勾股定理證明-G063
【作輔助圖】
1. 分別以直角三角形ABC的AC, BC和AB為邊長，向外作正方形ACFG，正方形BCED 和正方形ABKH 。
2. 延長DE和FG，使得直線DE與直線FG相交於N點。
3. 過K作一直線平行FG，與直線DE相交於M 點。
4. 過H作一直線平行DE，與直線FG相交於O點，與直線MK相交於Q點。
5. 分別延長FB和GA，使其分別與MQ相交於L點, R點。
6. 延長EA，與OQ相交於P點，延長DB，使其分別與AR, PQ相交於S點, T點。
N
P O
A B
C
D E
F
G
H K
M S
T
L
Q
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，利用正方形ABKH面積 會等於正方形CPQL面積減去4個ABC面積，而推導出正方形ABKH面積會等於 正方形BCED與正方形ACFG的面積和，最後推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 HAP ，三角形 BKL ，三角形 KHQ 與三角形 ABC 全等：
因為HAP 90 CAB ABC，且ABAH, ACB APH 90 ，所以 HAP ABC
(AAS 全等).
同理可證
BKL ABC
, KHQ ABC. 綜合以上結果可得
.
HAP BKL KHQ ABC
2. 證明四邊形CPQL, 四邊形 ASTP , 四邊形 BLRS 為正方形：
由作圖的平行關係可知四邊形CPQL的四個內角皆為直角，所以四邊形CPQL為長方 形，又因為BKL ABC, KHQ ABC，所以APBC, BL AC，故
CPCAAPBLBCCL. 因此
四邊形CPQL為正方形.
同理可證
四邊形 ASTP ，四邊形 BLRS 亦為正方形.
3. 由邊長相等關係，可得到：
ASTP BCED
BLRS ACFG
正方形 面積＝正方形 面積,
正方形 面積＝正方形 面積.
4. 由作圖的平行關係可得到：
四邊形 ACBS , SRQT 皆為長方形，且
2
ACBS BC A C A C B
長方形 面積＝ 面積.
又TS AS BC, SRBS AC，因此
2
TS SR BC AC
SRQT ABC
長方形 面積＝ 面積.
5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
4
CLQP ABKH ABC APH KHQ
BK
A
ABKH BC
L
正方形 面積＝正方形 面積＋ 面積＋ 面積＋ 面積
＋ 面積
＝正方形 面積＋ 面積.
且
2 2
CLQP PARQ ACLR
ASTP SRQT
BLRS ACBS
BCED ABC ACFG ABC
正方形 面積＝長方形 面積＋長方形 面積
＝(正方形 面積＋長方形 面積)＋
(正方形 面積＋長方形 面積)
＝正方形 面積＋ 面積＋正方形 ＋ 面積 4
BCED ACFG ABC
＝正方形 面積＋正方形 面積＋ 面積.
因此
4 4
ABKH CAB BCED ACFG CAB
正方形 面積＋ 面積＝正方形 面積＋正方形 面積＋ 面積.
正方形A B K H面積＝正方形 B C E D面積＋正方形 A C F G面積.
得到
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2
2 a b
c .
【註與心得】
1. 來源：這個證明記載於：
J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen
biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 14). Leipz.: Friese.
Walter Lietzmann (1930). Der pythagoreische Lehrsatz.Leipzig & Berlin : Teubner.Dr. Leitzmann, 13.
2. 心得：此題證明的作圖十分特別，輔助線皆分別與三角形 ABC 的邊平行。而證明 的關鍵在於證明正方形CLQP邊上的四個三角形皆全等，再透過面積相等的 代數運算就能推得出正方形 ABKH 面積等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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