幹嘛學數學

幹嘛學數學

石厚高

「Strength in Numbers by Sherman K. Stein」 是斯坦近作, 坊間有中譯本 「幹嘛 學數學」。 本書譯文順暢, 談數學趣味引人入 勝, 談數學教育弊端也很中肯。

作者談他女兒的老師, 很有意思。 他的 女兒蘇珊娜讀小學五年級的時候, 她的老師 別科雖然教得很好, 但顯然不喜歡教數學。 數 學課常被挪用, 有時好幾天都沒有上一次數 學。 斯坦去學校拜訪老師, 建議由他定期到校 協助數學課的教學, 當然受到歡迎。

可見美國小學老師是樣樣都教的, 要能 樣樣精通是很難的, 真要能樣樣精通也就樣 樣希鬆了。 民國七十三年四月九日民生報報 導, 美國中學缺乏數理老師, 任教者百分之三 十不適任。 這是當時全美科學教師協會的調 查結果, 該會指出美國高中裡, 每十位科學及 數學教師裡就有三人 「完全不適合或嚴重不 適合」 擔任這些課程。 在對大會提出的報告裡 又說由於過去十二年來, 願意從事科學與數 學教學的學生人數減少了百分之六十七, 而 使得危機益形加重。

談到數學在就業時的應用, 斯坦表示數 學是很多職業裡的一種工具, 每三個高所得

的工作中, 大概有兩個需要比算術更高深的 數學。 而那些較低所得工作中, 只有十分之一 有此需求。 他舉了個例子, 很讓學數學的覺得 不可思議。

第 19章 「錢憑空而來」 談到美國聯邦銀 行要求各銀行, 保留存款的固定比例作準備 金, 其餘的錢銀行可以借出去。 為了計算方 便, 我們假設必需保留存款的百分之 20% 即 1/5, 剩下的百分之 80% 也就是 4/5 可以出 借。 仔細看看發生了什麼事。 這部份斯坦本來 也難以置信, 直到印成書他才相信。

假設布洛走進信心銀行, 存 1000 元。 銀 行保留了 200元, 將其餘的800元 (1000元的 4/5) 借給杜爾。 杜爾又把這 800 元存進信心 銀行或另一家銀行。 銀行保留了 800 元的百 分之二十, 又把剩下的640元 (800元的 4/5) 借給愛麗絲。

這時魔術表演開始了。 布洛認為自己有 1000元, 杜爾自認有800元, 而愛麗絲自認有 640元。 在開始的時候, 本來只有布洛的1000 元, 現在總數變成 1000+800+640 = 2440 元, 憑空多出許多錢來, 這是很高明的手法。

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而且銀行不但創造出一些錢來, 還可以用它 來生利息。 顯然開銀行是一種很不錯的生意。

現在愛麗絲存入她的 640 元。 銀行又把 512 元 (640 元的 4/5) 借給李納斯, 李納斯 接著存 409.6元, 如此繼續以至無窮, 故得 1000+1000(4/5)+1000(4/5)²+· · ·= 5000 於是布洛、 杜爾、 愛麗絲與李納斯等人, 還有 以後的人會認為他們總共有 5000 元。 開始時 只要有 1000元, 長期就會有 5000元。 如果不 信, 斯坦建議大家找一本中級經濟學看看。

負負得正是個不好接受的觀念, 第 25章

「為什麼負負得正?」 用四種方式詮釋, 它們是 從分配律、 指數律的積、 方程式的圖形與物理 世界的蹺蹺板作說明, 講得很精彩, 初中學生 從這四種方式的任一種都可以欣然接受負負 得正了。 講了四種方法當然是了然於胸了, 好 像電視廣告 「用了本公司的化妝品, 高中女老 師變成高中女同學」, 一遍又一遍硬給你灌進 去讓你記住。

本書談到美國的數學改革, 很值得本地 借鏡。 看看第 12 章 「所有改革都到哪裡去 了?」 的題目, 就可以知道斯坦對這些改革 是很不以為然的。 每次改革都有個響亮的名 號, 1950 年代 「回歸基礎」、1960 年代 「新數 學」、1970年代又 「回歸基礎」、 1980年代 「解 決問題」 以及 1990年代 「團體學習」。 而改革 運動會引起多大的回響, 就要看提倡者有多 大的熱忱了。 在宣導上能否把改革的理念說 得很清楚? 有沒有本事拿到大筆補助款。 斯坦 說 「回顧以前那些改革行動, 我對那些改革者 能前仆後繼, 不斷推動這個改革的破輪胎前

進, 實在印象深刻。」 回想本地數學教育作了 四次改革, 是在民國 54、62、74 與 88 年, 前三 次已經是過去式了, 問問歷經這些改革的數 學老師, 他、 她們會表示譽少毀多而不是毀譽 參半。

顏元叔主編 「閱讀精選」 有一篇 Edu- cation: high schools under fire 有一段是

「To search for ways to improve schools without flash-in-the-pan innovations」 註 解是 flash-in-the-pan 轉眼消逝的改革, 在 熱鍋內的油突然冒火, 表示熱一陣就熄滅了 的作為。

徐城北著 「梅蘭芳與中國文化」 商鼎出 版, 在 (二胡與加速度) 一節裡說 「從清末民 初直到如今, 京劇的各個方面都變化很大 · · · 以樂隊來說, 梅蘭芳一九二三年在排演 「西 施」 時, 為了豐富樂隊的音色, 經過反覆的調 試, 決定增加一把二胡 · · · 他怎會想到這一 改動馬上就被肯定下來· · · 梅蘭芳一生當中, 確有許許多多類如增加二胡這樣似小實大的 改革例子。 他改舊戲或是排新戲, 變動總是一 次只來一點兒, 而且每次都抱著“試一試”的 態度 — 如果觀眾歡迎就肯定下來, 如果觀 眾提出異議, 就不妨暫時放棄。 表面上看梅蘭 芳改革的加速度不算大 — 他從沒有在某一 天讓熟悉自己的觀眾看到一個面目全非的梅 蘭芳; 但這加速度卻長期保持著, 不顯山不露 水地一點點兒加大。 成名後雖然長期唱大軸 但仍是一點點的在自己的改革之路上面往前 舉步。 這樣的 「大」 才是真 「大」, 才是穩健的

「大」, 才是準確的 「大」。」。 梅蘭芳的改革很值 得教育官員借鏡。

幹嘛學數學 ₉₅ 這裡我想再舉兩個例子說明不適當的改

革帶來的禍端。 民國七十一、 二年間教育部下 令建中率先開辦資優教育, 可是只給了大原 則而沒有 「執行細則」。 建中的教學組長是位 數學老師, 他挑高一新生聯考數學一百二十 分也就是滿分的編成一班, 名之曰 「資優班」。

高一升高二時 「資優班」 四名學生自動退學。

為什麼? 因為以前我八十幾分都是全班第一 名, 現在我八十幾分是倒數第幾名。 他們活不 下去了所以走路。 數學科開教學研究會時, 某 老師提出 「這種作法是否有待商榷?」 教學組 長滿臉通紅 「再研究再研究」。 去年 (民國八 十八年) 一位某高中 「資優女生」 要跳樓, 大 家在樓下喊不要跳不要跳, 她還是跳下來送 醫不治。 為了什麼, 因為她在初中都是第一 名, 讀高中分在 「資優班」 考第二十幾名, 所 以她覺得 「對不起父母、 對不起老師 · · ·」 跳 了樓。 是誰殺了她? 當然是教育部。 這個弊端 很容易解決, 可以辦資優教育, 不能集中編

「資優班」。 各校為什麼熱中編 「資優班」, 因 為有了 「資優班」 教育部就給經費。 我很不想 寫這一段, 我實在不願意因為本文而妨害有 關人士的利益。

當然有些改革是很有意義的, 第 12章裡 有一節 「貝尼澤特小實驗」 很值得教育界多研 究研究。 1929 年, 在紐約的綺色佳 (Ithaca) 舉行了一場校長會議 · · · 新罕布夏州曼徹 斯特的校長貝尼澤特 (L. Benezet) 寫信回 應:「讓孩子花八年的時間才學會一般數學, 是 沒有意義的。 數學課程可以延遲到國中才教, 正常學生只要花兩年功夫就能學會。」 這項改 革深獲我心, 小學不要學數學, 只要把國語

文, 音樂, 美術與運動弄好就行了, 「上學」 應 該是很快樂的事。 可是如果我作教育部長, 我 不會貿然實施這種改革。 因為問題很多很大, 例如有些學生小學讀了一、 二年, 就要幫助家 計學業中斷; 有的搬家或移民, 沒有學數學吃 虧很大。 所以小學一、 二年級不教數學 「貝尼 澤特的改革完全從舞台上消失得無影無蹤。」

這一段在 97、98頁。

斯坦舉了些大器晚成的例子, 如懷爾斯 (Andrew Wiles) 在 1994 年 41 歲的時候經 過八年的努力, 解決了有三百年歷史的數學 難題 「費馬大定理」。 1976 年, 黑肯 (Wolf- gang Haken) 48歲, 阿培爾 (Kenneth Ap- pel) 46 歲, 二人合力解決了 「四色問題」。

1983年, 德布蘭吉斯 (Louis de Branges)52 歲證實了比伯巴哈 (Bieberbach) 在複數分 析上的一項推測。 阿培里 (Roger) 六十多歲 於 1977年證明了所有正整數立方的倒數和不 是一個分數等。 更有趣的是他說 「身體健康、

家庭幸福、 儘量避免繁重的行政工作, 可能是 數學長期創造力的關鍵要素」, 其實很容易理 解, 我國有句話說 「一作行政便不足觀」, 作 行政就沒有自己研究的時間了。

馮諾曼 (Von Neumann) 曾說數學家 三十歲就完蛋了, 等他年事稍長就一再追加 成三十五、 五十、 五十五。 大家都以為數學家 要早早成功, 過了三十歲就完了, 其實沒有這 回事。 年長數學家作品有較寬視野, 而年輕人 作的是一個又一個的單一難題。 美國人說過 不要相信三十歲以上的人說的話, 現在聽說 美國人也比較敬老了。

斯坦表示如果學子們接觸到的數學只是 一長串枯燥的計算, 只是每天分配到幾頁一

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定作完的習題, 或只是一堆沒有好好解釋的 難懂規則, 那麼你看到的是最不幸的景像。 這 時候數學對你只是折磨、 只是處罰, 你一定會 自怨自艾的。 其實你也有權利埋怨你的老師, 埋怨數學課本。

本書要傳播數學的正確觀念給每一個 人。 對於那些在學校裡有不愉快經驗而放棄 數學, 或漠不關心數學的人, 斯坦希望能把他 拉回最初的邂逅點, 或對數學一見鐘情。 至於 那些喜歡數學的人, 斯坦希望本書所舉的事 例能充分表現出數學之美與數學的價值, 進 而加深他們對數學的熱愛。

我列出本書的目錄與數播讀者共享。

第一部 數學這玩意

1. 數學的許多面貌 2. 冷數字的咒語 3. 熱數字

4. 不要編個數字在我頭上 5. 經驗 vs. 統計數字 6. 事情不一定是這樣的 7. 敏捷的白癡

8. 發明之母

9. 職業究竟是什麼?

10. 那裡面有哪些數學?

11. 行動症候群

12. 所有改革都到哪裡去了?

13. 溫和的直爽的建議

第二部 國民數學須知

14. 怎麼讀數學

15. 你永遠看不到一個大數 16. 汽車與兩隻山羊 17. 兩數字之間的五種運算 18. 級數的總和

19. 錢憑空而來

20. 對於分數應該知道的事 21. 每個數都是分數嗎?

22. 直角三角形的三邊 23. 圓周率只是個小玩意?

24. 把方程式變成圖形 25. 為什麼負負得正?

26. 無窮大也有大小之分?

第三部 真理近了

27. 0 分之 0 28. 曲線有多斜

29. 想辦法計算曲線下的面積 30. 求得曲線下的面積 31. 圓與所有的奇數 32. 數學之美

斯坦另有名著 MATHEMATICS—The Man-made Universe, 坊間似無中譯本。 我挑幾 句序裡的話作個簡介

This book grew out of a college course designed primarily to give students in many fields an appreciation of the beauty, extent, and vitality of mathematics. I had searched several years for a suitable text, but those I found were either too advanced or too spe- cialized.

The subjects, chosen from number theory, topology, set theory, geometry, al- gebra, and analysis, can be presented to the reader having little mathematical back- ground (some chapters use only grammar school arithmetic). Each topic illustrates some significant idea and lends itself easily to experiments and problems.

—本文作者曾任教於建國中學,現已退休—