龍騰數亦優第33期

數學是由什麼構成的？哪種類型的大腦能夠創造數學的定理和系統？幾何學家或 是代數學家的思維活動和音樂家、詩人、畫家及象棋選手有什麼不同？在許志農教授的

〈龐加萊談數學創造〉中，我們一起來看看什麼是數學創造。

熱騰騰的〈國立臺灣師範大學數學系106學年度大學甄選入學指定項目甄試試題〉

出爐囉！快來看看這次甄試考了些什麼題目，也讓自己小試身手吧。

江

教育改革一直是各方關注的焦點，同時也是爭論不斷的議題。從陳玟樺老師的「民 國五十至八十年代（1961~2000年）數學課程改革之探究」中，我們可以了解到過往數 學課程的改革之路，並以古鑑今，尋找未來數學改革的新思維。

在〈直觀插值公式解法搭配兩個恆等式等價牛頓當年提出的插值公式解法與其推廣 應用〉中，李維昌老師以有別於拉格朗日的方式來證明牛頓插值法，我們來看看是怎麼 做到的吧。

數學家經常用函數  ( )

n

來表示「小於或等於n的質數總數」，它有什麼特殊的性質 呢？翻開動手玩數學，跟著許教授一起來解密吧！

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發 行 人：李枝昌 編輯顧問：許志農 總 編 輯：陳韻嵐 執行編輯：潘善興 美術編輯：林佳瑩

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龍騰數亦優 2017.5 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》 》龐加萊談數學創造

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》國立臺灣師範大學數學系 106 學年度大學甄選入學指定項目甄試試題

陳玟樺 ^{新北市立清水高中}

》》民國五十至八十年代（1961～2000 年）數學課程改革之探究

李維 李 維昌 昌 ^{宜蘭高中退休教師}

》》直觀插值公式解法搭配兩個恆等式等價牛頓當年提出的插值公式解法與其推廣應用

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》 》動手玩數學專欄

》 》動手玩數學《第 32 期》破解祕笈 3

8

15

45

34

一、作者介紹與文章引言》

數學是由什麼構成的？哪種類型的大腦能夠創造數學的定理和系統？幾何學家或是代數學 家的思維活動和音樂家、詩人、畫家及象棋選手有什麼不同？數學創造中，哪些是關鍵元素？

直覺？空間和時間的精確感覺？像機器般的計算準確性？超強的記憶力？複雜邏輯推導的超強 技能？極好的注意力？

心 理 學 家 試 著 想 回 答 這 問 題 ， 但 他 們 的 解 釋 並 不 深 刻 。 雅 克 ‧ 阿 達 瑪 （Jacques Hadamard），一位傑出的法國數學家，出版一本小書《數學領域中的發明心理學》來介紹這個 主題。這本書是以輕鬆有趣的方式，而不是用啟發的手法來入筆。例如，書中提到，著名的骨 相學家加爾（Gall）說「數學能力僅與大腦的某些不為有關連，而且與腦殼的某些部位也有聯 繫。」心理學家梭里奧（Souriau）說「發明純粹是一種機遇。」

數學家馬耶（Maillet）曾具體地向數學家們提出過「數學夢」是否存在的問題。數學家是 否受噪音或天氣的影響？這些說法現在看來，只是茶餘飯後的趣談，沒有太多實質上的意義。

但是，阿達瑪也在書中深刻的探討了創造（特別是數學創造）的心理學。例如，克勞德‧伯納 德（Claude Bernard），一位偉大的生理學家，說「思想過於古板的人，不適宜從事發明的工 作。」赫姆霍爾茲（Helmholtz）和亨利‧龐加萊（Henri Poincaré）對出現在面前的解答的特 色經常是

(1)與我前些日子的努力似乎毫無關係，因而難以認為是以前工作的結果。

(2)出現得非常突然，幾乎無暇細想。

事實上，阿達瑪寫這本書的動機是來自龐加萊一次重要的演講。

接下來的文章，是1908 年 5 月 23 日在巴黎心理學會上做的一份報告，這內容是描述關於 數學家大腦如何運轉的最著名的嘗試。該報告的作者，亨利‧龐加萊（法國總統雷蒙德的表 親），是承擔該任務的極其適當的人選。作為歷史上最重要的數學家之一，一位無可匹敵的分 析和數學物理學家，龐加萊同樣擅長對科學哲學作出清晰準確的闡釋。這份報告對於科學家們 而言是一極為重要的專業論述，同時在很大程度上，也可以為非專業人士所理解。

二、演講稿譯文》

數學創造的產生是一個會引起心理學家強烈興趣的問題。它是一種活動，在這種活動中，

許志農／臺灣師大數學系

最初的事實應使我們感到驚奇，或者更確切地講，如果我們還不這樣習慣它，它就會使我 們感到驚訝。有人不理解數學，這是怎麼發生的呢？既然數學只求助於諸如所有正常心智都能 接受的邏輯規則，既然數學的證據建立在對一切人都是共同的原理的基礎上，既然沒有一個不 發瘋的人會否認這一點，那麼在這裡為何出現如此之多執拗的人呢？ 

不是每一個人都能發明東西，這一點人人都知道。不是每一個人都能夠記住一次學到的數 學證明，這一點也說得過去。但是，「當把數學推理加以說明之後，並非每一個人都能夠理解 它，甚至一再說明，也無法理解」，我們想想這件事，似乎是十分奇怪的。而且不可否認的，

大多數人只能夠相當吃力地仿效這一推理，相信這是每位中學教師都有的共同感受。

進而要問：在數學中，為何也可能出錯？一般人不會犯邏輯思考上的錯誤，而那種發生在 日常的生活活動中的簡短推理方面，不會犯錯的敏銳者，卻不能毫無錯誤地仿效或重複較為冗 長的數學證明；這些證明雖然較長，但畢竟只是完全類似於他們容易作出的簡短推理的堆積而 已。我們還需要補充說數學家本人是不會犯錯的嗎？這答案對我來說是顯而易見的。 

對於我自己，我必須承認：甚至連做加法我都有可能會算錯。我的記性不是不好，但它不 足以使我成為一位高明的棋手。但，在一段困難的數學推理中，最高明的棋手也會暈頭轉向，

可是我為什麼不會失敗呢？顯然，這是因為一般的推理步驟引導著我。數學證明並不是簡單的 一堆演繹的排列而已，它是將這些演繹按照特定的順序排列而成，而且排列的順序比演繹元素 本身更為重要。如果我對這個順序產生某種感覺，或稱直覺，只需要一眼就能領悟到這些演繹 的整體，那麼我不會擔心我忘記其中的一個元素，原因是每個元素都是以特定方式被放置在這 個陣列中的，而不需要我用記憶去牢記。

我們知道，對數學秩序的這種感覺，可以讓我們察覺到隱藏的和諧和關係的這種直覺，它 並不是每一個人都具有的。有些人既缺乏這種難以被定義的精妙感覺，又缺少超常的記憶力和 注意力，他們絕對不可能理解較高級的數學。這種人是多數。另一些人僅略有這種感覺，但是 他們具有非同尋常的記憶力和高度的注意力這樣的天賦。他們將一個接一個地記住各種細節；

他們能夠理解數學，有時也能應用，但是他們不能創造。最後，還有一些人或多或少地具有所 提到的特殊的直覺，就算他們沒有出眾的記憶力，他們卻不僅能夠理解數學，而且可以成為創 造者，並試圖作出發明，其成功之大小取決於這種直覺在他們身上發展的程度之大小。 

事實上，什麼是數學創造呢？它並不意味著對已知數學事物的重新組合而已。任何人都可 以做到重新組合，但這種組合的數量是無限的，並且大多數毫無價值。創造，意味著不製造無 用的組合，而僅製造那些少量且有用的組合。創造即是辨別，就是選擇。

現在，比較深刻地洞察一下，看看在數學家的心靈本身中發生著什麼。關於這一點，我相 信，回憶一下我自己的心靈是最好不過的了。不過我將僅限於講述我寫第一篇關於富克斯函數 論文的情況。我請求聽眾原諒：我將會使用某些技術術語，但你們無需感到害怕，因為你們並 不需要理解它們。比如，我會這麼說，我是在這樣的情況下找到了這樣一個定理的證明。這個 定理有一個奇怪的名字，恐怕我們之中大多數人都不熟悉它。但這一點無關緊要，對於心理學 家來說，重要的並不是定理本身，而是發現這定理的種種情形。

我曾用了十五天時間力圖證明，不可能存在任何類似於我後來稱之為富克斯函數的函數，

時，嘗試大量的組合，卻一無所獲。直到一天晚上，我違反了我的習慣，我喝了黑咖啡，難以 入眠。眾多思緒蜂擁而至，我感到他們在不斷的衝突和碰撞…直到最後，他們一一相連，也就 是說，形成了一個穩定的組合體。第二天早上，我已經建立好一類富克斯函數的存在性證明，

這些函數來自於超幾何級數。我只需要把結果寫下來即可，前後花了不過幾個小時。

接著，我想用兩個級數之商把這些函數表示出來；這種想法完全是有意識的和深思熟慮 的，是過去的橢圓函數的情形指導著我這樣做。我問我自己，如果這些級數存在，它們必須具 有什麼性質，我毫無困難地獲得了成功，形成了我所謂的 θ-富克斯函數。

就在此時，我離開了我所居住的地方—卡昂。在礦業學院的支助下，開始了地質考察的旅 行生活。沿途的景致使我忘卻了我的數學工作。到達康斯坦茨湖後，我們要乘一輛馬車到其他 地方去，就在我把腳放到馬車踏板上的一刹那，一個思想突然閃爍在我腦海中，而在此之前，

我還從來沒想過這個思想。這思想就是：定義富克斯函數的變換與非歐幾何中的變換是等價 的。當時我並沒有馬上去證明這個想法，因為我當時沒有時間去考慮這件事。我繼續和馬車裡 的旅伴海闊天空地談論著其他事情，然而我能感覺得到剛才所獲得的這個思想是完全確實的。

在旅行結束回到我所居住的卡昂之後，為了能問心無愧，我還是抽空給出了這個思想的證明。

然後，我把注意力轉向一些算術問題的研究，表面看來沒有取得許多成果，也沒有想到它 們與我以前的研究有什麼關聯。我為我的失敗而掃興，於是前往海濱消磨幾天時間，想一些其 他事情。有一天早上，當我正在懸崖上散步時，一種新的思想在我的腦海中又和上一次同樣地 突然閃現出來，而且同樣是一種簡潔而確定的思想。這思想就是：不定三元二次型的算術變換 與非歐幾何變換是等價的。

回到卡昂，我對此結果進行思考，並得到了一些結論。二次型的例子向我表明，存在新的 富克斯群，即還存在著與那個不眠之夜所想到的富克斯函數不同的富克斯函數，以前找到的只 是一類特殊情況，而接下來的事情應該是研究普遍的一般情況。

很自然地，我著手構建這些函數。我有系統性地研究他們並且得到一個接一個的結果。但 還留有一個關係到全局的問題遲遲不能解決，而我的全部努力告訴我，這是一個很困難的問 題。這些工作都是在我有意識地狀態下完成的。

後來我去了瓦勒里昂山服兵役，因此我忙著完全不相干的事情。有一天，我正沿街走著，

曾經阻礙我的困難的答案突然呈現在我的面前。我當時並沒有立即深入去研究，直到服完兵 役，我才重新拾起該問題。我已經有了所有的元素，只需排列它們和整理它們。就這樣，我一 舉寫出了我的最後的論文，絲毫沒有感到什麼困難。我只限於舉這一個例子；多舉也無用。關 於我的其他研究工作，我可以講出類似的情況。

起初，最為引人注目的是頓悟的顯現，所說的這種「頓悟」，乃是在此之前的一段長時間 內無意識工作的明顯徵兆。在數學的發明中，這種無意識工作的重要性，在我看來是毋庸置疑 的，並且在其他不那麼明顯的例子中，也可以找到無意識工作的痕跡。通常，當人們研究一個 艱難的問題時，最初的嘗試不會帶來太好的結果。於是，休息一會兒或更長時間，然後重新坐 下來工作。在起初半小時內，也許像以前一樣，沒什麼發現，然後一個決定性的想法冷不防地

關於無意識工作，還可以評論如下：它是可能的，而且成效很好，但有一個前提是，在此 之前和之後都進行了長期有意識的工作。這些突如其來的靈感（之前的例子已經表明了），只 有當之前大量的努力失敗，沒有好的結果發生，而且好像完全走錯路時，才會發生。這些努力 並不像我們認為的毫無作用；它們啟動了無意識這台機器，否則這架機器永遠不會運轉起來，

也不會有成果。

現在讓我們來回想一下現實的問題。無意識，或稱之為潛意識，在數學創造中佔有重要地 位；這和我們之前所說是一致的。然而通常潛意識被認為是完全自發的。現在我們看到數學工 作並不是簡單的機械運算，一架無論如何精密的儀器是不能勝任數學工作的。它也不僅僅是應 用規則的問題，不是根據某些固定法則做出最可能的組合。這樣得到的組合可能數量巨大，但 毫無用處、繁冗不堪。創造者的真實工作包括在這些組合中進行挑選以減少無用的，避免製造 無用結論的麻煩，並且藉以挑選的法則必須極其精緻準確。幾乎不可能準確陳述這些法則；我 們更多地是感覺而不是規定。在這些條件下，怎能想像機械地來應用這些法則呢？

現在我們可以得到第一個假設；潛意識並不比意識來得差；潛意識並不是純粹自動的；它 是有辨別能力的；它很老練，很精巧；它知道如何挑選，如何推測。我還可以說，它甚至比意 識本身還更善於推測，因為它不怕挫折，不怕困難，甚至可變失敗為成功。簡言之，潛意識不 是要比意識本身來得更高級嗎？至少，你現在應該瞭解這個問題的重要性了。

但，是否我剛才舉的實例就能確定無誤地說明問題呢？我承認，在我的方面，我不喜歡這 個結論。讓我們重新檢查這個例子，看看能不能得到其他解釋。

我們會有的第一印象是：在潛意識進行一段工作時間後，就會產生一種「頓悟」的想法，

並且是相當有用且豐富的組合。這是由於潛意識產生的微妙直覺，判斷出哪些組合是有用的，

就只採用了這些組合，而同樣也產生了很多其他組合，由於其無用性就停留在潛意識中嗎？

再從另一個角度來看，潛意識會自動將所有的組合產生，但只有最令人感興趣的組合能突 破並來到意識的層面。這仍是非常神秘的一件事。是什麼原因，使得我們的潛意識活動所產生 的千百種組合中，只有少數能跨過門檻來到意識層面，而大多數仍停留在意識層面之下呢？僅 僅是因為機遇的原因，讓那少數組合得到這種特權嗎？顯然不是；例如在我們的感覺所受到的 所有刺激中，除非是特殊原因，否則只有那些最強烈的刺激能夠吸引我們的注意力。更一般地 講，那些有特權的潛意識活動，即那些可以跨過門檻成為意識層面的活動，都是直接或間接地 能深刻影響我們情感認知的活動。

很奇怪的是：在數學上，情感會要求我們對一個數學問題作出嚴格的證明，而這初看起來 似乎只是理智感興趣的事。況且，這樣做也似乎會使我們忘記數學之美，忘記數字的與形式的 和諧，忘記幾何的雅致。但在實際上，這是一種真正的美感—每一位優秀的數學家都懂得，這 種美感是隸屬於情感的。

那麼，這些所謂的數學美和優雅，是透過哪種特徵或載具，來引起我們美的情感的注意的 呢？這些特徵或載具就是元素的和諧放置，可以讓思想無需費力就能感知整體和理解細節。這 種和諧感也能符合我們頭腦的審美需求，並且幫助和引領頭腦。同時，隨著我們眼前出現一個 美妙排序的整體，我們可以看到其中隱含的數學原理。這種特殊的審美就像是一個濾網，就像

然而困難還沒有完全消失。意識是有其限制的，但對於潛意識，我們並不知道它是否有限 制？也因為這樣，我們不願意假設潛意識在短期內能夠完成的組合，比有意識在長期內能夠進 行的更多。但是，潛意識的限制一定是有的。當組合的數量遠超過我們的想像時，潛意識有辦 法形成所有這些組合嗎？然而這是必須的，因為如果它只生成少數的組合，而且又是隨機生成 的，那麼我們所能挑選的比較好的組合的機率就相對太小了。

有意識的工作總是在所有富有成果的無意識的勞動之前，也許我們應當在有意識的工作的 初期尋求說明。請允許我做一個粗略的比喻。假設那些形成數學思想組合的基本元素有點像伊 壁鳩魯的帶鉤狀的原子。在心智完全休眠時，這些帶鉤的原子是不動的，也可以說，它們鉤住 了牆壁。因此，這種完全的休息可以無限地延續下去，沒有相遇的原子，從而在它們之間也沒 有任何組合。 

另一方面，在表面上休息卻是潛意識工作的階段（稱為醞釀期），某些觀念原子從牆上脫 離開來並進入運動狀態。它們向空間（我偏好說房間）的各個方向漂移，就像一大群昆蟲一 樣，或者用更學術的比喻，就像氣體運動理論中的氣體分子那樣。它們之間的互相影響可能形 成新的組合。

剛開始，我們有意識的努力工作（稱為準備期）的用處是什麼呢？該工作推動了某些觀念 原子，將它們從牆上釋放並進入運動狀態。我們雖然已用了千百種不同方式把這些觀念原子相 互組合，卻依然未獲得令人滿意的結果，此時我們就認為我們做得不好。但是，在經過這樣的 努力之後，這些觀念原子卻已被激發並運動起來了，他們再也不會回到原先的位置上去了，而 是連續不斷地向四面八方自由飛舞。

現在，我們不是隨機的挑選它們；它們按照自己的意願行事。運動起來的觀念原子們肯定 不再是普通原子了；它們是那些我們可以期待成為解的那些觀念原子。這些運動起來的原子產 生衝擊，讓它們彼此之間產生組合，直到停止下來為止。這裡我請聽眾們原諒，因為我的比喻 相當粗糙，但我不知道有什麼更好的比喻了。

無論如何，這最後可能的組合，至少包含了部分由我們的意志所釋放的原子。在這些原子 加入後，產生了被我們稱之為「好」的組合。也許，這是一種使得原始假設不那麼荒謬的說 法。

最後我還要做出一些說明：當我在上面發表某些個人的觀察材料時，我談到我不由自主地 工作時的令人激動的夜晚。這樣的情況是經常發生的，不過大腦的反常活動不必要由我曾提到 的物質刺激物引起。在這樣的案例中，人們在他自己的無意識的工作中呈現出的東西似乎可以 部分地被過分激動的意識所領悟，可是這並不改變無意識的工作的本性。於是，我們不甚明確 地理解了兩種機制—如果你願意的話，也可以說是兩種自我的工作方法。 

而且，在我看來，我從中能夠作出的心理學觀察似乎在它們的總輪廓上確認了我提出的觀 點。的確，這些觀點需要確認，因為不管怎樣，它們是而且依然是真正的假設：對這些問題的 興趣如此之大，以致我不後悔向讀者提出了上述觀點。

 

筆試一、計算證明題（考試時間：2 小時）

1. 坐標平面上，△OAB 為直角三角形，其中 O 為原點， 為直角，且A AB2OA。已知 (3, 4)

A ，且B 的 y 坐標為正數。

(1)試求向量AB



_。

(2)若拋物線y ax ² 上有兩相異點關於直線 OB 對稱，試求 a 的範圍。 1 2. 設 n 為正整數，令 ( )p n , ( )q n 分別表示 n 的各位數字的和與乘積。例如：

(9527) 9 5 2 7 23

p      , (9527) 9 5 2 7 630q      。 (1)已知 ( ) 4p n  n42，試求n 的所有可能的值。

(2)已知q n( )n²9n49，試求n 的所有可能的值。

3. 已知數列 a 各項皆為正數，_n a₁ ，且1 n 時滿足 2 a_n1a_n a a_{n n1}(a_na_n1)，

試求a 的一般項公式。 _n

4. 如圖，已知圓O 與圓₂ O 內切於點 D，且直線 l 與₁ O 切於點 E。過₂ O 作 l 的垂線，交 l 於₁ F，且交O 於點 H, G。過 G 任作₁ O 的一弦 AB（此弦不在直線 GH 上）。 ₂

(1)證明 E, G, D 三點共線。

(2)試證 A, F, B, H 四點共圓。

5. 設複數z , ₁ z , ₂ z 為實係數多項式₃ P z( )z³qz r 的三個根，且滿足 z₁² z₂² z₃²100。

已知在複數平面上，z , ₁ z , ₂ z 所對應的三個點恰為一直角三角形的三頂點，試求此直角₃ 三角形的斜邊長。

筆試二、填充題（考試時間：1.5 小時）

1. 設 ₁ 1 4 2 : 1 2 2

x y z

L     

 與 ₂ 3 1 1 : 3 4 1

x y z

L     

 為坐標空間中兩歪斜線，則L 與₁ L 公垂₂ 線的比例式為________。

2. 設 (2, 5)A , (5, 9)B 為坐標平面上兩定點，且 P 點為直線 :L y3x上的動點，則△ABP 周長 之最小值為________。

3. 設△ABC 中， B 之角平分線交 AC 於 P 點。若AB , 6 BC , 8 4 cos( )

B 5

  ，則BP 之 長為________。

4. 已知g x( )x⁴(a3)x³(3a7)x²(7a5)x5a為實係數多項式，若g(1 2 ) 0 i  ，則方 程式g x( ) 0 的解為________。

5. 已知 x, y, z 為一公比為負數之等比數列，且x y z   ，則 xyz 的最小值為________。 5 6. 設 k 為實數，坐標平面上，已知方程式

2 2

9 4 1

x  y  的圖形與( 1)^{2 2 2} 16 9

x y

  k 的圖形有四個 交點，則k 的範圍為________。

7. 設 p 是xlogx2017的解，q 是x10^x 2017的解，則p q 之值為________。

8. 同時投擲兩顆均勻的骰子，觀察出現的點數和是否大於或等於 5。若是，則視為成功

（X  ），若否，則視為失敗（1 X  ），則 X 的變異數為________。 0

9. 給一個5 5 的矩陣

6 1 1 1 1 5 5 5 5 5 1 6 1 1 1 5 5 5 5 5 1 1 6 1 1 5 5 5 5 5 1 1 1 6 1 5 5 5 5 5 1 1 1 1 6 5 5 5 5 5 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

，且k 為任意正整數，則A 為________。 ^k

10. 袋中有十個銅板，出現正面的機率分別為1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , ,

2 2 3 3 3 4 4 4 5 5。今隨機選取一 銅板來投擲，已知出現正面，則該銅板出現正面機率為1

4的機率為__________。

解析

筆試一、計算證明題

1. (1)因為OA＝ 3²+4² =5

, 

OA



₌(3, 4)

且OAB＝90，所以AB



 2(4, 3)

，解得

(2)設拋物線上 P

, 

Q 兩點是以OB

為對稱軸。因為OB



 ( 5, 10) 5( 1, 2) 

，所以可令直線

P Q

的方程式為 1

y=2x b+ 。解方程組

2

2

1 1

(1 ) 0

1 2

2 y ax

ax x b

y x b

ìï = +

ïï  - + - = íï = +

ïïî ，

即 PQ 的中點 M 之x坐標為

1

4a

^，又因為M 在 OB 上，所以 M 之y坐標為 1 -2a。 因為 M 在 PQ 上，所以 1 1

2 8 b a a

- = + ，即 5 b 8

= - a。將 5 b 8

= - a代入二次方程式 ² 1

(1 ) 0

ax -2x+ - = ，得b ² 1 5 (1 ) 0

2 8

ax x

- + + a = 。

因為此方程式有兩相異實根，所以判別式 1 ² 5 ( ) 4 (1 ) 0

2 a 8

     a  ， 即

9

a

- 16

<

。

2. (1)當x是一位正整數時，因為p x( ) 4 x42 ，即 3x x42 0 ，得x14（不合）。

當x是二位以上的正整數（x ³10）時，令x=a a_{n n-1}a₁（其中a ¹ ），得 _n 0

¹

1 1

( ) ⁿ _i ⁿ 10ⁱ _i

i i

p x a ^- a x

= =

=

å

£

å

= ^{，即4x-42£ ，因此x x £14。} 檢驗x =

10,11,12,13,14

五種情況如下：

x =10

, ( ) 1

p x = , 4x

- 42 = - ¹ 2

p x

( )

； x =11

, ( )

p x = , 4

2

x

- 42 = = 2

p x

( )

； x =12

, ( )

p x = , 4

3

x

- 42 = ¹ 6

p x

( )

； x =13

, ( )

p x = , 4

4

x

- 42 10 = ¹

p x

( )

； x =14

, ( )

p x = , 4

5

x

- 42 14 = ¹

p x

( )

。 由上面討論，知道只有一個解x =11。

(2)當 x 是一位正整數時，因為q x( )=x²-9x-49= ，即x x²-10x-49= ，此時無整數 0 解。當 x 是二位以上的正整數（x ³10）時，令x=a a_{n n-1}a₁（其中a ¹ ），得 _n 0 q x( )=a_n´a_n-1´ ´ £ ´ a₁ a_n 9^n-1£ ´a_n 10^n-1£ ， x

即x²-9x-49£ ，得到x x²-10x-49 0£ ，因此 0< £ +x 5 74 14< 。 只需檢驗x =10,11,12,13這四種情況即可，檢驗如下：

x =10

,

q x =( ) 0

,

x²-9x-49= -39¹q x( )； x =11

,

q x =( ) 1

,

x²-9x-49= -27¹q x( )； x =12

,

q x =( ) 2

,

x²-9x-49= - ¹13 q x( )； x =13

,

q x =( ) 3

,

x²-9x-49= =3 q x( )。

3. 將a = 代入遞迴關係式，得₁ 1 a =₂ 2- 1

,

a =₃ 3- 2，猜測 a_n= n- n- 。 1

現在利用數學歸納法證明這個猜測：

(1)當n = 時，1 a = =₁ 1 1- 1 1- ，等號成立。

(2)設 n= 時，等號成立，即k a_k = k- k- 。 1

當n= + 時，由k 1 a_k = k- k- 及1 a_k-a_k+1=a a a_{k+1 k}( _k+1+a_k)得

² 1

(

²

)

1 ² 1 1

1 0 1 1 0

k k k k k k k k

k

a a a a a a a a

+ + + a +

æ ö÷

ç ÷

+ + - =  +çççè + ÷÷ø - =

a_k²₊₁+2 ka_k+1- = 1 0

₁ 2 4 4 2 1

k

k k

a ₊ -  + k k

 = =  + - 。

因為a_k+1是正數，所以a_k+1= k+ -1 k ，故得證。

4. (1)因為O₁

,

O₂

,

D 三點共線，且O E 和₂ O F 平行，所以₁ EO D₂ = GO D₁ 。再利用 O E₂ =O D₂ 和O G₁ =O D₁ ，可推得

△EO D  △₂ GO D ， ₁ 即 D，G，E 三點共線。

(2)因為 HG 為圓O 的直徑，所以₁ HDE＝HDG＝90，又因為HFE＝90， 所以 E

,

F

,

D

,

H 四點共圓。由圓冪定理可得 HG FG EG DG AG BG´ ＝ ´ ＝ ´ ， 即 A

,

F

,

B

,

H 四點共圓。

5. 設z₁a

,

z₂b

,

z₃ ，且 ac

,

b

,

c 三根在複數平面所對應的三點為 A

,

B

,

C，並令 ABC 為直角。取點 D 為 AC 的中點，對應的複數為

2 a c

。由於P z 中( ) z 項的係數為² 0，所以 0

a b c   ，或b  (a c)。因為點 D 為△ABC 外接圓的圓心，所以 DB DC ，因而 1

b d 2 a c 。由此可知 ( )

2 2

a c a c

a c  

    ，

即 a c 3 a c 。因為

2 2

2 2

2 2

a c a c

a c  

   ，所以

2 2

2 2

100 6

2 2

a c a c

a c a c

 

      。

故， ^{2 2 2} 9 100

9 150

h  a c  a c  6  ，即直角三角形斜邊長h 150。

筆試二、填充題

1. 2 2 2 1 2 x y z

  或 3 2

2 1 2 x y z

  ，

設公垂線與L₁

,

L 的交點分別為2

P

^,

Q

兩點，可令

P ( 1t, 4 2 , 2 2 ), t   t Q (3 3 , 1 4 ,s   s s1)。 此時，

PQ



   ( 3s t 4, 4s 2t 5,s 2t 3)_， 因為PQ為公垂線段，所以PQ 且L₁ PQ ， L₂

又因為



v1 (1, 2, 2) _和

2 ( 3, 4,1) v  



_分別為

L 與1 L 的方向向量，所以₂

1 2

/ /

PQ

  

v v _{，而 1 2} 2 2 2 1 1 2

, ,

4 1 1 3 3 (10, 5, 4 10)

v v    

    

 



 

，

可得

3 4 4 2 5 2 3

10 5 10

s t s t s t

      

  ，

即

5( 3 4) 10(4 2 5)

1, 1 10(5 2 5) 5( 2 3)

s t s t

s t

s t s t

     

    

     

 。

因此

P ( 2, 2, 0), Q(0, 3, 2), P



Q(2,1, 2)_， 故L 與₁ L 公垂線的比例式為 ₂

2 2 2 1 2 x y z

  或 3 2

2 1 2 x y z

  。

2. A 點對直線 L 之對稱點 A 坐標為 7 26 ( , )

5 5 。

△ABP 之最小周長 AB 長度 A B  長度 18 ² 19 ² 5 ( ) ( )

5 5

   685

5 5

  。

3. 因為 4 cos( )

B 5

  ，所以 3 1 3

sin , cos , sin

5 2 10 2 10

B B

B  

    。

利用面積公式，得

△ABC 1 1 1

6 8sin 6 sin 8 sin

2 2 2 2 2

B B

B BP  BP 

          ，

即

3 3 3

6 8 6 8

5 BP 10 BP 10

        ， 解得

24 10 BP＝ 35 。

4. 利用比較係數法，及實係數虛根成對出現，可得1 2 ,1 2 , ,1 i  i a 。 5. 可設首項為 a，而公比為 r （r ），此時 1

^{x y z    5 a ar ar 2 5 a}



^{1 r r2}



^{   。 5 a 0}

由a ar ar  ² 得5 a ar ²  5 ar，再利用算幾不等式，得 ^{2 2} 5

2 2 5

a ar ar

ar a ar     ar 。 故

xyz a ar ar ( )( ²) ( )ar ³ 125。

6. 橢圓( )² ( )² 1 3 2

x y

  與 x 軸的交點為 ( 3, 0) ，

而雙曲線 1 ^{2 2} ( ) ( ) 1

4 3

x y

k k

   與 x 軸的交點為 ( 4 k 1, 0)。

因此，當

4k    1 3

時，雙曲線與橢圓會有四個交點，即當 1

k  時，雙曲線與橢圓會有四個交點。 2 7. 因為 p 是xlogx2017的解，所以

plogp201710^logplogp2017 logp10^logp 2017，

從最後的式子及q 是x10^x 2017的解知道qlogp，代入plogp2017得 p q 2017。

8. 因為X  的機率為1 5

6，而X  的機率為0 1

6，所以X 的變異數為 1 5 5

6 6 36。

9. 若令^e



^{1 1 1 1 1}



^，則 5

1

A I 5ee^，由下列計算可得 ₅ 2 1

5

k

k I e

A    e^。

2

5 5 5

1 1 3

( )( )

5 5 5

I ee I e

A   ^  e^  I ee^；

5 3

5 5

3 1 7

( (

5 5

) )

I 5ee I ee I ee

A   ^  ^   ^；

5 4

5 5

7 1 15

5 ( 5

( )

) 5

ee I ee ee

A  I  ^  ^ I  ^；

5 5

5 5

15 1 31

5 ( 5

( ) )

I ee I ee 5 ee

A   ^  ^ I  ^。

10.

3 14 5 1 1 1 1 21 2 3 3 2

2 3 4 5

 

       。

一、摘要》

民國五十年至八十年代（1961～2000年）間，隨時代變遷和教育哲學改變，數學課程標準 經多次修訂，約有四波較大幅度的數學課程變革。回顧該時期數學課程的改革，反映當時時勢 條件的限制和數學學習的特性，或受現實環境限制，或為回應國家社會需要等，集中地體現了 數學教育時代特徵。檢視數學課程改革的歷史，不僅有助於理解數學課程發展的脈絡，亦有助 於從中反思可資借鏡之處，做為未來數學教育籌劃之殷鑑。

關鍵詞：課程標準、數學課程

二、前言》

政府遷臺後，因應時代變遷、政經環境轉變，及國家需要等眾多項因素交織，各級學校經 歷多次課程改革。在高中課程標準方面，經民國41 年（1952）局部修正之中學課程標準¹、44 年（1955）修訂之中學教學科目及時數表²、51 年（1962）修訂之中學課程標準、53 年

（1964）訂頒之高級中學數學及自然學科教材大綱、60 年（1971）修訂之高級中學數學課程 標準、72 年（1983）修訂之高級中學課程標準、84 年（1995）修訂之高級中學課程標準等；

在國中課程標準方面，經民國41 年（1952）局部修正之中學課程標準³、44 年（1955）修訂 之中學教學科目及時數表⁴、51 年（1962）修訂之中學課程標準、57 年（1968）訂頒之國民中 學暫行課程標準、61 年（1972）修訂之國民中學課程標準、72 年（1983）修訂之國民中學課 程標準、74 年（1985）修訂之國民中學課程標準、83 年（1994）修訂之國民中學課程標準 等；至於在國小課程標準方面，經民國41 年（1952）國民學校國語和社會二科修訂標準⁵、51 年（1962）修訂之國民學校課程標準、57 年（1968）訂頒之國民小學暫行課程標準、64 年

（1975）修訂之國民小學課程標準、82 年（1993）修訂之國民小學課程標準等。

前述各級學校歷次修訂（含訂頒）課程標準中，除了民國41 年和 44 年課程標準限於某些 特定學科之修訂外，高中數學課程標準一共經歷五次修訂（含訂頒）（分別於民國51 年、53 年、60 年、72 年、84 年），國中數學課程一共經歷六次修訂（含訂頒）（分別在民國 51 年、57 年、61 年、72 年、74 年、83 年），國小數學課程一共經歷四次修訂（含訂頒）（分 別在民國51 年、57 年、64 年、82 年），其修訂或訂頒⁶時間集中體現於民國五十年代至八十 年代（1961～2000）間。課程改革之發生與所在時代背景脈絡常有聯繫，茲將民國五十年代至 八十年代（1961～2000）間數學課程改革之時代背景脈絡整理如圖 1 所示。

陳玟樺／新北市立清水高中

由圖1 知，民國 89 年以前，我國國民教育階段的數學課程是依「課程標準」規定實施，

並經數度修訂，且最後一次數學課程標準修訂在於民國84 年「高級中學數學課程標準」。政 府遷臺後的數學課程改革，集中體現於民國五十年至八十年代（1961～2000）間，且該時期也 是「課程標準」轉變為「課程綱要」重要時期，具體實踐了課程鬆綁教改主張，成功過渡至民 間教科書編輯，以及學校實施課程時具有較高自主性（教育部，2000），其數學課程改革歷史 探索甚具價值與重要性，值得我數學教育工作者一同回顧與反思。林碧珍（2010）指出，臺灣 數學課程發展與演變至今已超過五十餘年，數學課程演變史雖為臺灣數學教育歷史上重要紀 事，卻甚缺乏回顧性論文。基於上述，本研究目的在探究該時期數學課程改革歷史，由於可探 面向廣泛，為能有所聚焦、深入，本研究先著重民國五十年至八十年代（1961～2000）間「課 程標準時期」歷次數學課程嬗變之探討，針對「課程標準時期」轉向至「課程綱要時期」的數 學課程改變，僅做背景脈絡鋪陳，暫不涉深於兩種不同學校教育活動實施準繩下之實質內容轉 變層面，以期能有一較為深入、完整探討。

本研究參考該時期歷次修訂之數學課程標準、相關文獻和文件，配合時代背景，對該時期 數學課程改革發生促動之關鍵事件或背景、改革中各級學校數學課程標準修訂之展演脈絡等進 行探究。回顧我國數學課程之演變，從清末民初著重的實用教育、抗戰與遷臺後以富國強兵為 目的，至邁入二十一世紀以培養「二十一世紀的健全國民」為最高理想目標（教育部，

1994），無論九年一貫課程所強調的十大基本能力，或十二年國民基本教育強調「培養能自主 行動、溝通互動、社會參與的終身學習者」的九大核心素養（教育部，2014），不同時代背景 下的數學課程改革，反映有不同關注的焦點。本研究採課程的歷史探究，參考該相關歷史背景 脈絡、歷次修訂之各級學校數學課程標準、相關研究文獻（包含口述歷史等）等，透過文獻分 析、文件分析等方法，探究重點在於瞭解該時期：我國數學課程改革之背景脈絡、促使數學課 程改革發生的關鍵事件或原因、數學課程改革的重點，以及數學課程改革中各學習階段課程標 準修訂之展演脈絡等。

呂溪木（2007）指出，民國五十年以來，我國數學課程主要有三次主要改革⁷：第一次改 革從民國53 年起至 57 年，第二次改革從民國 60 年至 61 年，以及第三次改革從民國 64 年至 72 年。由於本研究所設定之探究時期範疇與呂溪木（2007）有相當重疊，故除援此「分段」

作為本研究重要參酌外，再根據時代背景和相關文獻和文件等，另增第四次數學課程改革「政 治民主轉型下的數學課程統整」於第三次數學課程改革階段後。惟本文基於研究旨趣，更傾向 於將民國五十年至八十年代間的數學課程改革視為一連續時間軸，故本文雖仍分為數個「時間 線段」書寫該時期數學課程改革的歷史，但其目的僅為突顯歷次數學課程改革之發生有其不同 背景脈絡促成及其改革重點等，階段間或有時間上的交互重疊，非嚴謹劃分。

三、第一次數學課程改革─國際潮流下對「新數學」的順應》

民國46 年（1957）十月，蘇俄搶先成功地發射一顆人造衛星 Sputnik，向為近代美國教育 主流地位的「進步主義」被抨擊已無法適應於激烈的科學競爭需求，取而代之是以科學中心的 本質主義（Essentialism）教育（柯啟瑤，1977）。是時，美國為迎頭趕上「落敗於俄」的科學

數學教材作為編寫數學教科書的藍本，並將S.M.S.G.教材納入各學習階段中。美國「新數學」

運動開展不久，許多國家為避免落後，紛紛起而效仿，如：1958 年法國邀請歐洲共同體各國 代表對新的中小學數學教學大綱進行討論、1961 年英國劍橋大學學者和教師在南安普敦成立

「學校數學設計組」，著手編寫構思新穎、與舊數學教材風格迥異的SMP 課本等（謝明初，

2010）。

為順應此波潮流，民國49 年九月，我國修訂初高中各科課程標準時提出「提高學生科學 程度」為下一次修訂工作主要目標（1971）。民國 51 年，國小、國中和高中進行「算術課程 標準」、「初級中學數學課程標準」，以及「高級中學數學課程標準」修訂時，因美國「新數 學」課程尚在實驗階段，故未能及時採納，然同年教育部則先成立「高級中學數學科及自然科 學科教材研究編輯委員會」，並邀請當時的清華大學校長陳可忠擔任主任委員，下設數學、物 理、化學、生物四科小組⁸。數學組方面，邀請成員針對最新出版之數學S.M.S.G.教材進行研 究，並依我國教學需求予以採擇、規劃納入教材（教育部，1964）。民國 53 年，教育部正式 公布「高級中學生物、化學、物理教材編輯大綱高級中學數學教材大綱」，內文中提及了新教 材的特色（教育部，1964）：

新教材並非以提示學生一些學習材料為滿足，其目標乃在誘導學生學習，啟發學生思 考，使學生在觀察自然現象中，發現科學問題，並使自己能從事各種實驗，證明或解答其 所發現之問題。因此，學生在學習時，正如一位科學家在實驗室中研究一項問題，亦如一 位發明家在發現一個新定律，創造一個新原則…（頁75）

教材大綱內文中另也特別註明「各年級教科書編輯應以S.M.S.G.教材為主要參考資料並須 採取其編輯精神」（教育部，1964），並規定於 54 學年度正式實施。民國 57 年，教育部先後 訂頒「國民中學數學暫行課程標準」和「國民小學數學暫行課程標準」，正式將國民教育延長 為九年，初中改制為「國民中學」，受文化大革命等背景因素，同時強調以民族精神教育和生 活教育為中心（教育部，1983）。此時，國中數學改將算術、代數、平面幾何合併為「數學」

一科，於「實施方法」下也明確規範編輯數學教材應「參酌國外一九六○年之後所出版之權威 著作如S.M.S.G.等」（教育部，1968）。是時，以「集合」為基礎發展數學概念的 S.M.S.G.教 材首開先例地列入中、小學數學課程中（教育部，1968）。然而，由於此次國中、小課程標準 籌備時間較為倉促（自56 年七月至 57 年七月，約一年時間），各科標準擬定尚於草創時期，

故民國57 年訂頒課程標準稱「國民中（小）學暫行課程標準」。

整體來說，本次數學課程改革自高中端開始，後逐漸延展至國中、小階段。該教材以「集 合論」為基礎發展數學概念，關注嚴密的邏輯抽象推理、注重公設系統與邏輯推理的形式，且 對名詞的界定與符號的使用甚為嚴謹（李恭晴，1989；呂溪木，2007）。即使當時「學生、教 師或家長都確實在下功夫學習」、「造成了一片熱烈的學習氣氛」（呂溪木，2007），但其

「把數學抽象化，這樣的新教材使學生仿照唸國文或英文的方式來唸數學，課本習題較缺乏深 入的思考性計算題，取得代之的是一些概念題，學生喪失計算能力，以致聯考中很多人數學成 績掛零」（余文卿，1999），在實施當下也引起了不少爭議與討論。

四、第二次數學課程改革─對「新數學」的反動》

民國五十年代至六十年代，許多留學生學成歸國，包括回臺客座講學教授在內，其基於地 利之便，其對美國S.M.S.G.教材內容及在當地實施的情形較有了解，民國 59 年九月，旅美數 學家項武義先生⁹即公開反對國內直接移植美國S.M.S.G.數學課程的作法。他在 2008 年接受

「數學傳播」專訪時提及這段記憶（劉太平和張海潮，2008）：

記得當年回來有兩件事。一件事是在臺大講課，另一個是碰到當時正把S.M.S.G.美國 的那一套東西搬到臺灣來，他們說這是美國一套偉大的教育革命，臺灣現在正在現代化，

一定要趕上…我當時公開演講反對這件事情…（頁4～5）

說實話，S.M.S.G.實在是一塌糊塗。我舉一些還記得的例子…寫出一個行列式的乘法 公式，公式下面是，讀者試自展開，驗證之…這怎麼可能用展開集項來證明？沒有一個數 學家可以做那種事…其實，在私下主事者也頗有悔意…所以我等於是臨危受命，整個臺灣 實在搞得亂七八糟，不得不披掛上陣來做這件事情…（頁5～6）

事實上，在項武義先生之前，民國51 年三月，於德國取得博士學位後、回臺任教於臺灣 師範大學數學系的徐道寧女士¹⁰，其在2009 年接受清華大學數學系五十週年專訪時也提及了 當時國內發展新數學課程的「艱苦的回憶」（陳華和吳孟青，2014）：

這個也是非常艱苦的回憶…，談到翻譯，其實不是容易的事情，常常一句簡單的句 子，換一種語言換一種文化，就沒辦法了解…當時安排的第一、二冊，由羅芳樺負責…第 三、四冊由康洪元先生編，五、六冊就由我編，但是康先生編了沒多久，有個機會出國進 修。這樣一來所有重擔就落在我頭上，而第一、二冊用了之後，出現的問題要修改和回答 問題時，也都落在我的頭上…後來幾乎全部四冊都是我一個人經手…（頁8～10）

事實上，當時不僅國內對「新數學」運動開始出現反動聲浪，S.M.S.G.教材於美國實施時 也非一帆風順。1973 年，Morros Kline 出版一本名為《為何強尼不識數》（Why Jonny Can’t Add ─ The failure of the New Math）為題的著作，即針對美國實施新數學之後所引發的一系列 弊端大書特書，書中指陳在新數學盛行之際，所謂好學生只學會如何在語言中挑語病，但沒學 會應用數學中把實際問題數學化，再用數學解決問題的方法；亦未學會純數學中臆測、證明、

推廣與再臆測的循環研究程序，至於對判斷數學問題重要性的洞察力亦相當有限，新數學將集 合論中最粗淺的部分誇大，使其凌駕在整個中小學數學之上，因而喪失學習初等數學中重要課 題的機會（王九逵，2000）。由於學者提出數學課程改革呼籲，加上「中學教師開始怨聲載 道，教育部也不能完全不顧這件事情，教育部也有要把它改一改的意願」（劉太平和張海潮，

2008），多數以為國內中小學數學課程採用 S.M.S.G.教材的弊多於利，應加以改革（呂溪木，

2007），故民國 60 年二月，高中數學課程標準先進行修訂，重點在於減輕教材中「集合論」

份量；緊接再修訂國中數學課程標準，除也將「集合論」內容做出縮減外，標準中也未再提及 S.M.S.G.一詞；至於國小方面，則逐年修改教材（呂溪木，2007）。此外，在這一波數學課程 改革中，教科書出版也產生了變動。徐道寧女士提及當時數學教科書的出版狀況（陳華和吳孟 青，2014）：

購…東華書局本來是為了出版我們的數學教科書成立的，後來既然要編數學，也就順便連 其他科目的教科書一起編了…（頁9）

原本由「東華本」獨撐數學教科書市場之大樑，但在這一波數學課程改革中，項武義先生 提議教育部重新編寫一套新的課本稿件來取代「新數學」課程，並建議新課本在進行實驗教學 後，再推廣至全國實施（劉太平和張海潮，2008）。教育部接受其議，後也成立一實驗教材編 寫組，開始進行實驗教材的編寫工作，至此打破了「東華本」長年壟斷市場的局面。此時，市 面上流通的數學教科書共有三種教本，分別為：實驗本、東華本，以及數理本，關於其編寫者 及其教材定位，有學者以為（余文卿，1999）：

實驗本前兩冊由項教授執筆，第三冊以後由黃武雄教授接手，走的是高程度路線，非 常精簡，但高深莫測。如利用收斂的有理數列定出無理數，進而導出實數的一些運算性 質。理論上完美無缺，但有多少學生能真正體會？東華本由徐道寧教授率領一群清華大學 數學教授執筆，仍擺脫不了之前東華本的抽象陰影，但已有實質改善，而數理本由師大教 授執筆，適合中下程度的學生，較著重於例題的演練與計算…（頁52）

然而，即使這一波數學課程改革中的教科書具「多版本」特色、教科書中「集合論」內容 也已退居於輔助敘述數學問題之地位，但仍有僅適用於資優班學生研讀、曲高和寡等之慮（王 九逵，2000），仍不脫美國教材的範疇（魏明通，2007）。不過，值得一提是，由黃武雄先生 接手的實驗本教材研發，後來也首開先例地在學校進行課程實驗教學，選定的學校為彰化中學 的高一和高二各一班級進行¹¹試教，他以為「只有直接參與實際的教學，才能評鑑出教材本身 的難、易、優、劣，了解老師們的苦情、同學們的吸收。不致讓實驗教材徒具”實驗”的虛 名」，此舉堪稱數學教育史上的新猷（陸思明，1976）。至於課程實驗暫告一段落後，黃武雄 先生也提出其感受（陸思明，1976）：

面對面的交談，至少拉近了教材的編者與老師的距離，消除了心理上的障礙。而許多 實際教學上的細部困難也因之解決或減輕…促進了觀念的交流，經驗的交流，使大家的關 係變得親切，也彼此獲得了支援，合作與鼓勵…任何一件大事，都是要靠集體的努力方能 完成…（頁39）

然而，就在這一波課程標準修訂當下，我國卻遭逢退出聯合國與中日斷交之險惡處境（見 圖1），外交上正面臨著嚴峻考驗。

五、第三次數學課程改革─外交失利下的數學課程實驗研究》

民國六十年代（1971～1980），我國經歷退出聯合國、中日斷交後，又面臨蔣中正總統逝 世、中壢事件，以及中美斷交等事件，外交地位漸失，國內政治環境亦動盪不安。然此，國內 一系列經濟建設計畫則甚有進展，工業加速現代化，在擴展輸出、穩定物價、擴建基本設施，

以及改善產業結構等方面，均有相當成果（國家發展委員會，2015），至民國 73 年止，我對 外貿易已躍居全世界第15 位（國史館，1990）。在科學教育方面，政府以為厚植科學之根基 應從中小學科學教育著手，訂定科學發展長期計劃，投資大量資金，由國科會策劃推動，教育 部也決定透過實驗研究方式，有計畫地從事中、小學數學與科學課程之改革（呂溪木，

正當國內反動於「新數學」課程時，另一攸關中、小學數學課程改革計畫也同步開展，即 教育部在實施九年國民教育時，即規劃有通盤研究和準備再修訂計畫。由於當時國內著重工業 與產業的發展，極需科學與數學人才（陳美如、彭煥勝，2016），加上 1970 年起，世界各國 相繼成立「教育研究組織及機構」從事課程研究工作（陳梅生，1986），民國 60 年，教育部 在一次聽取美日科學教育考察團報告時，隨團成員包括十一位小學教師¹²向教育部提出多項建 議，包括：對科學師資進修之建議、對課程研究、改進教學之建議、對充實設備及教具之建 議，以及對利用博物館、科學館之建議等（陳梅生，1989），其中「常設或指定一研究機構

（如科學教育中心）聘請科學教育專家及小學任課教師共同組成小組」之建議，更得與會長官 支持。

民國61 年秋，在時任教育部長朱匯森的支持下，經國教司童科長恒誠（亦是前述教師美 日考察團的團長）於行政方面多方溝通，指定板橋教師研習會開始科學課程實驗研究計畫，並 聘專家學者，以及任職於小學之校長和教師一共十八人組成研究小組（陳梅生，1989），即後 來所稱的「板橋模式」¹³。民國63 年秋，仿相同運作模式，又再成立國民小學數學課程實驗研 究計畫，共聘十七人組成研究小組¹⁴（陳梅生，1989），教育部將此實驗研究目標訂為「培養 學生科學概念、科學方法及科學態度」（教育部，1985）。研究初期，先針對國小「數學」和

「自然科學」兩科進行，並委託於臺灣省國民學校教師研習會¹⁵辦理；民國63 年三月，教育 部指定國立臺灣師範大學成立科學教育中心¹⁶，展開國民中學「數學」和「自然科學」課程研 究，同時也為高級中學科學課程研究進行準備（魏明通，2007）；同年七月，委託臺師大科學 教育中心辦理國中「數學」和「自然科學」課程實驗研究工作；民國66 年六月，教育部中等 教育司亦委託臺師大科學教育中心進行高級中學科學課程研究計畫，藉研究實驗過程，編製符 合國家教育宗旨及適合社會需要之高級中學「數學」和「自然科學」課程為計畫目標（魏明 通，2007）。茲將此波國中、小，及高中「數學」課程實驗研究相關規劃與進程整理如表 1

（教育部，1985；趙金祁，1985；李恭晴，1989；陳冒海，1989；呂溪木，2007；魏明通，

2007）：

表1

民國六十至七十年代中期國民小學、國民中學、高級中學之數學課程實驗研究進程一覽表

學校階段

委託

時間 委託單位 任務進程規劃

國小數學

61.7

臺灣省國 民學校教 師研習會

63.7 64.8 65.9 66.9

◎開始進行研究

◎修訂公布「國民小學數學課程標準」

◎指定48 所國小分六年逐年進行教學實驗

◎分六年逐年試用與修訂

國中數學

63.7

臺師大科 學教育中 心

65.7 66 67.9 70.6 72 73

◎開始進行研究

◎擬定國中數學實驗教材綱要草案

◎指定10 所國中進行教學實驗

◎第一階段實驗結束

◎修訂公布「國民中學數學課程標準」

◎分三年逐年試用與修訂

高中數學

66.6

臺師大科 學教育中 心

66.6 67.2

67.6

69.7 72.7 73

◎籌備階段

◎各科課程諮詢小組與研究小組聯席會議，審議各科各年 級課程綱要

◎各科課程諮詢小組與研究小組聯席會議，審議各科各年 級教材細目、召開第五次高中科學課程研究發展會議

◎指定中正國防幹部預備學校進行教學實驗¹⁷

◎修訂公布「高級中學數學課程標準」

◎分三年逐年試用與修訂

陳美如和彭煥勝（2016）指出，由於蘊釀與萌芽期的奠基，加上關鍵人物陳梅生先生的遠 見，民國六十年代至八十年代間可謂「板橋模式」的穩定發展期，尤其該模式最為樂道處在於 教材之實驗與研究者包括了教育、課程、心理、學科等專家與優秀教師共同參與，且在「試編

－試教－修訂－實驗－修訂－試用－修訂」等過程後，方才全面實施。此模式可謂臺灣六十年 來課程實驗研究的先聲，亦開啟科學化課程發展之先河（教育部，1985；歐用生等，2010）。

民國64 年，「國民小學數學課程標準」完成修訂，其教材內容改革特色包括（教育部，

1975；黃敏晃，1976）：一、教材分類略作調整：將原過於細緻的十一項分類改為六項¹⁸，不 僅便於參酌，亦彰顯教材發展層次；二、概念與技能並重：有鑒於S.M.S.G.教材之前的數學教 學過於偏重技能的訓練，而S.M.S.G.教材本身又過於強調名詞與定義的界定，就學習理論的觀 點，概念的獲得本無法脫離技能訓練，故本次課程改革中特別將數、量、實測、計算四者概括 分類，其中數與量偏重於數的概念與量的認識，而實測與計算則強調技能方面的訓練，兩者皆 不可忽略；三、算盤的地位：基於美國S.M.S.G.數學因忽略計算訓練而使學童對概念理解效果

法的一種技術，與心算、筆算並列；四、關於集合與關係的教材：有鑑於集合在數學中出現，

乃為解決無限步驟或無限集合的問題，惟小學端尚無如此迫切需要，故集合的術語與符號盡量 延後，在一、二、三年級先出現一些簡單分類的實例，四、五、六年級則出現一些實例配合表 達方式；五、計算機教學的引入：適當地刪減繁複的計算教材，並在六年級引入小型計算機的 介紹，以收計算上的方便效用。七、幾何教材的改變：傳統的國小幾何教材偏重量的計算，如 簡單圖形的面積、體積與表面積的求法等，這些教材因新課程已歸於實測與計算一類中，在圖 形與空間這一類，則羅列有關於概念與性質方面的材料，注重學生在親手操作中獲得概念、了 解性質。

在國中端方面，民國64 年，臺師大科學教育中心國中數學課程實驗研究小組仿照國小課 程研究的方式進行國中數學課程研究，70 年六月，完成國中數學試用教材，緊接於 72 年七月 完成國中數學課程標準修訂，73 學年度則順利承接國小數學課程（呂溪木，2007）。該次國 中數學教材內容改革特色包括（教育部，1983；呂溪木，2007）：一、教材分配多元：舊課程 標準僅一種數學教材，為適應學生個別差異，新課程標準除「基礎數學」外，另設置「數學

（甲）」和「實用數學」兩種教材，並分列不同目標，以增進學生學習興趣、提高學習效果；

二、刪減抽象及教學成效偏低之教材：如近似值的四則計算、對數與指數、無理方程式、複數 等；三、「實用數學」教材增加實用和操作性內容：如資料之處理、機率與統計、電算機之使 用等；四、增加計算與解題工具：如引進電算器、微電腦、基本語言程式、流程圖等。由於學 習國小新課程的第一屆學生於民國73 年七月畢業、於 73 年九月進入國中階段就讀，故自民國 73 年學年度始，國中新的數學課程分三年逐年全面進行試用與修訂。

至於在高中端方面，民國68 年九月，教育部為加強我國教育系統中各級學校科學教育進 行全盤性改進工作，成立「科學教育指導委員會」，由中央研究院院長吳大猷先生擔任主任委 員，並擴大科學教育中心規模，以數學、物理、化學等為研究科目，號召百餘位大學、中學教 師，在基礎科學設計、教材編寫上投入相當大精力與時間，進一步協助國、高中課程編制（趙 金祁，1985；吳大猷，1987；楊翠華，2003）。試用教科書編寫完成之後，依年級分別於 69、70 和 71 學年度於中正國防幹部預備學校進行教學實驗。民國 72 年，高中數學課程實驗 告一段落後，同年七月，高中數學課程標準完成修訂，根據課程標準及其在中正預校實驗結果 再次修訂教材，並於民國73 學年度全國普遍使用，試用期間科教中心再指定十所高中作為實 驗場域，經常蒐集實驗學校師生意見為每年修訂教材之參考。

該次高中數學教材內容改革特色包括（教育部，1983；李恭晴，1989；余文卿，1999）：

一、教材分配多元：第一學年為必修「基礎數學」，第二學年在「基礎數學」外，另設置「基 礎數學演習」與「基礎數學統合」兩種教材，學生需於此兩教材中自由選修一種修習，第三學 年則在「理科數學」、「商科數學」、「普通數學」三種教材中自由選修一種修習¹⁹；二、新 增教材內容：首次將統計納入高中教材，大大提升了機率與統計在數學的地位，另也破例地將 微積分納入高三的理科數學與商科數學中，需教導一些簡單的理論與公式等；四、再刪減集合 相關內容：對於名詞與符號不作嚴密定義，全套教材以重要的基本觀念為主，培養學生的計 算、觀察、分析等能力，對於零星的或是學生不易吸收的數學教材則盡量刪去，如集合的運