§3 §3 空间空间解析几何解析几何§3 §3 空间空间解析几何解析几何

(1)

§3 §3 空间空间解析几何解析几何

(2)

1

空间直角坐标系

2

两矢量和在轴上的投影

3

矢量积的分配律的证明

4

混合积的几何意义

5

一般柱面 F(x,y)=0 6 一般柱面 F(y,z)=0

7

椭圆柱面

8

双曲柱面

9

抛物柱面

10

旋转面的方程

11

双叶旋转双曲面

12

单叶旋转双曲面

13

旋转锥面

14

旋转抛物面

15

环面 16 椭球面

17

椭圆抛物面 18 双曲抛物面

19

双曲面的渐近锥面 20 单叶双曲面是直纹面

21

双曲抛物面是直纹面

22

一般锥面

23 空间曲线——圆柱螺线 24 空间曲线在坐标面上的投影 25

空间曲线作为投影柱面的交线

(1)

26

空间曲线作为投影柱面的交线

(2)

27

作出平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6 所围成的立体 图形

主目录

^{( 1— 30 )} ^{( 1— 30 )}

(3)

28

图形

所围立体作出曲面

x

² 

y

²  a，²

x

² 

z

² 

a

²,

x

 0,

y

 0,

z

 0

29

形在第一卦限所围立体图平面

x a , y a , z a , x y z a



 





30

.

1 1

² ² 和 ² ² 所围立体图形

作出曲面

z

 

x



y x



y



z



(4)

八个卦限

^z

y

x

0 1. 空间直角坐标系空间直角坐标系

(5)

八个卦限

^z

y

x

0

.

1. 空间直角坐标系空间直角坐标系

(6)

八个卦限

^z

y

x

Ⅲ Ⅱ

Ⅳ Ⅰ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅷ

0

M

x

y

N

z

(x,y,z)

M  (x,y,z)

点的坐标

.

1. 空间直角坐标系空间直角坐标系

(7)

0 z

y

x

0

M

x

y

N

z

(x,y,z)

坐标和点

^{ M}

1. 空间直角坐标系空间直角坐标系

(8)

0 z

y

x

0

N

M 点到坐标面的距离

M 点到原点的距离

M 点到坐标轴的距离

P

Q

到 z 轴 : d1  x²  y²

到 x 轴 : 到 y 轴 :

2 2

2 z y

d  

2 2

3 x z

d  

M

(x,y,z) d

₁

d

₂

d

₃

. .

.

1. 空间直角坐标系空间直角坐标系

(9)

x

0 z

y

M

点的对称点

关于 xoy 面 :

(x,y,z)



(x,y,-z)

关于 x 轴 :

(x,y,z)



(x,-y,-z)

Q

0

关于原点 :

(x,y,z)



(-x,-y,-z) 1. 空间直角坐标系空间直角坐标系

M(x,y,z)

x

R

(x,y,-z) P

(x,-y,-z)

(-x,-y,-z)

(10)

u

A

B

c

两矢量的和在轴上的投影等于投影的和

A

^´

B

^´

c

^´

2. 两矢量和在轴上的投影

(11)

A

c

A

^´

B

^´

c

^´

u

B Pr j AC  A  C 

C B BC    j

Pr

B A

AB    j

Pr

C A C

B B

A        

  Pr j AB  Pr j BC  Pr j AC

.

两矢量的和在轴上的投影等于投影的和

2. 两矢量和在轴上的投影

(12)

引理 a



c

^ 

c

a

1

将矢量 a 一投一转（转 90⁰ ）

，

证明



 sin

|

| 

 a

引入



证毕

(a+b)c=(a  c)+(b  c)

2 ) cos(

|

| _  _

 a

c

0

a





c

⁰

3.

证明证明矢量积的分配律 : 矢量积的分配律

两矢方向 : 一致；

a

₂

|a

₂|=

|a

₁|

a

₂ _{得 a}₂

(13)

(a+b)c=(a  c)+(b  c) c

c0

a

b

a

a+b

b1

1

1 b

a  c0

b

c a c

a

c |



(



)

 

|

⁰



| c |



( b



c

⁰

)



b



c

c b

a c

b a

c |



[(



)



]



(



)



|

⁰

) 0

(a  b c

(a+b)c

ac

由矢量和的平行四边形法则，

a

1 ^a¹ ^^b¹

a1

b1

得证

c

⁰ 3.

证明证明矢量积的分配律 : 矢量积的分配律

.

bc

将平行四边形一投一转

(a+b)c=(a  c)+(b  c)

(14)

c b

a  b

a

S= | a  b |



h

| ] [

| abc  | a  b |  | Pr j

_a_b

c |  S h  V

4. 混合积的几何意义

|

| a  b  c



(15)

h



a c

a  b

b

.

| ] [

| abc  | a  b  c |  | a  b |  | Pr j

_a_b

c |  S h  V

(16)

h



a c

a  b

b

.

其混合积 [abc] = 0



| ] [

| abc  | a  b  c |  | a  b |  | Pr j

_a_b

c |  S h  V

三矢 a, b, c 共面

因此，

(17)

x

z

0 y

母线

F( x,y )=0

z = 0 准线

( 不含 z)

M

(x,y,z)

N (x, y, 0)

S

曲面 S 上每一点都满足方程；

F( F ( x,y) x,y )= = 0 0 表示母线平行于表示母线平行于 z z 轴的柱面轴的柱面

点 N 满足方程，故点 M 满足方程

5. 一般

柱面柱面 ^F ^F ⁽ ⁽ ^x,y ^x,y ⁾ ⁾ ⁼ ⁼ ⁰ ⁰

(18)

母线

准线

(

不含 x)

F( y, z )=0

x = 0

x

z

0 y

F F ( ( y,z y,z ) ) = = 0 0

表示母线平行于

表示母线平行于 x x

轴的柱面

6. 一般

柱面柱面 ^F ^F ⁽ ⁽ ^{y, z} ^{y, z} ⁾ ⁾ ⁼ ⁼

0 0

(19)

2

1

2 2

2

 

b y a

x

a

b

z

o y

7. 椭圆

柱面柱面

(20)

z

x

y = 0

y

2

1

2 2

2

 

 b

z a

x

o

8. 双曲

柱面柱面

(21)

px y

²

 2

z

x y

o

9. 抛物

柱面柱面

(22)

曲线

C

_^^

_x ^f ⁽

_

^y ₀ ^, ^z ⁾

^

⁰

C

y

z

o 绕 z 轴

10. 旋转

面的方程面

(23)

曲线

C

_^^

_x ^f ⁽

_

^y ₀ ^, ^z ⁾

^

⁰

x

C

y

z

o 绕 z 轴

.

10. 旋转

面的方程面

(24)

曲线

C

_^^

_x ^f ⁽

_

^y ₀ ^, ^z ⁾

^

⁰

旋转一周得旋转曲面

S

S C

M

N(0, y₁,z₁)



z z

₁ 

z

P

MP y |



|

₁ y₁

z

1

y

z

o 绕 z 轴

.

2

y

x





f (y

₁_,

z

₁

)=0 M(x,y,z)

10. 旋转

面的方程面

.

x

 S

(25)

曲线

C

_^^

_x ^f ⁽

_

^y ₀ ^, ^z ⁾

^

⁰

旋转一周得旋转曲面

S

x

S C

M

N

⁽⁰^, y1^,z1⁾

z z

₁ 

z

P

MP y |



|

₁ y₁

z

1

0 )

, (

f  x

²

 y

²

z 

S ：

^.

绕 z 轴

.

2

y

x







f (y

₁_,

z

₁

)=0 M(x,y,z)

f (y

₁_,

z

₁

)=0

f (y

₁_,

z

₁

)=0

10. 旋转

面的方程面

.

y

z

o

 S

(26)

x















 _^



z b

y a

双曲线

x

0 y

11.

双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面

绕 x 轴一周

(27)

x















 _^



z b

y a

双曲线

x

0

z

y

. .

绕 x 轴一周

11.

双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面

(28)

x

0

z

y

得双叶旋转双曲面

2

1

2 2

2

 

 b z y

a x

.















 _^



z b

y a

双曲线

x

11.

双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面

.

绕 x 轴一周

(29)

a _x y

o

12.

单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面

上题双曲线绕 y 轴一周

0

2

1

2 2

2











z

b y a

x

(30)

a _x y

o

z

. .

上题双曲线绕 y 轴一周

0

2

1

2 2

2











z

b y a

x

12.

单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面

(31)

a

.

x

y

o

z 得单叶旋转双曲面

2

1

2 2

2

  

b y a

z x

.

12.

单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面上题双曲线

绕 y 轴一周

0

2

1

2 2

2











z

b y a

x

(32)

0

2

0

2 2

2





 

= z

b = y a

x

13. 旋转锥面

两条相交直线

绕 x 轴一周

x

o y

(33)

0

2

0

2 2

2





 

= z

b = y a

x

.

两条相交直线

绕 x 轴一周

x

o y

z

13. 旋转锥面

(34)

x

o y

z 0

2

0

2 2

2





 

= z

b = y a

x

.

两条相交直线

绕 x 轴一周

得旋转锥面

2

0

2 2

2

 

 b z y

a x

.

13. 旋转锥面

(35)

o y z

0

2







x

az y

14.

旋转抛物面旋转抛物面

抛物线绕 z 轴一周

(36)

o y z

0

2







x

az y

..

抛物线绕 z 轴一周

14.

旋转抛物面旋转抛物面

(37)

y

a y z x

2 2





.

o

z

.

14.

旋转抛物面旋转抛物面

0

2







x

az

抛物线 y 绕 z 轴一周

得旋转抛物面

(38)

卫星接收装置

14. 例

(39)

15.

环面环面

y

o ^r x

R

) 0 (

)

²  ²  ²  



R y r R r

（

x

圆

绕 y

轴旋转所成曲面

(40)

15.

环面环面

z

绕 y

y

o x

.

) 0 (

)

²  ²  ²  



R y r R r

（

x

圆

(41)

15.

环面环面

z

绕 y

2 2

2

)

(



x



z



R



y



r

环面方程 .

生活中见过这个曲面吗？

y

o x

.

) 0 (

)

²  ²  ²  



R y r R r

（

x

圆

(42)

救生圈救生圈

.

15.

环面环面

(43)

1

₂

2 2

2   

c z b

y a

x

截痕法

用 z = h 截曲面 用 y = m 截曲面

用 x = n 截曲面

_a

b

c

y

x

z

o

16.

椭球面椭球面

(44)

x

z

y 0

截痕法

用 z = a 截曲面 用 y = b 截曲面

用 x = c 截曲面

17.

椭圆抛物面椭圆抛物面

q z y p

x

₂

2

2 2

2

 

(45)

x

z

y 0

截痕法

用 z = a 截曲面 用 y = b 截曲面

用 x = c 截曲面

17.

椭圆抛物面椭圆抛物面

.

q z y p

x

₂

2

2 2

2

 

(46)

用 z = a 截曲面 用 y = 0 截曲面

用 x = b 截曲面

x

z

y 0

q z y p

x

²₂



₂²



截痕法

（马鞍

18. 双曲抛物面

面）

(47)

截痕法

18. 双曲抛物面（马鞍

面）

x

z

y 0

用 z = a 截曲面 用 y = 0 截曲面

q z y p

x

²₂



₂²



(48)

截痕法

.

18. 双曲抛物面（马鞍

面）

x

z

y 0

用 z = a 截曲面 用 y = 0 截曲面

q z y p

x

²₂



₂²



(49)

2

1

2 2

2   

c z b

y a

x

2

1

2 2

2    

c z b

y a

x

2

0

2 2

2   

c z b

y a

x

单叶：

双叶 ^：

y

x

z

o

在平面上，双曲线有渐近线。

相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。

用 z=h 去截它们，当 |h| 无限增大时

，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：

双曲面和锥面任意接近。

渐近锥面：

19.

双曲面的渐进锥双曲面的渐进面面

(50)

2

1

2 2

2

  

c z b

y a

x

直纹面在建筑学上有意义

含两个直母线系

例如，储水塔、

电视塔等建筑都有用这种结构的。

.

20.

单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面

(51)

b z y a

x

₂²



₂²



含两个直母线系

21.

双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面

(52)

n

次齐次方程

F(x,y,z)= 0

的图形是以原点为顶点的锥面；

方程 F(x,y,z)= 0 是 n 次齐次的：若

F ( tx , ty , tz )



t

ⁿ

F ( x , y , z ).

准线

顶点

n

次齐次方程

F(x,y,z)= 0.

反之，以原点为顶点的锥面的方程是

x

0

z

y

t

是任意数

22. 一般锥

面面

(53)

23.

空间曲线——圆柱螺线空间曲线——

P

同时又在平行于 z 轴的方向 等速地上升。

其轨迹就是圆柱螺线。

圆柱面 ^x² ^ ^y² ^ ^a²

y z

0 a

x = y = z =

acos t bt

M(x,y,z)

asin t

t

螺线从点

P  Q

M

当

t

从 0 ^

2

 ，

b

PQ

 2 叫螺距

N

Q

（移动及转动都是等速进 行，所以 z 与 t 成正比。 )

点

P

在圆柱面上等速地绕 z 轴旋转；

(54)

。平面的投影在

的交线及

求曲面

z



2



x

² 

y

²

z



x

² 

y

²

L xoy















2 2

2

2 2

y x

z

y x

z

1

.





  1

2 1

2

z

y x

解

x y

z

o 得交线 L ：

24.

空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影

由

(55)

.

1





  1

2 1

2

z

y x

x y

z

o 解

2 1

2  y  x

L

所求投影曲线为

2

1

2  y 

x







 0

2 1

2

z

y

x ^.

. .

得交线 L ：

24.

空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影

.

投影柱面















2 2

2

2 2

y x

z

y x

由

z

。平面的投影在

的交线及

求曲面

z



2



x

² 

y

²

z



x

² 

y

²

L xoy

(56)















12 8

3 4 4

2

2 2

x z

y

z x

z y

将其换成

L: z

0 y

( ) 投影柱面的交线

25.

空间曲线作为投影柱面的交线 (1) 空间曲线作为投影柱面的交线 (1)

消去 z

y

²

= – 4x

y

²

= – 4x

(57)















12 8

3 4 4

2

2 2

x z

y

z x

z y

将其换成

L: z

0 y

消去 z

(

消去 x )

25.

空间曲线作为投影柱面的交线 (1) 空间曲线作为投影柱面的交线 (1)

y

²

+(z – 2)

²

= 4

y

²

+(z – 2)

²

= 4 y

²

= – 4x

y

²

= – 4x

(58)















12 8

3 4 4

2

2 2

x z

y

z x

z y

将其换成

L ：

L: z

0 y

L

转动坐标系，有下页图

.

消去 z

(

消去 x )

y

²

+(z – 2)

²

= 4

y

²

= – 4x y

²

+(z – 2)

²

= 4

y

²

= – 4x

25.

空间曲线作为投影柱面的交线 (1) 空间曲线作为投影柱面的交线 (1)

(59)

L ：

L

x

z

y

0

y

²

+(z – 2)

²

= 4

y

²

= – 4x (

消去 z)

y

²

+ (z – 2)

²

= 4 (

消去 x)

y

²

= – 4x

26. 空间曲线作为投影柱面的交线 (2) 空间曲线作为投影柱面的交线 (2)

(60)

6 6

x+y+z=6

3x+y=6

2

27.

作图练习

x

0

z

y

平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =6 所围成的立

体图

(61)

6 6

x+y+z=6

3x+y=6

.

2

0

z

y

平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =6 所围成的立体图

27.

作图练习

(62)

3x+y=6

3x+2y=12

x+y+z=6

.

6 6

x

0

z

y

4 2

平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =6 所围成的立体图

27.

作图练习

(63)

3x+y=6

3x+2y=12

x+y+z=6

.

6 6

0

z

y

4 2

平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =6 所围成的立体图

27.

作图练习

(64)

4 2 x+y+z=6

.

x

0

z

6

y

6 平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =6 所围成的立体图

27.

作图练习

(65)

4

2

.

0

z

6

y

6 平面 y=0 , z=0 ， 3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z =6 所围成的立体图

27.

作图练习

(66)

a a

所围立体图作出曲面

x

^ 

y

^ 

a

，^

x

^ 

z

^ 

a

^

, x

 

, y

 

, z

 

z

0 y

28. 作图练习

(67)

z = 0

y = 0

x

= 0

a a

z

0 y

x

^ 

y

^ 

a

，^

x

^ 

z

^ 

a

^

, x

 

, y

 

, z

 

28. 作图练习

.

(68)

a a

z

0 y

学画草图

x

^ 

y

^ 

a

，^

x

^ 

z

^ 

a

^

, x

 

, y

 

, z

 

28. 作图练习

.

a

(69)

所围立体图形和

作出曲面

z

 

x

^ 

y

^

x

^ 

y

^ 

z

 

1 –1

1 y

x

0

29. 作图练习

z

(70)

在第一卦限所围立体图

平面

x a , y a , z a , x y z a



 





2a 3

0

z

y

a

a a

30. 作图练习

(71)

2a 3

0

z

y

a

a a

平面

x a , y a , z a , x y z a



 





 30. 作图练习

.

(72)

2a 3

0

z

y

a

a a

平面

x a , y a , z a , x y z a



 





.

(73)

z=0

x=0

y=0

2a 3

a a

a

平面

x a , y a , z a , x y z a



 





.

0

z

y

问题：

这是个怎样的立体？

这是个怎样的立体？这是个七面体这是个七面体

(74)

谢谢使谢用谢使用

返回首

返

页

回首页

.

§3 §3 空间空间解析几何解析几何§3 §3 空间空间解析几何解析几何