什麼是「知、行、識」？
單維彰．民國 108 年 1 月 22 日
單維彰（主編）、謝豐瑞、鄭章華、吳汀菱、曾明德（2020）。中學數學教材教法,。
臺北市：五南。頁55-58。
「知、行、識」不是另外一套課程目標，也不是素養的另一種詮釋，而是用來設計素養導 向之教材與教案的參考架構。
十二年國教總綱的核心素養是一套頗為高明的教育願景，但是不容易實際作為設計教材教 法的指引，所以數學課程建議使用「知、行、識」三個構念作為教案設計的參考架構。意思是 說，在編撰教材和設計教案的時候，有意識地思考「知、行、識」三方面的教學目標；而在教 學時（或教學後），反省是否妥適安排了屬於「知、行、識」的教學活動？如果能夠兼顧這三 方面的目標，則比較容易設計出「理想的」數學教學活動，也比較容易達成「素養導向」的願 景。
一、 「知、行、識」的說明
簡單地說，「知、行」就是「知道」和「能做」兩個向度，在教學層面上，知當然是指學 習內容，而行是操作技能。可是，雖然「知」是大家熟悉的陳列知識，即「是什麼」的教學，
但是「行」則不僅是操作程序的示範，更應該包括「做什麼」的教學。以數學課程而言，就是 一個內容主題的典型應用：學習任何一個數學主題，都應該搭配著典型應用，而且越接近學生 的經驗範圍越好。
「是什麼」不一定比「做什麼」簡單。例如「正整數是什麼」這個問題，很快就把人帶到 數學哲學的深處，一般人可能既不感興趣也沒必要學習。相對而言「正整數做什麼」這個問題 反而容易，至少對所有小學生都還算容易，就是用來計算（離散的）物件對象「共有幾個」、
「剩餘幾個」或「不夠幾個」。
至於「知、識」顯然是從慣用的複合詞「知識」拆開的兩個更精緻觀念。「知」側重於能 夠從記憶中列舉，在認知上能夠指認。「識」的意思則比較微妙，是關於理解和連結的後設認 知，以及對其價值的賞識。「識」不容易翻譯成英文，除了對應基本的to understand 以外，還 有make sense of（使產生意義）、be aware of（意識到）和 have an insight into（洞察）的意 思。
在教案設計上，對照「知」是「是什麼」和「行」是「做什麼」的教學，「識」則是「為 什麼」的教學（不僅是why，而且是 for what），包括「為什麼要這樣」、「為什麼是這樣」等 問題的教學。透過「為什麼」的教學，在課程中協助學生對學習內容產生意義，並在數學領域 內或者跨領域地連結其他學習內容，進而有機會賞識數學的價值。
最近常被引用的一種教學設計主張，稱為重理解的課程設計（Understanding by Design, 簡記為UbD），它提出的理念與設計法，可以用一個管理學上的觀念扼要地說明，即「以終為 始」。其原文begin with the end in mind 之中的 end，不僅是「終點」，也有「目的」的意思。
此一理念，跟數學教育向來的共同理想是一致的。可見UbD 也有「識」的概念，讓學生明白 為什麼要學這個主題？也讓學生認知到數學知識發生的來龍去脈。
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二、 「知、行、識」的舉例
以「負數」主題為例，「知」的向度包括以下教學目標：
知道數有分正數與負數（此處的數指非零的實數，但是七年級還不需要強調此細節），知 道正數與負數的記號規則。
知道負數在數線上的排列規則（假設已經知道零和正數在數線上的排列規則）。
知道「同值」的正負數在數線上的位置對稱於原點，而且它們稱為彼此的「相反數」。
知道負數加、減一個正數的原理，和小學階段所知的加、減原理相同（沿著數線向上數、
向下數）。
知道加、減一個負數的原理，例如( 2) ( 3) ( 2) 3- + - = - - ，從數線的( 2)- 向下數三單位，
得到( 5)- 。
知道可以用計算機執行正負數的加減計算，而如果要執行正負數加減的心算或筆算，則所 有算式都可以轉換成小學階段的算術：亦即正數加正數，正數減正數（減數小於被減 數）。
以上僅提及加、減計算的原因是：課程設計應在負數出現的第一階段，先處理加減運算，
因為它們在學生的經驗範圍內有具體的意義（也就是「可識」的或「有感」的）。在乘、除運 算上，還可以拆成兩個小的學習階段：先處理負數乘以或除以正數，因為這些計算可以承接
「倍數」和「平分」的概念，也是學生具有較穩固基礎的狀況。直到學習方程之後，才因為解 方程的具體需求而處理乘數或除數為負數的乘、除運算。同理，以下舉例也僅涉及加、減計 算。
在「行」向度的「負數」教學目標，包括
能聽、說、讀、寫正數與負數。
能在數線上製作和指認正數與負數的位置。
能在數線上操作相反數。
能用計算機處理正負數混和的加減計算，也能將前述算式改寫成算術的等價形式，並執行 心算或筆算，例如2 5- = - - = -(5 2) 3和( 2) ( 3)- + - = - + = -(2 3) 5。
能用正負數的加減解決典型應用問題，例如氣溫與海拔高度的變化、交易結餘的盈虧。
在「識」向度的「負數」教學目標，首要任務就是了解整數相對於全數的價值。全數僅能 處理「有多少」的量，例如班級的人數、黑板的長度、書包的重量等等，這些量的共同點是它 們最少就是沒有，不能比「沒有」更少。但是，有一些量無所謂有沒有，而是給定一個參考點 和單位長之後（它們是數線的兩個元素），可以比參考點高，也可以比它低。例如氣溫，攝氏 溫標選定水的結冰氣溫為參考點（攝氏0 度），氣溫可以比 0°C 熱，對應正的溫度，也可以比 0°C 冷，對應負的溫度；再例如地表的高度，一般選定海平面為參考點（海拔 0 公尺），所以 通常陸地的海拔為正，但是也有些窪地的海拔為負，而海面下的地形都是負的海拔。全數不方
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便用來測量這些類型的量，因此我們需要整數（含負數）。
其次要理解：正負數真正的威力，在於觀念的簡化。氣溫和海拔並不是非得使用負數不 可，例如- 5 C 也可以寫「零下 5 C」，海拔 300
-
m 也可以寫「海面下 300 公尺」。類似地，負的結餘也可以在帳本裡用紅筆寫數字，或者把數字寫在括號裡，或者就寫「負債5000 元」。
但是，使用文字加註全數的方式來處理數量，觀念是龐雜的。例如使用全數記帳，要考慮 以下六種情況（其中A 和 B 皆為全數）：
1. 若昨日（累計）盈餘 A 元，今日賺 B 元，則今日盈餘 +A B 元。
2. 若昨日盈餘 A 元，今日賠 B 元，且A B ，則今日盈餘³ A B- 元。
3. 若昨日盈餘 A 元，今日賠 B 元，且 <A B ，則今日負債B A- 元。
4. 若昨日（累計）負債 A 元，今日賺 B 元，且A B ，則今日負債³ A B- 元。
5. 若昨日負債 A 元，今日賺 B 元，且 <A B ，則今日盈餘B A- 元。
6. 若昨日負債 A 元，今日賠 B 元，則今日負債 +A B 元。
相對地，如果令x 為表示昨日累計結餘的數，累計盈餘時x³0，累計負債時x<0；令y 為表示今日營業小結的正負數，今日有賺時 y³0，今日賠本時 y<0。使用正負數來記帳時，
今日的累計結餘就是簡單的x+y 。可見正負數的計算，可以大幅簡化全數和算術的觀念。這 其實就是數學「抽象化」的威力，越抽象的數學，往往適用的範圍越廣，而威力也就越大。但 是這些話還不適合對七年級學生說。
很多學生應該會察覺，觀念上的x+y 在實際計算的時候，還是要根據 x 和 y 的正負性及
「值」的大小，轉換成六種情況來算，所以正負數「化繁為簡」的偉大功績，似乎就被打折 了。這正是引介科技工具出場的絕佳時機。計算機承擔了正負數加減到全數算術的轉換，，並 自動執行計算，使得人們可以專注在正負數計算的意義上，而不必真正執行算術的轉換與演 算。在數學課程中使用計算機，更加凸顯數學觀念的重要性以及「化繁為簡」的實用性，讓學 生專注在數學上，而不是數字上。
最後的「識」是理解正負數兼具「位置」和「位移」的意義，這是全數沒有的概念。例如 ( 3)- 具備數線上一個點的位置意義，也同時有向下數三單位的位移意義；在( 3) ( 3)- + - 式 中，第一個( 3)- 是位置，第二個( 3)- 是位移，此式的意思是從( 3)- 向下數三單位，所以結果 是( 6)- 。此觀念對七年級學生而言並非必要，但是教師應該有所理解，而視情況提點適合的學 生。從這個高觀點來看，「負」賦予全數方向性，使得正負數相當於數線上的向量。這個觀念 將有助於國中階段的物理學習，也有助於將來平面和空間向量的學習。
