6 來自巨人的真知…投稿者的卓見
「站在巨人的肩上，可以看得更遠；來自巨人的投射，可以照得更亮」是學數學的人渴 望有的際遇，想要獲得的加持；但是，巨人的肩膀容易攀爬嗎？巨人的“數光＂會普照 在每個人身上嗎？這裏要講的這道題目，其背後隱藏著一段與巨人有關的歷史；但是這 題目本身卻只是巨人投射之下的一個簡單產物。雖然是個簡單的特例，但想要巧妙解決 它，也必須是個奇人才辦得到。就讓我們開始吧！
那是一個寒冷的午後，辦公室的電暖氣帶來一絲暖意，幫我工作的助理正打著電腦。幫 我工作的助理有兩類，用嚴肅一點的話說，就是「有給職助理」與「無給職助理」兩種，
有給職助理是數學系的大學生居多。這幾年經濟不是很好，清寒的優秀學生，可以當我 的有給職助理，除了寒暑假幫我寫解答，校對數學資料，試讀一些文章外，最重要的要 求，也是唯一條件，就是學期成績至少要達到八十五分以上（告訴你們一個秘密，其實 她們常常都超過九十分，比我大學成績都還好）。至於無給職助理就是願意幫我，做牛 做馬般，讀校第一手資料的老師了，順便對我的文章給些建議及看法，很感謝她們的付 出。
手邊正在處理這期問題集的投稿，像過去一樣，快速的翻閱著老師或學生們的解答。說 時遲，那時快，手與腦筋同時定格在一則吸引我的解答上，這在過去是從未發生過的事，
原來這是個妙解，肯定出自奇人之手。心中雖然高興，為了順便檢定一下助理的功力，
嘴裡說著「這幾個解答回去讀一下，把好的解答打下來」。這是我常用的一種測試，助 理們大多不會讓我失望。幾天後，助理告訴我「那個解答特別妙，值得推薦，但是想不 通那位老師如何想到這樣的解法」。就在幾天前，一個更寒冷的午後，在拜訪淡江鄭惟 厚教授的路上，問題集企劃提起那個我建議刊登的解答，我半開玩笑的建議，應該在該 解答的右上角加上一個“獎＂字。
說到這妙解的題目那就更妙了，約莫半年前，彰師大科教中心主辦一場「中區數學新知
研討會」，
深度的題目 問題。印象 本三角形 的面積來表 好不容易找 是某個以基 的講義。又 個簡單的例 數學競賽題 扯上關係
題目：如下 積。
證明：
這就是數學 久就是你的
邀請我給 目。這讓我 象中，它好
，一共有五 表示。」至 找到一篇談 基本三角形 又有一個問 例子，但相 題目裡，我
），我把這
下圖所示
學問題集裡 的，為了回
給個演講，
我想起很久 好像是說 五個基本三 至於如何表
談論“高斯 形面積為係 問題產生了 相應的例子 我發現了一 這跡象投射
： ABCD 是
裡的題目敘 回饋你的耐
希望談一些 久以前，在
：「給定任意 三角形。高 表示，書裡並
斯五邊形面 係數的二次 了，我不想 子哪裡找呢 一點跡象。
射到四邊形上
是面積為 S
2 2
S
敘述，同時 耐心跟毅力
些可以給中 在一本書裡
意五邊形 高斯證明：
並沒有細講 面積公式＂
次方程式之 想一開始就 呢？還好，
。站在巨人 上，得到如
S 的矩形，
3 1
2a S4a
時也是那場 力，我們就
中學教師拿 裡看到，談
，相鄰三個 五邊形的 講了。經過 的文章。
之一根。有 就導進高斯 在大陸《
人高斯的肩 如下的例子
1, 2, 3
a a a 分
2 0.
a
場演講的開 就把奇人的
拿去當科展 談論有關高斯
個頂點所形 的面積可以用 過我搜尋國外 事實上，這 有了這些資料 斯這個複雜的 中學生數學 肩上（將面積
子：
分別代表所
開胃菜。曲終 的智慧馬上
展教材，又 斯五邊形面 形成的三角
用這五個基 外數學網站 這五邊形的 資料，我就開 的公式，想 學雜誌》與 積與一元二
所在三角形
終人未散 上揭曉吧！
又具有數學 面積公式的 角形稱為基
基本三角形 站的結果 的面積恰好 開始寫演講 想要先引一 與北一女的 二次方程式
形區域的面
，戲棚下站 學
的 基
形
， 好 講 一 的 式
面
站
投稿者的瞥見 將四條線段CD CB CE CF 配對相乘，得到等式 , , ,
(CD CB ) ( CECF)(CD CE ) ( CB CF ).
將它們轉換成面積，得
1 2 3 1 2
(2( )) ( 2 ) ( 2 ).
S S a a a S a S a
整理得到
2
3 1 2
2 4 0.
S a S a a
放個馬後炮，整個問題的關鍵點就是 ,E F 兩個點，所以考慮從C 點畫出的四條線段 , , ,
CD CB CE CF 的不同配對乘積是合情合理的想法。
練習 1 將二次方程式的兩個根求出，並確認何者才是面積 S 的值。
練習 2 當你具有投影面積的素質或向量內積的知識時，應該想想看！將矩形改成平行 四邊形，這個恆等式是否依然成立。投稿者的解釋仍然適用嗎？
來自巨人的真知…投稿者的卓見的練習題解答
練習 1
2
3 3 4 1 2
S a a a a
練習 2 將奇人的乘積修改成向量內積，得
CD CB CE CF
CD CE
CB CF
.再將每一相乘項轉成對應的面積公式。
利用投影知識，可先將平行四邊形以適當的角度投影成矩形，再利用投影時，面積的轉 換公式，就知道原等式還是相等的。
