中華大學碩士論文

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中華大學碩士論文

題目：螞蟻理論於多目標線性規劃之研究

系所別：經營管理研究所學號姓名： M09119024 周峰正指導教授：裴文博士

中華民國九十三年六月

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摘要

在我們日常生活中的決策，常常會運用多目標線性規劃解

決問題，而多目標線性規劃的特性是希望找出一個令人滿意的折

衷解答，即解答儘量能滿足所有限制及同時極大或極小化設定的多個目標。本研究希望能藉由過去文獻的參考及研究過程，將螞蟻最佳化演算法搭配模糊多目標規劃法之概念應用於多目標規劃問題，利用螞蟻最佳化演算法求解最佳與近似解，同時也期望能對求解多目標規劃問題的解法有些許貢獻。

本文首先說明應用螞蟻理論來解決多目標規劃問題的背景與動機，第二章則蒐集並整理多目標線性規劃、模糊線性規劃法與螞蟻理論等文獻，進而對多目標規劃、模糊規劃法與螞蟻理論有更深一層的認識與了解。第三章提出本文的問題，並修改螞蟻理論以求解決目標規劃問題。第四章以範例測試螞蟻理論解答的正確性。最後在第五章，討論本文的貢獻與價值，並提出未來可行的研究建議。

關鍵字：螞蟻理論、螞蟻最佳化演算法、多目標線性規劃、模糊多目標規劃法

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誌謝辭

本文得以付梓，承蒙恩師裴文教授之悉心指導，在研究期間於觀念啟發、研究方向、論文架構等方面，給予多方引導與匡正；

同時並在生活、待人處事等各方面如父兄般懇切關懷及諄諄教誨，師恩浩瀚，永銘在心。在口試期間，承蒙口試委員黃祥熙博士、葉鳴朗博士熱心指導，並惠賜諸多寶貴意見，至為感禱，謹致上最深之謝忱。

兩年碩士的求學路上，雖說短暫但也豐富，很開心能在求學路上認識的許多朋友，不論年紀大小，不管背景的差異，我們總能找到最「麻吉」的搭配方式，一起共嚐人生甘苦，謝謝你們一路上的陪伴及容忍，在此誠摯地感謝我所有的朋友，希望大家都能心想事成、萬事稱意。

此外我更要感謝的是父親周清舜先生，母親林麗美女士數十年來養育的辛勞，並給予我全力的支持與幫助，讓我在求學路上一帆風順，從不需為生活所需煩惱，並不斷鼓勵我以向學為上，

並教導我以樂觀的態度面對成長過程中所有的難題

最後僅以本文獻給所有關心我與我關心的人，希望你們都平安、快樂。

周峰正謹誌於中華大學經營管理研究所中華民國九十三年六月

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目錄

第一章緒論 ...1

1.1 研究背景與動機 ...1

1.2 研究目的 ...3

1.3 研究流程 ...4

第二章文獻探討 ...5

2.1 線性規劃 ...5

2.2 多目標規劃 ...9

2.2.1 多目標規劃一般模式 ...10

2.2.2 多目標與單一目標兩種規劃的不同 ... 11

2.2.3 模糊多目標規劃法 ...12

2.3 螞蟻理論 ...16

2.3.1 螞蟻理論基本介紹 ...16

2.3.2 螞蟻最佳化演算法 ...18

2.3.3 其他應用...20

第三章研究方法 ...22

3.1 螞蟻演算法搜尋最佳解之流程 ...22

3.2 螞蟻演算法 ...23

3.3 求出二維可行解平面 ...24

3.4 搜尋最佳妥協解 ...26

3.5 本演算法特定規則 ...27

第四章實證分析 ...28

4.1 例題...28

4.2 參數設定 ...28

4.3 實例模擬結果 ...29

4.4 參數改變 ...37

4.5 妥協解彙整 ...38

第五章結論及未來研究建議 ...39

5.1 結論 ...39

5.2 未來之建議 ...40

參考文獻 ...41

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表目錄

表 2.1 報酬表（payoff table） ...13

表 2.2 螞蟻理論的應用...21

表 4.1 求解過程(208,167)為起點，α=1、β=1 ...33

表 4.2 求解過程(143,265)為起點，α=1、β=1 ...36

表 4.3 所有妥協解彙整...38

表 7.1 求解過程(208,167)為起點，α=1、β=2 ...44

表 7.2 求解過程(143,265)為起點，α=1、β=2 ...45

表 7.3 求解過程(208,167)為起點，α=1、β=3 ...46

表 7.4 求解過程(143,265)為起點，α=1、β=3 ...47

表 7.5 求解過程(208,167)為起點，α=2、β=1 ...48

表 7.6 求解過程(143,265)為起點，α=2、β=1 ...49

表 7.7 求解過程(208,167)為起點，α=2、β=2 ...50

表 7.8 求解過程(143,265)為起點，α=2、β=2 ...51

表 7.9 求解過程(208,167)為起點，α=2、β=3 ...52

表 7.10 求解過程(143,265)為起點，α=2、β=3...53

表 7.11 求解過程(208,167)為起點，α=3、β=1...54

表 7.12 求解過程(143,265)為起點，α=3、β=1...55

表 7.13 求解過程(208,167)為起點，α=3、β=2...56

表 7.14 求解過程(143,265)為起點，α=3、β=2...57

表 7.15 求解過程(208,167)為起點，α=3、β=3...59

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圖目錄

圖 1.1 研究流程圖 ... 4

圖 2.1 可行區域 ... 7

圖 2.2 目標式歸屬度函數 ...14

圖 2.3 自然界螞蟻的覓食行為圖 ...17

圖 3.1 螞蟻演算法的求解流程 ...22

圖 3.2 二維可行解平面圖(1) ...26

圖 4.1 二維可行解平面圖(2) ...31

圖 4.2 二維可行解平面圖(3) ...34

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第一章緒論

1.1 研究背景與動機

在我們日常生活中的決策，常常會遇到許多決策問題是多目標，且彼此衝突的難題，因此多目標線性規劃（Multi-Objective Linear Programming, MOLP）即孕育而生。而多目標線性規劃的主要是希望找出一個令人滿意的折衷解答，即解答儘量能滿足所有限制及同時極大或極小化設定的多個目標。通常衡量 MOLP 折衷解答的績效指標有兩個：第一個是目標達成的數量；第二個是目標差距極小化。此兩點使多目標線性規劃的概念不同於單一目標的非線性規劃和一般的最佳化技術[5]。而解決多目標規劃問題的方式有很多，其中在 1978 年由 Zimmermann 所發展之模糊多目標規劃法( Fuzzy Linear Programming )是一套求解快速且效率極高的方法。

近幾年有越來越多以螞蟻最佳化演算法為基礎的研究出現，

Dorigo 在 1992 年提出螞蟻最佳化演算法時，最開始是設計來求解旅行銷售者問題（Traveling Salesman Problem），同時並得到很好的求解成績，之後陸續有許多學者將螞蟻最佳化演算法在許多不同領域上進行發展與應用，如二次分配問題（Quadratic Assignment Problem ； QAP ）、車輛途程問題（ Vehicle routing problem；VRP）、網路途程問題（network routing problem）、排程問題（Scheduling Problem）等[10]。

本研究希望能藉由過去文獻的參考及研究過程，將螞蟻最佳

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化演算法搭配模糊多目標規劃法之概念進行修改，應用於多目標規劃問題，同時也期望能對求解多目標規劃問題的解法有些許貢獻。

本研究以螞蟻最佳化演算法搭配模糊多目標規劃法之概念來解決多目標規劃的問題，主要的動機為近年來雖然已經有許多關於螞蟻最佳化演算法的應用，但是從來無人應用於求解多目標線性規劃的問題上，所以更驅策本研究利用螞蟻最佳化演算法的觀念，來嘗試解答多目標線性規劃問題。

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1.2 研究目的

本篇論文研究主題是以將螞蟻最佳化演算法結合模糊多目標規劃法之概念，用以求解多目標線性規劃問題，因此本研究將參考模糊線性規劃法概念修改傳統螞蟻最佳化演算法，對多目標線性規劃問題加以求解。

本研究主要的目的可概述如下：

1. 利用螞蟻理論結合模糊規劃法概念求解多目標線性規劃問題。

2. 比較建構的模糊螞蟻規劃法與模糊規劃法在多目標線性規劃問題上的結果。

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1.3 研究流程

本研究探討問題的研究流程概分為七個階段，如圖 1.1 所示。

圖1.1 研究流程圖界定問題與研究範圍

文獻回顧

演算法建立與修正

例題測試

結果檢討與分析效果評估

結論與建議佳不佳

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第二章文獻探討

2.1 線性規劃

線性規劃是數學規劃的範疇之一。最早是在 1939 年由俄羅斯數學大師 L. V. Kantorovich 所提出，利用線性規劃方法探討有關組織和規劃問題。線性規劃是用於最佳化(極大化或極小化)一個線性的目標函數，同時又必須符合一組包含等式及不等式的線性限制式。建立線性規劃模式的過程，可依循下列三步驟：

一、依問題的特性來定義決策變數(decision variables)。決策變數是用來表示所欲解決的問題中決策所需執行的事項，例如：

題庫中決定某試題是否選出作為測驗試題，決策變數即可用來表示這些試題。

二、分析問題找出限制條件，利用決策變數建立成數學等式或不等式之限制式(constraints)。

三、依據問題所欲達到的目標準則，利用決策變數建立目標函數 (the objective function)，並將其極大化或極小化。

一般線性規劃問題模式可表示如下式：

_i

<

>

(15)

a

₂₁

x

₁

+ a

₂₂

x

₂

+ ... + c

₂_n

x

_n =

b

_i <

. . . . . . >

b

_i

<

0 ...

_,

, 2 ,

1

x x

_n

≥

x

可再簡化符號表示如下式：

max/min

z = c x

subject to

Ax = B

≥ 0

∀x x c

z =

表示目標函數，其中

x

_i為決策變數，即是問題所欲求得之解，

c

_i為目標函數的係數。

Ax = B

表示限制式，

a

_ij 表示變數

x

_j 在限制式

i

的係數，

b

_i表限制式的右側值(right-hand-side values) 。

∀x ≥ 0

表非負數限制式(nonnegative constraints)。

若有一組

x

₁

, x

₂

,..., x

_n

,

的變數值滿足所有限制條件，則稱為可行解(feasible solution)，所有可行解的集合稱為可行區域(feasible region)。如圖 2-2，多邊形 OABCD 為聯立方程式和非負數限制式形成的可行區域。點 O、A、B、C、D 為其基本可行解，最佳解將出現於這些點之中[2]。

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圖2.1 可行區域

此外為了說明如何利用非負數限制式來表示可行區域，線性規劃模式有一標準形式(standard form)，由標準形式中所得出的限制聯立方程式和非負數限制式，即構成原來線性規劃模式中的可行區域。

其標準形式如下：

一、所有的決策變數都是非負數的限制。決策變數中可能會出現可以為正負數情況，則必須加以調整，其方法如下：

(一) 如果限制式右側值是負數，則左右兩側每一項都同乘上 “–1＂。

(二) 如果某一變數不具有非負數之限制，則以另兩個非負數的變數來取代。例如：

x

_i 不具非負數限制，則以

0 ,

, ′ ′′≥

− ′′

= _i′ _i _i _i

i

x x x x

x

來取代之。

二、目標函數極大化或極小化。

三、除了非負數限制式之外，所有的限制式，都化為等號之方程

A

B

C

D

O

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式，其右側值為非負數。則通常線性規劃模式中的限制式會有大於或小於之不等式，因此必須將其轉換成等式。其方法如下：

(一) 如果限制式是小於(<) 或小於等於(≦) 不等式，則在不等號左側加上一個惰變數(slack variable)，將不等號改為等號。

(二) 如果限制式是大於(>) 或大於等於(≧) 不等式，則在不等號左側減去一個剩餘變數(surplus variable)，將不等號改成等號。

依線性代數求解聯立方程式的特性，如果一聯立方程式有 m 個獨立方程式，n 個未知數或變數。

其解可能有下列三種情況：

一、如果 m=n，則會有唯一解。

二、如果 m>n，則會無解。

三、如果 m<n，則有無限多組解。

一般線性規劃所形成的聯立方程式，其變數數目都超過方程式數目，其產生的解應屬於第三種情況。如令其中 n-m 個變數之值為零，利用剩餘的 m 個變數來解其聯立方程式必可得出一個解，稱這個解為基本解(basic solution)，而設定為零的變數，稱為非基本變數(nonbasic variables)，用來解聯立方程式的 m 個變數，

稱為基本變數(basic variables)。在這些基本解中，如果所得出的基本變數值均為非負數，則稱為基本可行解(feasible basic

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solution)，如果有出現負數者，則稱為不可行之基本解(infeasible basic solution)，其中這些可行基本解即為可行區域中的端點[2]。

2.2 多目標規劃

多目標規劃理論之研究，開始盛行於 1970 年代。但是多目標規劃之起源，卻可追溯到 1951 年 T. C. Koopmans（1951）提出有效向量（efficient vector）之觀念。同年，H. W. Kuhn 和 A. W. Tucker

（1951）導出了有效解存在的最適化條件（optimality onditions），

並為多目標理論奠下了研究基礎。1961 年 A. Charnes 和 W. W.

Cooper 出版線性規劃之管理模式與工業上之應用（Management Models and Industrial Applications of Linear Programming），其中簡要討論含多個衝突目標問題的求解方式。至 1965 年 Y. Ijirt 提出所謂「先佔之優先權」(Preemptive priorities)概念，他提議因各目標重要性的不同，而排定達成目標先後次序之規劃方法，使多目標規劃之領域及應用範圍更為廣泛[8]。

雖然多目標規劃至此已經引起一些回響，但在 1972 年以前，

多目標規劃尚未真正受到重視。1972 年 10 月在美國 South Carolina 大學召開國際性多目標決策理論研討會議之後，方逐漸引起學術界的重視，隨而蓬勃發展。迨 1980 年代，多目標決策理論已成為作業研究及管理科學中極為重要之一門學科。

一般的決策就是在許多可行的方案中挑選其中一項，以滿足某一個目標。然而，這個單一目標的背後，事實上隱含著不只一個影響決策的目標，且這些目標間可能是互相衝突，而無法同時

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達成。但是，傳統上決策者會使用一個綜合的目標概念來涵蓋這些彼此權衡（trade-off）的目標，或者只選取其中一個目標來代表所有的目標。然而，在這種綜合化或單一化的目標下，卻往往使決策者喪失影響決策的關鍵訊息，多目標規劃也就如此產生。

換句話說，多目標規劃是一種明確並可同時考量多個決策目標的數學規劃法，其目的在協助決策者於有限資源及各目標彼此衝突的限制下，尋求一個較佳的行動方案。

此外，傳統的單一目標規劃並無「選擇」的涵義。因為單一目標規劃設定其模型和參數時，已保證一個「最佳」的解。「決策者」除了「接受」或「棄卻」其解答外，別無其他方案可自單一目標規劃中獲得或加以選擇。因此，決策最基本的「選擇」意義在單一目標規劃中無法得到肯定；所以，「唯有在面對多目標、多評準或多屬性之抉擇時，才有所謂決策的意義，多目標規劃方法即屬於此類[8]。

此法可分為三個主要步驟：

一、確認及量化多目標函數二、確定決策變數及限制式三、產生及評估可行方案

其主要精神在於更廣泛地考慮決策者希望同時達成的多個目標，而有別於傳統上單一目標規劃只考慮一個目標函數的情況。

2.2.1 多目標規劃一般模式

多目標規劃方法是一組可量化的目標，在定義清楚之限制式

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下，以數學規劃之方法，解一組非劣解或折衷解( Compromise Solution )，然後結合決策者之偏好資訊求得偏好解之分析方法。

其重點在於能夠同時考慮，並解決多個具衝突目標之最適化問題。

以下是 K 個目標之 MODM 問題以數學模式來描述：

max/min

c x

subject to

Ax = B

≥ 0

∀x

透過模式求出妥協解，則無法再找出一組解，使得能改善其中一組目標解，而不損失另外其他的目標值，即此時各目標是以達到一個經濟學上所說之柏拉圖(Pareto Optimality)最適之境界[8]。

2.2.2 多目標與單一目標兩種規劃的不同

基本上，多目標規劃與單一目標規劃最主要的相異之處如下 [5]：

一、單一目標規劃求取的是最佳解

即在某一價值衡量下之「最好」的可行解，決策者只能無條件地接受或拒絕此一最適解。相反地，多目標規劃則強調選擇的彈性與可行方案彼此之間的替代性，亦即分析者先規劃出一組(數個)解。然後交給決策者進行比較與選擇，使得分析者負責分析，決策者負責選擇，如此決策者往往能從比較中多得到一些與決策有關的訊息。同時亦能避免單一目標規劃經常出現的分析者與決策者角色混淆的問題。

(21)

二、多目標規劃可以同時處理多種不同單位的目標

例如公斤、個人等單位。在單一目標規劃時，如遇到不同單位的問題，則必須先將它們換成同一單位才能相加減，

也因此增加其主觀性。蓋因各人之換算標準不同，甚至分析者的換算標準可能與決策者的標準亦不同，因而會產生不一致之換算結果。而多目標規劃則無此一困擾。

三、多目標規劃可處理多個目標衝突與矛盾的問題

例如經濟發展與環境保護的衝突問題，然而，單一目標規劃即使是利用敏感度分析，其分析的本質仍是在某一目標水準限制之下，如何達到另一目標之極大而已，並無法有效處理此類目標衝突問題。

四、目標規劃可處理優先次序不同的問題

例如決策者希望獲利最高，市場佔有率最大，生產力能提高，且又能兼顧企業形象等目標。在此多目標中，決策者若能排定其重要性或優先順序，分析者即能根據此順序，求取最滿意的解。

2.2.3 模糊多目標規劃法

Zimmermann 在 1976 年首先將模糊集理論引入傳統之線性規劃問題並將模糊線性規劃模型與多目標規劃結合成為模糊多目標線性規劃；在許多研究中所採用的多目標模糊規劃法，大都為 Zimmermann’s 最大最小法運算（max-min-Operation）方法，將多目標轉為單目標求解。此運算子之優點在於計算便利且具代表

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性，本論文將 Zimmermann’s 最大最小法運算（max-min-Operation）

方法詳述如下：

步驟 1：決定各目標與限制式之上下界

f

i，有其最滿意理想值上界

f

_i^*與下界

f

_i⁻而此上下界之決定，可由決策者依照其所認知之理想水準，或將此目標視為可行解空間中之函數，經由計算而得。如構建報酬表（payoff table），報酬表之建立方式如下：

1.先對個別的目標是求取單目標之最佳解

),

( ),..., (

), ( ),

(

₁ ₂^* ₂ ₃^* ₃ ^*

*

1

x f x f x f

k

x

k

f

2. 將上述步驟所求取的各目標最佳解之決策變數值

x

k

x x

步驟 2：構建歸屬函數

對於第 i 個模糊目標之歸屬函數：

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

≥

≤

− ≤

−

≤

=

₋ ⁻

−

*

, 1

, , 0

) (

i

i i

Gi

f f

f f f f

f f f

f f μ x

其圖形如圖 2.2 所示：

圖2.2 目標式歸屬度函數

亦即目標之理想水準小於或等於

f 時其歸屬度為 0，大

_i⁻ 於或等於

f 時，歸屬度為 1，若在兩點之間則為 0 至 1

_i^* 之間的單調函數。

步驟 3：建立決策集合之歸屬函數

決策集合之歸屬函數

μ

_D(

x

)為

{ ^x ^x ⁱ ^k ^j ^m }

x

_Gi _ci

j

Di

( ) min

i

( ), ( ) 1 , 2 ,..., ; 1 , 2 ,...,

,

*

= μ μ = =

μ

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上式中之 max-min 運算子表示此模式之可行模糊集合為目標式和限制式之交集。由於決策者需要明確之決策提議，所以需要此決策集合中歸屬程度最高之值，故取其最大值，而得到一對應之歸屬函數：

{ ^x ^x ⁱ ^k ^j ^m }

x

_Gi _ci

D

(

^*

) = max min μ (

^*

), μ (

^*

) = 1 , 2 ,..., ; = 1 , 2 ,..., μ

≥ max min { μ

Gi

( ^x ), μ

ci

( ^x ) ⁱ = 1 , 2 ,..., ^k ; ^j = 1 , 2 ,..., ^m }

步驟 4：將多目標化為單一目標求解

最後此問題可轉換成如下明確的 LP 問題，利用一般線性規劃方式求解來求解：

Max

λ

s.t.

⎥ ≥ λ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

i i

i

f f

* ,

i = 1 , 2 ,..., k b

Ax ≤

≥ 0

x

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2.3 螞蟻理論

螞蟻理論在 1991 年由 Dorigo 等人所提出，並由 Dorigo(1992) 在其博士論文完成完整架構，Colorni, Dorigo and Maniezzo(1991) 在該文中提出了藉由動物社會中複雜的群聚互動行為來形成搜尋策略的概念。而螞蟻理論第一次發表在國際文章上，是在 1996 年 IEEE 國際期刊上刊登，篇名為：Ant System Optimization by a Colony of Cooperating Agents。本篇文章描述螞蟻理論的基本定義跟演算的步驟，提出螞蟻理論求解最佳化的方法，此外螞蟻理論第一次被使用在求解組合性最佳化問題時，則被用來求解旅行推銷員問題（Traveling Salesman Problem）；後來有許多學者提出許多更新螞蟻理論的方法，而通常都是沿用原始的基本理論加以修正及改善。

2.3.1 螞蟻理論基本介紹

螞蟻演算法的概念在於模仿真實螞蟻的行為，主要是從螞蟻

族群在其生活環境裡覓食所依循最短路徑的法則去建立一套求解的演算法。

而螞蟻族群所依循的法則即是憑藉著費洛蒙( pheromone )的氣味，以找尋最短的覓食路徑。每一隻螞蟻於移動時皆會留下費洛蒙的氣味在其走過的路徑上，當其他的螞蟻也選擇依循著先前螞蟻走過的路徑，此時會使此條路徑所遺留下來的費洛蒙氣味逐漸的累積且變得更濃，也就是說這條路徑會被後來經過的螞蟻所選擇之機率亦逐漸的增加。然而較少被螞蟻通過的路徑上所遺留

(26)

的費洛蒙氣味將隨著時間逐漸蒸發掉，在此情況下被選擇的機率也就大幅的降低了。

螞蟻此種合作的行為在[13]的研究中有更佳的詮釋。請參見圖 2.3 的圖示：原本從蟻巢到食物間的路是暢通的，如圖 2.3 A；一旦在路面上突然出現了障礙物的阻擋，如圖 2.3 B；此時在障礙物兩端的螞蟻必須決定要向左轉或向右轉以繼續前進。在此，我們假設每隻螞蟻選擇左邊或右邊的機率是相等的，因此向左及向右的螞蟻數量幾乎是一樣多的。但此時較短的一端因為較快能到達目的地，同樣地也較快回到蟻巢，因此費洛蒙累積的速度也較

快，如圖 2.3 C；最後在螞蟻追隨較高費洛蒙的習性下，較短的路

徑因為有較高的費洛蒙濃度，吸引了大多數的螞蟻選擇該路徑；

而較多螞蟻行走，又使得費洛蒙累積更為快速[10]。在這種正向回饋（positive feedback）的運作下，在一段時間後，幾乎所有的螞蟻都會選擇相同的一邊前進，如圖 2.3 D

圖2.3 自然界螞蟻的覓食行為圖

(27)

( 資料來源：Marco Dorigo and Luca Maria Gambardella, 1997 )

從觀察螞蟻覓食的行為，發現其似乎總能有效地、快速地搜

尋蟻巢與食物間連結路徑的各種可能性，進而依循較短之路徑；

藉由螞蟻的覓食模式啟發靈感，模仿其互動機制而發展出「螞蟻最佳化演算法(Ant Colony Optimization Algorithms, ACOA)」。

2.3.2 螞蟻最佳化演算法

螞蟻演算法是以旅行推銷員問題為求解目標及定義，故以下的相關定義方式也以旅行推銷員題目做為主軸，作進一步的介紹。旅行推銷員問題（Traveling Salesman Problem；TSP）的基本定義為：一位銷售員從公司所在的城市出發，欲拜訪住在 n 個不同城市中的客戶。在整個拜訪的過程中，銷售員必須拜訪每座城市一次，且僅能拜訪一次，拜訪完所有的城市後必須回到原本出發的城市，求旅行推銷員之最短路徑完成所有城市的旅行。

Dorigo 把 ACOA 應用在眾所皆知的旅行銷售員問題（TSP） 上，假設有 n 個城市，TSP 是找出經過每個城市一次所需之最短 距離，城市 i 到城市 j 之間的距離稱之為

d ，

_ij

d 也可以稱之為城

_ij 市 i 到城市 j 之歐幾里德距離，其計算式為：

2

2 ( )

)

( _i _j _i _j

ij

x x y y

d

= − + −

舉例來說，圖上有（N，E），其中 N 是一組城市，E 是這 組城市之間的距離，假設 m 隻螞蟻隨機的走在 n 各城市中，而 且，當牠移動去下一個城市的機率由下式計算得出。

(28)

[ ] [ ] [ ] [ ]

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

×

= ∑

=

0 ) ( )

(

) ( )

( )

(

1 n

j

ij ij

ij

t t

t

P ^α ^β

β α

η τ

otherwise allowed

k

j if ∈

) (t

P

_ij ：時間 t 時第 k 隻螞蟻在城市 i 到城市 j 間的機率函數。

)

ij(t

τ

：費洛蒙。

η

ij（visibility）：往返 i 城市與 j 城市間之距離的倒數，

η

_ij =1/

d

_ij allowed ：所指的是對第 k 隻螞蟻可能選擇為下一個城市的城市允k

許集合。

α

與

β

：控制城市與城市之間重要關係程度的參數值。

當螞蟻經過的城市，將會把費洛蒙放在所經過的路徑上，更新費洛蒙的量是屬於一個很重要的機制，一旦所有的螞蟻完成了牠們的拜訪，費洛蒙將被更新為：

) 1 ( )

( )

1

(

t

+ = × _ij

t

+Δ _ij

t

+

ij

ρ τ τ

τ

if ant

k

uses edge ( i,j ) in its tour(between time t and

t+1)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= Δ

0

k k

ij

L

Q τ

otherwise，

ρ

：0<

ρ

<1，屬於費洛蒙的蒸發參數。

Q 屬於常數， L

_k是第 k 隻螞蟻走過的路徑長度。

m：螞蟻的數量。

這種更新法則，稱之為 ant cycle 演算法。

Dorigo 在 1996 年時又提出了兩個新的費洛蒙更新法則演算法，稱之為 ant-density model 和 ant-quantity model，如下：

(29)

ant-density model：

if the ant k goes from i to j between time t to t+1

⎩⎨

=⎧

Δ 0

k

Q τ

ij

otherwise

Q

：每隻螞蟻遺留在

i

至 j 的足跡品質

ant-quantity model：

if the ant

k

goes from

i to j

between time

t

to

t+1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= Δ

0

ij k

ij

d

Q τ

otherwise

其中，螞蟻都自 i 至 j 留下都足跡品質為

d

ij

Q

。

2.3.3 其他應用

除了旅行推銷員問題外，尚有許多學者進一步利用螞蟻理論的方法求解不同的問題，例如：1. 二次分配問題（ Quadratic Assignment Problem； QAP）、 2.車輛途程問題（ Vehicle routing problem；VRP）、3.網路途程問題（network routing problem）、4.

排程問題（Scheduling Problem）等。

螞蟻理論在求解的效果上已有許多的成果表現，而且也有許多專家學者在討論如何改善螞蟻理論，使螞蟻理論更加趨於完善，例如結合基因演算法則與螞蟻理論求解組合性最佳化問題

（Hozefa and Eric, 1998），進一步希望能使螞蟻理論能突破現有的求解限制且更廣泛的達到求解品質，表 2.2 歸納國內外近年來不同學者運用螞蟻理論在許多不同的領域的成果。

(30)

表2.2 螞蟻理論的應用

作者題目年份

Dorigo, M. and Gambardella,

L.M.

Ant colony system: A cooperative learning approach to the traveling salesman problem

1996

Gambardella L.

M. and M. Dorigo

An Hybrid Ant System for the Sequential Ordering Problem

1997 Forsyth P. and A.

Wren

An Ant System for Bus Driver Scheduling

1997 Costa D. and A.

Hertz

Ants Can Colour Graphs 1997 Kuntz P., P.

Layzell and D.

Snyers

A Colony of Ant-like Agents for Partitioning in VLSI Technology

1997

Bullnheimer B., G.

Kotsis, C. Strauss

Parallelization Strategies for the Ant System

1998 Maniezzo V. and

A. Colorni

The Ant System Applied to the Quadratic Assignment Problem

1999 Bullnheimer B.,

R.F. Hartl and C.

Strauss

An Improved Ant system Algorithm for the Vehicle Routing Problem

1999

Navarro Varela G.

and M.C. Sinclair

Ant Colony Optimisation for Virtual-Wavelength

-Path Routing and Wavelength Allocation

1999

黃宇辰應用混合螞蟻演算法於可靠度串並聯系統元件配置問題之研究

2003

周仕雄應用螞蟻系統於資料挖礦之集群分析 2003

林依潔整合模糊理論與螞蟻演算法於含時窗限制之車輛途程問題

2003

熊鴻鈞螞蟻族群演算法於生產排程之應用 2003

詹金淩整合螞蟻理論與案例式推理於知識管理之應用

2003

(31)

第三章研究方法

3.1 螞蟻演算法搜尋最佳解之流程

本研究所運用的螞蟻理論與傳統螞蟻理論不同之處在於多加入了模糊線性規劃法的概念，透過兩種完全不同演算法的截長補短下，以求最終能搜尋到一個最佳妥協解，下圖為本研究的螞蟻規劃法之演算流程。

圖3.1 螞蟻演算法的求解流程建構求解平面

選擇起點

ACOA運算

結束機率是否相等

是否

開始

設定起始參數

選擇機率高的方向的座標為下一次起點

[ ] [ ] [ ] [ ]

∑

=

×

= _n ×

j

ij ij

ij

t t

t t t

P

1

) ( )

(

) ( )

) ( (

β α

η τ

P

1

P

₂

(32)

3.2 螞蟻演算法

本研究是以螞蟻演算法為主體進行修改，同樣使用費洛蒙代表

τ

，能見度代表

η

來設計，本演算法將透過以下兩項準則作為費洛蒙、能見度的代表

1.

τ

(費洛蒙)：妥協解能收斂於

1 2

d d

上

2.

η

(能見度)：妥協解與理想最佳解(

L

₁,

L

₂)的距離越短越好接下來將為本演算法作介紹：

一、移動至下一個座標的機率

在本規劃法中，每一次起步皆有兩個方向可以走(除了第一步外，於下節特定規則中將有介紹)，分別是往

Z

₁最佳解方向與

Z

₂最佳解方向，而此機率是用來判定下一步到底是往

Z

₁

最佳解方向或是

⎩

⎪⎪⎨

⎧

×

=

∑

=

0

) ( )

(

) ( )

( )

(

1 n

j

ij ij

ij

t t

t

P

^α ^β

β α

η τ

（3.1）

二、費洛蒙的累積

在費洛蒙的累積上，可分為兩個部份，分別是前次累積遺留下的費洛蒙的與當次所得到的費洛蒙，同時前次累積遺留下的費洛蒙是由蒸發參數

ρ

決定遺留下來的量為多少。

ij ij

ij

t ρ τ t τ

τ

( +1)= × ( )+Δ （3.2）

otherwise allowed j

if ∈

_k

(33)

當次所得到新的費洛蒙

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= − Δ

1 1

2 2 1

1 2

2

, 1

min Z L

L P Z

L Z

L P Z

τ

ij

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− ~ , 3

2 1 1

1 2 2

d N d L Z

L

Z

（3.3）

本演算法參考模糊規劃法利用

λ

求解之概念，希望妥協解能逼近於

1 2

d

上，並能快速往理想最佳解(

L

₁,

L

₂)收歛，因此

將

Δ τ

_ij透過常態分配的概念轉化，期望能達到收斂於

1 2

d

上的

₁,

₁,

Z

₂)與理想最佳解(

L

₁,

L

₂)的距離。

3.3 求出二維可行解平面

多目標線性規劃問題可以表示以下一最小向量問題，

(34)

Min

∑∑

= =

=

^m

i n

j ij ij

k

c x

Z

1 1

St. _i

m

i

ij

a

x =

∑

=1 , i=1,2,…,m

^m _i

j

ij

b

x =

Step1：分別對目標式求得最佳解

L

₁、

L

₁最佳解方向求得

Z

₁¹時，同時也能得到其相對應的

Z

¹₂，往

Z

₂最佳解方向則先求得

₂²)。

步驟二：此時透過本演算法的運算將可得出此兩方向的機率

P

₁ (往

Z

₁最佳解方向)，

P

₂(往

Z

Z

₂最佳解方向走。

2. 當次的步伐(移動的距離)為當次起點與理想最佳解之距離的一

半。以

Z

₁方向為例，即為起點的

Z

₁值與理想最佳解的

Z

₁值之 2 1

距離。

3. 從第一個起點開始，當遇到不同方向的選擇時，隔次的步伐將

按( ₁ 2

1− 1_n₊ )的比例縮短( n =第 n 次改變方向，初始值為 0 )，例

4 3 2

1− 1₂ = ；同樣，第六步跨出的步伐為其與理想最

佳解的距離的

8 7 2

1− 1₃ = 。

(37)

第四章實證分析

4.1 例題

此題目是由文獻[12]取得 Min

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

1

x 2 x 7 x 7 x x 9 x 3 x 4 x 8 x 9 x 4 x 6 x

Z = + + + + + + + + + + +

Min

34 33 32

31 24

23 22

21 14

13 12

11

2

4 x 4 x 3 x 3 x 5 x 8 x 9 x 10 x 6 x 2 x 5 x x

Z = + + + + + + + + + + +

Subject to

14 8

13 12

4.2 參數設定

本演算法的相關參數設定說明如下：

1. α：費洛蒙濃度相關係數，α≧0，預設值為 1。

2. β：能見度相關係數，β≧0，預設值為 1。

3. ρ：費洛蒙揮發係數，0≦ρ≦0，預設值為 0.1。

(38)

4.3 實例模擬結果

4.3.1 求出二維可行解平面 (1) 求出

L

₁與

U

₂

Min

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

1

x 2 x 7 x 7 x x 9 x 3 x 4 x 8 x 9 x 4 x 6 x

Z = + + + + + + + + + + +

Subject to

14 8

13 12

₃₄=3.00 將以上數值帶入

Z

₂可得

U

₂=265

(2) 求出

L

₂與

U

₁ Min

34 33 32

31 24

23 22

21 14

13 12

11

2

4 x 4 x 3 x 3 x 5 x 8 x 9 x 10 x 6 x 2 x 5 x x

23

₂ =167，建構出二維可行解平面，見下圖。

(40)

圖4.1 二維可行解平面圖(2) 4.3.2 搜尋最佳妥協解

4.3.2.1 座標(208,167)為起點

首先先選擇(208,167)為起點，第一步只能向

Z

₁最佳解方向走

(向左走)，移動距離為 32.5(

2 143 208−

)，所以此時

Z

₁值為 175.5

(208−32.5)此時要將相對應之

Z

₂値求出，因此將上述求出之

Z

₁值代入至限制式中如下

Min

34 33 32

31 24

23 22

21 14

13 12

11

2

4 x 4 x 3 x 3 x 5 x 8 x 9 x 10 x 6 x 2 x 5 x x

Z = + + + + + + + + + + +

Subject to

5 . 175 6

4 9

8 4

3 9

7 7

2

₁₂ ₁₃ ₁₄ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₃₁ ₃₂ ₃₃ ₃₄

11

+ x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x =

P

₁=

P

₂=0.5 時才可停止，而該次之起點 (160.82,193.98)即為本演算法搜尋之最佳妥協解，下表為此次搜尋之步驟彚整。

(42)

表4.1 求解過程(208,167)為起點，α=1、β=1

步數起點往

Z

₁方向座標往

Z

22 21

14 13

12 11

1

x 2 x 7 x 7 x x 9 x 3 x 4 x 8 x 9 x 4 x 6 x

Z = + + + + + + + + + + +

Subject to

216 5

2 6

10 9

8 5

3 3

=

x

₁₁ +

x

₁₂ +

x

₁₃ +

x

₁₄ =8

24 19

23 22

₁最佳解方向的移動座標以原起點座標(143,265)替代，此時透過本演算法計算出下一步之機率

P

₁=0.00、

P

₂=1.00，

因為

P

₂>

P

₁所以第一步往

Z

₂最佳解方向移動至(152.8, 216)。

P

₁=

P

₂=0.5 時才可停止，而該次之起點 (161.33,193.34)即為本演算法搜尋之最佳妥協解，下表為此次搜尋之步驟彚整。

(45)

表4.2 求解過程(143,265)為起點，α=1、β=1

步數起點往

Z

₁方向座標往

Z

₂方向座標

P

₁

P

₂

1 143.00,265.00 143.00,265.00 152.80,216.00 0.00 1.00 2 152.80,216.00 147.90,240.50 162.80,191.50 0.00 1.00 3 162.80,191.50 152.90,215.50 172.60,179.25 0.17 0.83 4 172.60,179.25 157.80,197.75 180.69,173.13 0.57 0.43 5 157.80,197.75 154.10,209.50 163.95,190.06 0.28 0.72 6 163.95,190.06 161.33,193.34 166.26,187.18 0.52 0.48 7 161.33,193.34 160.19,194.77 162.65,191.69 0.50 0.50

(46)

4.4 參數改變

由前一節可以清楚得出模糊螞蟻規劃法在求解多目標線性規劃問題上可以搜尋到相當好的解，且效能與模糊規劃法求出的解比較起來不相上下；此外由於費洛蒙濃度係數α與能見度係數β 在前一節計算中預設值皆設為 1，無法得知調整此兩項參數是否會對求解有何影響，因此在此節將透過交叉調整費洛蒙濃度係數 α 與能見度係數 β ，兩系數範圍皆設定為 1 、 2 、 3 ， ( α , β)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)，並將延用前一節之例題測試，觀察其是否有何影響出現，詳細說明請參閱附錄。

(47)

4.5 妥協解彙整

下表為模糊螞蟻規劃法代入不同α、β所找尋到的最佳妥協解以及透過模糊規劃法所找尋到的妥協解的彙整。我們可以看到運用模糊規劃法所找到的解為( 160.8591,193.926 )，而模糊螞蟻規劃法在 α 、 β 各為 1 (預設值)時妥協解為( 160.82,193.98 )與 ( 161.33,193.34 )，其餘搭配不同α、β組合所找到的解則有些許的不同，綜觀模糊螞蟻規劃法與模糊規劃法所求的妥協解品質上比起來是相差無幾。

表4.3 所有妥協解彙整

模糊規劃法 ( 160.8591,193.926)

模糊螞蟻規劃法

α β ( 208,167 )為起點步數 ( 143,265 )為起點步數 1 1 ( 160.82,193.98 ) 11 ( 161.33,193.34 ) 7 1 2 ( 162.60,191.75 ) 8 ( 162.65,191.69 ) 8 1 3 ( 163.90,190.12 ) 7 ( 163.95,190.06 ) 6 2 1 ( 161.26,193.42 ) 6 ( 161.05,193.69 ) 12 2 2 ( 161.20,193.50 ) 13 ( 160.99,193.76 ) 10 2 3 ( 161.49,193.14 ) 12 ( 161.33,193.34 ) 4 3 1 ( 160.76,194.05 ) 12 ( 160.91,193.86 ) 13 3 2 ( 160.92,193.85 ) 15 ( 160.91,193.86 ) 13 3 3 ( 160.92,193.85 ) 15 ( 160.99,193.76 ) 10

(48)

第五章結論及未來研究建議

5.1 結論

根據前述四章之內容與例題的分析結果，本研究獲得以下 2 點結論，並提出未來相關研究之建議。

1. 螞蟻演算法可用於求解多目標線性規劃問題

本研究欲透過螞蟻理論求解多目標線性規劃問題，並參考模糊規劃法，經過反覆不斷地測試。經過第四章例題的測試，

在實例中可得，透過螞蟻演算法求解多目標線性規劃問題，最後的確可找尋到一組妥協解，因此本研究所提出的方法應可應用在多目標線性規劃問題之求解上。

2. 可按照決策者之主、客觀要求來決定妥協解的準則

在第四章中，可看到α值與β值設為預設值 1 之外，還搭配不同α、β組合進行求解，結果也證明所找到的解除了有些許的差異外，其品質還是維持著一定的水準，因此決策者在進行求解時，也可因應個別的需求來調整α值與β值的權重以符合不同的決策需求。

(49)

5.2 未來之建議

本研究只不過開啟一個新的方向，其實在未來研究之路甚遠，本研究在此提出幾個建議，希望對未來之相關研究有所貢獻：

1.本研究所運用之螞蟻演算法在能見度與費洛蒙兩變數方面，或許還能找到其他不同的演算法替代，來求解多目標問題。

2.本研究在α值與β值的組合上並無法將更多的組合納入測試，

假若能找出一套最佳參數組合或發展出一套簡便求得最佳參數組合之方法，對未來之研究可謂是一件值得敬佩的事情。

中 華 大 學 碩 士 論 文