2-2 級 級 級 數 級 數 數 數
例題例題
例題例題 1 等差級數前等差級數前等差級數前 n 項等差級數前 項項項、求和求和求和求和 已知等差級數 5＋8＋11＋14＋……
(1) 試寫出此級數所形成的前 6 項級數形式 (2) 試求此級數前 6 項之和
解解
解解 (1) 首項為 5，公差 d＝8－5＝3
∴前 6 項為 5＋8＋11＋14＋17＋20 (2) 前 6 項之和為
S6＝5＋8＋11＋14＋17＋20
＝75
例題 例題 例題
例題 2 等差級數求和公式的應用等差級數求和公式的應用等差級數求和公式的應用(一) 等差級數求和公式的應用 試求下列等差級數的和：
(1) 首項為 7，公差為 3，求前 12 項和 (2) 首項為 12，末項為 46，共有 18 項 解
解 解
解 (1) 首項為 7，公差為 3 故前 12 項之和為
S12＝12 2 7 (12 1) 3 2
× + − ×
〔 〕
＝6×（14＋33）＝282
(2) 由已知代入求和公式
S18＝18 (12 46 ) 2
+ ＝9×58＝522
例題例題
例題例題 3 等差級數求和公式的應用等差級數求和公式的應用等差級數求和公式的應用(二) 等差級數求和公式的應用
已知等差級數 2＋8＋14＋20＋……＋80。試求：
(1) 此級數的首項、公差、項數 (2) 56 是此級數的第幾項？
(3) 此級數之和 解
解 解
解 設此級數的首項為 a1，公差為 d，項數為 n (1) a1＝2，d＝8－2＝6
80＝a1＋（n－1）d
＝2＋（n－1）×6＝6n－4 解得 n＝14
故首項為 2，公差為 6，項數為 14 (2) 設 56 是第 k 項
則 56＝a1＋（k－1）d
＝2＋（k－1）×6＝6k－4
6k＝60 k＝10 故 56 是第 10 項
(3) 此級數首項為 2，末項為 80，項數為 14 代入求和公式得 14 ( 2 80 )
7 82 574 2
+ = × = 故此級數之和為 574
例題 例題 例題
例題 4 等比級數前等比級數前等比級數前 n 項等比級數前 項項項、求和求和求和求和 已知等比級數 3－6＋12－24＋……。
(1) 試寫出此級數所形成的前 6 項級數形式 (2) 試求此級數前 6 項之和
解 解 解
解 (1) 首項為 3，公比 6 3 2 r=− = −
∴前 6 項為 3－6＋12－24＋48－96 (2) 前 6 項之和為
S6＝3－6＋12－24＋48－96
＝（3＋12＋48）－（6＋24＋96）
＝63－126
＝－63
例題例題
例題例題 5 等比級數求和公式的應用等比級數求和公式的應用等比級數求和公式的應用(一) 等比級數求和公式的應用 試求下列等比級數的和：
(1) 首項為 8，公比為 3
2，求前 6 項和 (2) 首項為 3，末項為 384，共有 8 項
解 解 解
解 (1) 首項為 8，公比為 3 2
故前 6 項和為
6
6
3 729
8 1 8 1
665 665
2 64
3 1 16 64 4
1 2 2
S
× − × −
= = = − × − =
− −
(2) 設公比為 r
由已知得 384＝3×r7 r7＝128＝27
∴ r＝2 故此級數和為
3 (1 2 )8
1 2
× −
− ＝－3×（1－256）＝－3×（－255）＝765
例題 例題 例題
例題 6 等比級數求和公式的應用等比級數求和公式的應用等比級數求和公式的應用(二)（可使用計算機輔助計算等比級數求和公式的應用 可使用計算機輔助計算可使用計算機輔助計算可使用計算機輔助計算）
已知等比級數 2＋6＋18＋54＋……＋39366。試求：
(1) 此級數的首項、公比、項數 (2) 4374 是此級數的第幾項？
(3) 此級數之和。
解解
解解 設此級數的首項為 a1，公比為 r，項數為 n (1) a1＝2， 6
2 3 r= =
39366＝2×3n－1
3n−1＝19683＝39
n－1＝9 n＝10
故此級數首項為 2，公比為 3，項數為 10 (2) 設 4374 是第 k 項，
則 4374＝2×3k－1 3k－1＝2187＝37 k－1＝7 k＝8 故 4374 是第 8 項
(3) 此級數之和為 2 (1 3 )10
1 3
× −
− ＝－（1－310）＝310－1＝59049－1＝59048
例題例題
例題例題 7 求和公式的應用求和公式的應用求和公式的應用(一) 求和公式的應用 試求下列各級數和：
(1) 13＋14＋15＋16＋……＋87 (2) 302＋292＋282＋272＋……＋12 解解
解解 (1) 13＋14＋15＋16＋……＋87
＝（1＋2＋3＋……＋87）－（1＋2＋3＋……＋12）
＝87 (1 87 ) 12 (1 12 )
2 2
× + − × +
＝3828－78
＝3750
(2) 302＋292＋……＋12
＝12＋22＋……＋292＋302
＝30 31 61 6
× × ＝9455
例題 例題 例題
例題 8 求和公式的應用求和公式的應用求和公式的應用(二) 求和公式的應用 試求下列各級數和：
(1) 113＋123＋133＋143＋……＋203
(2) （12－6）+（22－7）+（32－8）＋……＋（102－15）
解 解 解
解 (1) 113＋123＋133＋……＋203
＝（13＋23＋……＋203）－（13＋23＋……＋103）
＝
2 2
20 21 10 11
2 2
× ×
−
＝2102－552
＝44100－3025
＝41075
(2) （12－6）+（22－7）+（32－8）＋……＋（102－15）
＝（12＋22＋32＋……＋102）－（6＋7＋8＋……＋15）
＝10 11 21 10 ( 6 15 )
6 2
× × − × +
＝385－105
＝280
例題例題
例題例題 9 求和公式的應用求和公式的應用求和公式的應用(三)（可使用計算機輔助計算求和公式的應用 可使用計算機輔助計算可使用計算機輔助計算可使用計算機輔助計算）
計算下列各級數的和：
(1) 2×1＋3×2＋4×3＋……＋10×9 (2) 2×2＋4×3＋6×4＋……＋30×16 解解
解解 (1) 觀察此級數的第 k 項
發現它們的乘號左右各自有其規律，
形式為（k＋1）×k＝k2＋k，k＝1，2，……，9 故 2×1＋3×2＋4×3＋……＋10×9
＝（1＋1）×1＋（2＋1）×2＋（3＋1）×3＋……＋（9＋1）×9
＝（12＋1）+（22＋2）+（32＋3）＋……＋（92＋9）
＝（12＋22＋32＋……＋92）+（1＋2＋3＋……＋9）
＝9 10 19 9 10
6 2
× × + ×
＝285＋45＝330
(2) 同(1)，此級數第 k 項為 2k（k＋1）＝2k2＋2k，k＝1，2，……，15 故 2×2＋4×3＋6×4＋……＋30×16
＝2×1×（1＋1）＋2×2×（2＋1）＋2×3×（3＋1）＋……＋2×15×（15＋1）
＝2×（12＋22＋……＋152）＋2（1＋2＋……＋15）
＝ 15 16 31 15 16
2 2
6 2
× × ×
× + ×
＝2480＋240＝2720
例題 例題 例題
例題 10 複利問題複利問題複利問題（等比級數問題複利問題 等比級數問題等比級數問題等比級數問題，使用計算機輔助計算使用計算機輔助計算使用計算機輔助計算使用計算機輔助計算）
在低利率的年代，某銀行為了吸收存款，提出優惠方案，以月利率 0.1 % 複利孳息。社會新鮮人小雯 打算每個月從薪水提撥固定的金額存入銀行，請幫小雯計算底下兩種方式的本利總和：
(1) 每個月初存入銀行 10000 元，存滿 6 年 (2) 每個月初存入銀行 12000 元，存滿 5 年
（四捨五入取到整數位）
解 解 解
解 (1) 6 年就是 72 個月
第一個月初存入的 10000 元，經過 72 個月複利孳息，成為 10000（1＋0.1 %）72 元 第二個月初存入的 10000 元，經過 71 個月複利孳息，成為 10000（1＋0.1 %）71 元 以此類推，直到最後一個月初存入的 10000 元，成為 10000（1＋0.1 %）1 元
所以本利總和為
10000（1＋0.1 %）72＋10000（1＋0.1 %）71＋……＋10000（1＋0.1 %）1
＝10000（1.001＋1.0012＋……＋1.00172）
＝
1.001 (1 1.001 )72
10000
1 1.001
× × −
− ≈ 746912.9962 本利總和約為 746913 元
(2) 5 年就是 60 個月，同(1)的討論 本利總和為
12000（1＋0.1 %）60＋12000（1＋0.1 %）59＋……＋12000（1＋0.1 %）1
＝12000（1.001＋1.0012＋1.0013＋……＋1.00160）
＝
1.001 (1 1.001 )60
12000
1 1.001
× × −
− ≈ 742398.2142 本利總和約為 742398 元
