排列、組合

5－1 _101M408T 1. 2. 3. 4. (D) 5. 1022

6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (B)(C)(E) 10 (C)(E) 11 315 12 56 13 53 14 7 15 924

一、概念題

1.a、b∈Z，10≥ > ≥a b 0，若：

(1)P¹⁰_a =P¹⁰_b ，則數對( , )a b = (2)若C¹⁰_a =C_b¹⁰，a+ =b 。

2.m、n 為非負整數，將下列至小題填入(A)至(F)的選項：(A)m 個相同物分給 n 個人的 方法數 (B)m 個相異物取出 n 個的方法數 (C)m 種相異物取出 n 個的方法數

(D)m 個相異物選出 n 個可重複選取，排成一列的方法數 (E)m 個相異物取出 n 個排 成一列的方法數 (F)n 個相同物分給 m 個人的方法數。

(1)若m≥n，則P^m_n的涵義為 (2)若

（單選）

m≥n，則C^m_n的涵義為 (3)

（單選）

m

Hn 的涵義為 。（多選）

3.m、n 為非負整數，將下列至小題填入(A)至(H)的選項（均為單選）：

(A) ^!

!( )!

m

n m n− (B) ^!

! n

m (C) ^!

! m

n (D) ^! ( )!

m

m n− (E) ^!

!( )!

n

m m−n (F) n^m (G) mⁿ (H)^m!

m 。

(1)若m≥n，則P^m_n= (2)若

m≥n，則C^m_n =

(3)m個相異物取出n個可重複選取，排成一列的方法數為

。 4.m、n∈N，則H_n^m =

(A)

m n

Cn⁺ (B)C_n^{m n}₋⁺₁ (C)C_n^{m n}₊⁺₁ (D)C_n^{m n+ −1} (E)C_n^{m n+ +1}。

5.C₁¹⁰+C¹⁰₂ +C₃¹⁰+C₄¹⁰+C₅¹⁰+C₆¹⁰+C¹⁰₇ +C₈¹⁰+C₉¹⁰ = 。

10 10 10 10 10

0 1 9 10

( 1 1 )+ =C +C + + C +C ⇒ 1024 1= +所求+1求⇒ 所 =1022

二、單一選擇題

6.7 件相同的物品，全分給 10 個人，每人可兼得，則其分法有幾種？

(A)C₇¹⁰ (B)H₇¹⁰ (C)H₁₀⁷ (D)10⁷ (E)7¹⁰。

即x1+ + +x2 … x10=7的非負整數解個數 ∴為H₇¹⁰，選(B)

(A)

7.自 8 冊不同的英文書與 6 冊不同的中文書中，取 2 冊英文書與 3 冊中文書 排在書架上，其方法有幾種？

8 6

2 3

P ⋅P (B)C₂⁸⋅C₃⁶⋅ ⋅2! 3! (C)C₂⁸⋅C₃⁶⋅5! (D)C₂⁸⋅ +2! C₃⁶⋅3! (E)C₅¹⁵⋅5!。

即 C⁸₂  C⁶₃  5! ∴選(C) 取英文書 取中文書 5 本書排成一列

0 至 9 的數字且個位不為 4，如 UKX－571。經過十幾年後號碼不敷使用，

8.我國的機車牌照為六位的字母與數字，原本前三位為英文字母、後三位為 因此又設計出前三位為 0 至 9 的數字且個位不為 4，末三位為英文字母，如 425－NQG。請問在這些條件之下，我國的機車牌照共可發出多少面？

(A)26×25×24×900 (B)26×26×26×1000 (C)26×26×26×900 (D)26×26×26×900×2 (E)(26 26 26 900)× × × ²。

(26×26×26) × (10×10×9) + (10×10×9) × (26×26×26)=26×26×26×900×2

前三位為字母 末三位為數字 前三位為數字 末三位為字母

∴選(D)

三、多重選擇題

9.若數列 a_n 滿足a₁≤a₂ ≤a₃ ≤≤a_n，則稱為「遞增」，請問下列各選項哪些 正確？

(A)P₇⁷=1 (B)C¹⁰₇ =C¹⁰₃ (C)數列P₁ⁿ，P₂ⁿ，P₃ⁿ，…，P_nⁿ為遞增的數列 (D) 數列C₁ⁿ、C₂ⁿ、C₃ⁿ、…、C_nⁿ為遞增的數列 (E)數列C₁ⁿ⁺¹、C₂ⁿ⁺²、C₃ⁿ⁺³、…、

2n

Cn 為遞增的數列。

(A)P₇⁷= =7! 5040，不合 (B) ¹⁰₇ 10! ₃¹⁰

C =7!3!=C ，合

(C)即 n、n n( −1)、n n( −1)(n−2)、…、n!，為遞增，合 (D)應先遞增再遞減，不合

(1) (E) (2) (B) (3) (C)(F)

(1)(D) (2)  (3)(G) (1) ( 10 , 9 )

(2) 10

5 ^{排列、組合}

5－2

(E)即n+1、( 1) ² 2

n+ ×n+ 、( 1) ^{2 3}

2 3

n n

n+ × + × + 、…、為遞增，合

∴選(B)(C)(E)

(x ¹)¹⁰

−x

10.關於 的展開式中，下列選項哪些正確？

(A)共有 10 項 (B)x⁴項的係數為C₃¹⁰ (C)常數項為−252

(D)x⁻¹⁰項的係數為−1 (E)x 項的係數為 0。

(A)應有 11 項，為C x₀^{10 10} C x₁^{10 9}( ¹)¹ C x₂^{10 8}( ¹)² C₁₀¹⁰( ¹)¹⁰

x x x

− − −

+ + + +

(B)x⁴項 C x₃^{10 7} ( ¹)³ C x¹⁰₃ ⁴ x

= ⋅ − = − ，應為−C₃¹⁰，不合

(C)常數項 C x¹⁰₅ ⁵ ( ¹)⁵ C₅¹⁰ 252 x

= ⋅ − = − = − ，合

(D)x⁻¹⁰項 C₁₀¹⁰( ¹)¹⁰ x ¹⁰ x

− −

= = ，應為 1，不合

(E)展開式依次為 10 次，8 次，6 次，… ∴ x 項係數為 0，合 ∴選(C)(E)

四、填充題

11.有七支球隊要排入右邊的賽程表，現在做好～的號碼牌放入 籤筒，再請七個球隊隊長來抽籤。若把抽籤的結果填入右邊的空 格，則會有7!=5040 種安排的情形，但其中有許多是重複的，如

和 其實相同，若把重複的情形消去，則

共可排出 種不同的賽程。

7! 5040 2 2 2 2= 16 =315

× × ×

12.自來水公司因為輸水管路施工，必須輪流供水，若計畫在接下來的 10 天中選擇 3 天停止供水，為避免影響民生，該停水的 3 天不得相連，則自來水公司共有

有 7 天供水，共 8 個空隙，取 3 個空隙使其停水 ∴共有

種選擇的方式。

8

3 56

C = 種選擇方式

13.有 1、1、1、2、2、3、4 共七個數字，若從中取出四個排成四位數，請問共可排成 ^. 種不同的偶數。

依同異來討論，且個位為 2 或 4 才可 全異：1、2、3、4，有 12 種

恰三同

 ，共 2 種

兩同兩同：1、1、2、2，共3!

2!= 種 3

兩同兩異











，共 36 種

∴共 12 2 3 36 53+ + + = 種

14.二階行列式 ^{a c}

b d ，其中 a、b、c、d 可為 1 或 2，則該行列式共有 種不同的 值。

即ad−bc

1 1 1 1 0 1 2 1 1 1

1 1 1 2 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 3 2 2 1 1 3

2 2 1 2 2

× − × → × − × →

× − × → − × − × → −

× − × → − × − × →

× − × →

∴有 0、±1、±2、±3，共 7 種

15.把(x+y)¹²乘開整理，發現有一項的係數和其他項的係數都不同，請問這一項的係數 為

該項為

。

12 6 6 6 6 6 6

6

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 924

C x y = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x y = x y

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴所求為924

1、1、2、3 ⇒ 有 3 種 1、1、2、4 ⇒ 有 6 種 1、1、3、4 ⇒ 有 3 種 2、2、1、3 ⇒ 有 6 種 2、2、1、4 ⇒ 有 9 種 2、2、3、4 ⇒ 有 9 種

↑

↑

↑

↑

對調

1、1、1、2 1、1、1、4

《另解》C C₄⁷ ₃³×C C₂⁴ ₂²×C C₂³ ₁¹=35 3 3 315× × =