3.2

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高一下數學(105 下)cjt 第 1 頁翰林版 Ch3.2

3.2 機率的定義與性質一年____班座號：____ 姓名：

重點 1：(拉普拉斯)古典機率

1.定義：設一隨機試驗的樣本空間為 S，且樣本空間的每一個基本事件出現之機會均等出現之機會均等出現之機會均等出現之機會均等，

則事件 A 發生的機率為 P(A)，記作 P(A)＝

) (

S n

A

n 或

|

| S

A ，讀作事件 A 發生的機率，

其中 n (S)表示樣本空間 S 之個數，n(A)表示事件 A 之個數。

註：古典機率的定義是由法國數學家拉普拉斯(Laplace，1749~1827)所提出的

2.隨機試驗中，公正的骰子(各點出現的機會均等)、一副撲克牌(每張被抽出的機會均等)、勻稱的硬幣(硬幣出現正反面的機會均等)、……等，古典機率都假設試驗所用的東西是公正或勻稱的。

3.複合事件的機率：

由基本事件所組成的子集，稱為複合事件。其形成新的樣本空間中，樣本點為兩兩互斥的複合事件，發生的機率也就不一定均等 (參考例 1.2)

例 1.1：一副撲克牌有 52 張，均勻洗牌後任取 1 張。若每張被取出的機會相等，試求取出的牌是黑桃的機率為多少？

◎複合事件

例 1.2：若一袋內裝有紅球 5 顆、白球 2 顆，今從袋中任取 1 球，若每球被選取的機會相等，

試問取到紅球的機率為多少？

例 1.3：民間習俗中的擲筊，每次擲筊都擲一對筊杯，擲出一正一反稱為「聖筊」。小璿考試前一天到廟裡拜拜擲筊一次，

如果每只筊杯出現正面或反面的機率相同。試問他擲出聖筊的機率是多少？

例 1.4：同時投擲兩顆公正骰子 1 次，觀察出現的點數，試求點數和為 7 的機率。

A S

(2)

例 1.5：袋中有 3 顆紅球與 2 顆白球，假設每顆球被選取的機會均等。試分別依下列規則從袋中取兩球，

試求取出 1 顆紅球 1 顆白球的機率。

(1)一次取一球，取後不放回，連取兩次 (2)同時取兩球

例 1.6：同時投擲三顆公正骰子一次，觀察出現點數。試求恰出現兩個 6 點的機率。

例 1.7：從方程式 x＋y＋z＝8 之非負整數解中任取一組解，且每組解被選取的機會均等。試求 x，y，z 恰好都是偶數的機 率。

重點 2：(古典)機率的性質

設 S 為某一試驗的樣本空間，其樣本點為有限多個。事件 A，B⊂ S。則有：

1.機率的範圍 0≤P(A)≤1

2.全事件 P(S)＝1，空事件 P(∅)＝0

3.餘事件 P(A′)＝1－P(A)，其中 A' 是事件 A 的補集， A∩ = ∅A′ ，A 與 A′是互斥事件 4.機率的單調性：若 A⊂ B，則 P(A)≤P(B)

5.排容原理：

(1)若 A，B 為 S 的二事件，則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)

(2)若 A，B，C 為 S 的三事件，則 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(A∩B)－P(B∩C)－P(A∩C)＋P(A∩B∩C) 6.若 A，B 為 S 的兩互斥事件(即 P(A∩B)＝0)，則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

若 A，B，C 為 S 的兩互斥事件，則 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

例 2.1：下面三個機率式子都是不正確的理由？

(1)P(A)＝ 2 (2)P(B)＝－0.1 (3)P(A∩B)＞P(A)

(3)

例2.2：若P(A)＝1

3，P(B)＝1

2，P(A∩B)＝ 1

12，試求下列各值：

(1)P(A∪B) (2) P(A′ ) (3) P(B－A)

例 2.3：已知三事件 A ， B 與 C 兩兩互斥，且

( )

¹

P A =2，

( )

³

P B =10，

( )

¹

P C =30，試求下列各值：

(1)^{P A}

(

^∪^B

)

⁽²⁾^{P A}

(

^{∪ ∪}^B ^C

)

例 2.4：班上 40 名學生的第一次月考成績，英文及格的有 20 人，數學及格的有 15 人，兩科都及格的僅有 10 人。校長從班上抽 1 人晤談，假設每人被抽中的機率均等。試求被抽中的學生，

(1)至少有一科及格的機率 (2)英文及格但數學不及格的機率

例 2.5：在 12 星座被挑中的機率均等的假設下，現在路上隨機挑 5 個人，會有人有相同星座的機率是多少？

例 2.6：連續投擲一顆公正的骰子 n 次，試問 n 至少要多少時，才能使得至少出現一次一點的機率大於 0.999？

(已知 log2≈0.3010，log3≈0.4771 )