1-2 廣義角與極坐標

1-2 廣義角與極坐標

1

1

廣義角的三角函數

2 2

廣義角三角函數的性質

3 3

4

4

1 1 ^廣義角

我們賦予∠ AOB 方向：將∠ AOB 視為由射線 OA 以 O 點 為中心旋轉至射線 OB 所成的角，這樣的角稱為有向角，

射線 OA 稱為始邊，射線 OB 稱為終邊。我們並規定逆時針 旋轉的角度為正角，順時針旋轉的角度為負角，而且不限 制旋轉的圈數。

角的度數可以有正有負，也可以不受 0° ~360° 的限制，這

1

在平面上畫出角度是 500° 的角 ^。

即可得 500° 的角。

固定始邊 ，逆時針轉一圈，

再多轉 140° 至終邊 ，如圖所示，

OA 

OB 

因為 500°=360°+140° ，

因此可以這樣畫角：

將廣義角放在坐標平面上，其中角的頂點放在原點上，角的 始邊放在

x 軸正向上，這樣的角稱為標準位置角。

1 1 ^廣義角

當兩個廣義角 θ 與 ψ 有共同的始邊與終邊時，我們稱 θ 與 ψ

為同界角 ; 若廣義角 θ 與 ψ 的差為 360° 的整數倍，即

θ-ψ=360°• n ， n 為整數，則稱 θ 與 ψ 為同界角。

2

(1) 因為 1000°=360° × 2 + 280° ， 所以所求的同界角 θ 為 280° 。 (2) 因為 -200°=360° × (-1)+160° ，

所以所求的同界角 θ 為 160° 。



試求下列廣義角的同界角 θ ，使 0° < 360°  (1) 1000°

(2) -200°

2 2 ^{廣義角的三角函數}

( 0) sin

cos

tan 0

OP r r

y r

x r

y x x









 







且 且 且 且 且 且

且 且

且 且 \且

設 θ 是一個標準位置角，在 θ 的終邊上任取一點 P( x , y ) ，

3

2 2

( 2) ( 1) 5 r OA      

取 ，

如圖所示，

設 θ 為一標準位置角， A(-2, -1) 是 θ 終邊上一點，

試求 sinθ ， cosθ ， tanθ 的值。

1 5

sin 5 5

y

   r ^   ， 則由定義可知

2 2 5

cos 5 5

x

   r ^   且 tan 1 1

2 2 y

   x ^ 

 且

4

試求 sin 135° ， cos 135° ， tan 135° 的值。

1 2

sin 135

2 2

 

因此，得  ，

2 2

( 1) 1 2 r OP      ，

觀察 135° 的終邊 恰好把第二象限 “剖半”，如圖所示 _OP ^

因此在 135° 的終邊上取一點 P(-1,1) ，可得

1 2

cos 135

2 2

    ， 

tan 135 1 1

 1  

 

。

5

試求 sin 120° ， cos 120° ， tan 120° 的值。

1 3

1 2 2

1 3 2 2 ,

OP  OQ  PQ  P

 

  

 

因 ，故 ， ，所以點 的

坐標為 ，故得

3 2 3

1 2

  ，

sin 120°

如圖所示，

1 OP 

在 120° 角的終邊上取一點 P ，使得 ，由 P 點向 x 軸作垂線，垂足為 Q 點，

則直角三角形 OPQ 中，∠ POQ = 60° ，

1 2 1

1 2

    ， cos 120°

3

2 3

1 2

  

 。

tan 120°

2 2 ^{廣義角的三角函數}

若點 P ( x , y ) 為角 θ 終邊上的一點，且 ， 則 x , y 的正負決定了 θ 之三角函數 值的正負。

例如：若 θ 為第四象限角，則 x > 0 ， y < 0 ^，

如圖所示，故得

0 OP r  

sin y 0 cos x 0 tan y 0 , 0

r r x x

   ，    ，    ＝ 。 \

6

試求 sin (-450°) ， cos (-450°) ， tan (-450°) 的值。

-450° 的終邊轉到 y 軸負向上，如圖所示。

而 tan (-450°) 無意義，因為分母為 x = 0 。

1 0

1 0

1 1

    ，   ， sin (-450°) cos (-450°)

因此，得

2 2

0 ( 1) 1

r OP      ，

在終邊上取一點 P (0 , -1) ，可得

3 3 ^{廣義角三角函數的性質}

由補角關係與餘角關係可以進一步導出下列性質：

sin (90°+θ) = sin (180°-(90°-θ)) [ 補角關係 ] = sin (90°-θ) [ 餘角關係 ]

= cosθ

另外，由上述的方法也可以導出下列性質：

(1) cos (90°+θ) = -sinθ

(2) sin (180°+θ) = -sinθ ， cos (180°+θ) = -cosθ ，

tan (180°+θ) = tanθ ( 角 θ 的終邊不在 y 軸上 )

(3) sin (270°-θ) = -cosθ ， cos (270°-θ) = -sinθ

3 3 ^{廣義角三角函數的性質}

廣義角三角函數的性質：

(3) 負角關係： sin (-θ) = - sinθ ， cos (-θ) = cosθ ， tan (-θ) = - tanθ 。

( 角 θ 的終邊不在 y 軸上 )

(4) 補角關係 ： sin (180°-θ) = sinθ ， cos (180°-θ) = - cosθ ， tan (180°-θ) = - tanθ 。

( 角 θ 的終邊不在 y 軸上 )

(5) 餘角關係： sin (90°-θ) = cosθ ， cos (90°-θ) = sinθ ， tan (90°-θ) = tanθ 。

2 2

(1) : sin cos 1 (2) : tan sin

cos y

 

  



 



平方關係 。

( )

商數關係 。 角 的終邊不在 軸上

7

若 α 為銳角且 tan α =2 ，試求 sin (180°- α) 的值。

5 1 2

r  x  y 

於是 ， ， ，

因為 α 為銳角且 tanα=2= ² ， 如圖 ^， 1

2 2 5

sin 5 5

y

   r 

得 ，

由補角關係可得 sin (180°-α) = sinα= 2 5 ^。 5

取角 α 終邊上一點 P (1,2) ，則

2 2

1 2 5

OP    ，

8

1

 2

若 0° θ< 360 ° ，且 sinθ= ，試求 θ 。 由廣義角三角函數的定義可知：

sinθ 的值為正時， θ 必為第一或第二象限角

。

即 θ=150°

， 1 2

(2) 若 θ 為第二象限角，由補角關係可得

= sin 30°= sin (180°-30°) = sin 150° ， (1) 若 θ 為第一象限角，如

圖， θ=30° ;

由 (1) 、 (2) 可得 θ=30° 或

150°

4 4 ^極坐標

在平面上選定一條水平射線，端點 O 稱為極點 ( 簡稱極 ) ， 此射線稱為極軸 ( 簡稱軸 ) ，對於平面上異於 O 點的任一點 P ，

若 ，以極軸為始邊，射線 OP 為終邊的廣義角 為 θ ，我們以 [r , θ] 表示 P 點的位置， [r , θ] 稱為 P 點的 一個極坐標，記為 P [r , θ] ，其中 r > 0 ， 0° θ < 360°

OP r 



此外，我們規定極點 O 的極坐標為

[0 , θ] ，其中 θ 為任意角。

4 4 ^極坐標

直角坐標與極坐標的轉換：

(1) 若 P 點的極坐標為 [r , θ] ，則直角坐標為 ( x , y ) = ( r cosθ, r sinθ) 。

2 2 cos x sin y

r x y

r r

 

  ，  ，  。

(2) 若 P 點不是原點且直角坐標為 ( x , y ) ， 則極坐標為

[r , θ] ，其中

9

(1) 已知 P 點的極坐標為 [ 4 , 120°] ，試求 P 點的直角坐標。

(2) 已知 Q 點的直角坐標為 (-2 , -2) ，試求 Q 點的極坐標。

故 P 點的直角坐標為 。 ( 2,2 3)  (1) 設 P 點的直角坐標為 ( x , y ) ，如圖所示

， 因為 r = 4 ， θ= 120°

，

所以 ( x , y ) =

1 3

4 , 4

2 2

( 2,2 3)

   

       

 

 

  ，

( 4 cos 120 ° , 4 sin 120

°)

9

(1) 已知 P 點的極坐標為 [ 4 , 120°] ，試求 P 點的直角坐標。

(2) 已知 Q 點的直角坐標為 (-2 , -2) ，試求 Q 點的極坐標。

(2) 設 Q 點的極坐標為 [ r , θ] ，如圖所示，

2 2

( 2) ( 2) 8 2 2

r       ，則

2 1 2 1

cos , sin ,

2 2 2 2 2 2

  ^     ^   所以 θ= 225° ，

故 Q 點的極坐標為 [ , 225°] 2 2 。