【 附錄一 】動態模型的經濟意涵

【 附錄一 】動態模型的經濟意涵

以下內容參考楊奕農所著「時間序列分析：經濟與財務上之應用」一書，對 於動態模型的經濟意涵，以下我們可使用兩種經濟意義來解釋，即 Cagan (1956) 所提出的適應性預期及 Flannery (1981,1983)所提出的部分調整模型。

a. 適應性預期：

假設投資者對於本期所反應出來的不對稱性y 來自於對於下期槓桿效果_t

e

xt₊₁的影響，如可能預期公司為有舉債或發現金股利，而影響槓桿效果的行為，

則我們可將方程式寫成如下：

t e t o

t a bx v

y = + _{1 +1}+ （A.1）

而適應性的預期即指投資者對於公司未來的可能變化，如負債比，會因為之前實 際情形與預期情形的差異來加以修正，其表示如下：

)

1 (

e t t e t e

t x x x

x₊ − =

δ

− （A.2）

δ 為修正係數，且

0 ≤

δ

< 1

，我們可將(A.2)整理成如下：

t e t e

t x x

x₊₁ =(1−

δ

) +

δ

（A.3）

經由遞迴演算，我們可得到：

e t t

t t

t e

t

x x x x x

x

₊₁

=

δ

+

δ

( 1 −

δ

)

₋₁

+

δ

( 1 −

δ

)

² ₋₂

+ ... +

δ

( 1 −

δ

)

⁻¹ ₁

+ ( 1 −

δ

)

₁ （A.4）

因為

0 ≤

δ

< 1

，故lim_t→∞(1−

δ

)^tx₁^e =0且lim_t→∞

δ

(1−

δ

)^t−1x₁ =0 故我們可將(A.4)整理成

...

) 1 ( )

1

(

₁ ² ₂

1

= + −

₋

+ −

₋

+

+ t t t

e

t

x x x

x

δ δ δ δ δ （A.5）

即投資者若有適應性預期，可以過去自變數的資料，給予不同的權重來產生下一 期的預期，且越接近目前的歷史資料，所產生的影響性越大。

我們可將(A.5)代入(A.1)得到

t t

t t

o

t

a b x x x v

y = +

₁

(

δ

+

δ

( 1 −

δ

)

₋₁

+

δ

( 1 −

δ

)

² ₋₂

+ ...) +

(A.6) 接下來，我們考量可使用Koyck transformation

將(A.6)式考量延遲一項，並乘於−(1−

δ

)

t t

t t

o

t

a b x x x v

y ( 1 ) ( 1 ) ( ( 1 ) ( 1 ) ...) ( 1 ) )

1

( −

δ ₁

= − −

δ

− −

δ ₁ δ ₁

+

δ

−

δ ₂

+

δ

−

δ ² ₃

+ − −

δ

−

_{− − − −}

(A.7) 將(A.6)與(A.7)兩式相加

t t

t o

t

t y a b x v v

y −(1−

δ

) ₋₁ =

δ

+ ₁

δ

+ −(1−

δ

)

^(A.8)

假設 a_o

δ

=

α

₀，

1 − δ = α

₁，

b

₁

δ = β

₁，v_t −(1−

δ

)v_t =e_t 我們可得到

t t t

o

t y x e

y =

α

+

α

_{1 −1}+

β

₁ + (A.9) b. 部分調整模型：

假設y 為在ｔ時間投資者所反應出來的波動度不對稱性，而_t y 假設為預期投資_t^e 者反應出來的波動度不對稱性，假設市場可準確地預測出在時間t時公司的情形

（如負債比），進而反應出預期的不對稱性，故存在以下的關係

t e

t a bx

y = ₀ + ₁ (A.10)

而在預期效果下，實際的不對稱性調整是根據市場上預期的變動來作調整，而其 調整係數為c：

t e

t

c y

_t

y = ∆ + ε

∆

(A.11)

ε

t：white noise

故 y_t −y_t−1 =c(y_t^e −y_t−1)+

ε

_t (A.12)

t e t t

t c y cy

y =(1− ) ₋₁ + +

ε

(A.13) 將(A.10)代入(A.13)

t t

t c y c a b x

y =(1− ) ₋₁ + ( ₀ + ₁ )+

ε

(A.14) 同樣地，我們亦可將a_oc=

α

₀，

1 − c = α

₁，

b

₁

c = β

₁

t t t

o

t y x

y =

α

+

α

_{1 −1}+

β

₁ +

ε

(A.15) 以上兩種經濟意涵均可說明加入延遲項的動態迴歸模型。

【 附錄二 】GMM與動態Panel Data模型之推導過程

以下我們分別介紹 GMM 的推導過程以及使用 GMM 於動態 Panel Data 之估計 方法。

一、GMM 的的估計過程：

假設估計參數

θ

包含 p 個未知數，並且動差條件為：

T i

g

E [

_i

( θ

₀

)] = 0 , = 1 ,...,

(B.1)

g ：已知的方程函式 i

若g 方程含有 m 個 equation，則若_i m= ，我們稱為正交認定；若p m> ，我們p 稱為過度認定。

GMM 估計參數θ

^ˆ

的解為：

∑

^{(ˆ)= 0}

1 g_i

θ

T (B.2) 我們令

^G

^T

⁽

^θ

^{) =} ∑ ^g

ⁱ

⁽

^θ

⁾

(B.3) 若無適合解滿足G_T(

θ

ˆ)=0，我們可改採(B.3)最小化其加權平方

T

TWG

T G 1 '

min_θ⁾ (B.4)

W

：m×m 之對稱正定矩陣 (symmetric and positive definite matrix)

由 Taylor expansion

) (

)

(

θ

≈ ₀ +

θ

−

θ

₀

= _{T T TO}

T G G H

G (B.5) 其中 G_T0 =G_T(

θ

₀)，H_T0 =H_T(

θ

₀)，

θ

∂

= ∂

^T

T

H G

我們將(B.5)之線性近似式，代入最小化準則，我們可得到一階條件如下：

0 )) (

( ₀

'

0 _TO + _TO

θ

−

θ

=

T W G H

H (B.6) 求解得到θ 之估計式

T W G T H T W H T WG H

H WH

H_{T T T TO} ^{T T T T0}

' 1 0 0 '

0 0

' 0 1 0 '

0

0 −( )⁻ = −( )⁻

=

θ θ

θ

⁾ (B.7)

推定 1 _{0 0}

lim H H

p T _T = ，且 1 ( )) 0

( 1 lim

lim _T0 = _T→∞ G_T

θ

₀ = E T

TG p

故θ

) →

_P θ₀

我們進一步推論樣本平均服從中央極限定理 CLT (central limit theorem) )

, 0 ( )

1 (

0

0 N J

G

T ^T

θ

→^d (B.8) )

) ( ) ( 1 (

lim ) ) ( ) (

( _{0 0} ^' ₀ ^'

0 _i

θ

_i

θ

_T E G_T

θ

_O G_T

θ

g T g E

J = = _→∞ (B.9) 故我們可推論

) , 0 ( ˆ )

(

⁰

' 0 1 0 '

0

0

N V

T W G T H T

W H T

T H

^{T T}

⎟⎟ ⎠

^{T T}

→

_d

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

−

−

θ

θ (B.10)

1 0 ' 0 0 0 ' 0 1 0 '

0 ) ( )

( ^{− −}

= H WH H WJ WH H WH

V (B.11)

二、

使用 GMM 於 動態 PANEL DATA 模型 Panel Data 亦可使用動態模型來分析，如下模式：

t i i t i t

i

x y

y

_,

=

^'β

+

γ _,−1

+

α

+

ε_, (B.12)

ε

α δ

+ +

=w_i,t^' _i

'

w

it 同時包含應變項的前期調整項與自變項，而模型加入前期調整項時，過

去訊息應該已經反應在前期調整項裡，故任何 x 變數可代表新訊息對於應變數 所產生的衝擊。但對於不管固定效果或隨機效果，即使假設殘餘項並非自我相

關，但仍存在著殘差項可能與前期調整項有相關性的可能。

加入前期調整項後，模型仍是可以估計的，但 LSDV 與 FGLS 的估計方法 可能已不適用，因為可能產生解釋變數與干擾項之間有相關，而目前最被使用的 是 Arellano and Bond (1991) 和 Arellano and Bover (1995) 所提出的一般動態估

計法。

本研究動態模型是參考 Arellano and Bond (1991)如下簡化模式：

t i i t i t

i t

i t i t

i t

i y x y x

y _, =

α

_,−1 +

β

_, +

µ

_, =

α

_,−1 +

β

_, +

µ

+

ν

_, (B.13) 其中殘差項

µ

_i,t =

µ

_i +

ν

_i,t

) , 0 (

~

σ_µ²

µ_i

N

v

_it

~ N ( 0 ,

σ_v²_,it

)

µ

i為不可觀察(unobserved)之個別效果，v_i,t則為隨機變數

β

α

, 則為估計式中之係數項

而在估計式中，殘差項必需滿足正交條件，即：

0 ] [ ] [ ]

[y_{i,t i,s} =E x_{i,t i,s} =E _{i i,s} =

E

ν ν µ ν

(B.14) 滿足上式條件，方可在模型上得到「一致性」的估計。

由模型我們可知，

µ

_i(個別效果)，我們可使用差分動作來解決

1 , , 1 , , 2

, 1 , 1

,

,_t − _it− = ( _it− − _it− )+ ( _it − _it− ) + _it − _it−

i y y y x x

y

α β ν ν

(B.15)

我們改寫(B.15)式，可得方程式如下：

t i t

i t

i t

i y x

y _, =

α

∆ _{, 1} +

β

∆ _, + ∆

ν

_,

∆ ₋ (i =1,..., N;t = 3,..., T) (B.16)

但我們卻可能因y_i,t −y_i,t−1與

ν

_i,t −

ν

_i,t−1相關而衍生出新的問題。故需引入工具變 數，我們可由計量理論得知工具變數的選擇，在本研究中，我們假設只有一個時 差變數∆y_i,t−1，並且有 k 個解釋變數，且x 視為嚴格外生變數(strictly exogenous)。_it 因∆y_i,t−1與∆

ν

_i,t或∆x_i,t與∆

ν

_i,t之間可能存在相關性，故我們採用工具變數法來求

解，否則可能使得估計式失去一致性。而工具變數的選擇上是必須滿足與∆

ν

_i,t不

相關，但與∆y_i,t−1和∆x_i,t相關性越高越好。而在E[y_i,t

ν

_i,s]=0與E[x_i,t

ν

_i,s]=0 for s

t < (因為在 t-3 期的y 與_it t-1、t-2 以後的殘差

ν

_i,t無關，即此部分的殘差正是模

型中無法解釋的，x_i,t亦同理)，故我們可創造E

[

Zi^'∆vi

]

⁼⁰，即可得工具變數Z _i

[ ]

[ ]

[ ]

^⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

−

− '

1 , '

1 , 2 , 1 , '

3 , '

2 , '

1 , 2 , 1 , '

2 , '

1 , 1 ,

, , , , , 0

, , , 0

0 0

, ,

T i i

T i i

i i i i i i i i

i

x x

y y

x x x y y x x y

Z

L L

L L L

M M

M M

M L

L

(B.17) )

,..., (

'= _,3− _{,2 ,} − _{, −1}

∆v_i v_i v_i v_iT v_iT (B.18)

Z 的行列數i

[ ]

{ ^{( ( 1 )) ( 1 ) ( )) ( 1 ) 1 / 2 1} }

) 1

( − − × + + + − − + − × − − × +

= T m m k m T m k T m T m

D

(B.19) 我們可利用

∆ v

的共變異矩陣(covariance-matrix)，得到一加權矩陣

[

v v

]

²(I G)

E ∆ ∆ =

σ

_{v N} ⊗ I_N ⊗ 為等冪(Idempotent)G

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

=

2 1 0

0 0

1 2 0

0 0

0 0 1

2 1

0 0 0

1 2

L L

M M O M M M

L L

G (B.20)

並將Z 改以向量形式，即_i

[

2^{' '}

]

^'

'

1,Z , ,Z_N Z

Z = L ，故我們可知 Z 為一龐大的陣列。

將 Z 與式原差分式(B.16)相乘

t i t

i t

i t

i

Z y Z x Z

y

Z

^'

∆

_,

=

^'

∆

_,,−1

+

^'β

∆

_,

+

^'

∆

ν _, (B.21)

為了因應G所可能產生的異質變異，我們定義轉換矩陣ω

) ) (

(Z^' I_N ⊗G Z

ω

= (B.22) 由(B.21)式與(B.22)式，我們可以得到前置的第一階段(one-step)一致性的估計

[ ] [ ]

(

^{∆ ∆ ' −1 ' ∆ ∆}

)

⁻¹

( ^[

^{∆ ∆}

^]

^{' −1 '}

^[

^∆

^] )

⎟⎟=

⎜⎜ ⎞

⎛

α

y x Z

ω

Z y x y x Z

ω

Z y )

)

(B.23)

而Hansen(1982)指出，最佳的(optimal)GMM估計量，應用

Ω

⁻¹之估計量來取代

ω

⁻¹

Z

v v Z

^'

( )( )'

1

= ∆ ∆

Ω )

⁻

(B.24) 再配合我們由第一階段 ∆

ν

)_i =∆y_i −∆y_i,−1

α

)−∆x

β

^ˆ，可得Arellano and Bond (1991) 的兩階段估計量

[ ] [ ]

(

^{1 ' 1 ' 1}

)

¹

( ^[

−¹

^]

^{' 1 '}

^[

−¹

^] )

−

−

−∆ Ω ∆ ∆ ∆ ∆ Ω ∆

∆

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ^{− −}

y Z Z x y x y Z Z x

y ) )

) )

β

α

(B.25)

三、

工具變數有效性的檢定：Sargan Test

在利用工具變數求解動態 Panel Data 模型時，我們必需考量工具變數的選擇 是否符合外生性的條件，即E(z_i∆v_i)=0，而 Sargan Test 即為用來檢定是否滿足 此條件。

H_O：工具變數是有效的，即E(z_i∆v_i)=0 H^１：工具變數是無效的，E(z_i∆v_i)≠0

Sargan Test 之檢定統計量為

) (

~ ˆ ) ( ˆ )

ˆ )(

ˆ (

^{' 2}

1

1

'

'

Z Z p k

Z Z

S

_i

N

i

i i i

i

⎥ ∆ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∆ ∆

∆

=

−

∑

= ^{ν ν ν χ}

ν (B.26)

p：z 矩陣的秩數 k：估計參數的個數