O 年度基本學力測驗數學科試題 98

98 年 度基本學力測驗數學科試題

第 ﹕選 55 分 一部分 擇題（佔 ）

一 30 分 、單選題（佔 ）

說 ﹕第1 至 6 題﹐每 ﹐每 5 分﹐答 ﹒ 明 題選出最適當的一個選項 題答對得 錯不倒扣

( 　 )1. 數 a₁2 ﹐ a_k2k ﹐ a1020 共 240﹐ 則 　 列 …﹐ …﹐ 有十項﹐且其和為

1 k 10

a   a   a 之 (1)31 (2)120 (3)130 (4)185 (5)218﹒ 值為

【 (3) 解答】

【 a12  a2   2 2  a10 2 10 240 詳解】

a1 a2 a10 2 1 2 10 240

        

∴a1a2  a10 240 110 130 

故 (3)﹒ 選

( 　 )2. 令^acos ^{2 ﹐ (1) O (2)}    (3)^{1 a 1}₂ 　 ^{試問下列哪一個選項是對的﹖}

1 0 2 a

   (4) 1

0 a 2 (5)1

2 a 1 ﹒

【 (2) 解答】

【 ^acos ^{2 cos 9.86 } 詳解】

2 3.14 3.14 9.86

   ≒ 為 10 第三象限角且

3 9.86

  3

 

∴ 1

1 a 2

   

故 (2)﹒ 選

( 　 )3. 已 ^{f x}  ^{﹐g x}  ^{是 f x}  ^{除 g x}  ^的 x⁴1 　 知 ^{兩個實係數多項式﹐且知 以 餘式為}

﹒ 不 是^{f x}  ^{與g x}  ^的 (1)5 (2)x1 (3)x²1 (4) 試問下列哪一個選項 可能 ^公因式﹖

3 1

x  (5)x⁴1 ﹒

【 (4) 解答】

【 ^{f x}  ^{g x Q x}   ^x41 詳解】

由  ^{f x g x}   ^,  ^^{g x x} ^{, 41} 輾轉相除法原理知

    

4 2

1 1 1 1

x   x x x 

∴ 不 _x³_1 的 可能有 公因式

故 (4)﹒ 選

( 　 )4. 甲 3﹑4﹑5 個 12 　 ﹑乙﹑丙三所高中的一年級分別有 班級﹒從這

個 11 班級中隨機選取一班參加國文抽考﹐再從未被抽中的

個 班 級 中 隨

機 選取一班參加英文抽考﹒則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項﹖

(1)21% (2)23% (3)25% (4)27% (5)29%﹒

【 (5) 解答】

【 甲 3 班 3 2 3 詳解】 校（ ）﹕

12 11 66 p  

乙 4 班 4 3 6 校（ ）﹕

12 11 66 p  

丙 5 班 5 4 10 校（ ）﹕

12 11 66 p  

同 3 6 10 19 校之機率為

0.288 28.8%

66 66 66  66≒ 

故 (5)﹒ 選

( 　 )5. 假 20 　 設甲﹑乙﹑丙三鎮兩兩之間的距離皆為

公 里

﹒ 兩 條 筆 直 的 公 路 交 於 丁

鎮 ﹐其中之一通過甲﹑乙兩鎮而另一通過丙鎮﹒今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為

45 ﹐ (1)24.5公 (2)25 公 (3)25.5公 (4)26 公 則丙﹑丁兩鎮間的距離約為 里 里 里 里

(5)26.5公 里﹒

【 (1) 解答】

【 △ ACD 中 1 120 ﹐ 2 45 ﹐_AC20 詳解】

由 20 正弦定理知

sin 45 sin120

 CD

 

20 3 10 6 24.5 CD 2

   ≒

故 (1)﹒ 選

( 　 )6. 試 ^O^0,0 到 1﹐ 且 ^A ^3,0 　 問坐標平面上共有幾條直線﹐會使得點 此直線之距離為 點

到 2﹖ (1)1條 (2)2 條 (3)3 條 (4)4 條 (5) 無 此直線之距離為 窮多條﹒

【 (3) 解答】

【 即 ^O^0,0 為 1 與 ^A ^3,0 為 2 的 詳解】 求以 圓心﹐半徑為 以 圓心半徑為 公切線﹐且二圓外切

∴ 共 3 條 有

故 (3)﹒ 選

二 25 分 、多選題（佔 ）

說 ﹕第7 至 11 題 5 明 ﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得

分 2.5 分 ﹐答錯不倒扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲 ﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

( 　 )7. 試 (1)3.1416 (2) ₃ (3)log₁₀ 5 log ₁₀ 2 (4) 　 問下列哪些選項中的數是有理數﹖ sin15 cos15

cos15 sin15

 

  (5) 方 _x³_2x²_{  x 1 0} 的 程式 唯一實根﹒

【 (1)(3)(4) 解答】

【 (1)○﹕ 31416 詳解】

3.1416

10000



(2)╳﹕ 3 為 無理數

(3)○﹕ 10 10 10 10

1 1

log 5 log 2 log 10 log 10

2 2

   

(4)○﹕sin15 cos15 sin 15² cos 15² 2 cos15 sin15 cos15 sin15 2sin15 cos15

     

     

2 4 sin 30

 



(5)╳﹕由 _x³_2x²_{  x 1 0} 的 1 ﹐ x 1代 牛頓定理知 有理根僅有 代 入均不合

∴ 唯 一實根必為無理數

故 (1)(3)(4)﹒ 選

( 　 )8. 坐 L₁ ﹐L₂ ﹐L3 ﹐L₄ 與^x 軸 ^y 軸 　 標平面上四條直線 ﹑ 及直線

y x 的 L1 與L3 垂 L3 與L4 相關位置如圖所示﹐其中 直﹐而

平 L₁ ﹐L₂ ﹐L3 ﹐L₄ 的 y m x ₁ ﹐y m x ₂ ﹐ 行﹒設 方程式分別為

y m x 3 以 y m x c 4  ﹒ (1) 及 試問下列哪些選項是正確的﹖

3 2 1

m m m (2)m m1 4  1 (3)m1 1 (4)m m2 3 1 (5)c0

﹒

【 (2)(3)(4) 解答】

【 由 m₂ m₁0﹐m₃ m₄ 0 詳解】 圖知

(1)╳

(2)○﹕L1L3 ﹐ 而L3//L4﹐ L₁ L₄ ∴

∴m m1 4  1

(3)○﹕L1 直 ^{y x} 靠 ^y軸 線較 近

∴m1 1

(4)○﹕m2 m10 ∴m2m3  1 (5)╳﹕令^x0 ﹐y c 0

故 (2)(3)(4)﹒ 選

( 　 )9. 　

某 廠 商 委 託 民 調 機 構 在 甲

﹑ 乙

兩 地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱為「知名度」）﹒結果如下﹕在

95%信 ^0.50,0.58 ^﹑^{0.08, 0.16} 心水準之下﹐該產品在甲﹑乙兩地的知名度之信賴區間分別為

﹒ (1) 甲 54%的 (2) 試問下列哪些選項是正確的﹖ 地本次的參訪者中﹐ 人聽過該產品

此 (3) 次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

此 95% (4) 次調查結果可解讀為﹕甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於

若 95%的 ^{0.08, 0.16} ⁽⁵⁾ 在乙地以同樣方式進行多次民調﹐所得知名度有 機會落在區間

經 密集廣告

宣 傳

後 並增 加參訪人數 原人數的四 ﹐則在 ﹐在乙地再次進行 達 倍 95% 民 調 ﹐

信 寬 心水準之下該產品的知名度之信賴區間

度

會 減 半（即 0.04） ﹒

【 (1)(2) 解答】

【 (1)○﹕  0.5 0.58 詳解】

0.54 54%

p 2   (2)○﹕ 0.54 0.46

2 0.04 n 621 n

   _甲 

甲

0.12 0.88

2 0.04 n 264 n

   _乙 

乙

(3)╳﹕約 95%以 在

內

(4)╳﹕ 區 變動 間可能有所

(5)╳﹕ 不 一定

故 (1)(2)﹒ 選

( 　 )10. 設^a ﹐b ﹐^c 為 　 實數﹐下列有關線

性 方程 組

2 1

3 4 1

2 10 7 x y az

x y bz x y z c

  

    

   



的

敘 哪些是 述 正 確 的﹖ (1)

若 此線

性 有解﹐則必定 恰 解 性 有解﹐則 方程 組 有一 組 (2) 若 方程 組 11a3b7 (3) 此線

若 此線

性 有解﹐則 性 無解﹐則 方程 組 c14 (4) 若 方程 組 11a3b7 (5) 此線

若 此線

性 無解﹐則 方程 組 c14 ﹒

【 (4)(5) 解答】

【 詳解】

2 1

3 4 1

2 10 7 x y az

x y bz x y z c

  

    

   







 j

k l

 2

l j ﹕^6y^{7 2 a z c} ^{ 2}

 3

j k ﹕^2y^{3a b z}  ^4

(1)╳﹕可 能無限多解

(2)╳﹕若

恰 有一 6 7 2 解

11 3 7 2 3

a a b

a b

    



若 6 7 2 2 無限多解﹐則

2 3 4

a c a b

 

 

 11a3b7且c14 (3)╳﹕若

恰 有一 c14 解 ﹐ 則不一定

(4)○﹕ 方 組 程

無 解

﹐ 11a3b7 且c14

(5)○

故 (4)(5)﹒ 選

( 　 )11. 如 立 　 圖所示﹐正

方

體 稜 長 等 ABCD EFGH 的 於2 （ _AB2 ） K 為 即 ﹐ 正方

形ABCD 的 _M ﹑N 分 段_BF ﹑_EF 的 中心﹐ 別為線 中點﹒試問下列哪些選

項 (1) 1 1 1 是正確的﹖

2 2 2

KM    AB AD AE _{(2) （}

內 ） 積 _{KM AB} _{ 1}

(3)_{KM 3} (4)△KMN 為 形 (5)△KMN 之 積 一直角三角 面

為 10

2 ﹒

【 (1)(4) 解答】

【 坐 化^A^{0,0, 2} ^﹐B^{2,0, 2} ^﹐D^{0, 2, 2} ^﹐E^0,0,0 ^﹐F^2,0,0 ^﹐M^2,0,1 ^﹐ 詳解】 標

^1,0,0

N ﹐^K^{1,1, 2}

(1)○﹕^KM ^^{1, 1, 1 }  ﹐^AB ^^2,0,0 ﹐^AD ^^{0, 2,0}

^AE ^^{0,0, 2}  ﹐ 1 1 1

2 2 2

KM    AB AD AE (2)╳﹕_{KM AB} _{ 2}

(3)╳﹕ KM  1 1 1   3

(4)○﹕^{KM MN} ^{ }^{1, 1, 1   }  ^{1,0, 1 } ⁰

(5)╳﹕^{KMN  90} ﹐MN  2 _{﹐ KM} _{ 3}

面

積 1 6

2 3

2 2

   

故 (1)(4)﹒ 選

第 填 二部分﹕選

題

（

佔 45 分 ）

說 A 至 I 題 完 明﹕第 ﹐每題

全 答 對

得 完 5 分 全答對不給分﹒ ﹐答錯不倒扣﹐未

A. 從 1 到 100 的 整 正

數

中 刪去 所有的 數﹑ 倍 倍 ﹐ 下最大的數為 質 2 的 數及 3 的 數之 後 剩 ___________

_﹒

【 95 解答】

【 由100 往 ﹕100﹐99﹐98﹐97﹐96﹐95 詳解】 前刪去

得 95﹒ 最大數為

B. 坐 ^O^0,0 ^﹐A^{ 3, 5} ^﹐B ^{6,0 ﹐C x y} ^,  ^{﹒ 質} 標平面上有四點 ^今有一 點

在 沿 O 點 _AO

方

向 進 ^{向 進 點} 前 ^前 _AO 距 後停 在_P ﹐ 沿_BP ^{方 2BP 距 後停 在Q ﹒ 質 繼續沿} CQ 離 再 ^{離 假設此}

方

向 進 前 3CQ 距 後回 到原點 O ﹐ ^{x y,} ^ ____________﹒ 離 則

【 ^{4, 20} 解答】

【 ^AO ^ ^3,5 ﹐∴^P ^3,5 詳解】

2 1 PQ BP 

由 12 分點公式﹕

3 3

3

x x

 

   

0

5 15

3

y y

 

  

 ^3,15

Q 

又 1

3 CQ QO

3 0

3 4

4

x x

     3 0

15 20

4

y y

  

∴^C^{4, 20} ﹒ C.

抽 獎 遊 戲 中

﹐ 參 加 者 自 箱 中 抽 出

一 球

﹐ ﹒只有抽得 紅色球 消費券 者） 確 定 顏色後放 藍色 或 者可得 ﹐其 金額 分別為（抽得 藍色球 2000 回

元

﹑ 紅色球 ﹒ 中已置 （ 有 抽 得 者） 1000 元 箱 2 顆 及5 藍色球

顆 ﹒在抽出 任 紅色球

一 之機率相 等 下﹐ 主辦 單位 希望 參加者所得 的 球 的條 件 消費券金額 期望 值為 300

元

﹐ 主辦 單位 應 箱內 再置入 其 的 ﹒ 則 於 ____________ 顆 他顏 球 色

【 23 解答】

【 設 放 詳解】 再

入 ⁿ 顆 球

  ⁵

P 7

n

紅球  ﹐   ²

P 7

 n 藍球 

2 5

300 2000 1000

7 7

n n

   

 

3n21 40 50   n 23 ﹒

O

D. 坐 標平面上有兩條平行直線﹒

它

們 的 距 差 距 差 相 相 ^x 截 20﹐^y截 15﹒ 則 _ 這兩條平行直線的距離為

___________﹒

【 12 解答】

【 如 △OAB 中 詳解】 圖﹐

2 2

15 20 25 AB  

△OAB 面

積 1 1

15 20 25

2 2 h

      12

h 表

示 二 平 行直線的距離為 12﹒

E. 假 ₁ 為 設 坐標平面上一

開 口

向 上的 拋物 線﹐其對稱軸為 3

x 4

 且

焦 點到 頂 距（ 焦 點的距離）為 1

8

﹒ ₁ 與 若 另一

拋

物 線 交 頂 於 一 點﹐則 ₂: y x ² 恰 ₁ 的 點之 ^y坐 ____________﹒ 標為

（

化 最簡分 成 數 ）

【 9 解答】

8

【 設 1 ²   詳解】

3 1

: 4

4 8

x y k

 

      

₂: y x ²代 1 入

得^^x3₄^^{2 1}₂^x2k

2 9

3 0

x x 8 k

    

∵ 只 ∴D0 有一交點

2 9 9

3 4 0

8 8

D   k  k ﹒

F. 某 司 公

為 減碳政策 ﹐ 定在 五 後將 公 該年二 量 為 了響應節 能 決 年 司 氧化碳排放 降 目前排放 量的 75%﹒

公 司 希 望 每 年 依 固 定

的 比 率

（ 當 年 和 前 一 年

排 量的比 逐 減 的 要達 到這項 標﹐則該公 每年至少 要 前 少 放 ） 年 少二 氧化碳 排放 量﹒若 目 司 比 一年 減

____________% 的 氧化 二 碳

的 計算 到 數點 後 捨五 入﹒） 排放 量﹒（ 小 第一位﹐以下四

【 5.6 解答】

【 設 當年排放量 x 詳解】 前一年排放量

則 ⁵ 75 3 75% 100 4

x   

5 3

log log x  4

5logxlog 3 log 4 0.4771 0.6020

log 0.02498

x 5  

logx  1 0.97502  1 log 9.44 0.944 94.4%

x 

∴ 所   1 x 5.6%﹒ 求

G. 坐 空 標

間

中 形 點為 ^xy 平 ﹐其 頂 ^O^0,0,0 ﹐^A^8,0,0 ﹐^B^8,8,0 ﹐^C^0,8,0 面上有一正方

﹒ P 在^xy 平 O ﹐A ﹐B ﹐C 四 等 另一點 面的上方﹐且與 點的距離皆

於 6﹒ 若

x by cz d   為 A ﹐B ﹐P 三 ^{b c d, ,}  ^ ____________﹒ 通過 點的平面﹐則

【 ^{0, 2,8} 解答】

【 坐 化 詳解】 標

﹐ 如 圖

 

2 2 2

36 16 16 4 PH OP OH    

∴_{PH 2}

∴P 點 ^{4, 4, 2} 的坐標為

^0,8,0

AB  ﹐^AP ^{ } ^{4, 4, 2}

^16,0,32

AB AP   ^{16 1,0, 2} 

取^{N }^{1, 0, 2}

所 ^{1   }^{x 8} ⁰ ^{y 0} ²^z0 ^0 求平面

0 2 8

x y z

   

∴b0﹐^c2 ﹐^d8 故^{b c d, ,}  ^{ 0, 2,8} ^﹒

H. 有 橢 一

圓 與

一 焦 軸 和 圓的 短 長 等 雙曲 線有共同的 點F₁ ﹑F₂ ﹐ 雙曲 線的 貫 長 橢 軸 相 ﹒設 P 且

為 橢 此

圓

與 雙曲 線的一個交點﹐ 且 PF PF₁ ₂ 64 ﹐ F F_{1 2} ____________﹒ 則

【 16 解答】