第3章矩陣

(1)

第 3 章矩陣 52

◎ 3-4 平面上的線性變換與二階方陣

1. 已知二階方陣 2 1 1 2 A   

   ﹒

(1)求點^P



^{2 , 1}



經過 A 作線性變換後所對應之點 P 的坐標﹒

(2)求一點Q ﹐使得它經過 A 作線性變換後的對應點為^Q'



^{ }^{2 ,} ⁷



^﹒

(1)因為 2 1 2 3

1 2 1 0

      

      

     ﹐

所以線性變換後的對應點為^P ^3,0 ^﹒

(2)設 Q 的坐標為^{x y ﹒因為}^,  ² ¹ ²

1 2 7

x y

 

     

      

     ，

所以

2 1 1 2 1 2 1 2 1

1 2 7 3 1 2 7 4

x y

    

           

  

             

           ﹒ 故 Q 的坐標為 ^{1 , 4 ﹒}

2. 已知點^P



^^{2 , 1}



^與^Q



^{1 , 2}



經過二階方陣 A 作線性變換後所對應的點分別

為^P



^{0 , 3}



^與^Q

 

^{5 , 1} ﹐求二階方陣 A ﹒

設 a b

A c d

 

  

 ﹒依題意，可列得

2 0

1 3

a b c d

     

     

     ﹐ 1 5

2 1

a b c d

     

     

     ﹒

將上列 2 式合併寫成 2 1 0 5

1 2 3 1 a b

c d

     

     

     ﹒

故二階方陣 A 為

0 5 2 1 1 0 5 1 2 1 1 2

3 1 1 2 3 1 5 1 2 1 1

a b c d

  

           

             

           ﹒

第 3 章矩陣

(2)

第 3 章矩陣 53

3. 將點^P



^{4 ,}^⁶



分別作下列各變換﹐求變換後的點坐標﹕

(1)以原點為中心旋轉30﹒ (2)對直線x 3y 鏡射﹒ 0

(1)因為

3 1

cos30 sin 30 4 2 2 4 2 3 3 sin 30 cos30 6 1 3 6 2 3 3

2 2

 

    

   

       

        

        

 

﹐

所以變換後的點坐標為



3 2 3 , 2 3 3 



﹒

(2)因為直線是過原點且與x 軸正向夾角為 30 的直線﹐所以利用鏡射的矩陣表示﹐計算

1 3

cos 60 sin 60 4 2 2 4 2 3 3 sin 60 cos 60 6 3 1 6 2 3 3

2 2

 

   

  

       

          

         

 

得變換後的點坐標為



^{2 3 3 , 3}^ ^^{2 3}



^﹒

4. 將點^P



^^{2 , 1}



分別作下列各變換﹐求變換後的點坐標﹕

(1)以原點為中心﹐沿著x軸方向伸縮3倍﹐沿著 y 軸方向伸縮 2 倍﹒

(2)沿 y 軸推移x坐標的1 2倍﹒

(1)因為 3 0 2 6

0 2 1 2

 

     

     

     ﹐所以變換後的點坐標為^^{6 , 2}^.

(2)因為 1 0

2 2

1 1 1 0

2

     

    

     

 

 

﹐所以變換後的點坐標為^^{2 , 0}^﹒

5. 將點^P



^{0 , 2}



^沿^x軸推移 y 坐標的 2 倍﹐再旋轉45的點坐標為何﹖

因為

2 2

cos 45 sin 45 1 2 0 2 2 2 2 1

sin 45 cos 45 0 1 2 2 2 2 3

2 2

 

    

 

  

       

        

         

 

﹐

所以變換後的點坐標為 ^{1 , 3 ﹒}

(3)

第 3 章矩陣 54

6. 已知正三角形OAB的二個頂點^O



^{0 , 0}



^﹐^A



^{1 , 3}



^{﹐求 B 的坐標﹒}^（二解）

先將 A 以 O 為中心旋轉 60  ﹐就可得 B 點﹒利用旋轉矩陣﹐計算

1 3

1 1 1

cos 60 sin 60 2 2

sin 60 cos 60 3 3 1 3 3

2 2

 

   

     

  

      

    

        

 

﹐

1 3

1 1

cos( 60 ) sin( 60 ) 2 2 2

sin( 60 ) cos( 60 ) 3 3 1 3 0 2 2

 

 

   

    

     

         

       

 

﹐

得 B 的坐標為



^^{1 , 3}



^或^^{2 , 0 ﹒}^

7. 已知△OAB為等腰直角三角形﹐ A 為直角，^O



^{0 , 0}



^﹐^A

 

^{1 , 3} ^{﹐ B 點在}

第二象限﹐求 B 點的坐標﹒

將 A 點以 O 為中心旋轉 45 ﹐再拉長 2 倍可得 B 點﹒計算如下﹕

2 0 cos 45 sin 45 1 sin 45 cos 45 3

0 2

      

        

 

 

2 2

2 0 2 2 1

0 2 2 2 3

2 2

 

  

   

       

 

2 0 2 2

0 2 2 2 4

     

     

     

    ﹒

故 B 點的坐標為^^{2 , 4}^﹒

8. 已知方陣 1 2 3 4 M  

  

 ﹐ △ABC 的三頂點坐標為 ^A



^{1 , 1}^



^﹐ ^B



^{0 , 4}



^﹐



^{2 , 0}



C  ﹒若△ABC經 M 線性變換後成△A B C  ﹐則△A B C  的面積為何﹖

因為向量



^AB^{ } ^{1 , 5}^﹐



^AC^{ } ^{3 , 1}^﹐所以^△^ABC^的面積為

1 1 5 1

| | 14 7

3 1

2 2

    

 .

利用線性變換的面積比公式﹐得△A B C  的面積為 1 2

| | 2 7 14

3 4 △ABC的面積    ﹒

第3章 矩 陣

◎ 3-4 平面上的線性變換與二階方陣





















 

第 3 章 矩 陣





































 

















第3章矩陣

第 3 章矩陣