第一節 行動研究法

第三章 研究方法

第一節 行動研究法

一、行動研究的意義和特性

教育研究依 Corey(1965)的看法，可分成兩大類：一類是用科學方法 研究別人的問題，研究者通常是大學教師；另ㄧ類是用科學方法研究自 己工作領域內的問題，如教師、行政人員因關心自己的工作，為解決工 作困境，獲得較佳決策來提昇效能所做的研究。這種以實際工作者為主 所執行的研究，是建立在問題發生的情境中，其研究結果特別適合於即 時應用。因此，近年來第二類的研究逐漸地受到重視，許多研究者(Lewin, 1946 . ; Corey, 1953; Elliott, 1991; McNiff, 1988; Stenhouse, 1973; 李祖壽, 1979

黃政傑, 1985; 陳伯璋, 1990；張世平, 1994)稱其為「行動研究法」

(Action Research) 。 而 全 美 教 育 協 會 的 輔 導 及 課 程 發 展 協 會 (The Association for Supervision and Curriculum Development of the National Education Association)自 1957 年起即要求其會員應了解及運用行動研究 法(李祖壽, 1979)。

行動研究，就是把「行動」和「研究」結合起來(黃政傑, 1985)，正

如 Kurt Lewin 認為，“行動研究法，是將科學研究者與實際工作者的智

慧和能力，結合在一件合作的事業上的方法”(張世平, 1994, p.343)。因

此，行動研究法特別重視行動，尤其著重於實際工作人員一面行動，一

面研究，並嘗試在行動中尋找問題、發現問題、和解決問題(李祖壽,

1979)。行動研究與傳統的研究不同的是，它只是尋求一個特殊問題的解

決方法，問題發生的情境是在某一特別的範圍，所得的結論也只能應用

在與此問題相似的情境。它的特性是，研究者就是實際工作者，應用研

究結果的人就是從事研究的人(張鈿富, 1986)。在傳統研究中，專家經常

會不清楚現場工作者的實際需求，使得實務工作者因無法直接立即使用 而不重視研究的結果，行動研究即可縮減這種研究與實際應用的落差。

把「研究」做為一種知識的生產方式，將「行動」做為一種生活的實踐 方式，而行動研究則是二者相互結合的活動過程。而行動研究另ㄧ的特 色是，因為問題發生在工作的實際情境之中，所以其計畫內容並非在決 定之後就一成不變的直到研究完成，而是容許隨時檢討，不斷的修正以 符合實際情境的需要。Altrichter, Posch, 和 Somekh(夏林清譯, 1997, p.2) 更進一步指出，這樣的研究“提供給我們有關教學和學習的新視野與洞 察，比其他研究更貼近與關注教學中細節與實際的部分，也進一步探測 了教學目標與實際教學實踐之間的落差”。因此，對一個想要解決實際教 學問題在職教師而言，行動研究是一個非常適合的方法。

明確與特定的方法或技巧並不是行動研究的特色，行動研究是一種 持續不斷的努力、一個循環不息的研究過程，它以意識的自我反思做為 認知發展與意義建構的基礎，協助教師反思性的行動以便能發展個人的 知識，所以，反省思考將開發出行動的新觀點，也將在行動中被理解與 檢驗(夏林清譯, 1997)。透過行動研究，教師可以練習做專業判斷，進行 批判性反思，並有系統地自我分析，增進自己教學實務的能力，促進教 學知能的成長與發展，塑造教師自我認同的教育專業角色，提昇教師的 教育專業自信心與專業自尊，促進教師的專業成長，並且讓學生直接受 益(蔡清田, 1995)。

Posner(1989)提出了一個反映教師成長規律的公式：經驗+反思=成

長。他同時指出，沒有反思的經驗是狹隘的經驗，至多只能形成膚淺的

知識。反思是教師以自己的教學活動過程為思考對象，來對自己所做出

的行為、決策、以及由此所產生的結果進行審視和分析的過程，是一種

透過提高參與者的自我覺察來促進能力發展的途徑。反思不只是教學經

驗的總結，它是伴隨整個教學過程的監控、分析、和解決問題的活動。

依 Schön(1987) 的 觀 點 ， 反 思 可 分 為 三 種 類 型 ： (1) 行 動 後 反 思 (Reflection-on-Action)，是實踐後對所採取的行動進行反思；(2)行動中反 思 (Reflection-in-Action)，是實踐過程中的反思；以及(3)行動前反思 (Reflection-for-Action)，這種反思是以上兩種反思的結果，以上述兩種反 思為基礎來指導以後的活動。此三種反思並非直線的過程，而是持續的 螺旋過程，在此過程中，三種反思相互交織著，逐漸地導致教師教學知 能的成長和發展。行動研究的動態歷程可以鼓勵並發展出「和情境進行 反 思 對 話 」 (Somekh, 1991) ， 也 就 是 Schön 所 說 的 行 動 中 的 反 思 (Reflection-in-Action)。Schön 認為，行動當下的反思(Reflection-in-Action) 是很重要的，而不僅是行動完成之後的反思；如果只把反思置於行動之 後，會忽略了兩者之間內在的同步性。另一方面，反思本身也該被視為 某種行動，而不是將反思化約為純粹認知的思維過程而已，因為，反思 本身就可能帶來某種改變。反省性思考(Reflective Thinking)是行動研究 中的一個重要核心，個人期望透過對自身教學的內省再次地深度思考數 學教學的本質，以促使本身教學專業的再成長，讓學生的數學概念學習 更有效率。

行動研究是希望在團體互動的歷程中，由教師兼具研究者，在專家 學者及同事們的共同參與下，來解決教育上的實際問題(陳伯璋, 1990)。

重視團體的合作研究也是行動研究的一個特徵，因為團體的互動歷程更

能擴大教師的經驗範疇並激發教師發展多元觀點(饒見維, 1996)，教師們

在團體中相互支持及信任的關係，可以使整個團隊成為「學習型組織

(Learning Organization)」，有利於教育品質的提升(陳惠邦, 1998)，教師

之間也可以透過溝通互相理解、支持、與學習，減少因面臨教育問題的

焦慮、壓力，並在團體互動之下激盪出更豐富的創造力。因此，從自我

中進行，在這樣的合作脈絡下可能會有更好的成效。而教學 COP 即是個 人研究過程中，思維與實作互動的重要環境。

在本研究中，由於研究者即是教師，研究的情境是學校教學的實際 工作環境，研究的內容是「高三學生機率概念的學習」，這些皆符合行 動研究以實際問題為導向、研究者即是應用研究的人、行動情境即實務 工作情境、及研究成果可以用來批判與改進工作現狀的特點(蔡清田, 2000)。為了能夠瞭解、掌握學生機率概念學習的「歷程」並及時修正相 應的的策略和內容，因此，個人以行動研究法為主，輔以教室觀察、問 卷調查、及選樣晤談等研究技術。

每一個行動研究方案都有自己的特點所在，它並不具一個非常精緻 明確的研究模式與步驟，因為這可能會限制不同研究歷程的發展。雖然 如此，一些基本的行動研究模式仍是存在於任何研究中 (夏林清譯, 1997)。以下說明行動研究的模式。

二、行動研究的的模式

在教育行動研究中，每一位教師都是研究者，每一個教學實施的場 域都是課程的實驗室。 Kemmis 和 McTaggart(1988)提出行動研究模式的 核 心 概 念 是 計 畫 (Planning) 、 行 動 (Action) 、 觀 察 (Observing) 、 反 思 (Reflection)、及再計畫(Re-planning)的自我反思循環歷程。它是一個螺旋 式的循環，包含了數個循環和不斷前進的機制，前一循環的研究會解決 部分的原有問題，但也因此產生了新的問題，需要行動者再次修正原有 的計畫，展開新的行動開始另一個循環的進程。透過這樣的螺旋式循環 來解決實際面對的教學問題，可以使得教師的專業發展能夠不斷地前進 和提昇。

個人為了瞭解「直觀」對學生學習機率概念的影響，並藉此了解進

行教學試驗，希望能使學生察覺自己的原生直觀，進而能應用正確的數 學直觀，以重構其機率的概念，在研究的規劃上即是依探討文獻、與資 深同事和教學 COP 成員討論，進而擬定機率直觀教學計畫（計畫）；執 行機率直觀教學課程（行動）；收集多元資料（觀察）；分析評估及省 思教學成效（反思）；經與教學 COP 成員討論和反思後，修正原有教學 計畫（再計畫、再行動）等步驟不斷循環，來進行教學試驗。

第二節 研究的場域和參與者

一、研究的場域

本校是一所台北市的女子公立高中，可招收到聯合招生中前三志願 的學生。多數的學生素質優秀，吸收學習能力強，對自我的要求嚴格、

自動自發，以及凡事積極，因此學習成就高。課堂數學教學多採教師講 述的方式進行，由於學生的資質優異，課堂上老師可以專心於自己的教 學，不太需要擔憂教室管理的問題；除少數學生外，大部分學生很少主 動向老師提出學習或數學上的問題。本校教師感情雖融洽，但平時老師 們均忙於教學，除分科之教學研討會及課後教學意見交流之外，並無特 別的教學互動或討論。目前的高三共有 27 個班級，其中社會組有 12 班，

個人任教高三社會組其中的三個班，依過去經驗，社會組學生普遍不喜 歡數學，在數學的抽象理解能力方面較為薄弱。在社會組數學課程方面，

每週上課時數為六小時，所用教科書為龍騰版的「數學乙」 ，但高三學生 除數學乙的進度外，仍需複習高一、高二的課程內容。

二、研究參與者

(一) 研究者的角色

志趣所在。個人希望，學生在上課時不必皺著眉頭一臉茫然地學習數學，

能感受到學習數學的樂趣。因此，經常與學生聊天、了解她們的想法，

試著尋找學生數學迷思發生的原因，以做為教學調整的依據。希望，個 人的教學品質能夠不斷地提昇，並與學生一起分享學習數學和教數學的 樂趣。依「教師即研究者」之行動研究理念，個人是一個完全的參與者，

意即，研究者本身兼具課程教學活動的設計、教學與觀察者的多重角色，

並在教室中的教學活動與學生互動。

(二) 研究的對象

參與本研究的學生為個人所任教高三社會組的三個班級(以下皆以 01、02、03 班稱之)學生，每班人數皆為 40 人，從高二開始即擔任她們 的數學教師。由於，本校採常態分班，而且在個人任教期間她們的期中 考與期末學期成績並無太大差異。偶爾個人會針對某些數學主題設計一 些問題，讓學生自行討論找出答案，甚至能試著寫出數學的一般式。三 個班級的學生都已習慣「分組討論課」。由於班級風格不同，01 班的學 生最勇於表達自己的意見，討論時也最熱烈，雖然，她們不見得會出現 最佳的解法，但是，每每遇到問題之時，都最有想法也最有自信。所以，

在第二階段的研究中，就以 01 班為教學觀察的對象，資料的收集也以 01 班為主。

(三) 教學 COP 成員

教學 COP 是個人研究過程中，思維與實作互動的重要環境。COP

是在組織中由許多類似工作情境個人所建立的非正式關係，成員之間彼

此分享共同的心智模式(Wenger, 1998)。累積知識、交換經驗與心得、以

及集體性的協同合作是 COP 的重要特徵；這樣的社群會發展出共同的語

彙，這些語彙代表複雜的共同經驗與意義，而學習與創新就在這樣的集

體語彙與記憶中產生(王思峰, 2002)。Brown 和 Duguid (1991)曾指出，

社群的連結與形成會改變個人自我認同，學習的核心精義就是成為專業 的實踐者 (Becoming a Practitioner)，而非學習實踐方法(Learning about Practice)。在本研究的教學 COP 中，討論的主題是教師的實際數學教學 問題，個人從討論中不但可以釐清研究中所遭遇的困難及問題，更可以 從相互學習與分享中，提昇自己的數學教學知能，進而幫助學生的概念 學習；也從不斷的自我與集體反思中，再次激發自己的專業發展。

本研究的教學 COP 小組成員，除研究者之外，尚包括：

1.一位數學師資培育者，常從數學教育的專業角度對教師們提出的教學 問題提供不同的見解，幫助教師發展專業與協助教師成為研究者，帶 動教師的專業成長。

2.三位在職高中資深數學教師，其中二位與研究者是同校同事，因此，

我們常在教學後即刻就學生的問題及相關教學知識交換心得，可即時 檢視本研究的過程。另一位是有多年教學經驗的他校教師，她任教的 學校與本校的情境相似，在聯合招生中亦可招收到前三志願的女學生。

3.三位師大數研所的研究生，經常不定時地提出問題。

在蒐集研究資料的一年之中，我們每個月至少定期聚會討論一次，

通常是安排在星期五的下午；有時若討論的議題尚未完全釐清，也會增 加討論次數為兩星期一次。每位教師成員依自己設定的主題進行議程討 論，輪流提出個人的教學設計或實施後觀察現象。

第三節 研究的設計和實施

本研究分成兩個主要的階段，第一階段為起始期，第二階段為螺旋

者反思每一歷程的實施情形；並在教學 COP 的討論之後，修正教學的內 容和策略，以實施下一循環的教學行動。這是一個動態循環發展的歷程，

每一個階段的出現，都是前一階段發展和省思的結果。

九十二學年度上學期（92.9~93.1）為起始期，個人先參酌文獻後，

再經由教學 COP 的小組討論，設計出前測問卷，並在複習機率統計單元 與高三數學乙(龍騰版)第四章機率與統計的進度教學前，實施前測。在分 析學生的反應後，初步研擬機率直觀教學的策略與內容，並觀察學生在 此教學設計之下，機率概念的轉變情形。另外，在此次「全班教學」後 實施後測，以了解學生的學習狀況，評估教學對學生再次學習相關機率 概念的影響。九十二學年度下學期（93.2~93.5）為螺旋期，個人根據第 一階段所得的研究心得，於再次複習機率統計單元時，調整教學策略。

先在螺旋前期，實施延後測，以了解學生第一階段教學後，學習的保留 狀況，並做為第二階段教學的參考。接著，利用「全班討論教學」，將 全班分成八小組討論，藉由同儕之間不同想法的刺激，促進學生反省和 修正自己的原始想法。觀察經由討論、比較別人與自己的想法，對學生 機率概念學習的效果，並評估此做法能否引導學生由一階(原始)直觀躍昇 至為二階直觀？於螺旋後期，為克服在一般班級教學無法充分討論的困 難，選出經全班討論教學後，主動表示概念仍有不清楚的學生，和經比 較學生前測、後測、延後測的結果，發現「折返現象(Folding Back)」(Pirie

& Kieren, 1994)的學生有六人，在全班討論教學三天後，實施「焦點小組 晤談教學」。觀察「焦點小組晤談教學」對學生機率概念學習的成效，

並評估引導學生將一階直觀躍昇至二階直觀的可能性？在焦點小組晤談 教學後對全班進行評量，並以問卷收集全班學生對此教學試驗的意見。

而為了掌握焦點小組晤談教學的成效，個人另外設計一份「概念反應問

卷」，請這六位同學在評量之後，表達她們在焦點小組晤談教學期間的

學習狀況及感受。以上兩個階段的教學行動循環圖示如下：

圖 3-1：兩階段的教學行動研究設計圖

以下詳述這兩階段中的教學活動。

一、第一階段：起始期的全班教學

Piaget認為，孩童發現錯誤之時就是自我調整的開始(杜聲鋒，1988)；

Skemp(1987)認為，反思的智力能使個人不斷地嘗試及更正認知基模。因 此，教學要能從學生的迷思概念出發，讓學生敘述自己的原始想法、察 覺自己的迷思概念，進而培養其自我監控、自我覺知的能力。所以，個 人即在第一階段教學之前，對學生做前測。由於她們是高三的學生，已 經學習過這些機率概念，因此，希望藉助前測的結果，了解學生的自發

行 動

計畫 觀察

反 思 全 班 討 論 教 學

模 擬 想 像

後 設 認 知

混 淆 澄 清

行 動

計畫 觀察

反 思 全 班 教 學

直 觀 法 則 類

推 比 較

後 設 認 知

行 動

計畫 觀察

反 思 焦點小組晤談教學

連 結 直 觀 觀

察 結 構

模 擬 想 像

反 思

計畫 行

動

觀察

教學COP

衝 突 介 入

分 組 討 論

起始期

螺旋後期

螺旋前期

螺旋期

性概念和迷思概念；另一方面，也想以此前測做為教學內容的一部分，

希望學生從察覺自己的原始想法來重新建構數學概念，引發概念的改 變，形成新的科學性概念。

教學活動的進行是，先複習二種不同觀點的機率，古典機率和頻率 (經驗)機率，並配合問卷讓學生猜測其他同學的答案，企圖使學生察覺其 原生直觀，接著，利用類推比較、衝突介入和科學性概念，驗證學生原 生的機率直觀。也就是說，透過呈現學生在前測中直觀迷思表現的比例，

引起他們注意這個現象；舉例介紹有關More A-More B與Same A-Same B的直觀法則，讓學生觀察這些直觀迷思中的共同結構，了解直觀法則在 她們思考中所扮演的角色；並且，提醒學生只依據題目外在特徵和直觀 法則來回答機率問題的限制，培養「雖然看似正確但仍須檢驗」的態度，

鼓勵她們應更嚴謹的檢驗自己的直觀，要對自己所寫的答案有更深一層 的“感覺”，例如想一想，這個答案是否合理？合理的範圍在哪裡？是否 在所有的情況下都合理？是否還有其他的方法可以解決這個問題？之 後，引導學生猜測其他同學們的直觀迷思想法及原因，找出問題中可能 呈現的直觀法則並加以驗證。

在全班一起檢討部分問題之後，實施後測。後測中有一部分是請同

學猜測別人的想法，希望能引動她們的後設認知，讓她們了解別人可能

會有的直觀迷思，進而避免自己出現相同的迷思；另一部分是檢驗學生

機率的直觀概念。個人則在比較學生前測與後測的結果之後，再次省思

教學的成效並觀察直觀對學生學習機率概念的影響，藉此調整下一階段

的教學活動。依據圖3-2，第一階段的研究架構及流程圖示如下：

圖 3-2：起始期的研究設計圖

二、第二階段：螺旋期

(一) 螺旋前期：全班討論教學

比較學生前後測的結果，再經由訪談兩類學生(在後測考卷中表示混 淆的學生和在後測中答案轉變為正確的學生)，發現部分學生的機率概念 仍有直觀的混淆。因而，在第二階段再次複習機率單元的教學中，調整 教學策略為「全班教學中實施分組討論」。有時學生之間彼此的溝通，

比教師獨自一人在台上的講解更有效。討論過程中，學生通過意見的交 流，共同找尋問題的答案，又需要將自己的數學想法轉成語言和別人溝 通，概念因此也會更清晰；而且，透過同儕之間的相互討論、辯證、與 澄清，也能察覺自己概念的正確性，進而修正得到更清楚的概念結構。

正如 Skemp(1987，p.66)所說，“溝通似乎是有助於反思智慧發展的一個 因素。….當兩個人或多個人達成協議時，總結的概念就比較不會自我中 心，比較不依賴個人單獨的經驗。”

為確認學生在第一階段學習的保留狀況，並做為再次教學的參考，

實 施 前 測

實 施 後 測

分 析 前 測 結 果

教 學 過 程 與 策 略 教 師 引 導 師 生 探 索

比 較 前 後 測

訪 談 教學策略

運 用 直 觀 法 則

引 動 複

習

衝 突 介 入

在全班討論教學前一星期，實施延後測。將學生在後測問卷中出現的各 種不同想法，編製成一份「全班討論問卷」 。先讓學生判斷問卷中，問題 的各種想法正確與否，希望她們能藉由看到別人與自己不同的做法而有 所省思，且期待她們能從各種不同的角度去檢驗問題的解答，並能更清 楚每個數學式所代表的意義。接著，立即請她們與同學討論之前問卷中 的原始直觀想法。個人也穿梭其間加入討論，甚至利用實物，請某些同 學模擬操作、想像，引導其連結數學式之意義，並驗證答案。之後，總 結討論結果，再次澄清先前的直觀混淆。根據個人過去的教學經驗，若 在討論課後統整並修正學生的結論，她們會比平常上課時還要專注而且 更有反應。或許，這是因為她們都已經思考過這些問題，對她們而言也 就不那麼陌生、困難了。依據圖 3-3，螺旋前期的研究架構及流程圖示如 下：

圖 3-3：螺旋前期的研究設計圖

(二) 螺旋後期：焦點小組晤談教學和評量觀察

全班教學常因教學進度和人數過多，而使學生之間無法充分、有效 地討論。Skemp(1987)也提到，群體的大小和領導的成敗是影響教室討論 氣氛的兩個主要因素，而且，人數愈多的討論式教學會愈容易流於形式，

而二至六人的小型討論教學會比較有成效。為確認前期之中的教學成

效，因此，接續實施「六人學生焦點小組的晤談教學」 。

經第一階段的教學，在比較學生前測、後測、延後測的結果後，學 生的直觀思考表現有以下三種不同的類型：

I. 教學對其有正面影響(經教學後答案改變成為正確) II. 教學後想法在直觀迷思與正確答案間擺盪者 III. 教學對其沒有正面影響者(教學前後答案一致)

而且發現有些學生還出現“折返”(Pirie & Kieren, 1994)情況，亦即，在前 測中的答案錯誤，但是，經過教學在後測中修正了錯誤，可是，在延後 測中又回到了原來錯誤的情況。所以，施行焦點小組晤談教學的對象，

即是由這些個案學生及在全班討論教學後仍有不清楚的學生之中，選出 六人。此六人所屬的類別如下表所示：

表 3-1：焦點小組晤談教學個案學生類別

其中，大部份學生屬於第 II 類，這些學生受到教學的影響在原始直 觀與科學性概念之間擺盪，希望本階段的教學試驗能對這些個案學生有 正面的效果；而屬於第 III 類的學生只有 3 人，因其不受教學影響故不考 慮選擇；S0106 雖為第 I 類，但是卻出現“折返”的情況，可見，其仍受原 始直觀的影響。這種現象也使個人很好奇，是什麼因素影響了這類學生 的表現？

焦點小組晤談教學活動的進行是，先討論前幾次所做的問卷，並比 較同一結構的問題中，每位學生各次的答案，請學生就每個問題說出他

學生 S0101 S0106 S0108 S0113 S0116 S0137 類別 II I II II II II

折返 ˇ ˇ ˇ

們的看法，以便引導學生看見數學中更深一層的結構；再確認全班討論 教學中，所討論的內容是否已清楚；並利用實物模擬問題的情境，讓學 生透過想像連結其原始的直觀，而了解數學式子的意義；接著，以在延 後測中的學生想法編製而成的焦點小組晤談討論問卷，進行小組討論；

最後，讓學生自己說明釐清混淆的情形，幫助她們對自己的概念、想法 做更深層的反思。

為測得較真實的學習保留狀況，故在教學之後六週才對全班實施評 量。藉由比較全班學生教學前後的表現情況、並觀察他們在一般成就測 驗中的表現、和分析六位小組成員在焦點小組晤談教學後，所寫的有關 討論內容整理，以進一步評估本階段(兩個循環)的教學成效。依據圖 3-4，

螺旋後期的研究架構及流程圖示如下：

圖 3-4：螺旋後期的研究設計圖

三、教學行動研究環：活動和策略的循環歷程

教學行動研究是個持續循環的歷程，在個人研究的兩階段(包含三循

環)中，先依研究目標決定這階段教學活動和策略，藉由反思前階段成果

延伸出下一階段的修正方向與內容，然後開啟下階段教學研究之設計與

實施。這樣的兩階段一直都在進行這種循環，也獲致一些初步成果。

這次研究時間為期一年，當兩階段結束之時，也同時指出接續研究 該努力的起點。對高三學生概念重構的教學活動與策略，對第一次接觸 機率課程的學生，是否也會有成效？該如何設計教學活動，才能使學生 避免落入直觀的迷思中，避免學生概念重構？因此，教學行動研究的循 環會在舊問題被解決後，新問題浮現之時，一直持續地進行下去。

第四節 研究工具的發展

本研究中，各階段所發展和使用的研究工具如下表所示：

表 3-2：各階段使用研究工具對照表

以上八份問卷，均是為了瞭解學生機率的直觀迷思概念，並瞭解直 觀對學生機率概念學習的影響，以及試驗教學對學生概念澄清的成效。

它們是依研究進行當下的需要發展而來的，其本身也形成一個工具發展 的循環。八份問卷的使用階段、施測時間、地點和對象如下表：

研究階段 起始期 螺旋前期 螺旋後期 教學活動 全班教學 全班討論教學 焦點小組晤談教學

研究工具

一、前測問卷 二、後測問卷

三、延後測問卷 四、全班討論問卷

五、焦點小組晤談討論問卷 六、評量問卷

七、教學回饋意見問卷

八、概念反應問卷

表 3-3：各階段問卷使用情形對照表

一、 前測問卷(請參見附錄一之 1(1))

前測問卷不只是個人用來瞭解學生已有知識與經驗的工具，也希望 能用來診斷學生機率的迷思概念，藉此預先掌握學生的原始直觀想法，

它也是全班教學的起點。所以，在編製問卷之前，個人先研讀國內外有 關機率和直觀研究的文獻，並分析高中數學的教材內容，並經過教學COP 的互動與其他在職數學教師共同分享、討論。為了瞭解試題陳述及編排 方式對學生作答的影響，和預想學生可能的解題思維及錯誤類型，使前 測問卷更具有效性且切合需要，因此，在教學前的兩週，以同年級成就

研究

階段 研究工具 施測對象 施測時間及地點 一、前測問卷 任教三班學生

共 120 人 數學課 50 分鐘 起

始

期 二、後測問卷 任教三班學生

共 120 人 數學課 30 分鐘 三、延後測問卷 01 班學生

共 40 人 數學課 50 分鐘 螺

旋 前

期 四、全班討論問卷 01 班學生 共 40 人

數學課堂 討論約 100 分鐘 五、焦點小組晤談

討論問卷 焦點小組晤談 6 人 課後留校 討論約 100 分鐘 六、評量問卷 01 班學生

共 40 人 數學課 30 分鐘 七、教學回饋意見

問卷

01 班學生 共 40 人

班會課 學生自行作答 螺

旋 後 期

八、概念反應問卷 焦點小組晤談 6 人 課後

學生自行作答

測驗接近的另一個班級(以下稱04班)實施預測。分析預測的結果之後，再 次與教學COP中的其他老師討論，修改部分試題的敘述及增加部分試 題，成為正式的問卷，並以預測的資料作為教學準備的參考。

本問卷的設計考慮：配合高中課程的基本機率概念和釐清迷思概念 與直觀、捷思判斷法則之關係。

(一) 問題與基本機率概念之關係

高中機率課程是安排在基礎數學的第四冊第三章及高三的數學甲、

數學乙。雖然，數學甲、數學乙二種教材皆包含「機率統計」單元，但 是，兩者所討論的內容完全不一樣。數學甲是延續第四冊的理論，介紹 條件機率與獨立事件；數學乙並沒有引進新的概念，只是透過一些實例 再次闡釋學習已經學過的概念。高三的社會組同學使用數學乙，是以複 習第四冊的內容為主。第四冊龍騰版的教師手冊(2002, p.83)提到，“高中 階段不宜教太理論化的課程，故不介紹抽象的機率空間概念，只介紹直 觀的機率概念。”而課程的重點即是在，介紹拉普拉斯(Laplace)古典機率 和現代頻率機率的定義，並導出機率的基本性質。教師手冊中(ibid, p.86) 還提到， “務必讓學生體會在機會均等的有限樣本空間的基本事件，其古 典機率與現代機率因大數法則的關係，兩者的定義是不互相矛盾的。”

根據個人以往的教學經驗，學生在利用古典機率的定義求機率時，

所產生的問題有一部分是與排列組合的概念有關，有一部分是由於學生 不清楚問題中樣本空間的意義。正如教師手冊中(ibid, p.86)所強調，“利 用拉普拉斯(Laplace)古典機率的定義，求一事件的機率，……但要特別 注意所列樣本空間的基本事件必須發生的機率相等”；而在重複試驗中，

則常出現如陳芷羚(2002)研究中所提“將複合事件視為獨立事件”，例如，

應常為“ 6 1

1 ⋅ 6 ”忘了考慮“3 點”與“4 點”序對出現的可能。所以，在設計問 題時，個人特別注意樣本空間、複合事件、和獨立事件等數學概念。

(二) 問題與直觀及捷思法則之關係

在有關機率的迷思概念文獻中，史丹佛大學認知心理學家 Kahneman 和 Tversky(1972, 1973)曾研究人類在不確定的情況下，使用判斷捷思法 則與偏誤(Judgmental Heuristics and Biases)的現象。他們指出，人類在不 確定情況下，常會誤用各種機率捷思法則。而許多的研究也支持他們的 說法(Shaughnessy, 1992)。因此，Kahneman 和 Tversky 的觀點，對於診 斷機率的錯誤概念是有幫助的。Fischbein(1991)的機率直觀迷思研究發 現，學生常常在機率題目中用了“等機率”的迷思概念，在機率的複合事 件中更容易看到此現象。例如，多數的受試者認為投擲兩個公正骰子，

「出現兩個 6 點」或「出現一個 6 點、一個 5 點」兩個事件的機率相等。

這情況與個人以往的教學經驗相似。他還發現，學生常常無法分辨同一 機率架構的不同情況。例如，多數的中學生不知道「同時投擲 3 個骰子，

出現 3 個相同點數」與「一次投擲一個骰子 3 次，連續出現 3 個相同點 數」兩題中的數學結構是屬於同一個機率的概念架構。

另外，Falk(1988)研究中的時間軸效應問題(The Falk Phenomenon)，

為條件機率研究中最著名的迷思概念，意即，此迷思概念隨年紀增加遞 增(Fishbein & Schnarch, 1997)。Falk 解釋這個問題的困難是由於，學生根 據「因果關係」回答問題，認為「後發生的事件」不能依賴於「先發生 的事件」 ，所以， 「後發生的事件」不會影響「先發生事件的機率」 ，而「先 發生的事件」則會影響「後發生事件的機率」 。根據個人以往的教學經驗，

發現學生常會在「抽籤問題」中，認為先抽的人中獎機率較大。這是因

為，學生直覺上認為後抽的人，會因先抽的人可能中獎，而使得中獎的

機率變低。這與 Falk 的問題相似，學生會有因時間順序而產生因果關係 的判斷，並未察覺「後抽的人中獎機率」變低必須建立在「先抽的人中 獎」的條件下才會成立。在數學乙的課程中並沒有介紹條件機率，但是，

在例題中卻有許多以直觀來看待機率的問題，其實，這是隱含著條件機 率的概念，例如抽籤問題。所以，這也是個人設計問題時所特別考量的 一部分。

在有關直觀法則的文獻中，以色列學者發現，學生對於許多不同的 狀況會用相同的反應來做答；而引出學生共同類型答案的問題是在於題 目的外在特徵，而非它們的科學性內容。他們發現，學生時常只依據題 目的相關特徵和特別的直觀法則來回答，這是因為，面對某個情境，學 生常只考慮了一部份的相關資訊，因而引發對情境直觀的判斷(Stavy &

Tirosh, 2000)。有三個常見的直觀法則，個人比較著重於其中的 More A-More B 和 Same A-Same B。

本研究的目的在，協助學生察覺其不適當的原生(原始)直觀對學習的

負面影響，所以，著重在直觀對學生學習影響的觀察。雖然 Fischbein 不

認為 Kahneman 和 Tversky 的捷思判斷是一種直觀，但是，他們之間卻

有一些相似之處，因為，它們都是來自於應用人的觀察力，都是表現外

部真實世界的模型，但是，直觀發生在比隨機更廣的科學領域；而捷思

判斷只是一種過程策略(Shaughnessy, 1992)。所以，個人以直觀法則及

Fischbein 的機率直觀迷思概念為主，加上課程的考量。根據陳芷羚(2002)

的研究，獨立與樣本空間兩個自變項與「代表性判斷偏誤」能力有明顯

的關係，而與「可利用性判斷偏誤」之間的關係並不明顯。她提到，“樣

本空間能力越高，亦即越能列出所求事件之樣本空間元素個數的受試

者，越不容易有代表性判斷偏誤之表現；另者，獨立事件與複合事件越

沒有概念混淆的受試者，越不容易有代表性判斷偏誤之表現”。所以，個

人在“使用判斷捷思法則與偏誤”的部份僅考慮“代表性”的問題，主要目 的是配合高中課程的內容。

前測問卷的試題架構如下表：

直觀迷思類型 題目編號 題數

More A-More B 1(1) , 2, 3, 6 4 Same A-Same B 1(2) , 4, 5, 7 4 複合事件等機率迷思 1(2), 2, 4, 5, 12, 5

一次投擲 13 1

因果關係 10(1)(2), 11 3

代表性

4, 7(忽略樣本大小)

8, 9(在短期隨機事件中尋找規律 與形式)

4

表3-4：前測問卷試題架構對照表

由於受到課程進度及教學時間的限制，所以，有些題目的設計包含 多重目標，藉由選項設計及學生的答案來判斷其迷思概念的情形。本問 卷共 13 題，包含著 15 小題(其中第 1、10 二題皆各有兩小題)，其中 11 小題改編自研究文獻， 4 小題改編自課本的習題或其他書籍。其中第 1(1) 取自 Green 的研究中的問題(引自 Stavy & Tirosh, 2000)；第 2, 12, 13 題改 編自 Fischbein 的研究(1991, 1997)；第 4, 7, 8, 9 題改編自 Kahneman 和 Tversky(1972)的研究，而第 4 題亦出現在 Stavy & Tirosh(2000)的研究，

第 7、 8 題亦出現在 Fischbein 和 Schnarch (1997)後來的研究中。尤其，

第 7 題是有關“忽略樣本空間大小”的問題，曾在許多機率迷思概念的研

究中出現(Van Dooren , De Bock , Depaepe , Janssens , & Verschaffel,

2003)，研究顯示此迷思概念隨年紀增加而增強 (Fischbein & Schnarch,

1997)，而聯考推甄也曾經出現類似概念的問題。第 10 題為 Falk(1988) 研究中有名的時間軸效應問題。而第 3 題改編自龍騰版課本數學乙上冊 中的隨堂練習，第 1(2), 5 題改編自南一版課本數學第四冊第三章中的習 題，第 6 題則改編自「數學是啥玩意？」書中第十三章的習題。

每題皆為多選一，且每題皆有一選項為「不知道」 ，個人並告訴學生，

不是要以問卷測驗其數學程度的高低，而是想知道她們的學習狀況，以 作為教學的參考。為了更瞭解學生的想法，試題中要求學生在每一題除 了填寫選項之外，尚須說明填答的理由。

二、 後測問卷(請參見附錄一之 2(1))

後測問卷分成兩部分，第一部分是「猜測別人的想法」，主要的目 的是在測試學生在接觸直觀法則之後，是否瞭解 More A-More B、Same A-Same B 兩種法則，以及在瞭解直觀法則的角色之後，是否能引發學生 的後設認知，避免直觀錯誤；第二部分為，檢驗在經教學後學生對 More A-More B 和 Same A-Same B 以及複合事件等機率這些迷思概念的表現 與教學前有何不同，還有觀察在不熟悉情境問題中，學生對機率概念的 了解與直觀的表現為何，而教學是否對其有影響。

第一部分共兩題，僅是將前測中的第 6、7 兩題改為猜測並寫出別人

面對這些問題選項的想法。會利用前測中的問題是因已有前測的統計結

果，在檢討後測問題時可利用這些結果讓學生與自己的猜測作比較，使

學生對這些問題有更多的關注。第二部分共四題，題目的結構和來源如

下表：

表 3-5：後測問卷第二部份試題結構與來源對照表

由於受到課程進度及教學時間的限制，所以，題目的數量無法太多。

第 2 題和第 3 題皆為 Same A-Same B 類型，但有不同的數學結構，前者 為二項分布後者為超幾何分布。龍騰版課本上雖未提到二項分布和超幾 何分布這些名詞，但在例題中包含著這兩種看似相同但實際上卻是不同 型態的問題，而在南一版數學乙的課本中即很清楚地說明二者的關係。

在這兩題中也都包含著 Fischbein 的複合事件等機率的直觀迷思概念，也 與捷思判斷中的代表性偏誤之忽略樣本空間大小的問題有關。第 4 題是 學生不熟悉的問題情境，猜測學生可能會因為看到問題敘述的不同處而 有不同的直觀表現。若學生的關注點在賽程表中，可能會認為與強者比 賽場數愈多，則失敗機率會愈大，可能會有 More A-More B 的反應；若 學生的關注點在「連贏兩場」 ，則可能會認為賽程一、二中的對手皆是強 弱相間，所以，無論選哪一個賽程得勝機率皆相同，而出現 Same A-Same B 的反應。

每題皆為多選一，且每題皆有一選項為「不知道」 ，並為更瞭解學生 的想法，試題中要求學生在每一題除了填寫選項之外，尚須說明填答的 理由。

題號 直觀迷思類型 來源

1 More A-More B 修改 Fischbein 研究問題 2

Same A-Same B ,

複合事件等機率迷思 修改 89 年推甄考題

3

Same A-Same B ,

複合事件等機率迷思 修改 92 年大考中心研究試題

4 不熟悉情境問題 修改 92 年大考中心研究試題

三、 延後測問卷(請參見附錄一之 3(1))

為確定學生在第一階段學習的保留狀況，並做為再次教學的參考，

而且，在上學期第一階段教學中因為時間關係，並未特別強調抽籤問題 中因果關係的迷思，也因此後測中有部分概念未測而無法瞭解教學後對 學生的影響。所以，在第二階段(螺旋前期)教學前一星期實施延後測，其 目的是，檢驗 SameA-SameB、MoreA-MoreB、複合事件等機率、及因果 關係等迷思概念，在教學一段時間之後的表現為何，觀察學生直觀的想 法是否會受教學而改變，抑或直觀的強韌性使學生在教學一段時間之後 又折回原始的直觀。

為便於與之前的結果比較，所以，延後測題目的結構與題型皆與前、

後測相似，皆是參考前、後測中的題目自行設計的。每題皆為多選一，

並為更瞭解學生的想法，試題要求學生在每一題除了填寫選項之外，尚 須說明填答的理由。由於，在前測中曾發現學生在“不能分辨同一機率架 構的不同情況”(例如一次投擲 N 個與連續投擲一個 N 次)問題中的錯誤比 率非常低，故在延後測中不再設計此類試題。延後測問卷的試題架構如 下表：

表 3-6：延後測問卷試題架構對照表

直觀迷思類型 題目編號 題數

More A-More B 3 1 Same A-Same B 5, 6(1)(2)(3) 4 複合事件等機率迷思 1, 5, 6(1)(2)(3) 5

因果關係 4(1)(2)(3) 3

代表性

5, 6(1)(2)(3) (忽略樣本大小)

2 (在短期隨機事件中尋找規律與形 式)

5

同樣地，因受課程進度及教學時間的限制，題目的數量無法太多，

且有些題目的設計包含著多重目標。根據前、後測的結果，學生在 More A-More B 部分的表現較 Same A-Same B 好，這有一部分是因為學生有複 合事件等機率迷思和忽略樣本大小的迷思概念，及受問題中「比例關係」

的影響，所以，這成為題目設計時考量的重點。第 5 題和第 6 題雖皆為 Same A-Same B 類型，但有不同的數學結構，前者為二項分布，後者為 超幾何分布。又因為，在後測中大半學生皆認為兩者相同，故將第 6 題 分成三個小題，藉由不同但卻相似的問題，企圖引導並提醒學生注意，

彩票“總數”會影響彩票“中獎”機率;並察覺到，這與二項分布中「每次皆 獨立的重複試驗其機率皆相同」的情況是不同的。第 4 題是與 The Falk Phenomenon 及抽籤問題中因果關係有關的迷思，由於第一階段的教學中 並未強調，而這將是第二階段教學的重點，所以列入問卷。

四、 全班討論問卷(請參見附錄一之 4(1))

有部分學生因對所寫的數學式，與心中的直觀想法衝突，而在後測 考卷上表示感到混淆。經由比較學生前後測結果與訪談部分學生，發現 學生對自己所寫的答案沒有信心，甚至有學生即使寫出正確的式子，還 會在二個相似的問題中選擇不同的答案，認為二選一至少有一題會對。

還有些學生不知自己所寫的數學式所代表的意義，只是因為習慣如此 寫。所以，學生即使做對了，不代表她就一定懂了，即使個人很清楚的 告訴學生，她的想法錯在何處，她下次還是有可能呈現相同的反應。所 以，要讓學生自己發現錯誤而有所省思。因此，針對學生的問題，將學 生在後測問卷中，出現的各種不同想法(包括正確與錯誤)，編製成問卷，

做為上課討論的內容。希望，他們能藉由比較別人與自己不同的做法，

與同學彼此溝通互動，而有所省思甚至產生認知衝突，經由後設認知的

過程重新建構數學概念，而且期待他們能從各種不同的角度去檢驗問

題，更清楚每個數學式所代表的意義。

全班討論問卷共有 5 題，前 4 題是測驗題，第 5 題是請學生表達意 見，試題架構和來源如下表：

表 3-7：全班討論問卷試題架構與來源對照表

因為，學生在延後測中 More A-More B 和代表性問題答錯率非常 低，而大部分的問題出現在 Same A-Same B 的二項分布與超幾何分布間 的差異以及因果關係，故以此為教學設計的重心。為澄清直觀迷思，讓 學生體會「在機會均等的有限樣本空間的基本事件，其古典機率與現代 機率兩者的定義是不互相矛盾的」，所以，第 1、2 題的選項設計皆涵蓋 各直觀迷思類型的想法，也包括從古典機率及現代機率重複試驗觀點所 寫正確的式子，每題皆為多重選擇。第 3 題為澄清“抽籤問題中先抽的人 與後抽的人中獎的機率相同”與“先發生事件會影響後發生事件的條件機 率問題”設計。第 4 題為再次澄清 Falk 問題與抽籤問題；第 5 題則是希 望學生在做完上面的問題及討論後能再次反思自己的想法有無改變，請 學生表達改變的原因為何，藉此評估「全班討論教學」的成效。問卷中

題號 來源 直觀迷思類型

1 修改後測問卷 第二部分第 2 題

Same A-Same B 複合事件等機率迷思 二項分布

2 修改後測問卷 第二部分第 3 題

Same A-Same B 複合事件等機率迷思 超幾何分布

3 自編(由學生訪談中發現) 因果關係

4 修改前測問卷第 10、11 題 因果關係

每題學生皆必須依各個選項判斷並寫出理由及想法後再與同學討論。

五、 焦點小組晤談討論問卷(請參見附錄一之 5)

為確認六個個案學生在課堂上討論的結果是否清楚，並檢驗其基本 機率概念及直觀迷思的表現，所以，在此問卷的部份仿「全班討論問卷」

的形式，針對學生的問題，整理學生在延後測問卷中出現的各種不同想 法(包括正確與錯誤)，部份題目則為個人重新自行設計的內容，將兩者合 併編製成問卷做為焦點小組晤談教學討論的內容。在學生做完問卷後，

立即檢討。

焦點小組晤談教學討論問卷的試題架構如下表：

表 3-8：焦點小組晤談教學討論問卷試題架構與來源對照表

第 1 題用來確認焦點小組成員對之前課堂上的討論內容是否清楚，

並進一步觀察她們對 Same A-Same B 的瞭解狀況。第 2 題除觀察學生對 More A-More B 的瞭解狀況之外，還希望藉由同一問題的不同想法觀點 出發卻有相同的答案，來製造認知衝突，使學生察覺“複合事件等機率迷

題號 來源 直觀迷思類型

1 修改延後測問卷第 5 題

Same A-Same B 複合事件等機率迷思 二項分布

2 修改延後測問卷第 3 題 More A-More B

複合事件等機率迷思 3 自編

(區別單一事件與複合事件)

複合事件等機率迷思 代表性

4 自編

(將學生熟悉情境略為改變)

More A-More B 條件機率

5 自編

(由上課討論發現學生問題) 因果關係

思”的概念。第 3 題希望學生能區辨和比較單一事件與複合事件的差異，

明白所寫數學式之意義。第 4 題將學生熟悉情境略加改變並加入條件機 率的概念，觀察學生對直觀的反應，並希望學生從直觀的觀點認識條件 機率。第 5 題為澄清“抽籤問題中先抽的人與後抽的人中獎的機率相同”

與“先發生事件會影響後發生事件的條件機率問題”。為充分瞭解學生的 想法和作法，所以，題目皆為開放式的計算及問答題。

六、 評量問卷(請參見附錄一之 6(1))

為確定學生在第二階段的學習狀況，並做為未來再次教學的參考，

所以，本問卷的目的在檢驗 MoreA-MoreB、SameA-SameB、複合事件等 機率、因果關係等迷思概念，在教學一段時間之後的表現，觀察學生直 觀的想法是否會受教學而改變，抑或直觀的強韌性使學生在教學一段時 間之後又折回到原始的直觀。

評量問卷的試題架構和來源如下表：

表 3-9：評量問卷試題架構與來源對照表

題號 來源 直觀迷思類型

1(1) 修改陳芷羚(民 91)訪談工具 More A-More B 代表性

1(2) 自編

Same A-Same B 複合事件等機率迷思 二項分布

2 修改龍騰版數學乙課本例題

Same A-Same B 複合事件等機率迷思 超幾何分布

3 自編 因果關係

條件機率

由於受到課程進度及教學時間的限制，題目的數量無法太多，且有 些題目的設計包含多重目標。為便於與之前的結果比較，所以，題目的 概念及架構與之前問卷相似。每題皆為多選一，並為更瞭解學生的想法，

試題中要求學生在每一題除了填寫選項之外，尚須說明填答的理由。

七、 教學回饋意見問卷(請參見附錄一之 7)

為了瞭解學生在螺旋前期全班討論教學之後，對機率的概念是否有 新的啟發與不同的想法，和瞭解上課利用各種不同想法來做猜測、判斷 的做法，對學生學習的影響情況如何；還想瞭解在介紹直觀法則一段時 間之後，學生對直觀法則的瞭解，是否對其學習有正面影響，於是設計 一份開放式的問卷，由全班學生填答，以進一步瞭解教學設計對學生的 影響。

八、 概念反應問卷(請參見附錄一之 8)

針對參與焦點小組晤談教學的六位個案學生，設計一份開放式的問 卷，想瞭解她們機率概念的理解狀況及教學的影響。本問卷共兩題： 「1.

請將上次討論的內容，依你的了解把它整理出來。你覺得現在是否對這 些概念比較清楚？是否有什麼新領悟？請說明原因。2. 上次小組討論 後，請大略描述印象最深刻的部分？為什麼？」

第五節 資料的收集和分析

為研究的真實性，個人在每一階段中均透過多重面向來蒐集各類的

實徵資料。資料收集的主要方式包括課堂觀察、學生問卷調查、學生訪

談、以及教學 COP 討論。資料的內容包括個人研究日誌、學生問卷填答

資料、學生訪談錄音與轉譯資料、教學錄影、焦點小組晤談討論錄音與 轉譯資料、以及學校部分考試測驗卷。資料分析的方法，乃參照紮根理 論 (Grounded Theory)( 吳 芝 儀 和 廖 梅 花 譯 , 2003) 中 系 統 歸 納 程 序 (Systematic Inductive Procedure)和持續比對方法(Constant Comparative Method)之精神而來。以下說明蒐集資料的過程和內容，並舉例說明各類 資料的分析方法。

一、研究日誌

研究日誌內容包括在整個研究歷程中，個人對課程活動的進行過程 中，學生特別表現及反應與印象深刻事件的觀察紀錄；教學活動前後與 教學 COP 討論的紀錄；與對蒐集的所有資料反覆省思過程及研究進行、

修正情形的紀錄，以供日後參照。研究日誌的撰寫是教師進行研究時最 常用的方法，研究日誌是在進行三角檢核時反省對照的依據。同時，它 也是促進研究發展的重要媒介，應將研究日誌視為整個研究進度的同行 伴侶，而不只是一個收集資料或分析資料的工具而已（夏林清譯, 1997）。

在課堂觀察方面，個人特別留意師生與學生彼此間的互動情形，因

為在互動中更容易察覺直觀的看法，例如，在全班討論教學中，雖然學

生 S0108 的數學概念並不清楚，但她的問題卻促使其他組員發現直觀想

法的錯誤，引發更進一步的討論。在教學 COP 討論中，特別注意成員與

個人想法所持不同的意見，例如，有位成員質疑，個人在後測中「讓學

生猜測其他人想法」的作法，可能會引起學生更大的混淆，這也提醒個

人更加仔細觀察此作法對學生的影響。透過不斷書寫研究日誌，也不斷

反思研究者所觀察到的、所感覺到的，因而發展出一連串的行動，再經

由對行動的反思而發展個人新的教學想法。

二、問卷調查

研究中所使用的問卷內容、設計考量及其使用方式在第四節已述，

以下說明問卷資料的處理分析方式。

前測、後測、延後測、和評量問卷，先依學生答題狀況與所寫理由 情形將其量化統計，尋找資料所表現的趨勢，並與國外相關研究比較，

探索學生迷思概念類別。另外比較對照各次問卷學生表現，觀察學生概 念改變情形，評估教學成效；並為探討直觀對學生學習的影響，我也依 學生的個別狀況，利用延後測與前測、後測做比較，依 More A-More B、

SameA-SameB、SameA-SameB+複合事件等機率三類問題考慮(不包含二 項分布與超幾何分布的差異)，將學生經第一階段教學後的直觀思考表現 情形分成三類： I. 教學對其有正面影響(經教學後答案改變成為正確)；II.

教學後想法在直觀迷思與正確答案間擺盪者；以及 III. 教學對其沒有正 面影響者(教學前後答案一致)。在第二階段教學結束後，再利用評量問卷 中學生的表現與前測、後測、延後測做比較，加入因果關係的部份，依 More A-More B、SameA-SameB、SameA-SameB+複合事件等機率、

SameA-SameB+複合事件等機率+因果關係(包含二項分布與超幾何分布 的差異)、「因果關係」五類問題考慮，將學生經螺旋期教學(全班討論和 焦點小組晤談討論教學)後的表現情形分類，分類情況與之前相同，比較 學生兩次分類情況變化(詳細分類情形請參閱附錄三)。

由在全班討論、焦點小組晤談討論問卷紀錄與概念反應問卷中的學 生概念改變情形與其感受，找尋討論過程對其影響。依據學生的描述作 推估、分類，再從分析中抽離出討論過程對學生產生影響的可能因素。

例如，學生 S0115 在全班討論問卷第 2 題旁寫著：

原本考試時，我是寫的式子是(E)，沒有想到(G)，所以看到(E)就打“○”，看

到(F)就被誤導，還好 S0108 的提醒，so 整個過程是

在全班討論問卷第 5 題旁寫著：

常常因為一開始沒有把題目完全看懂、釐清題目原意，就依著舊模式執行，

看到大家不同的想法，反而去思索題目的原意，有如倒吃甘蔗

這似乎顯示學生能經由討論發現並修正錯誤，因此個人認為討論對其有 正面影響，感受到在與他人交換意見中，學生會檢視自己的思考，引起 反思。

教學回饋意見問卷的分析是，依據學生的描述作推估、分類，再將 其結果量化，尋找趨勢。例如，問卷中的第一題，是請學生描述“猜測別 人的想法” “判斷各種不同想法”的過程中，對澄清概念是否有幫助。個人 將學生意見調查結果，分成有幫助、無幫助、檢討後有幫助三類，並依 第一次教學後學生表現「直觀思考類型」不同的情況做對照，驗證是否 不同類型的學生會有不同的感受。

三、訪談

訪談共進行三次，各階段的訪談之目的、對象、方式如下表 3-10。

訪談前，個人已任教該班將近一年半，與學生建立了良好關係，並告訴 學生訪談的目的是為了幫助研究者更瞭解他們的學習狀況，作為以後調 整與改進教學的參考。並為使訪談內容詳實，每段訪談皆徵得當事人同 意後進行錄音。在訪談一及訪談二中，因為學生的特性，和個人希望她 們能藉由與別人的談話互動，經由共同或不同的想法交錯引發她們更深 一層的省思，尤其在訪談二中，期許這樣的互動能使學生澄清混淆的概

E: ○ → × → ○

F: ﹖→ ○ → ×

G: → × → ○

念，所以選擇團體晤談。

研究

階段 訪談目的 訪談對象 訪談

方式

訪 談 一

1.確認學生知道「直觀法 則」對學習是否有幫助。

2.暸解「猜測別人想法」

對 學 生 自 己 做 問 題 的 理 解是否有幫助。

教學後錯誤矯正者 (前後測比 較 答 案 改 變 且 正 確 者 ) ： S0117、S0126、S0128、S0129、

S0133。

這五位學生成績中上，很能且 願意表達自己的想法。

團體 起 晤談

始 期

訪 談 二

1.進一步確認學生在後測 中感到混淆的原因。

2.了解教學後學生對直觀 的看法感受

在後測考卷中表示感到混淆 者：S0105、S0109、S0114、

S0136。這四位學生平常就敢 問，勇於表達自己的意見。

團體 晤談

螺 旋 後 期

訪 談 三

以複習考卷為主，訪談部 分學生個案，以深入瞭解 教學對學生的影響

由三種直觀類型中，選取八位 學生。第 I 類：S0102、S0123、

S0125 ； 第 II 類 ： S0109 、 S0114、S0138；第 III 類：

S0132、S0141。

個別 晤談

表 3-10：各階段訪談目的、對象對照表

個人先將訪談資料轉譯成逐字稿(請參閱附錄二之 1、2、3) ， 依訪談 目的，尋找學生反應類別及原因，並比較對照學生在問卷中的表現， 確 認訪談中的發現。例如：在訪談二中，有以下的對話：

T:好，所以你的混淆就是在排序的問題？

S0109:就是這邊有排，這邊沒有 T:所以你的混淆是你有兩個觀點.

S0109:其實應該是我只記得這樣，然後習慣上寫成這種東西(

)

2 ( 1 2 ) ( 1

C

)

就會乘個係數，就會寫上去(

T:你的意思是說寫成這樣(

)

2 ( 1 2 ) ( 1

C

)，就會習慣寫上去(

上課都寫？

S0109:對，習慣

T:可是你從來都不知道這個東西代表什麼意思？

S0109:對

從以上這段對話中，我們可以感受到學生的學習只是慣性學習，並 未理解所寫數學式之意義，個人又再比對學生 S0109 前測與後測問卷發 現，她有兩個想法交互使用，若題目敘述與上課所提過重複試驗的形式 較相近，例如「丟四個均勻骰子恰出現二個是偶數點的機率」和「四個 孩子中是二男二女的機率」就會使用上課習慣的做法，因而沒有出錯；

但是，若題目敘述與重複試驗的形式較不同，如：「丟二個公正骰子出 現一個 3 點一個 4 點的機率」就會回到原始的錯誤直觀。也因此確認造 成學生混淆的原因是科學性知識不足，其根源是學習的方式是不正確的。

四、其他

為了便於日後反省教學成效，將第一階段全班教學過程錄影，與小 組晤談討論教學過程錄音，並將部分錄音轉譯成逐字稿(請參閱附錄二之 4)。另外，為瞭解學生在學校表定考試中，機率概念的理解狀況，因此，

在螺旋後期教學結束後，收集複習考及期末考中與機率有關題目學生的 表現將其量化，並與在前置研究中實施預測的 04 班作比較。

為更有效率地整理和分析各類實徵研究資料，個人將其分別編碼，

再根據不同類別的編碼資料，形成暫時性的主題或類別，並一再地重新

組合和檢視資料中的概念，與其他相關文獻資料作交叉分析與比較，以

便更真實、精確地詮釋這些資料。各類資料的簡略編碼代號如下表：

^表 3-11：資料編碼對照表

第六節 研究的限制

質性研究的目的在於發現，而其主要的活動是分析、詮釋以及呈現 發現的結果(吳芝儀和李奉儒譯，1995)。它的困難即在於，沒有絕對的規 準，來表達這些資料所揭示的內容。質性資料的分析，有賴於研究者的 分析能力和風格，因此人的因素在質性研究中既是偉大的力量、又是根 本之弱點所在(吳芝儀和李奉儒譯，1995)。所以，這樣的研究自有其無法 避免的限制，而且完整無缺的分析其實是不存在的。以下個人將從研究 的推論、研究的效度、和三角校正法三方面，提出本研究的諸多限制，

並說明個人如何降低這些限制。

一、研究的推論

本研究係以研究者之教室為場域、任教班級學生為對象，由於地區 環境與學校特質的限制，因此，研究的結果僅能做有限度地推論，例如 一些與本校校風和學生特質相似的教學環境。

資料

類別 編碼方式 編碼說明

各種

問卷 (全班討論,2, S0101) 表示01班座號1號學生在全班討論問卷中 第2題的紀錄。

(訪一,31-36)

表示此段對話出自訪 談一中，對話編碼序的 31-36。

錄音 資料

(晤討,183-194)

表示此段對話出自焦 點 小 組 晤 談 討 論 教 學 ， 對 話 編 碼 序 的 183-194。

逐字稿中的T表教

師 ， S0109 表 01

班 座 號 9 號 的 學

生，而對話前的數

字為對話編碼序。

基於研究者本身即教師，直接涉入研究的觀察，因此，會在不同的 研究階段與層面中不自覺地呈顯個人的價值觀、教學慣性、及解決教學 問題獨有的方式；而在詮釋資料過程的取捨、教學情境的記錄，也皆會 受個人主觀的影響。所以，資料分析的客觀性會受個人詮釋的限制。也 就是，這種經由分析教室教學活動、研究問卷、與訪談資料的詮釋性質 化研究，研究者常會選擇性的使用那些符合他想法或特別突出的資料，

導致影響整個研究的調查過程和結論(高熏芳、林盈助和王向葵譯, 2001, P.136)。但是，為盡量減少這樣的限制，個人努力做到 Patton（吳芝儀和 李奉儒譯, 1995, p.308）所說的“質的分析的規範和嚴謹性，有賴於詳實 的描述性資料之呈現，故經常被稱為「厚實的描述 (Thick Description)」。

如此方式的描述，才能使別人閱讀了分析結果之後就能理解，並能夠做 出自己的詮釋。”例如，詳細描述問卷編製想法及過程、個案學生選擇的 過程、蒐集資料與資料分析的方式、和教學片段等。

還有，由於實徵資料來自所教的學生，而個人則是掌握她們學習成 績的數學教師，由於日積月累的熟悉與相互的利害關係，學生的回答或 有過度誇張的可能，也就無可避免地限制了學生學習反應的真實性。不 過，學生因熟悉研究者而給的面子效應，可因研究的生態效度（即指研 究者和他們之間進行長時期的互動，客觀性會取代短期的面子效應）而 確保部分的真實性。

因為使用行動研究法，意義在於想解決立即的數學教學問題，所以

著重目前面臨的情境，較難推論至其他的教學情境裡，也就是較不具備

研究結論的一般性。研究結果的可一般性，也就是外部推論，對於質化

研究而言，通常不是那麼重要(高熏芳、林盈助和王向葵合譯, 2001)。行

動研究雖是為解決獨特對象（如某一班級或學校）的問題，但是，這並

不表示它的結果和構念不能做適當的推論。例如，本研究中所運用的兩

類直觀法則之構念，來自他國研究的結果，即是一個很好的例子。事實

上，如能將此詮釋或理解放在更大的脈絡中，或許仍能走向更客觀和更 普遍知識的掌握(陳伯璋, 1990)。

二、研究的效度

在傳統實證主義的研究架構之下，是以信度、效度與客觀性做為研 究品質的判準。然而 Guba 和 Lincoln(1994)指出，從建構主義的觀點來 看，研究發現只是特定個人在特定情境下的結果，具有可變性與暫時性 的本質。G.H.Bell（1985）提出四個維持教育行動研究嚴謹性的效標：

(一) 確實性（Credibility）

此即“有清楚而具體的證據支持其結論＂。個人在研究的各階段中 蒐集多重的資料，透過長期的參與，持續地分析、歸納、比較、與校正 各類的實徵資料，期能降低個人的偏見，增加資料的真實性和詮釋的精 確性。

(二) 可轉移性（Transferability）

此即“能促進與其他教師同仁間的經驗交換與相互學習＂。經由教 學 COP 小組內的討論過程，與其他相同身分的教師進行對話互動、經驗 交流，共同檢視與省思個人的教學過程，可使彼此的教學更成熟。此外，

本研究詳實描述研究參與者、研究場域、研究者所扮演的角色、和教學 理念，期盼讀者或其他研究者能透過這些訊息，自行決定教學或研究情 境的相似性，做為研究結果是否可以參考或轉移的依據。

(三) 可靠性（Dependability）

此即“蒐集資料的過程與所獲得的資料都值得信賴＂。個人詳實敘

述研究設計的理念與流程、資料蒐集與分析的方式，即所謂資料厚實的 描述。如此方式的描述與呈現資料是，希望別人能立即理解個人分析的 結果，並發展自己的詮釋，以使其他研究者能查核及運用相關的研究方 法與研究構念。這樣也許能夠提升部分研究的可信賴度。

(四) 可確定性（Confirmability）

此即“公開呈現所有的正反訊息與處理過程，使偏見的影響盡量降 低＂。在研究過程中，曾在不同階段裡透過教學 COP 小組的共同檢視，

以提昇各次教學策略與內容的適切性。另外，個人也盡力完整呈現學生 的各種問卷和回饋內容，再以完全參與者的角色，對研究過程、研究方 法和構念作詳細的描述，以呈現整體的研究架構。藉由這樣的方式也許 能夠盡量降低個人偏見的影響。

三、三角校正

三角校正(Triangulation)即是運用多種資料分析、各種理論方法、不 同蒐集人員、以各個角度交叉檢查所蒐集資料的真實性和有效性。它的 目的是，發現事物的確切性和真相，進而形成初步的「研究發現」，並 非發現所謂的「真理」。三角校正可以提供一個從多個角度去研究問題 與個別事件的方法，而能讓研究者學習從其中獲得對於問題與事件更周 延的看法。在本研究的過程中，個人採用以下三種三角校正的分析策略：

(一) 學習者效化

行動研究者在研究過程中必須記錄學生的反應，並且多方收集資料

的 來 源 ， 以 支 持 和 調 整 自 己 預 設 的 想 法 ， 稱 為 學 習 者 效 化 (Learner

Validation)(Feldman, 1994；McNiff, 1988)。個人在本研究中，對相同的