習題 8.1

(1)

1

習題 8.1-1

若 6：x＝5：8，則 x 之值為何？

想法：利用比例式之內項乘積等於外項乘積性質(定理 8.1-1)。

解：

敘述理由

(1) 5 × x ＝6 × 8

(2) x＝6 8 5

 ＝48 5

已知 6：x＝5：8 ＆任一比例式中，

內項乘積等於外項乘積由(1) ＆解一元一次方程式

習題 8.1-2

若 ( x＋2 )：3＝5：8，則 x 之值為何？

想法：利用比例式之內項乘積等於外項乘積性質(定理 8.1-1)。

解：

敘述理由

(1) 3 × 5 ＝( x＋2 ) × 8

(2) x＝3 5 8

 －2＝－1 8

已知( x＋2 )：3＝5：8 ＆任一比例式中，

內項乘積等於外項乘積由(1) ＆解一元一次方程式

(2)

2

習題 8.1-3

已知 x 為 4 與 16 的比例中項，且 x＞0，求 x 之值為何？

想法：利用兩量的比例中項的平方等於這兩量的乘積求 x 之值解：

敘述理由

(1) x ²＝4 × 16

(2) x＝±8 (負不合) (3) 所以 x＝8

已知 x 為 4 與 16 的比例中項＆兩量的比例中項 的平方等於這兩量的乘積

由(1) ＆求平方根＆已知 x＞0 由(2)

習題 8.1-4

已知 x：y＝2：3，且 x＋y＝20，求 x 與 y 之值為？

想法：若 a：b＝c：d，則我們可以假設 a＝c×r、b＝d×r 。 (r 為常數) 解：

敘述理由

(1) 假設 x＝2r、y＝3r (2) 2r＋3r＝20

(3) r＝20÷(2＋3)＝4 (4) x＝2r＝2×4＝8

y＝3r＝3×4＝12

已知 x：y＝2：3

將(1) 假設 x＝2r、y＝3r 代入已知 x＋y＝20 由(2) ＆解一元一次方程式

將(3) r＝4 已證代入(1) 假設 x＝2r、y＝3r

(3)

3

已知( x＋y)：(x－y)＝11：3，求 x 與 y 之比為？

想法：若 a：b＝c：d，則我們可以假設 a＝c×r、b＝d×r 。 (r 為常數) 解：

敘述理由

(1) 假設 x＋y＝11r、x－y＝3r (2) x＝7r、y＝4r

(3) 所以 x：y＝7r：4r＝7：4

已知( x＋y)：(x－y)＝11：3 由(1) ＆解二元一次聯立方程式由(2) ＆倍比定理

習題 8.1-6

三角形 ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：8，則∠A＝_________度，

∠B＝度，∠C＝度。

想法：利用三角形內角和 180°，求三內角之度數解：

敘述理由

(1) 假設∠A＝3r、∠B＝4r、∠C＝8r (2) ∠A＋∠B＋∠C＝180°

(3) 3r＋4r＋8r＝180°

(4) r＝180°÷( 3＋4＋8 )＝12°

(5) 所以∠A＝3×12°＝36°

∠B＝4×12°＝48°

∠C＝8×12°＝96°

已知∠A：∠B：∠C＝3：4：8 三角形內角和 180°

將(1)式代入(2)式得

由(3) ＆解一元一次方程式將(4) r＝12° 代入(1)式得

(4)

4

習題 8.1-7

有一正 n 邊形，其一個外角度數與一個內角度數的比為 2：1，

則 n＝，內角和為度。

想法：利用正 n 邊形內角與外角的關係求值解：

敘述理由

(1) 正 n 邊形一個外角度數＝

3600

n

(2) 正 n 邊形一個內角度數＝

(

n

2) 1800

n

− 

(3) 3600

n

：

(

n

2) 1800

n

−  ＝2：1

(4) 3600

n

×1＝

(

n

2) 1800

n

−  ×2

(5) 360°×1＝( n－2 )×180°×2 (6) n＝

0

360 1 180 2



 ＋2＝3

(7) 正三角形內角和為(3－2)×180°＝180°

正 n 邊形外角和 360° ＆正 n 邊形的每個外角均相等

正 n 邊形內角和( n－2 )×180° ＆正 n 邊形的每個內角均相等

由(1)、(2) ＆已知正 n 邊形，其一個外角度數與一個內角度數的比為 2：1

由(3) ＆內項乘積等於外項乘積由(4) ＆等式兩邊同乘 n 仍相等由(5) ＆解一元一次方程式正 n 邊形內角和( n－2 )×180° ＆由(6) n＝3

(5)

5

如圖 8.1-27，△ABC 中， ∥ ，＝5，＝4，＝6，則＝？

圖 8.1-27 想法：利用三角形之平行線截比例線段性質求解解：

敘述理由

(1) △ABC 中，

：＝：

(2) 5：4＝：6 (3) 5×6＝4×

(4) ＝5×6÷4＝7.5 (5) 所以＝＋

＝7.5＋6＝13.5

已知△ABC 中， ∥ ＆三角形之平行線截比例線段

將已知＝5，＝4，＝6 代入(1)式得由(2) ＆内項相乘等於外項相乘

由(3)式移項得

如圖所示＆全量等於分量之和將(4) ＝7.5 ＆已知＝6 代入

(6)

6

習題 8.1-9

如圖 8.1-28，△ABC 中， ∥ ，且：＝3：5，若＝24，試求。

敘述理由

(1) ＝＋ (2) 24＝＋ (3) ＝24－

(4) △ABC 中，

：＝：

(5) 3：5＝( 24－ )：

(6) 3× ＝5×( 24－ ) (7) ＝5×24÷(3＋5)＝15

如圖所示＆全量等於分量之和將已知＝24 代入(1)式得由(2)式移項得

將已知：＝3：5 ＆ (3) ＝24－

代入(4)式得

由(5) ＆内項相乘等於外項相乘由(6)式解一元一次方程式

(7)

7

如圖 8.1-29，△ABC 中， ∥ ，且＝10，＝

x

，＝2

x

－2，

＝6，試求

x

之值。

敘述理由

(1) △ABC 中，

：＝：

(2) 10：

x

＝( 2

x

－2 )：6

(3) 10×6＝

^x

×( 2

^x

－2 ) (4) 60＝2

x －2

²

^x

30＝

x －

²

x x －

2

^x

－30＝0 (

x

－6 )(

x

＋5 )＝0

x

＝6 或

x

＝－5(不合) (5) 所以

x

＝6

將已知＝10，＝

x

，＝2

x

－2，＝6 代入(1)式得

由(2) ＆内項相乘等於外項相乘由(3)式展開

等式兩邊同除 2 仍相等移項

十字交乘因式分解一元二次方程式已知

x

＝為線段長度必大於 0 由(4)

(8)

8

習題 8.1-11

如圖 8.1-30，△ABC 中， ＝16，＝8，＝22，＝11，試問與是否平行？為什麼？

圖 8.1-30

想法：一直線截三角形的兩邊成比例線段，則這直線必平行三角形的第三邊解：

敘述理由

(1) △ABC 中，：＝16：8＝2：1

(2) △ABC 中，：＝22：11＝2：1

(3) 所以：＝：成比例線段 (4) 所以 ∥

已知＝16，＝8 ＆化成最簡單整數比

已知＝22，＝11 ＆化成最簡單整數比

由(1) ＆ (2) 遞移律

由(3) 一直線截三角形的兩邊成比例線段，則這直線必平行這三角形的第三邊

(9)

9

如圖 8.1-31，L1∥L2∥L3，若＝6，＝9，＝10，則＝？

圖 8.1-31

想法：平行線截比例線段定理：任意兩直線被一組平行線所截，則截於平行線間的對應線段成比例。

解：

敘述理由

(1) ：＝：

(2) 6：9＝10：

(3) 6× ＝9×10 (4) ＝15

已知 L1∥L2∥L3，、為截線＆平行線截比例線段定理

由(1) ＆已知＝6，＝9，＝10 由(2) ＆外項乘積等於內項乘積

由(3) ＆解一元一次方程式

(10)

10

習題 8.1-13

如圖 8.1-32，L1∥L2∥L3，若＝7，＝6，＝3x－2，＝2x＋4，

則 x＝？

圖 8.1-32

想法：平行線截比例線段定理: 任意兩直線被一組平行線所截，則截於平行線間的對應線段成比例。

解：

敘述理由

(1) ：＝：

(2) 7：6＝( 3x－2 )：( 2x＋4 )

(3) 7×( 2x＋4 )＝6×( 3x－2 ) (4) x＝10

已知 L1∥L2∥L3，、為截線＆平行線截比例線段定理

由(1) ＆已知＝7，＝6，

＝3x－2，＝2x＋4

由(2) ＆外項乘積等於內項乘積由(3) ＆解一元一次方程式

(11)

11

如圖 8.1-33，M1、M2、M3、M4皆為直線，若 M1∥M2∥M3∥M4，直線 L1

與 L2為截線，：：＝3：5：4，＝60，試求和。

圖 8.1-33

想法：平行線截比例線段定理: 任意兩直線被一組平行線所截，則截於平行線間的對應線段成比例。

解：

敘述理由

(1) ：：＝：：

(2) ：：＝3：5：4

(3) 假設＝3r、＝5r、＝4r (4) ＝＋＋

(5) 60＝3r＋5r＋4r (6) r＝60÷(3＋5＋4)＝5 (7) ＝5r＝5×5＝25

＝4r＝4×5＝20

已知 M1∥M2∥M3∥M4，直線 L1與 L2 為截線＆平行線截比例線段定理

由(1) ＆已知：：＝3：5：4 由(2) ＆假設

如圖＆全量等於分量之和

將(3) 假設＆已知＝60 代入(4)式得由(5) ＆解一元一次方程式

將(6) r＝5 代入(3) ＝5r、＝4r

(12)

12

習題 8.1-15

如圖 8.1-34，已知三角形 ABC 中， 為∠BAC 的角平分線，若＝10，

＝6，＝12，則＝？

圖 8.1-34

想法：三角形內角平分線定理：三角形任一內角的角平分線，內分對邊所成兩線段的比，等於夾這內角的兩邊的比。

解：

敘述理由

(1) ：＝：

(2) 10：6＝：

(3) 假設＝10r、＝6r (4) ＝＋

(5) 12＝10r＋6r (6) r＝3

4

(7) ＝6r＝6×3 4＝9

2

已知三角形 ABC 中，為∠BAC 的角平分線＆三角形內角平分線定理

由(1) ＆已知＝10，＝6 由(2) ＆假設

如圖＆全量等於分量之和

由(4) ＆已知＝12 ＆ (3) 假設由(5) ＆解一元一次方程式

由(3) 假設＝6r ＆ (6) r＝3 4已證

(13)

13

如圖 8.1-35，已知三角形 ABC 中，∠EAC 為∠BAC 的外角， 為∠EAC 的角平分線，若＝10，＝6，＝8，則＝？

圖 8.1-35

想法：三角形外角平分線定理：三角形任一外角的角平分線，外分對邊延長線所成兩線段的比，等於夾這外角的鄰角兩邊的比。

解：

敘述理由

(1) ：＝：

(2) 10：6＝( ＋ )：

(3) 10：6＝( 8＋ )：

(4) 10× ＝6×( 8＋ ) (5) ＝12

已知三角形 ABC 中，為∠EAC 的角平分線

＆三角形外角平分線定理

由(1) ＆已知＝10，＝6 ＆＝＋由(2) ＆已知＝8

由(3) ＆外項乘積等於內項乘積由(4) ＆解一元一次方程式

(14)

14

習題 8.2

習題 8.2-1

已知四邊形 ABCD～四邊形 EFGH，∠A＝90°，∠C＝75°，∠H＝105°，

試求∠F。

想法：利用相似多邊形對應角相等解：

敘述理由

(1) ∠B＝∠F ＆∠D＝∠H＝105°

(2) 四邊形 ABCD 中

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°

(3) ∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D) ＝360°－(90°＋75°＋105°) ＝90°

(4) 所以∠F＝∠B＝90°

已知已知四邊形 ABCD～四邊形 EFGH

＆相似多邊形對應角相等

＆已知∠H＝105°

四邊形內角和為( 4－2 )×180°＝360°

由(2)移項＆

已知∠A＝90°，∠C＝75° ＆ (1) ∠D＝∠H＝105° 已證

由(1) ∠B＝∠F ＆ (3) ∠B＝90° 遞移律

(15)

15

設四邊形 ABCD～四邊形 EFGH，∠A：∠B：∠C＝3：5：7，且 ∠D＝60°，試求 ∠F、∠G。

想法：利用相似多邊形對應角相等解：

敘述理由

(1) 假設∠A＝3r、∠B＝5r、∠C＝7r (2) 四邊形 ABCD 中

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°

(3) 3r＋5r＋7r＋60°＝360°

(4) r＝( 360°－60° )÷( 3＋5＋7 )＝20°

(5) ∠B＝5r＝5×20°＝100°

∠C＝7r＝7×20°＝140°

(6) ∠F＝∠B＝100°

∠G＝∠C＝140°

已知∠A：∠B：∠C＝3：5：7 ＆假設

四邊形內角和為( 4－2 )×180°＝360°

將(1) 假設＆已知∠D＝60° 代入(2) 由(3) ＆解一元一次方程式

將 (4) r＝20° 代入(1) 假設∠B＝5r 將 (4) r＝20° 代入(1) 假設∠C＝7r 已知四邊形 ABCD～四邊形 EFGH ＆相似多邊形對應角相等＆

由(5) ∠B＝100°、∠C＝140° 已證

(16)

16

習題 8.2-3

如圖 8.2-47，已知△ABC～△DEC，且 ＝6，＝14，＝9，試求。

圖 8.2-47 想法：利用相似多邊形對應邊成比例

習題 8.2-4

已知四邊形 ABCD～四邊形 EFGH，若 ＝10，＝20，＝4，

試求。

想法：利用相似多邊形對應邊成比例解：

敘述理由

(1) ：＝：

(2) 10：4＝20：

(3) 10× ＝4×20 (4) ＝( 4×20 )÷10＝8

已知四邊形 ABCD～四邊形 EFGH ＆ 相似多邊形對應邊成比例

將已知＝10，＝20，＝4 代入(1)得由(2) ＆外項乘積等於內項乘積

由(3) 移項

敘述理由

(1) ：＝： (2) 6：9＝14：

(3) 6× ＝9×14

(4) ＝( 9×14 )÷6＝21

已知△ABC～△DEC ＆相似多邊形對應邊成比例將已知＝6，＝14，＝9 代入(1)得

由(2) ＆外項乘積等於內項乘積由(3) 移項

(17)

17

如圖 8.2-48，△ABC 中， ∥ ，且＝4，＝2，＝6，試求。

圖 8.2-48 想法：(1) 利用三角形(AAA)相似定理

(2) 相似多邊形對應邊成比例解：

敘述理由

(1) ADE＝B ＆ AED＝C (2) 在△ABC 與△ADE 中

A＝A

ADE＝B

AED＝C (3) △ABC～△ADE (4) ：＝：

(5) ＝＋＝4＋2＝6 (6) 6：4＝：6

(7) 6×6＝4×

(8) ＝( 6×6 )÷4＝9

已知 ∥ ＆同位角相等如圖 8.2-48 所示

共同角由(1) 已證由(1) 已證

由(2) ＆根據三角形(AAA)相似定理由(3) ＆相似多邊形對應邊成比例

全量等於分量之和＆已知＝4，＝2 將(5) ＝6 已證＆已知＝4、＝6 代入(4)

(18)

18

習題 8.2-6

如圖 8.2-49，△ABC 中， ∥ ，若：＝3：5，則：＝？

(2) 相似多邊形對應邊成比例 解：

敘述理由

(1) ADE＝B ＆ AED＝C (2) 在△ADE 與△ABC 中

A＝A

 B＝ ADE

 C＝ AED (3) △ADE～△ABC (4) ：＝： (5) ：＝5：3

(6) ( ＋ )：＝( 5＋3 )：3 (7) ：＝8：3

(8) ：＝3：8

(9) ：＝：＝3：8

已知 ∥ ＆同位角相等如圖 8.2-49 所示

共同角由(1) 已證由(1) 已證

由(2) ＆根據三角形(AAA)相似定理由(3) ＆相似多邊形對應邊成比例已知：＝3：5 ＆反比定理由(5) ＆合比定理

由(6) ＆＝＋由(7) ＆反比定理由(4) ＆ (8) 遞移律

(19)

19

如圖 8.2-50，△ABC 中，∠BDE＝∠A，且 ：＝3：5，若＝20，

＝9，試求和。

(2) 相似多邊形對應邊成比例 解：

敘述理由

(1) ∥

(2) 在△DBE 與△ABC 中 ∠BDE＝∠A

B＝B BED＝C (3) △DBE～△ABC (4) ：＝：

(5) ：＝：( ＋ ) (6) 3：5＝9：( ＋9 )

(7) 3×( ＋9 )＝5×9 (8) ＝( 5×9 )÷3－9＝6 (9) ：＝： (10) 3：5＝：20 (11) 5× ＝3×20

(12) ＝( 3×20 )÷5＝12

已知∠BDE＝∠A ＆同位角相等的兩直線互相平行

如圖 8.2-50 所示已知

共同角

由(1) ∥ ＆同位角相等由(2) ＆根據三角形(AAA)相似定理由(3) ＆相似多邊形對應邊成比例由(4) ＆＝＋

將已知：＝3：5 ＆＝9 代入(5) 由(6) ＆外項乘積等於內項乘積

由(7) ＆解一元一次方程式

由(3) ＆相似多邊形對應邊成比例

將已知：＝3：5 ＆＝20 代入(9) 由(10) ＆內項乘積等於外項乘積

由(11) 移項

(20)

20

(13) 所以＝6 ＆＝12 由(8) ＆ (12)

(21)

21

如圖 8.2-51，∠B＝∠E，且 ＝9，＝6，＝12，試求。

圖 8.2-51

想法：(1) 利用三角形(AAA)相似定理 (2) 相似多邊形對應邊成比例解：

敘述理由

(1) ∠B＝∠E (2) ∠ACB＝∠DCE

(3) ∠B＋∠ACB＝∠E＋∠DCE

(4) △ABC 中，∠A＝180－(B＋ACB) (5) △DEC 中，∠D＝180－(∠E＋∠DCE) (6) ∠A＝180－(B＋ACB)

＝180－(∠E＋∠DCE)＝∠D (7) 在△ABC 與△DEC 中

A＝D

∠B＝∠E

∠ACB＝∠DCE (8) △ABC～△DEC

(9) ：＝：

(10) 9：12＝6：

已知∠B＝∠E 對頂角相等

由(1)式加(2)式等量加法公理三角形內角和 180

三角形內角和 180

由(3)、(4) ＆ (5) 代換

如圖 8.2-51 所示由(6) 已證已知∠B＝∠E 由(2) 對頂角相等由(7) ＆

根據三角形(AAA)相似定理由(8) ＆

相似多邊形對應邊成比例將已知＝9，＝6，

＝12 代入(9)得

(22)

22

(11) 9× ＝12×6 (12) ＝( 12×6 )÷9＝8

(23)

23

如圖 8.2-52，△ABC 中，若 ⊥ 且 ⊥ ，求證△AFE～△BFD。

F

D E A

B C

圖 8.2-52 想法：利用三角形(AAA)相似定理

證明：

敘述理由

(1) ∠BDF＝∠AEF＝90

(2) ∠AFE＝∠BFD (3) △AFE 中，

∠EAF＝180－(∠AEF＋∠AFE ) ＝180－( 90＋∠AFE ) ＝90－∠AFE

(4) △BFD 中，

∠DBF＝180－(∠BDF＋∠BFD) ＝180－( 90＋∠BFD ) ＝90－∠BFD

＝90－∠AFE＝∠EAF (5) 在△AFE 與△BFD 中

∠AEF＝∠BDF

∠AFE＝∠BFD

∠EAF＝∠DBF (6) △AFE～△BFD

已知 ⊥ 且 ⊥

對頂角相等如圖 8.2-52 所示三角形內角和為 180

由(1) ∠AEF＝90

化簡

如圖 8.2-52 所示三角形內角和為 180

由(1) ∠BDF＝90

化簡

由(2) ＆ (3) 代換如圖 8.2-52 所示由(1) 已證對頂角相等由(4) 已證

由(5) ＆根據三角形(AAA)相似定理

(24)

24

習題 8.2-10

如圖 8.2-53，∠C＝∠D＝90°，若 ＝6，＝8，＝3，則＝？

(2) 相似多邊形對應邊成比例 證明：

敘述理由

(1) ∠AEC＝∠BED (2) △AEC 中，

∠A＝180－(∠AEC＋∠C ) ＝180－(∠AEC＋90 ) ＝90－∠AEC

(3) △BED 中，

∠B＝180－(∠BED＋∠D ) ＝180－(∠BED＋90 ) ＝90－∠BED

＝90－∠AEC＝∠A (4) 在△AEC 與△BED 中

∠C＝∠D

∠AEC＝∠BED

∠A＝∠B (5) △AEC～△BED (6) ：＝： (7) 6：3＝8：

(8) 6× ＝3×8 (9) ＝( 3×8 )÷6＝4

對頂角相等如圖 8.2-53 所示三角形內角和為 180

已知∠C＝90°

化簡

如圖 8.2-53 所示三角形內角和為 180

已知∠D＝90°

化簡

由(1) ＆ (2) 代換如圖 8.2-53 所示已知∠C＝∠D＝90°

對頂角相等由(3) 已證

由(4) ＆根據三角形(AAA)相似定理由(5) ＆相似多邊形對應邊成比例

將已知＝6，＝8，＝3 代入(6)式得由(7) ＆內項乘積等於外項乘積

由(8) 移項

(25)

25

如圖 8.2-54，△ABC 中，若 ＝＝12，＝＝6，則＝？

(2) 相似多邊形對應邊成比例解：

敘述理由

(1) △ABC 為等腰三角形

(2) ∠ABC＝∠C

(3) △BDC 為等腰三角形

(4) ∠BDC＝∠C

(5) ∠ABC＝∠BDC＝∠C

(6) △ABC 中，∠A＝180－(∠ABC＋∠C) ＝180－(∠C＋∠C) ＝180－2∠C

(7) △BDC 中，∠DBC＝180－(∠BDC＋∠C) ＝180－(∠C＋∠C) ＝180－2∠C

(8) ∠A＝∠DBC

(9) 在△ABC 與△BDC 中

∠A＝∠DBC

∠ABC＝∠BDC

∠C＝∠C

已知＝＆兩腰等長為等腰三角形

由(1) ＆等腰三角形兩底角相等

已知＝＆兩腰等長為等腰三角形

由(3) ＆等腰三角形兩底角相等

由(2) ＆ (4) 遞移律三角形內角和 180 ＆由(2) ∠ABC＝∠C

三角形內角和 180

由(4) ∠BDC＝∠C

由(6) ＆ (7) 遞移律如圖 8.2-54 所示由(8) 已證

由(5) ∠ABC＝∠BDC 已證共同角

(26)

26

(10) △ABC～△BDC

(11) ：＝：

(12) 12：6＝6：

(13) 12× ＝6×6

(14) ＝( 6×6 )÷12＝3

(15) ＝－＝12－3＝9

由(9) ＆根據三角形 (AAA) 相似定理

由(10) ＆相似多邊形對應邊成比例

將已知＝12，＝＝6 代入(11)得

由(12) ＆外項乘積等於內項乘積

由(13) 移項

如圖＝－＆已知＝12 ＆

由(14) ＝3 已證

(27)

27

如圖 8.2-55，△ABC～△A'B'C'， 與分別為與上的高，若

＝24 公分，＝18 公分，＝16 公分，則＝？

圖 8.2-55 想法：相似三角形對應高的比等於對應邊的比 解：

敘述理由

(1) ：＝：

(2) 16 公分：＝24 公分：18 公分

(3) ×24 公分＝16 公分×18 公分 (4) ＝(16 公分×18 公分)÷24 公分

＝12 公分

已知△ABC～△A'B'C'，與分別為與上的高＆相似三角形對應高的比等於對應邊的比

由(1) ＆已知＝24 公分，＝18 公分，

＝16 公分

由(2) 內項乘積等於外項乘積由(3) 移項

(28)

28

習題 8.2-13

如圖 8.2-56，設 為圓之直徑，切圓於 B 點，與圓周相交於 E 點，

求證：

(a) ²＝ × (b) ²＝ × (c) ²＝ ×

E

A B

D

圖 8.2-56 想法：(1) 切線與過切點的半徑互相垂直 (2) 直徑所對的圓周角為直角 (3) 直角三角形中比例中項定理

(4) 直角三角形中直角邊比例中項定理 證明：

敘述理由

(1) ⊥ ，△ABD 為直角三角形

(2) ∠BEA＝90， ⊥

(3) ²＝ ×

(4) ²＝ × ＆ ²＝ ×

已知為圓之直徑，切圓於 B 點＆切線與過切點的半徑互相垂直

已知為圓之直徑，與圓周相交於 E 點＆直徑所對的圓周角為直角由(1)＆(2) 直角三角形中比例中項定理由(1) ＆ (2) 直角三角形中直角邊比例中項定理

(29)

29

如圖 8.2-57，△ABC 中，已知∠ABC＝90°， ⊥ ，且＝5、

＝10，則：(1) ＝？ (2) ＝？ (3) ＝？

圖 8.2-57 想法：(1) 直角三角形中比例中項定理

(2) 直角三角形中直角邊比例中項定理解：

敘述理由

(1) ²＝ ×

(2) ²＝5×10 (3) ＝  5 2 (4) 所以＝ 5 2 (5) ²＝ ×

(6) ²＝15×5 (7) ＝

 5 3

(8) 所以＝

5 3

(9) ²＝ ×

(10) ²＝15×10 (11) ＝

 5 6

(12) 所以＝

_{5 6}

已知∠ABC＝90°， ⊥ ＆直角三角形中比例中項定理

由(1) ＆已知＝5、＝10 由(2) ＆求平方根

由(3) ＆為線段長度必大於 0

已知∠ABC＝90°， ⊥ ＆直角三角形中直角邊比例中項定理

由(5) ＆＝＋＆已知＝5、＝10 由(6) ＆求平方根

由(9) ＆＝＋＆已知＝5、＝10 由(10) ＆求平方根

(30)

30

(13) 所以＝ 5 2 ＝

_{5 3}

＝

_{5 6}

由(4)、(8) ＆ (12) 已證

(31)

31

如圖 8.2-58，△ABC 中，已知∠ABC＝90°， ⊥ ，且＝9、

＝12、＝15，則：(1) ＝？ (2) ＝？ (3) ＝？

圖 8.2-58 想法：(1) 直角三角形中比例中項定理

(2) 直角三角形中直角邊比例中項定理解：

敘述理由

(1) ²＝ ×

(2) 9²＝15×

(3) ＝9²÷15＝5.4 (4) ²＝ ×

(5) 12²＝15×

(6) ＝12²÷15＝9.6 (7) ²＝ ×

(8) ²＝5.4×9.6 (9) ＝

 ^{5.4 9.6} 

＝ 7.2 (10) 所以＝7.2 (11) 所以＝5.4

＝9.6 ＝7.2

由(1) ＆已知＝9、＝15 由(2) 移項

由(4) ＆已知＝12、＝15 由(5) 移項

已知∠ABC＝90°， ⊥ ＆直角三角形中比例中項定理

將(3) ＝5.4 ＆ (6) ＝9.6 代入(7)得由(8) ＆求平方根

由(9) ＆為線段長度必大於 0 由(3)、(6) ＆ (10) 已證

(32)

32

習題 8.2-16

如圖 8.2-59，△ABC 與△EDC 中， ＝6，＝12，＝10，＝20，

則△ABC 與△EDC 是否相似？為什麼？

圖 8.2-59 想法：利用三角形(SAS)相似定理

解：

敘述理由

(1) ：＝12：20＝3：5 (2) ：＝6：10＝3：5 (3) 在△ABC 與△EDC 中，

ACB＝ECD

：＝：

(4) 所以△ABC～△EDC

已知＝12、＝20 ＆倍比定理已知＝6、＝10 ＆倍比定理如圖 8.2-59 所示

對頂角相等

由(1) ＆ (2) 遞移律

由(3) ＆根據三角形(SAS)相似定理

(33)

33

如圖 8.2-60，△ABC 中， ＝4，＝6，＝3，＝17，則：

(1) △BAC 與△BDE 是否相似？為什麼？

(2) 若＝16，試求。

圖 8.2-60 想法：利用三角形(SAS)相似定理

解：

敘述理由

(1) ＝＋＝6＋4＝10 (2) ＝＋＝3＋17＝20 (3) ：＝10：3

(4) ：＝20：6＝10：3 (5) 在△BAC 與△BDE 中，

B＝ B

：＝：

(6) 所以△BAC～△BDE (7) ：＝： (8) 16：＝10：3

(9) ×10＝16×3

(10) ＝( 16×3 )÷10＝4.8

全量等於分量之和＆已知＝4、＝6 全量等於分量之和＆已知＝3、＝17 由(1) ＝10 已證、已知＝3

由(2) ＝20 已證、已知＝6 ＆倍比定理如圖 8.2-60 所示

共同角

由(3) ＆ (4) 遞移律

由(5) ＆根據三角形(SAS)相似定理由(6) ＆相似多邊形對應邊成比例

將已知＝16 ＆ (4) ：＝10：3 已證代入(7)得

由(8) ＆內項乘積等於外項乘積由(9) 移項

(34)

34

習題 8.2-18

如圖 8.2-61， ＝18，＝24，＝12，＝8，＝16，則：

(1) 證明：△ABC～△CAD

(2) ∠ACD 與△ABC 的哪個角相等？

圖 8.2-61 想法：(1) 利用三角形(SSS)相似定理

(2) 相似多邊形對應角相等解：

敘述理由

(1) 在△ABC 與△CAD 中

：＝18：12＝3：2

：＝24：16＝3：2

：＝12：8＝3：2 (2) ：＝：＝： (3) 所以△ABC～△CAD (4) ∠ACD＝∠BAC

如圖 8.2-61 所示

已知＝18、＝12 ＆倍比定理已知＝24、＝16 ＆倍比定理已知＝12、＝8 ＆倍比定理由(1) ＆遞移律

由(2) ＆根據三角形(SSS)相似定理由(3) ＆相似多邊形對應角相等

(35)

35

如圖 8.2-62，弦 與弦 交於 P 點。若 ＝5，＝6，則 × ＝。

圖 8.2-62 想法：利用圓內冪性質來解題

解：

敘述理由

(1) × ＝ × (2) × ＝5×6＝30

已知弦與弦 交於 P 點＆圓內冪性質 由(1) ＆已知＝5，＝6

習題 8.2-20

如圖 8.2-63，圓的兩弦 和 相交於 P 點。若 ＝15，＝4，＝5，

則 ＝________。

解：

敘述理由

(1) × ＝ × (2) ×5＝15×4

(3) ＝( 15×4 )÷5＝12

已知弦與弦 交於 P 點＆圓內冪性質 由(1) ＆已知＝15，＝4，＝5 由(2) 移項

(36)

36

習題 8.2-21

如圖 8.2-64，圓的兩弦 和相交於 E 點，且＞。若＝15，

＝5，＝28，則＝______。

解：

敘述理由

(1) ＝＋

(2) ＝－＝28－

(3) × ＝ ×

(4) ×( 28－ )＝15×5

(5) ＝3 或＝25 (6) 當＝3 時，

＝28－＝28－3＝25 不合 (7) 當＝25 時，

＝28－＝28－25＝3 (8) 所以＝25

如圖 8.2-64 所示，全量等於分量之和由(1) 移項＆已知＝28

已知圓的兩弦和相交於 E 點＆圓內冪性質

將(2) ＝28－已證＆已知＝15，＝5 代入(3) 由(4) ＆解一元二次方程式

將(5) ＝3 代入 (2) ＝28－＆已知＞

將(5) ＝25 代入 (2) ＝28－＆已知＞

由(7)

(37)

37

如圖 8.2-65，通過圓外一點 P，作兩條割線，分別與圓交於 A、B 及 C、D\

四點。已知＝6，＝15，＝5，則＝？

圖 8.2-65 想法：利用圓外冪性質解題

解：

敘述理由

(1) × ＝ ×

(2) 6×15＝5×

(3) ＝6×15÷5＝18

已知通過圓外一點 P，作兩條割線，分別與圓交於 A、B 及 C、D 四點＆圓外冪性質由(1) ＆已知＝6，＝15，＝5 由(2) 移項

(38)

38

習題 8.2-23

如圖 8.2-66，若圓的兩弦 與延長線相交於圓外一點 P。已知＝4，

＝5，＝6，則＝。

解：

敘述理由

(1) × ＝ ×

(2) ×( ＋ )＝ ×( ＋ ) (3) 4×( 4＋6 )＝5×( 5＋ )

(4) ＝[4×( 4＋6 )－5×5]÷5＝3

已知圓的兩弦與延長線相交於圓外一點 P ＆圓外冪性質

由(1) ＆＝＋、＝＋由(2) ＆已知＝4，＝5，＝6 由(3) ＆解一元一次方程式

(39)

39

如圖 8.2-67， 、為圓的兩弦，且兩弦的延長線相交於 P 點。

若＝ ＝x， ＝x－2， ＝3x－4，則 ＝？

解：

敘述理由

(1) × ＝ ×

(2) ×( ＋ )＝ ×( ＋ )

(3) x(x＋x)＝(x－2)[(x－2)＋(3x－4)]

(4) x＝1 或 x＝6 (5) 當 x＝1 時，

＝x－2＝1－2＝－1 不合 (6) 當 x＝6 時，

＝ ＝x＝6

＝x－2＝6－2＝4

＝3x－4＝3×6－4＝14 (7) 所以＝14

已知、為圓的兩弦，且兩弦的

延長線相交於 P 點＆圓外冪性質由(1) ＆

＝＋、＝＋

由(2) ＆已知＝ ＝x，

＝x－2， ＝3x－4 由(3) ＆解一元二次方程式 將(4) x＝1 代入已知 ＝x－2

＆為線段長度必大於 0 將(4) x＝6 代入已知

＝＝x

＝x－2

＝3x－4

由(6) ＝14 已證

(40)

40

習題 8.2-25

如圖 8.2-68， 切圓於 A 點，為割線且交圓於 C、D 兩點。若＝8，

＝16，則＝？

圖 8.2-68 想法：利用圓切冪性質解題

解：

敘述理由

(1) ²＝ ×

(2) 8²＝16×

(3) ＝8²÷16＝4

已知切圓於 A 點，為割線且交圓於 C、D 兩點＆圓切冪性質

由(1) ＆已知＝8，＝16 由(2) 移項

(41)

41

如圖 8.2-69， 切圓於 A 點，為割線且交圓於 C、D 兩點。若＝4，

＝12，則＝？

圖 8.2-69 想法：利用圓切冪性質解題

解：

敘述理由

(1) ²＝ ×

(2) ²＝( ＋ )×

(3) ²＝(4＋12)×4 (4) ＝8 或＝－8 (5) 所以＝8

已知切圓於 A 點，為割線且交圓於 C、

D 兩點＆圓切冪性質由(1) ＆＝＋

由(2) ＆已知＝4，＝12 由(3) 求平方根

(42)

42

習題 8.3

習題 8.3-1

圖 8.3-54 已知：如圖 8.3-54，為△ABC 中上的高求證： ²－ ²＝ ²－ ²

想法：利用畢氏定理來證明 證明：

敘述理由

(1) ⊥ ，∠ADB＝∠ADC＝90°

(2) △ADB 為直角三角形

2＝ ²＋ ²

(3) △ADC 為直角三角形

2＝ ²＋ ²

(4) ²－ ²＝( ²＋ ²)－( ²＋ ²) (5) 所以 ²－ ²＝ ²－ ²

已知為△ABC 中上的高由(1) ∠ADB＝90°

畢氏定理

由(1) ∠ADC＝90°

畢氏定理

由(2)式－(3)式得由(4) 化簡

(43)

43

如圖 8.3-55，已知△ABC、△ACD、△ADE 為直角三角形，其中

∠B＝∠ACD＝∠ADE＝90°，且＝＝＝＝1，求＝？

圖 8.3-55 想法：利用畢氏定理解題

解：

敘述理由

(1) ²＋ ²＝ ²

(2) 1²＋1²＝ ²

(3) ＝－ 2 或 ＝ 2 (4) 所以 ＝ 2

(5) ²＋ ²＝ ²

(6) 2²＋1²＝ ²

(7) ＝－

3

或＝

3

(8) 所以＝

₃

(9) ²＋ ²＝ ²

(10)

₃

²＋1²＝ ² (11) ＝－2 或＝2 (12) 所以＝2

已知△ABC 為直角三角形，B＝90 ＆畢氏定理

由(1) ＆已知＝＝1 由(2) 求平方根

已知△ACD 為直角三角形，ACD＝90 ＆畢氏定理

由(5) ＆已知＝1、(4) ＝ 2 由(6) 求平方根

已知△ADE 為直角三角形，ADE＝90 ＆畢氏定理

由(9) ＆已知＝1、(8) ＝

₃

由(10) 求平方根

(44)

44

習題 8.3-3

如圖 8.3-56， ⊥ ，∠B＝30°，∠ADE＝60°，∠C＝45°，若＝2，

求與之值。

圖 8.3-56

想法：(1) 利用 30-90-60的直角三角形邊長比為 1：2：

3

(2) 等腰直角三角形邊長比為 1：1： 2

解：

敘述理由

(1) ∠AEB＝∠AEC＝90°

(2) △AED 中，

∠DAE＋∠ADE＋∠AED＝180°

(3) ∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED ＝180°－60°－90°

＝30°

(4) △AED 為 30-90-60的直角三角形

(5) ：：＝1：2：

₃

(6) ：2：＝1：2：

₃

(7) ＝1 ＆＝

3

(8) △BAE 中，

∠B＋∠AEB＋∠BAE＝180°

(9) ∠BAE＝180°－∠AEB－∠B ＝180°－90°－30°＝60°

(10) △BEA 為 30-90-60的直角三角形

已知 ⊥

如圖 8.3-56 所示三角形內角和 180°

由(3) 移項

將已知∠ADE＝60° ＆ (1) ∠AEB＝90° 代入由(3) ∠DAE＝30° ＆

已知∠ADE＝60° ＆(1)∠AEB＝90°

由(4) ＆ 30-90-60的直角三角形邊長比為 1：2：

3

由(5) ＆已知＝2 由(6)

由(8) 移項

將已知∠B＝30° ＆ (1)∠AEB＝90°

代入

由(1) ∠AEB＝90°、(9) ∠BAE＝60°

(45)

45

(12) ：＝1：

₃

(13) ＝ ×

₃

＝

3

×

₃

＝3

(14) ＝＋

(15) ＝－＝3－1＝2

(16) △AEC 中，

∠C＋∠AEC＋∠CAE＝180°

(17) ∠CAE＝180°－∠C－∠AEC ＝180°－45°－90°

＝45°

(18) △AEC 為等腰直角三角形

(19) ：：＝1：1： 2

(20) ：＝1： 2 (21)

₃

：＝1： 2 (22) ＝

3

× 2 ＝

6

(23) 所以＝2 ＆＝

6

由(10) ＆ 30-90-60的直角三角形邊長比為 1：2：

3

由(11)

由(12) ＆內項乘積等於外項乘積

＆ (7) ＝

₃

已證

如圖所示，全量等於分量之和由(14) 移項＆ (13) ＝3 ＆ (7) ＝1 已證

由(16) 移項

已知∠C＝45° ＆ (1) ∠AEC＝90°

由(17) ∠CAE＝45°、(1) ∠AEC＝90°

＆已知∠C＝45°

由(18) ＆等腰直角三角形邊長比為 1：1： 2

由(19)

由(20) ＆ (7) ＝

₃

已證由(21) ＆內項乘積等於外項乘積由(15) ＆ (22) 已證

(46)

46

習題 8.3-4

如圖 8.3-57，圓 I 為直角三角形 ABC 的內切圓，D、E、F 為切點， ⊥ 。若＝4 公分，＝3 公分，求圓 I 的半徑。

圖 8.3-57 想法：(1) 利用畢氏定理求出直角三角形的斜邊長

(2) 利用第七章例題 7.3-11 的結論，求出直角三角形內切圓半徑

^圖(a)

解：

敘述理由

(1) 連接、、如上圖(a)所示，

則＝＝為圓 I 半徑 (2) 直角三角形 ABC 中

2＝ ²＋ ²

＝(4 公分)²＋(3 公分)²

＝16 平方公分＋9 平方公分

＝25 平方公分

(3) ＝5 公分或＝－5 公分 (4) ＝5 公分

作圖＆已知圓 I 為直角三角形 ABC 的內切圓，D、E、F 為切點

畢氏定理＆

已知直角三角形 ABC 中， ⊥ ＆

＝4 公分，＝3 公分

由(2) 求平方根

(47)

47

＝AB BC AC 2 + −

＝ + 3 2

4公分公分-5公分＝1 公分

利用第七章例題 7.3-11 的結論：直角三角形內接圓半徑＝(兩股和減去斜邊)÷2 ＆已知圓 I 為直角三角形 ABC 的內切圓，

⊥ ＆＝4 公分，＝3 公分＆由(4) ＝5 公分已證

(48)

48

習題 8.3-5

如圖 8.3-58，已知 I 為△ABC 的內心，若∠BIC＝135°，且＝7 公分，

＝24 公分，試求△ABC 內切圓的半徑。

圖 8.3-58

想法：(1) 利用例題 4.3-2 結論：若 I 點為△ABC 的內心，則BIC＝90＋1

2BAC (2) 利用畢氏定理求出直角三角形的第三邊

(3) 利用第七章例題 7.3-11 的結論，求出直角三角形內切圓半徑解：

敘述理由

(1) BIC＝90＋1

2BAC (2) 135°＝90＋1

2BAC

(3) BAC＝(135°－90)×2＝90

(4) △ABC 為直角三角形

2＝ ²＋ ²

(5) ²＝(7 公分)²＋(24 公分)²

＝49 平方公分＋576 平方公分＝625 平方公分

(6) ＝25 公分或＝－25 公分 (7) ＝25 公分

(8) △ABC 內切圓半徑

＝AB AC BC 2 + −

＝ + 24 25

2

7公分公分- 公分

＝3 公分

已知 I 點為△ABC 的內心＆利用例題 4.3-2 結論

由(1) ＆已知∠BIC＝135°

由(2) 求BAC 之值

由(3) ＆直角三角形定義＆畢氏定理

由(4) ＆已知＝7 公分，＝24 公分

由(5) 求平方根

由(6) ＆為線段長度必大於 0 已知 I 為△ABC 的內心＆

利用第七章例題 7.3-11 的結論＆已知＝7 公分，＝24 公分＆ (7) ＝25 公分已證

(49)

49

有一個直角三角形，其外心到三頂點的距離和為 75 公分，若有一股長為 14 公分，則：

(1) 此直角三角形外接圓半徑為何？

(2) 此三角形的另一股長為何？

(3) 此直角三角形內切圓半徑為何？

圖(a)

想法：(1) 利用例題 4.3-3 結論：直角三角形斜邊中點為此三角形的外心。在圖形中找出直角三角形的外心

(2) 利用三角形的外心到三頂點等距離的性質，求出斜邊長 (3) 利用畢氏定理求出另一股長

(4) 利用第七章例題 7.3-11 的結論，求出直角三角形內切圓半徑解：

敘述理由

(1) 依題目敘述畫出圖形，如上圖 (a) 所示，其中△ABC 為直角三角形，

BAC＝90，＝14 公分，

O 點為其外接圓圓心，＝＝為此直角三角形 ABC 的外接圓半徑 (2) ＋＋＝75 公分

(3) ＋＋＝75 公分

(4) 外接圓半徑＝(75 公分)÷3＝25 公分 (5) ＝＝＝25 公分

(6) ＝＋

＝25 公分＋25 公分＝50 公分 (7) △ABC 中， ²＋ ²＝ ²

作圖＆已知有一股長為 14 公分＆例題 4.3-3 結論：直角三角形斜邊中點為此三角形的外心＆

三角形的外心到三頂點等距離

由(1) O 點為△ABC 外接圓圓心＆

已知外心到三頂點的距離和為 75 公分由(2) ＆ (1) ＝＝

由(3) 求之值

由(1) ＝＝＆ (4) ＝25 公分遞移律全量等於分量之和＆ (5) ＝＝25 公分

已知△ABC 為直角三角形＆畢氏定理

(50)

50

(8) ²＝ ²－ ²

＝(50 公分)²－(14 公分)²

＝2304 平方公分

(9) ＝48 公分或＝－48 公分 (10) 另一股長＝48 公分

(11) 直角三角形 ABC 內切圓半徑

＝AB AC BC 2 + −

＝14 + 48 50 2

公分公分- 公分

＝6 公分

由(7) 移項＆ (1) ＝14 公分＆ (6) ＝50 公分

由(8) 求平方根

利用第七章例題 7.3-11 的結論求直角三角形內切圓半徑＆

(1) ＝14 公分＆ (6) ＝50 公分

＆ (10) ＝48 公分已證

(51)

51

如圖 8.3-59，長方形 ABCD 中，對角線 、相交於 O 點，且＝24，

^＝7，求 ^之值。

圖 8.3-59 想法：(1) 長方形對角線互相平分

(2) 畢氏定理 解：

敘述理由

(1) ∠BAD＝90°

(2) △BAD 為直角三角形 (3) ²＋ ²＝ ² (4) 7²＋24²＝ ²

(5) ＝－25 或 ＝25 (6) 所以 ＝25

(7) ＝＝1 2

(8) 所以＝1

2×25＝12.5

已知 ABCD 為長方形＆長方形四個內角皆為直角由(1)

由(2) ＆畢氏定理

由(3) ＆已知＝7、＝24 由(4) 求平方根

已知 ABCD 為長方形，對角線、相交於 O 點＆長方形對角線互相平分

將(6) ＝25 代入(7) ＝1 2

(52)

52

習題 8.3-8

如圖 8.3-60，長方形 ABCD 中，對角線 、相交於 O 點，且＝13，

^＝10，求 ^＋

＋

之值。

圖 8.3-60 想法：(1) 長方形對角線等長

(2) 長方形對角線互相平分 (3) 長方形對邊等長

(4) 畢氏定理 解：

敘述理由

(1) ＝＝13

(2) ＝＋ ＝13＋13＝26 (3) ＝＝26

(4) ＝＝1

2 ＝13 (5) ∠ABC＝90°

(6) △ABC 為直角三角形 (7) ²＋ ²＝ ² (8) ²＋10²＝26²

(9) ＝－24 或 ＝24 (10) 所以 ＝24

(11) ＝＝24

已知 ABCD 為長方形，對角線、相交於 O 點＆長方形對角線互相平分＆已知＝13

全量等於分量之和＆ (1) ＝＝13 已知 ABCD 為長方形＆長方形對角線等長

＆ (2) ＝26 已證

已知 ABCD 為長方形，對角線、相交於 O 點＆長方形對角線互相平分＆ (3) ＝26 已證

已知 ABCD 為長方形由(5)

由(6) ＆畢氏定理

由(7) ＆已知＝10 ＆ (2) ＝26 已證由(8) 求平方根

已知 ABCD 為長方形＆長方形對邊等長

＆由(10) ＝24 已證

(53)

53

＝13＋13＋24＝50 (11) ＝24 已證

(54)

54

習題 8.3-9

如圖 8.3-61，矩形 ABCD 中， ＝5，＝12。以 A 為圓心，r 為半徑畫圓，使得 B、 C、D 中的一點在圓外，兩點在圓內，求 r 的範圍。

圖 8.3-61

想法：(1) 利用畢氏定理求出之值；

(2) 利用點與圓心的距離來判斷點與圓的關係：

1. 點與圓心的距離小於 r，則此點位於圓內；

2. 點與圓心的距離等於 r，則此點位於圓周上；

3. 點與圓心的距離大於 r，則此點位於圓外；

圖(a)

圖(b) 圖(c)

(55)

55

解：

敘述理由

(1) 連接，如上圖(a)所示 (2) ＝＝12

(3) △ABC 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(4) 5²＋12²＝ ²

(5) ＝－13 或＝13 (6) 所以＝13

(7) 以 A 為圓心，＝5 為半徑畫圓，

如上圖(b)所示，

因＝5＝r，故 B 點在圓周上；

因＝13＞r，故 C 點在圓外；

因＝12＞r，故 D 點在圓外；

(8) 以 A 為圓心，＝12 為半徑畫圓如上圖(c)所示，

因＝5＜r，故 B 點在圓內；

因＝12＝r，故 D 點在圓周上；

(9) 以 A 為圓心，＝13 為半徑畫圓，

如上圖(d)所示，

因＝13＝r，故 C 點在圓周上；

因＝12＜r，故 D 點在圓內；

(10) 以 A 為圓心，12＜＜13 為半徑畫圓，如上圖(e)所示，

因＝12＜r，故 D 點在圓內；

(11) 所以當 12＜r＜13 時，

B、D 兩點在圓內；C 點在圓外

作圖

已知 ABCD 為矩形＆矩形對邊相等

＆已知＝12

已知 ABCD 為矩形＆ ∠B＝90°

畢氏定理

由(3) ＆已知＝5 ＆ (2) ＝12 由(4) 求平方根

由(5) ＆為線段長度必大於 0 作圖

點與圓心的距離等於 r，則此點位於圓周上點與圓心的距離大於 r，則此點位於圓外點與圓心的距離大於 r，則此點位於圓外作圖

點與圓心的距離小於 r，則此點位於圓內點與圓心的距離大於 r，則此點位於圓外點與圓心的距離等於 r，則此點位於圓周上作圖

點與圓心的距離小於 r，則此點位於圓內點與圓心的距離等於 r，則此點位於圓周上點與圓心的距離小於 r，則此點位於圓內作圖

點與圓心的距離小於 r，則此點位於圓內點與圓心的距離大於 r，則此點位於圓外點與圓心的距離小於 r，則此點位於圓內由(10) 已證

(56)

56

習題 8.3-10

如圖 8.3-62 ，已知半圓 O 的半徑為 2，且 C、D、E 三點將半圓弧分成四等 分，則 ²＋ ²＋ ²＝？

圖 8.3-62 想法：(1) 同圓中等弧對等弦

(2) 利用直徑所對的圓周角為直角 (3) 畢氏定理

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 連接、，如上圖(a)所示 (2) BE︵

＝AC︵

、BD︵

＝AD︵ (3) ＝、＝

(4) △ABE 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(5) ²＋ ²＝4²＝16

(6) △ABD 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(7) ²＋ ²＝4²＝16

作圖

已知 C、D、E 三點將半圓弧分成四等分由(2) ＆同圓中等弧對等弦

為直徑＆直徑所對的圓周角E 為直角＆畢氏定理

由(4) ＆ (3) ＝＆已知圓半徑為 2，圓直徑＝4

為直徑＆直徑所對的圓周角D 為直角＆畢氏定理

由(6) ＆ (3) ＝＆已知圓半徑為 2，圓直徑＝4

(57)

57

(9) 所以 ²＋ ²＋ ² ＝( ²＋ ²)＋ ² ＝16＋8＝24

題目所求加法交換律

由(5) ²＋ ²＝16 ＆ (8) ²＝8

習題 8.3-11

已知有一圓 O， 為其一弦，且＝16 公分，此弦到圓心的距離是 15

公分，則此圓 O 的直徑為______公分。

想法：(1) 利用定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理 (2) 畢氏定理

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 根據已知作圖，如上圖(a)所示為圓 O 之半徑；為弦心距 (2) ⊥ ，OHA＝90

(3) ＝＝1

2 ＝1

2×16＝8 (4) △OHA 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(5) 15²＋8²＝ ²

(6) ＝－17 或＝17 (7) 所以＝17

已知有一圓 O，為其一弦，且＝16 公分，此弦到圓心的距離是 15 公分由(1) 為弦心距

根據定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理＆

垂直平分＆已知＝16 由(2) OHA＝90

畢氏定理

由(4) ＆已知弦到圓心的距離＝15

＆ (3) ＝8 由(5) 求平方根

(58)

58

(8) 所以圓 O 的直徑為 2 ＝34 由(7) ＆直徑為半徑的 2 倍 習題 8.3-12

如圖 8.3-63，圓 O 是半徑為 5 的圓， 、為圓 O 的兩弦， ⊥ ，

⊥ 。則：

(1) 若＝4，則＝？

(2) 若＝8，則＝？

圖 8.3-63 想法：(1) 利用定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理 (2) 畢氏定理

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 連接、，如上圖(a)所示，

＝＝5 為圓 O 之半徑，

(2) OMB＝90

(3) ＝＝1 2

作圖

已知圓之半徑為 5

已知 ⊥

根據定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理＆垂直平分

(59)

59

2＋ ²＝ ²

(5) 4²＋ ²＝5²

(6) ＝－3 或＝3 (7) 所以＝3

(8) 3＝1 2

(9) ＝2×3＝6 (10) OND＝90

(11) ＝＝1

2 ＝1

2×8＝4 (12) △OND 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(13) ²＋4²＝5²

(14) ＝－3 或＝3 (15) 所以＝3

畢氏定理

由(4) ＆已知＝4 ＆ (1) ＝5 由(5) 求平方根

由(6) ＆為線段長度必大於 0 由(3) ＝1

2 ＆ (7) ＝3 由(8) 等式兩邊同乘以 2

已知 ⊥

根據定理 7.2-5 垂直於弦的直徑定理＆垂直平分＆已知＝8

由(10)  OND＝90

畢氏定理

由(12) ＆ (11) ＝4 ＆ (1) ＝5 由(13) 求平方根

(60)

60

習題 8.3-13

如圖 8.3-64， 、與皆為圓 O 的弦，其弦心距分別為、與。

已知＝16，＝6，＝8，＝14，則：

(1) 圓 O 的半徑＝。 (2) ＝。

(3) 弦＝______。

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 連接、與，如上圖(a) 所示；

＝＝為圓 O 之半徑；

(2) ⊥ ，OXA＝90

(3) ＝＝1

2 ＝1

2×16＝8 (4) △OXA 為直角三角形，

作圖

已知為弦心距

垂直平分＆已知＝16 由(2)  OXA＝90

(61)

61

(5) 6²＋8²＝ ²

(6) ＝－10 或＝10 (7) 所以圓半徑＝10 (8) ＝＝＝10 (9) ⊥ ，OYD＝90

(10) ＝＝1

2 ＝1

2×14＝7 (11) △OYD 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(12) ²＋7²＝10²

(13) ＝－

51

或＝

51

(14) 所以＝

51

(15) ⊥ ，OZE＝90

(16) ＝＝1 2

(17) △OEZ 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(18) 8²＋ ²＝10²

(19) ＝－6 或＝6 (20) 所以＝6

(21) 6＝1 2

(22) 所以＝2×6＝12

由(4) ＆已知＝6 ＆ (3) ＝8 由(5) 求平方根

由(6) ＆為線段長度必大於 0 由(7) ＆ (1) ＝＝遞移律已知為弦心距

垂直平分 ＆已知 ＝14

由(9)  OYD＝90

畢氏定理

由(11) ＆ (10) ＝7 ＆ (8) ＝10

由(13) ＆為線段長度必大於 0 已知為弦心距

垂直平分

由(15)  OZE＝90

畢氏定理

由(17) ＆已知＝8 ＆ (8) ＝10

由(19) ＆為線段長度必大於 0 將(20) ＝6 代入 (16) ＝1

2 由(21) 等式兩邊同乘以 2

(62)

62

習題 8.3-14

如圖 8.3-65， 是圓 O 的直徑， ⊥ 於 E 點，且＝＝20，

則＝？

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 連接，如上圖(a)所示則＝為圓 O 之半徑，

(2) OEC＝90

(3) ＝＝1

2 ＝1

2×20＝10 (4) ＝＋

(5) ＝－＝20－

(6) ＝＝20－

(7) △OEC 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

作圖

已知 ⊥

垂直平分＆已知＝20 如圖所示，全量等於分量之和由(4) 移項＆已知＝20 由(5) ＆ (1) ＝遞移律由(2) OEC＝90

畢氏定理

(63)

63

(9) ＝7.5 由(8) 解一元二次方程式

習題 8.3-15

如圖 8.3-66，直線 L 與圓 O 相切於 P 點，A 為直線 L 上一點， 與圓 O 交於 B 點。若＝12，＝8，則圓 O 的半徑為________。

圖 8.3-66

想法：(1) 利用定理 7.3-1 切線定理：切線與過切點的半徑互相垂直 (2) 利用畢氏定理求解

解：

敘述理由

(1) 為圓 O 之半徑且

⊥L，OPA＝90

(2) △OPA 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(3) ²＋ ²＝( ＋ )² (4) ²＋12²＝( ＋8 )²

(5) ＝5

(6) 所以圓 O 的半徑為 5

已知直線 L 與圓 O 相切於 P 點＆切線與過切點的半徑互相垂直由(1) OPA＝90

畢氏定理

由(2) ＆＝＋

由(3) ＆已知＝12，＝8 ＆

＝為圓 O 之半徑由(4) 解一元二次方程式由(5) ＝5

(64)

64

習題 8.3-16

如圖 8.3-67， 與分別與圓 O 相切於 A、B 兩點。已知圓 O 的半徑為 8，

＝16。則＝_____，＝______，∠APB＝度。

圖 8.3-67

想法：(1) 利用已知與分別與圓 O 相切於 A、B 兩點，得知△AOP 與△BOP 皆為直角三角形；

(2) 利用△AOP 為直角三角形＆畢氏定理，可求得；

(3) 利用定理 7.3-2 切線長定理(自圓外一點到圓的兩切點連線段等長)，

得知＝；

(4) 最後利用直角三角形三邊比為 1：2：

3

，則三內角為 30-90-60，

求得∠APB 之度數解：

敘述理由

(1) ⊥ ＆ ⊥ 且圓 O 的半徑＝＝8 (2) △AOP 為直角三角形

2＋ ²＝ ²

(3) 8²＋ ²＝16²

(4) ＝－8

3

或＝8

3

(5) 所以＝8

3

(6) ＝＝8

₃

(7) △AOP 為直角三角形，且

已知與分別與圓 O 相切於 A、B 兩點

＆已知圓 O 的半徑為 8 由(1) ⊥

畢氏定理

由(2) ＆ (1) ＝8 ＆已知＝16 由(3) 求平方根

已知與分別與圓 O 相切於 A、B 兩點

＆定理 7.3-2 切線長定理(自圓外一點到圓的兩切點連線段等長) ＆ (5) ＝8

₃

由(1) ⊥ ＆

(65)

65

＝1：2：

3

(8) 所以∠APO＝30

(9) △BOP 為直角三角形，且

：：＝8：16：8

3

＝1：2：

3

(10) 所以∠BPO＝30

(11) ∠APB＝∠APO＋∠BPO ＝30＋30＝60

＆倍比定理

由(7) ＆直角三角形三邊比為 1：2：

3

，則三內角為 30-90-60

由(1) ⊥ ＆

(1) ＝8、已知＝16、(6) ＝8

3

＆倍比定理

由(9) ＆直角三角形三邊比為 1：2：

3

，則三內角為 30-90-60

全量等於分量之和＆ (8) ∠APO＝30 ＆ (10) ∠BPO＝30

(66)

66

習題 8.3-17

如圖 8.3-68，△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，半圓和 相切於 D 點，

和相交於 B、E 兩點。已知＝8，＝6，則圓 O 的半徑為______。

圖 8.3-68

想法：(1) 利用定理 7.3-2 切線長定理(自圓外一點到圓的兩切點連線段等長) (2) 畢氏定理

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 連接，如上圖(a)所示則＝為圓 O 之半徑，

⊥ ，ODC＝90

(2) △ABC 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(3) 8²＋6²＝ ²

(4) ＝－10 或＝10 (5) 所以＝10

(6) ＝＝8

作圖

已知半圓和相切於 D 點已知∠ABC＝90°

畢氏定理

由(2) ＆已知＝8，＝6 由(3) 求平方根

已知∠ABC＝90°，為圓 O 之切線＆已知半圓和相切於 D 點＆定理 7.3-2

(67)

67

(7) ＝＋

(8) ＝－＝10－8＝2 (9) ＝＋

(10) ＝－＝6－

(11) △COD 為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(12) 2²＋ ²＝( 6－ )²

(13) ＝8 3

(14) 所以圓 O 的半徑為8 3

段等長) ＆已知＝8

如圖所示，全量等於分量之和

由(7) 移項＆ (5) ＝10 ＆ (6) ＝8 如圖所示，全量等於分量之和

由(9) 移項＆已知＝6 由(1) ODC＝90

畢氏定理

由(11) ＆ (8) ＝2 ＆ (1) ＝＆ (10) ＝6－

由(12) 解一元二次方程式

由(13) ＆ (1) ＝為圓 O 之半徑

(68)

68

習題 8.3-18

如圖 8.3-69，圓 O1與圓 O2外切，且直線 L 分別切圓 O1與圓 O2於 A、B

兩點。已知圓 O1與圓 O2的半徑分別為 9 和 4，則外公切線段＝。

圖 8.3-69 想法：(1) 過 O2作 ∥ ，則＝；

(2) 利用畢氏定理求出，則外公切線＝

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 過 O2作 ∥ ，如上圖(a)

所示；所以 ⊥ 、

⊥ ， O1AB＝90；為圓 O1的半徑，＝9；

為圓 O2的半徑，＝4 (2) ∥

(3) 四邊形 ACO2B 為平行四邊形

(4) ＝、＝＝4

作圖

已知直線 L 分別切圓 O1與圓 O2於 A、B 兩點

已知圓 O1與圓 O2的半徑分別為 9 和 4

由(1) ⊥ 、 ⊥ ＆定理 3.2-1 兩條直線如都與一直線垂直，則此二直線互相平行

由(1) ∥ ＆ (2) ∥ ＆兩組對邊平行為平行四邊形

由(3) ＆平行四邊形兩組對邊相等＆

(69)

69

(5) ＝＋

(6) ＝－＝9－4＝5

(7) ＝9＋4＝13

(8)  O1CO2＝ O1AB＝90

(9) △O1CO2為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(10) 5²＋ ²＝13²

(11) ＝－12 或＝12 (12) 所以外公切線段＝12

如圖所示，全量等於分量之和由(5) 移項＆ (1) ＝9 ＆ (4) ＝4

已知圓 O1與圓 O2外切＆

兩圓外切，連心線長等於兩半徑之和＆已知圓 O1與圓 O2的半徑分別為 9 和 4 由(1) ∥ ＆同位角相等＆ (1)  O1AB＝90

由(8)  O1CO2＝90

畢氏定理

由(9) ＆ (6) ＝5 ＆ (4) ＝

＆ (7) ＝13 由(10) 求平方根

(70)

70

習題 8.3-19

如圖 8.3-70，直線 L 分別切圓 O1與圓 O2於 A、B 兩點。已知圓 O1與圓 O2 的半徑分別為 3 和 5，且內公切線段＝15，則連心線段＝。

圖 8.3-70

想法：(1) 過 O2作 ∥ 交的延長線於 C 點，則＝； (2) 利用畢氏定理求出連心線段

圖(a) 解：

敘述理由

(1) 過 O2作 ∥ 交的延長線於 C 點，如上圖(a)所示；

所以 ⊥ 、 ⊥ ，

 O1AB＝90；

為圓 O1的半徑，＝3；

為圓 O2的半徑，＝5 (2) ∥

(即 ∥ )

(3) 四邊形 ACO2B 為平行四邊形

(4) ＝＝15、＝＝5

作圖

已知直線 L 切圓 O1於 A 點，切圓 O2

於 B 點

已知圓 O1的半徑為 3 已知圓 O2的半徑為 5

由(1) ⊥ 、 ⊥ ＆定理 3.2-1 兩條直線如都與一直線垂直，則此二直線互相平行

由(1) ∥ ＆ (2) ∥ ＆兩組對邊平行為平行四邊形

由(3) ＆平行四邊形兩組對邊相等＆已知＝15 ＆由(1) ＝5

(71)

71

(5) ＝＋＝3＋5＝8

(6)  O1CO2＝ O1AB＝90

(7) △O1CO2為直角三角形，

2＋ ²＝ ²

(8) 8²＋15²＝ ²

(9) ＝－17 或＝17 (10) 所以連心線段＝17

如圖所示，全量等於分量之和＆ (1) ＝3 ＆ (4) ＝5

由(1) ∥ ＆同位角相等＆ (1)  O1AB＝90

由(6)  O1CO2＝90

畢氏定理

由(7) ＆ (5) ＝8 ＆ (4) ＝15 由(8) 求平方根

習題 8.1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x －2

x

x －

x x －

x

x

x

x

x

x

x

x

x

習題 8.2

 5 3

5 3

 5 6

5 6

5 3

5 6

 5.4 9.6 

習題 8.3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

6

6

3

3

3

＋

51

51

51

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

^x

^x

^x

^x

_{5 6}

_{5 3}

_{5 6}

 ^{5.4 9.6} 

₃

₃

₃

₃

₃

₃

₃

₃

₃

₃

₃

₃

₃