＋z2
－2x＋2y－4＝0 相切的平面有兩個，其方程式分別為________________________。
3. 若 x 為實數，則 f (x)＝| x－1 |＋2 | x－2 |＋…＋9 | x－9 | 在 x＝ k 時，有最小值 m，則 ( k , m ) ＝____________。
4. 設正實數 a 之小數部分為 b，且 a2＋2b2＝15，則 a＋2b＝____________。
5. 設 k 為實數，x4－x3－4x2＋3x＋k＝0 有二根和為 1，求方程式所有的解為____________。
6. 設 f (x)＝x15＋4x3－5x2－3x＋3，求以 x2＋x＋1 除 f (x)得餘式 r (x)＝____________。
7. log2 | log3 | log5 x | |＝0，則 x＝____________。
8. 設 n 為自然數，數列 an＝( 1.25 )n，問此數列中“整數部分為 4 位數＂者，共有________項。
9. 設橢圓Γ：x2 4 ＋y2
9 ＝1 上兩點 P、Q 其中點為 ( 1 , 1 )，求 PQ 直線方程式為____________。
10. 數列<an>中，若 a1＝1，且 an＋1＝3an－1，求 an＝____________。
11. 調查 1600 位同學，有 320 人贊成穿便服上學，求贊成比率 p 的 99.7％信賴區間____________。
12. A，B 二箱中，A 箱內有兩球，一黑一白。B 箱內有一白球，甲，乙二人輪流取球，每次先 由甲自 A 箱內任取一球，放入 B 箱內，再由乙自 B 箱內任取一球，放入 A 箱內。這樣稱為 一局，則當第三局結束時，A 箱內兩球為一黑一白之機率為____________。
13. 有學生 10 人（甲，乙…癸），其段考數學 成績與該學期數學課缺課數，如右表所示，
求兩者的相關係數 r =__________
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二、計算證明題：（第 1 題 12 分，第 2 題 10 分，共 22 分）
1. 若方程組
⎩⎪⎨
⎪⎧5x + 3y – z = 0 2x + y + 3z = a x + 4y + bz = 17
有無限多組解，求 a、b 之值及方程組之解。
2. 設 n∈N，二次方程式⎪⎪⎪
⎪⎪⎪ x – cosθ sinθ
– sinθ x – cosθ = 0 的二根為α、β，
試證：αn +βn= 2 cos nθ。
【試題結束】
參考數值：log2～～0.3010；log3～～0.4771；log7～～0.8451
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臺北市立松山家商100學年度第2次教師甄選初試 數學科參考解答
一、填充題：（每題 6 分，共 78 分）
1. 7
82 2. x+ +y 2z=6 2 6
x+ −y z= 3.
(
7 , 82)
4. 3 3 5. 1 5 3∨ 2± ±
6. 2x+13 7. 5±3∨5±31 8. 11 9. 9x+4y=13 10. 12
(
3n−1+ 1)
11.
[
0.17 , 0.23]
12. 4364 13. −0.93
二、計算證明題：（第 1 題 12 分，第 2 題 10 分，共 22 分）
1. a= −1 ,b= −58
3 10 5 17 ,
x t
y t t R
z t
= − −
⎧⎪ = + ∈
⎨⎪ =
⎩ 2.略
