勾股定理證明-A083

(1)

勾股定理證明-A083

【作輔助圖】

1. 在BC上取一點D，過D點作BC之垂線，與AB交於O點。

2. 以O為圓心, OD為半徑畫圓，與AB相交於E點, F點。

B C

A O

D

E F

【求證過程】

作出一圓與直角三角形

ABC

的

BC

相切後，先利用「圓的外冪性質」推得

BD

與

BE

_,

BF

的關係式，再利用「平行線截比例線段」的性質，來推出勾股定理的關係式。

1. 利用圓的外冪性質，來推出三角形的邊長關係：

因為ODBC, BE和圓O相交於E點, F 點，根據圓的外冪性質可得

2 .

BD  BE  BF

2. 將圓

O

的半徑以

r

表示，並利用上述式子，推得BD與BO的關係式：

設ODr，將上式整理可得

2

2 2

( ) ( )

( ) ( ) .

BD BE BF

BO OE BO OF BO r BO r BO r

 

   

 

(2)

3. 利用平行線截比例線段性質，分別推得BD, BO與r的關係式：

因為OD//AC，所以

: : ,

BD BCOD AC 即

BC OD ar.

BD AC b

  

同理，

: : ,

BO ABOD AC

AB OD cr.

BO AC b

  

4. 將第 3 點的結果，代入第 2 點的等式，推出勾股定理的關係式：

將 BD ^ar

 b , BO ^cr

 b ，代入

BD

²

 BO

²

 r

²，可得到

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ,

, , ar cr

b b r a r c r b b r a r c r b r

 

2 2 2

. a c b 即

2 2 2

c a b .

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 229.

2. 心得：此證明利用三角形的相似性質以及平行線截比例線段，來找出一些等式，再將等式整理後，推得勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：此證明用來推得勾股定理的等式，與 A081 所使用的是相同的。