24 2 2 AB AC BC A AB AC

高雄市明誠㆗㈻ 高㆓普通科 數㈻平時測驗 ㈰期：91.09.20 班級

範

圍 1-2 向量的應用

座號

姓

㈴

得 分

㆒、選擇題：(共 30 分)

1(C )設G為 OAB△ 之重心，OA＝a，OB＝b，若OG＝x a＋y b，則（x，y）＝

(A)（2／3，2／3） (B)（1／2，1／2） (C)（1／3，1／3） (D)（1，1）

(E)（1／3，2／3）。

2(全 ) ABC△ 中，AB＝6，BC＝213，CA＝8， A∠ 度量為α， ABC△ 之外心為O且AO＝L AB

＋m AC，則 (A)AB．AC＝24 (B)AB．AO＝18 (C)AC．AO＝32 (D)L＝2／9 (E)m＝5／12。(複選)

解析

2 2 2 62 82 (2 13)2

( ) 24

2 2

AB AC BC

A AB AC + − + −

⋅ = = =

1 2

( ) 18

B AB AO⋅ = 2AB = 1 2

( ) 32

C AC AO⋅ = 2AC =

2

2

( )

18 36 24 ...(1.)

32 24 64 ...(2.) 2

9 5 12

D AB AO AB mAC AB m

AC AO AC AB m AC m

m

⋅ = + ⋅

= +

⋅ = ⋅ +

= +

 =

 =



3.(BCDE)OA＋OB＋OC＝0，且︱OA︱＝1，︱OB︱＝2，︱OC︱＝2，OA與OB之夾角為θ，則 (A)cosθ＝3／4 (B)sinθ＝7／4 (C) OAB△ ＝7／4 (D)O為 ABC△ 之重心

(E) ABC△ ＝3（7／4）。(複選) 解析

2 2

2 2 2

2

1 2 4 2 3

2 OA OB OC OA OB OC

OA OA OB OB OC OA OB OA OB

+ = − ⇒ + = −

+ ⋅ + =

+ ⋅ + = ⇒ ⋅ = −

32 3 2 7

cos sin 1 cos

1 2 4 4

OA OB OA OB

θ = ^⋅ =⁻ = − ⇒ θ = − θ =

×

1 1 7 7

sin 1 2

2 2 4 4

OAB OA OB θ

∆ = × × = × × × =

OA＋OB＋OC＝0⇒ O為 ABC△ 之重心 7

3 3( )

ABC OAB 4

∆ = ∆ =

㆓、填充題：

1.如下圖，D為 ABC△ 中BC之中點，AE：EB＝1：2，CE與AD交於P，設BC＝a，BA＝b，令BP

＝x a＋y b，則x＝【 1

4 】， y＝【 1

2 】。

解析

(2 )

, , 2 1

BP xBC yBA BP x BD yBA

P D A x y

= +

= +

⇒ + = 共線

(3 ) 2

, , 3 1

2 BP xBC y BE P E C x y

= +

⇒ + =

共線

⇒

1 4 1 2 x y

 =

 =



2.ABCD為一個平行四邊形，DE＝2 EC，DB交AE於P，若AP＝x AB＋y AD，則數對（x，y）

＝【 （2 5 ，

3

5 ） 】。

解析

ADE QCE

∆ ∼∆ 2

1 AD DE QC EC

⇒ = = ⇒AD BQ: =2 : 3 ADP QBP

∆ ∼∆ ⇒DP BP AD BQ: = : =2 : 3

2 3

5 5

AP= AB+ AD (比較填充第7題)

3.在正六邊形ABCDEF中，AE＝x AB＋y AC（x，y為實數），則x＝【 －3 】，y＝【 2 】

。

4.△ABC中，AB＝2，AC＝3， BAC∠ ＝30-，若內心為I，且AI＝x AB＋y AC（x，yl為實數

），則y＝【 1－ 3

3 】。

解析

2 2 2 2

2 2

2 cos 30 ( 3) 2 2 3 2 3 1

2 BC =a =b + −c bc °

= + − × × × =

3 2

3 3 3 3

b c

AI AB AC AB AC

a b c a b c

= + = +

+ + + + + +

5.在正六邊形ABCDEF中，令AB＝a，BC＝b，試以 a，b表出BD＝【 b－a 】。

6.△ABC中，D在BC上，且BD：DC＝3：2，M在DA上，且DM：MA＝1：2，O為任意一點，若 OM＝x OA＋y OB＋z OC，則實數x＝【 1

3 】，y＝【 4

15 】，z＝【 2

5 】。

解析

∵ BD：DC＝3：2，且DM：MA＝1：2

A

B C

D

E P

Q

2 2 2 3 4 2

( )

3 3 5 5 15 5

AM = AD= AB+ AC = AB+ AC

4 2

( ) ( )

15 5

OM OA OB OA OC OA

⇒ − = − + −

1 4 2

3 15 5

OM OA OB OC

⇒ = + +

7.設ABCD為一平行四邊形，BE：EC＝1：2，如下圖所示，又AF＝x AB＋y AD，則x＝【 3 4

】，y＝【 1

4 】。

解析：設AF＝k AE

"AF＝k（AB＋BE）＝k（AB＋ 1

3 BC）＝k（AB＋ 1

3 AD）

＝k AB＋ 1 3 k AD

∵D，F，B三點共線 ∴k＋ 1

3 k＝1"k＝ 3

4 ∴AF＝ 3

4 AB＋ 1

4 AD 故x＝ 3

4 ，y＝ 1

4 (比較填充第2題)

8.△ABC中，AB＝a，AC＝b，若D為AB上一點，且AD／BD＝1／3，CD＝x a＋y b，則x＝【

1

4 】，y＝【 －1 】。

解析

3 1 3 1 1

( )

4 4 4 4 4

CD= CA+ CB= − AC+ AB AC− = AB AC−

9.若A，B，C三點共線，O點為不在此線上的任一點，且5 OC＝（2t－1）OA＋（3t－4）OB，

則實數 t＝【 2 】。

解析 5 OC＝（2t－1）OA＋（3t－4）OB 5OC (2 1) (3 4)

(2 1) (3 4)

OC 5 5

(2 1) (3 4)

, , 1 2

5 5

t OA T OB

t t

OA OB

t t

A B C t

= − + −

− −

= +

− −

⇒ + = ⇒ =

∵ 共線

10.設ABCD為一平行四邊形，點E在CD上，且DE＝2 EC，又DB交AE於P，若AP＝x AB＋y AD

，則x＝【 2

5 】，y＝【 3

5 】。(不小心與第2題重複了)

11.平行四邊形ABCD，如下圖，E在CD上，且2DE＝DC，F為AB之中點，BE，CF交於P，若AP

＝x AB＋y AD，則x＝【 5

7 】，y＝【 3

7 】。

解析 連AC

3 4 3 4 1 5 3

( ) ( )

7 7 7 7 2 7 7

AFC AP AC AF AD AB AB AB AD

∆ 中 = + = + + = +

A

B C

D¹ 3

12.△ABC中，如下圖，各邊上分別取PlAB，QlBC，RlCA，且AP＝（1／2）AB，BQ＝（

1／3）BC，CR＝（1／4）CA，設G為 PQR△ 之重心，若AG＝x AB＋y AC，則x＝【 7 18 】

，y＝【 13

36 】。

解析：∵G為△PQR之重心

∴AG＝1 3 AP＋

1 3 AQ＋

1 3 AR＝

1 3 ×

1 2 AB＋

1

3 （AB＋BQ）＋

1

3 （AC＋CR）

＝1 6 AB＋

1 3 AB＋

1 3 ×

1 3 BC＋

1 3 AC＋

1 3 ×

1 4 CA＝

1 6 AB＋

1 3 AB＋

1

9 （AC－AB）＋

1 3 AC＋

1 12 CA

＝ 7 18 AB＋

13

36 AC 故x＝

7

18 ，y＝

13 36

13.△ABC中，E，D分別在AB與BC邊上，連接AD，CE交於F，若AF：FD＝2：1，AE：EB＝2

：3，且AD＝x AB＋y AC（x，y為實數），則數對（x，y）＝【 （1 3 ，

2

3 ） 】。

解析：

, , 1...(1)

3 5 5 2

( )

2 2 3 3

5 2

, , 1...(2)

3 3

AD x AB y AC B D C x y

x y

AF x AE y AC AF AE AC x y

E F C

= +

⇒ + =

= + ⇒ = +

⇒ + =

∵

∵

共線 又

共線

∴ 1 3 2 3 x y

 =

 =



14.設G為 ABC△ 之重心，P為AG之中點，若AP＝x AC＋y BG（x，ylR），則x＝【 1 4 】

，y＝【 －1

4 】。

解析：∵G為△ABC重心 ∴AG＝1 3 AB＋

1 3 AC 且P為AG之中點 ∴AP 1

2AG

= ＝1

6 AB＋

1

6 AC………1 又BG＝1

3 BA＋

1 3 BC＝

1 3 BA＋

1

3 （AC－AB）＝－

2 3 AB＋

1 3 AC "AB＝3

2 （ 1

3 AC－BG）＝

1 2 AC－

3

2 BG………2

A

B D C

E F

由1，2知AP＝1 6 （

1 2 AC－

3

2 BG）＋

1 6 AC＝

1 4 AC－

1

4 BG 故x＝

1

4 ，y＝－

1 4

15.在 ABC△ 的三邊BC，CA，AB上分別取D，E，F三點，使DC＝4 BD，EC＝2 AE，FB＝2 AF

，如下圖，設G為DEF之重心，AG＝αAB＋βAC，則α＝【 17

45 】，β＝【 8

45 】。

解析：因G為 DEF△ 之重心，由重心的性質知 AG＝ 1

3 （AF＋AD＋AE）………1 又AF＝ 1

3 AB，AE＝

1

3 AC，AD＝

4 AB＋AC

5 ，代入1得

AG＝ 1 3 （

1 3 AB＋

4 AB＋AC 5 ＋ 1

3 AC）

＝（ 1 9 ＋

4

15 ）AB＋（

1 15 ＋

1

9 ）AC＝

17 45 AB＋

8 45 AC 故α＝ 17

45 ，β＝

8 45

16.△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，試求：

(1)∠A之平分線AD交BC於D，若AD＝x AB＋y AC，則x＝【 3

5 】，y＝【 2

5 】。

(2)若△ABC之內心為I，且AI＝αAB＋βAC，則α＝【 2

5 】，β＝【 4

15 】。

解析：(1)∵BD：DC＝AB：AC＝4：6＝2：3 ∴AD＝ 3 5 AB＋

2 5 AC (2)AI＝ b

a＋b＋c AB＋

c

a＋b＋c AC＝

6

5＋6＋4 AB＋

4

5＋6＋4 AC＝

2 5 AB＋

4 15 AC 17.設O，A，B三點不共線，C，D與之共平面，且OC＝2 OA，OD＝3 OB，設AD交BC於E，若

OE＝x OA＋y OB，則實數對（x，y）＝【 （4 5 ，

3

5 ） 】。

解析：

(1 ) 3

, , 1 1...(1) 3

(1 ) 2

, , 1...(2)

2 OE xOA yOB OE xOA y OD A E D x y

OE x OC yOB C E B x y

= +

= +

⇒ + =

= +

⇒ + =

∵

∵

共線 又

共線

O

A

B

C D

E

∴ 4 5 3 5 x y

 =

 =



18.H為 ABC△ 之垂心，已知BC＝6，CA＝2 7，AB＝4，又直線AH交BC於D，試求：

(1)若AH＝αAB＋βAC，則α＝【 2

9 】，β＝【 1

9 】。

(2)若AD＝x AB＋y AC，則x＝【 2

3 】，y＝【 1

3 】。

解析：(1)AC．AH＝AC．（αAB＋βAC）＝αAB．AC＋β│AC│²＝AB．AC………1 AB．AH＝AB．（αAB＋βAC）＝α│AB│²＋βAB．AC＝AB．AC………2 又AB．AC＝│AB││AC│cos ABC∠

＝1

2 （│AB│²＋│AC│²－│BC│²）＝1

2 （16＋28－36）＝4………3 由1，2，3知



 4α＋28β＝4

16α＋4β＝4 ∴α＝2 9 ，β＝

1 9 (2) A∵ ，H，D共線

∴AD＝t AH＝t（2 9 AB＋

1

9 AC）＝

2t 9 AB＋

t 9 AC 又B，D，C共線 ∴ 2t

9 ＋ t

9 ＝1"t＝3

∴AD＝2 3 AB＋

1

3 AC＝x AB＋y AB ∴x＝2 3 ，y＝

1 3

19.三向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，︱a︱＝2，︱b︱＝3，︱c︱＝4，則：

(1)a．b＋b．c＋c．a＝【 － 29

2 】。

(2)a與b夾角為θ，則cosθ＝【 1

4 】。

※20.若︱AB︱＝4，︱AC︱＝2，︱AD︱＝3，且AB＋2 AC－2 AD＝0，則AB在AC上之射影量 為【 1

2 】。

解析：∵AB＋2 AC－2 AD＝0

∴AB＋2 AC＝2 AD，│AB＋2 AC│²＝│2 AD│²

│

∴ AB│²＋4│AC│²＋4 AB．AC＝4│AD│² 又│AB│＝4，│AC│＝2，│AD│＝3

∴AB．AC＝1 得AB在AC上之射影量為 AB．AC

│AC│ ＝ 1 2

21.於 ABC△ 中，AB＝2，AC＝3， A∠ ＝60-，點O為 ABC△ 的外心，令AB＝a，AC＝b，則：

(1)a．b＝【 3 】；

(2)若AO＝L a＋m b，L，mLR，則數對（L，m）＝【 （1 6 ，

4

9 ） 】。

22.設 ABC△ 中，AB＝1，BC＝7，CA＝3，K為外心，則：

(1)AB．AC＝【 2

3 】。 (2)AB．AK＝【 1

2 】。(3)AC．AK＝【 9

2 】。

(提示：公式背了沒？)

23.如下圖，設P為 ABC△ 之外心，已知BC＝6，CA＝27，AB＝4，試求：

(1)令AP＝x AB＋y AC，則x＝【 7

18 】，y＝【 4

9 】。

(2)連AP交BC於一點D，且AD＝x' AB＋y' AC，則x'＝【 7

15 】，y'＝【 8

15 】。

解析：(1)AP．AB＝（x AB＋y AC）．AB＝x│AB│²＋y AB．AC………1 AP．AC＝（x AB＋y AC）．AC＝x AB．AC＋y．│AC│²………2 又AB．AC＝│AB││AC│cos BAC∠

＝ 1

2 （│AB│²＋│AC│²－│BC│²）＝ 1

2 （16＋28－36）＝4………3 AP．AB＝│AP││AB│cos PAB∠ ＝│AB││AM│＝ 1

2 │AB│²＝8………4 AP．AC＝│AP││AC│cos PAC∠ ＝│AC││AF│＝ 1

2 │AC│²＝14………5 由1，3，4知16x＋4y＝8

由2，3，5知4x＋28y＝14 x∴ ＝ 7

18 ，y＝

4 9 (2) A∵ ，P，D共線 ∴AD＝t AP＝t（ 7

18 AB＋

4

9 AC）＝

7t

18 AB＋

4t 9 AC 又B，D，C共線 ∴ 7

18 t＋

4t

9 ＝1 " t＝

6 5

∴AD＝ 7

15 AB＋

8

15 AC ∴x'＝ 7

15 ，y'＝

8 15

24.△ABC為正三角形，邊長為2，重心為G，則AG．AC＝【 2 】。

25.設G為 ABC△ 之重心，P為AG之中點，若AP＝x AC＋y BG，則數對（x，y）＝【 （1 4 ，

－1

4 ） 】。(與第14題又重複了)

26.若G為 ABC△ 之重心，且︱GA︱＝6，︱GB︱＝3，︱GC︱＝5，則GA．GB＋GB．GC＋

GC．GA＝【 －10 】。

解析：

2

2 2 2

2 2 2

0

| | 0

2( ) 0

6 9 2

G ABC GA GB GC GA GB GC

GA GB GC GA GB GB GC GC GA GA GB GC GA GB GB GC GC GA

∆ ⇒ + + =

+ + =

+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + +

⋅ + ⋅ + ⋅ = − = −

∵ 為 重心

5 10 2

+ = −