2 2 2 2 2 2 2 2 + ba a b − ba a b ab ab a 2 2 2 2 2 2 2 2

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：95.10.26 班級 普一 班

範

圍 1-4 複數(全)

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1. 設a，b均為非零的實數，下列何者成立？

(A)

a

² = a (B) − = a i (C) a ． b = ab (D)

a b a =

b

a

(E) i⁸³ = − i

【解答】(E)

【詳解】

(A)∵

a

² = | a | ∴

a

² = a不真

(B)∵ 當a < 0 時， a i = ( − i)i = −

a

− ∴

a

− = a i不恆真

a

(C)當a < 0，b < 0 時， a ． b= − ab ∴

a b

= ab 不恆真 (D)當a > 0，b < 0 時，

b a = − b a

∴

b a = b

a

不恆真

(E)∵ i⁴ = 1 ∴ i⁸³ = i³ = − i為真

2. 以 2 + 2 i及 2 − 2 i為根作一個一元二次方程式為

(A) x²

+ 4x − 2 = 0 (B) x

²

− 2x − 3 = 0 (C) x

²

− 4x + 6 = 0 (D) x

²

− 2x − 1 = 0

(E) x²

− 4x + 8 = 0

【解答】(C)

【詳解】

∵ (2 + 2 i) + (2 − 2 i) = 4，(2 + 2 i)(2 − 2 i) = 6

∴ 以 2 + 2 i及 2 − 2 i為二根之二次方程式為x²

− 4x + 6 = 0

3. (複選)設a，b ∈ C，則下列何者正確？

(A)

a

+ = a +b (B)

b a

− = a

b

−

b (C) ab = a b

(D)( ) ba =

b

a (E)aⁿ = (

a )

ⁿ，其中n ∈ N

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】參閱複數絕對值之性質

4. (複選)如果將複數看成複數平面上的點，則下列哪些敘述是 正確的？ (A) 1，i，1 + i 三點共線

(B) 2+ i 與 1 + 2 i 和原點距離均相等 (C) 3 i， 3 ， 2+ i，1 + 2 i 四點共圓 (D)以 1，i，−1 為頂點的三角形是等腰三角形

【解答】(B)(C)(D)

【詳解】

(A) 1 → (1，0)，i → (0，1)，1 + i → (1，1)，其斜率 0 1

1 0

−

− ≠ 1 0

1 1

−

− ∴ 三點不共線

(B) | 2+ i | = ( 2)² + = 3 ，| 1 + 2 i | =1 1+( 2)² = 3 ∴ 2+ i 與 1 + 2 i 和原點距離均相等

(C) | 3 i | = 3 ，| 3 | = 3 ，| 2 + i | = 3 ，| 1 + 2 i | = 3 ∴ 四點均在以原點為圓心， 3 為半徑的圓上

(D) 1 → (1，0)，i → (0，1)，− i → (0，−1)，∴ 由圖知其圖形為等腰三角形 5. (複選)下列何者不正確？

(A) 2i > i (B) 5 + 2i > 4 + 2i (C) i² < 0 (D) | 5i | > 0 (E) | 3 − 4i | > | 2 + i |

【解答】(A)(B)

【詳解】

(A)錯誤：虛數無法比較大小 (B)錯誤：同(A)

(C)正確：i² = − 1 < 0 (D)正確：| 5i | = 0² +5² = 5 > 0 (E)正確：| 3 − 4i | = 3²+(−4)² > 2² +1² = | 2 + i |

二、填充題( 每題 10 分) 1. 化簡

9 2

) 25 1

( ) 16 3

(

− +

− +

−

−

− ．

為標準式得 。

【解答】7 − i

【詳解】

9 2

) 25 1

( ) 16 3

(

− +

− +

−

−

− ．

= i

i i

3 2

) 5 1 )(

4 3 (

+ +

−

−

= i

i 3

2

) 15 4 ( ) 20 3 (

+ + + +

− =

i i 3 2

19 17

+

+ =

) 3 2 )(

3 2 (

) 3 2 )(

19 17 (

i i

i i

− +

−

+ =

9 4

) 51 38 ( ) 57 34 (

+

− +

+ i=

13 13

91− i = 7 − i 2. 設k為實數，方程式x² + (k + 3)x + (k + 3) = 0

(1)有虛根，則k的範圍為 。 (2)兩根相等，則k = 。

【解答】(1) − 3 < k < 1 (2) − 3 或 1

【詳解】

判別式 ⇒ (k + 3) ² − 4．1．(k + 3) =(k + 3) (k − 1) (1)有虛根，則 (k + 3) (k − 1) < 0⇒ − 3 < k < 1 (2)兩根相等，則(k + 3) (k − 1) = 0⇒ k = − 3 或 1

3. i i 2 3

5 8

−

+ 之共軛複數為 。

【解答】13 14−

13 31

i

【詳解】

2 ) 3

5 (8

i i

− + =

i i

2 3

5 8

− + =

i i 2 3

5 8

+

− =

4 9

) 2 3 )(

5 8 (

+

−

− i i =

13 31 14− i=

13 14−

13 31

i

4. 設x，y ∈ R且

yi x

i i

+

− +3)(1 2) 2

( = 1 − i，則(1) x = 。 (2) y = 。

【解答】(1) 2 9 (2)

2 7

【詳解】

(2 3 )(1 2 ) (2 3 )(1 2 )(1 ) (8 )(1 ) 9 7 9 7

1 1 1 2 2

i i i i i i i i

2 2

x yi i

i

+ − + − + − + +

+ = = = = = +

− +

5. 設x ∈ R且z = i(x − i)² ∈ R，則(1) x = 。 (2) z = 。

【解答】(1) ± 1 (2) ± 2

【詳解】

(1)z = i(x − i)²=

i x

( ²−2

xi i

+ ²)=2

x

+(

x

²−1)

i

∈ R，x² = ⇒ = ±1 x 1 (2) z= ± + −2( 1) (1 1)i= ±2

6. 設a為實數且方程式x² + (a + 2i)x + (3a + 4i) = 0 有實根，則 (1) a之值為 。 (2)此方程式的兩根為 。

【解答】(1) − 4 (2) − 2，6 − 2i

【詳解】

設方程式之實根為

α

，則

α

² + (a + 2i)

α

+ (3a + 4i) = 0

⇒ (

α

² + a

α

+ 3a) + (2

α

+ 4)i = 0

⇒ ⇒ ，其實根

α

= − 2 ；

設另一根為

β

，則 −2 +

β

= − (−4 + 2i) ⇒

β

= 6 − 2i

2 3

2 4 0

α a a

⎧ + α + =

⎨ α + =

⎩

0 2

a

4 α = −

⎧⎨ = −

⎩

7. 若a與a + 2 為異號的兩實數，且均為方程式x²

+ | x | + 3k = 0 的解，則k之值為 。

【解答】−

3 2

【詳解】

∵

a與a + 2 異號 ∴ a < 0，a + 2 > 0

∵

a與a + 2 為方程式x

²

+ | x | + 3k = 0 之二根

∴

a

²

+ | a | + 3k = 0 ⇒ a

²

− a + 3k = 0……c

(a + 2)² + |a + 2| + 3k = 0 ⇒ (a + 2)² + (a + 2) + 3k = 0 ⇒ a²

+ 5a + 6 + 3k = 0……d

d − c得 6a + 6 = 0 ∴ a = − 1，代入c得 2 + 3k = 0 ∴ k = −

3 2

8. 設z =

) 4 3 ( ) 7 2 (

) 2 7 ( ) 12 5 (

i i

i i

+

−

+

−

．

． ，則 | z | = 。

【解答】 5 13

【詳解】

| z | = |

) 4 3 ( ) 7 2 (

) 2 7 ( ) 12 5 (

i i

i i

+

−

+

−

．

． |

=

| 4 3

|

| 7 2

|

| 2 7

|

| 12 5

|

i i

i i

+

−

+

−

．

． =

2 2 2

2

2 2 2

2

4 3 7

2

2 7 12

5

+ +

+ +

．

． =

5 53

53 13

．

． =

5 13

9. 設a，b ∈ R且[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i，則 a b+ = 。

【解答】7

【詳解】

[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i ⇒ (a + 1 + 5) + (− 4 + b − 2)i = 2 + 5i

⇒ (a + 6) + (b − 6) i = 2 + 5i ⇒ ∴ ，

a b

⎩⎨

⎧

=

−

= +

5 6

2 6

b a

⎩⎨

⎧

=

−

= 11

4 b

a + = − 4 +11 = 7

10.設a ∈ R，若二次方程式x²

− ax − a + 8 = 0 有相等實根，則a為 。

【解答】4 或 − 8

【詳解】

a ∈ R，x

²

− ax − a + 8 = 0 有相等實根，則D = ( − a)

² − 4(− a + 8) = 0 ⇒a²

+ 4a − 32 = 0

⇒ (a − 4)(a + 8) = 0 ⇒ a = 4 或 − 8 11.設z = 1 + i + i² +…+ i¹⁰¹，則

(1) | z | = 。 (2)z= 。

【解答】(1) 2 (2) 1 − i

【詳解】

z = 1 + i + i

² +…+ i^{101 100 101}

25

(1

i i

1) (1

i i

1) (1

i i

1) (

i i

) 1

i

= + − + + + − + + ""+ + − + + + = +

個

(1) | z | = 1²+1² = 2 (2)

z

= + = − 1

i

1

i

12.複數平面上

(1)滿足 | z + 3i | = 2 的z點所成之圖形為 。

(2)滿足 | z + 3i | = | z − 3i | 的z點所成之圖形為 。

【解答】(1)圓 (2)一直線

【詳解】

(1) | z + 3i | = 2 之圖形為複數平面上與點(0，3)距離 2 的點之集合，亦即圓

(2) | z + 3i | = | z − 3i |之圖形為複數平面上與點(0，−3)、(0，3)等距離的點之集合，亦即 端點為(0，−3)、(0，3)線段的垂直平分線

13.設

α

= 2 + 5i，

β

= − 4 + 3i，

γ

= 6 − i

(1)若複數平面上，依序連結點

α

，

β

，

γ

，

δ

成一平行四邊形，則

δ

= 。 (2) |

α

−

β

| = 。

【解答】(1) 12 + i (2) 2 10

【詳解】

α

( 2 + 5i)，

β

( − 4 + 3i)，

γ ( 6 − i)， δ

(a + bi)

(1)設四點在複數平面上之坐標分別為 A(2，5)，B(−4，3)，C(6，−1)，D(a，b)

又 ABCD 為平行四邊形，則，則

AC 與

BD之中點相同，即

2 6 4

2 2

5 1 3

2 2

a b

+ − +

⎧ =

⎪⎪⎨ − +

⎪ =

⎪⎩

，得 12

1

a b

⎧ =

⎨ =⎩ ， 所以

δ

=12 + i

(2) |

α

−

β

| =AB= (2+4)²+ −(5 3)² =2 10

14.設

ω

= 2

3 1+ i

− ，則化簡(1 +

ω

)⁶ + (1 +

ω

² )⁶ + (

ω

+

ω

² )⁶之值為 。

【解答】3

【詳解】

∵

ω

= 2

3 1+ i

− ∴

ω

³ = 1，

ω

² +

ω

+ 1 = 0

∴ (1 +

ω

)⁶ + (1 +

ω

² )⁶ + (

ω

+

ω

² )⁶ = (−

ω

² )⁶ + (−

ω

)⁶ + (−1) ⁶

=

ω

¹² +

ω

⁶ + 1 = (

ω

³ )⁴ + (

ω

³ )² + 1 = 3

15.設k為給定之有理數，且對任一有理數m，恆使方程式x²

− 3(m −1)x + 2m

²

+ 3k = 0 之根為

有理數，則k = 。

【解答】− 6

【詳解】

判別式 ⇒ [− 3(m −1)] ² − 4．1．(2m²

+ 3k)

= 9(m −1) ² − 4(2m²

+ 3k) = m

² − 18m + (9 − 12k) (根為有理數判別式為完全平方式)

∴ 9² − (9 − 12k) = 0，則k = − 6

16.(1) 若

ω

² = − 3 + 4i，則

ω

= 。(2)求方程式x²

− 5x + (7 − i) = 0 之解。

【解答】x = 3 + i 或 x = 2 − i

【詳解】

(1)設z = x + yi，則(x + yi)² = − 3 + 4i ⇒x² − y² + 2xyi = − 3 + 4i ⇒ 又 | (x + yi)

2 2

3

2 4

x y

xy

⎧ − = −

⎨ =

⎩

……c

……d

2 | = |− 3 + 4i |；( x²+y²)² = ( 3)− ²+4² ⇒x²+y² = ""5 ^③ 由c^③知

x

² =1 ⇒ x = ±1；y ² =4 ⇒y = ±2，由d知 x 、y 同號 故

ω

= =1 + 2i或 − 1− 2i

(2)根之公式x =

a ac b

b

2

2 −4

±

− ⇒ x =

2 5±

ω

² =

2 5±ω

ω

² = − 3 + 4i得

ω = ± (1 + 2i) ⇒ x = 3 + i或x = 2 − i

17.

α

，

β

為x²

+ 6x + 1 = 0 之二根，求( α

+

β

)² =_______________。

【解答】− 8

【詳解】

由根與係數關係知

∵

α + β

< 0，

αβ

> 0，又

α

，

β

∈ R ∴

α

< 0，

β

< 0 ⇒

⎩⎨

⎧

=

−

= +

1 6 αβ

β α

β

α

． = −

αβ

⇒ (

α

+

β

)² = α ． α +

β

^．

β

+ 2

α

^．

β

=

α + β

− 2

αβ

= − 6 − 2 = − 8 18.設 a，b 為實數，且

5 1+

+i 2

1 + bi a+

1 = 0，試求 a，b 之值。______________

【解答】a = − 2

3，b = − 2 1

【詳解】

∵ 5 1+

+i 2

1 + bi a+

1 = 0 ∴

bi a+

1 = − 5 1−

+i 2

1 =

) 2 ( 5

) 7 (

i i

+

+

−

倒數 ⇒ a + bi = − i

i +

+ 7

) 2 (

5 = −

) 7 )(

7 (

) 7 )(

2 ( 5

i i

i i

− +

−

+ =

50 ) 5 15 ( 5 + i

− = −

10 5 15+ i = −

2 3+ (−

2 1)i

∴

a = −

2

3，b = − 2 1

19.設 2 + i為方程式x²

+ x + a = 0 之一根，求a及另一根。

【解答】a = − 5 − 5i；另一根為 − 3 − i

【詳解】

∵ 2 + i為x²

+ x + a = 0 之一根，設另一根為 α

，則由根與係數之關係

由c

α = − 3 − i代入d，得a = (2 + i)(− 3 − i) = − 5 − 5i

⎩⎨

⎧

= +

−

= + +

a i

i α α

)． 2 (

1 )

2

( ……c

……d

20.甲、乙兩生同解一整係數方程式，甲生看錯x²之係數得二根為

4 5與 −

10

3，乙生用公式解，

判別式計算錯誤得二根為 12 13與 −

24

7 ，試求正確的方程式。

【解答】48x²

− 38x − 15 = 0

【詳解】

設正確方程式為ax²

+ bx + c = 0，其二根為 α

，

β

，則

α + β = −

a

b，

αβ =

a

c ⇒

αβ β α + = −

c b

∵ 甲生看錯x²之係數a，但b，c沒錯，即 αβ

β α + = −

c b 正確

∴ 取 αβ β α + = −

c

b ⇒

α 1+

β 1 = −

c b ∴

5 4+ (−

3 10) = −

c

b ⇒

15 38=

c

b……c

∵ 乙生判別式計算錯誤，

α + β =

a

D b

2 +

− +

a D b

2

−

− = −

a b正確

∴ 由

α + β = −

a b得

12 13+ (−

24 7 ) = −

a

b ⇒

24 19 = −

a

b……d 由c，d c =

38

15

b，a = −

19

24

b

: : ( ²⁴) : : (¹⁵) 48 : ( 38) :15

19 38

a b c b b b

⇒ = − = −

取a=48,b= −38,c= −15代入ax²

+ bx + c = 0⇒ 48x

²

− 38x − 15 = 0 為所求方程式