第二节
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例 : 变力沿曲线所作的 功 . 设一质点受如下变力作用
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到 点 B,
A L B
x y
求移
cos AB
F W
“ 大化小”
“ 常代变”
“ 近似和”
“ 取极限”
常力沿直线所作的功 解决办法 :
动过程中变力所作的功 W.
AB F
A B
F
)) ,
( ,
) , ( ( )
,
( x y P x y Q x y
F
1
M k
M k
A
B
x y
1) “ 大化小”
.
2) “ 常代变”
L 把 L 分成 n 个小弧段
,
有向小弧段 M
k1M
k ( x k , y k ) 近似代替
,
), ,
( k k 则有
k k
k
k x Q y
P
( k , ) ( k , ) 所做的功为 W k ,
F 沿 M k 1 M k
k k
k
k F M M
W ( , ) 1
k
) ,
( k k F
n
k
W k
W
1
则
用有向线段 M k 1 M k
k
k
M
M
1上任取一点 在
y
k x
k
3) “ 近似和”
4) “ 取极限”
n
k
W
1
P ( k , k ) x k Q ( ξ k , k ) y k
n k
W
0 1
lim P ( ξ k , η k )Δ x k Q(ξ k , η k )Δ y k
1
M k
M k
A
B
x y
L
) ,
( k k F
y
k x
k
( 其中 为 n 个小弧段的
最大长度 )
2. 定义 . 设 L 为 xoy 平面内从 A 到 B 的一条有向 弧 , 光滑
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点 ,
都存在 , 在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分 ,
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
P ( k , k ) x k Q ( k , k ) y k
n
0 k 1
lim
则称此极限为函数
或第二类曲线积分 .其中 , P ( y x , ) , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
称为被积函数 ,
在 L 上定义了一个向量函数
极限 ))
, ( ,
) , ( ( )
,
( x y P x y Q x y
F
记作
) , ( y x F
)
,
( y x
Q
L P ( x , y ) d x lim ( , ) ,
0 1
n
k P k k x k
L Q ( x , y ) d y lim ( , ) ,
0 1
n
k Q k k y k
若 为空间曲线弧 , 记
称为对坐标 x 的曲线积分
;
称为对坐标 y 的曲线积 若记 d s (d x , d y ) , 对坐标的曲线积分也可写作 分 .
L F d s L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
)) ,
, ( ,
) , , ( ,
) , , ( ( )
, ,
( x y z P x y z Q x y z R x y z
F
F d s P ( x , y , z ) d x Q ( x , y , z ) d y R ( x , y , z ) d z
) d , d , (d
d s x y z
类似地 ,
3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线 弧
), ,
, 1
( i k
L i
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
k
i L
iP x y x Q x y y
1
d ) , ( d
) , (
(2) 用 L
－表示 L 的反向弧 ,
则 L
P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
则
• 定积分是第二类曲线积分的特例 . 说明 :
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向
!
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理 : 设 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在有向光滑弧 L 上有定义 L 的参数方程为 且
) (
) (
t y
t
x t : ,
则曲线积分
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
P [ ( t ), ( t )] (t ) Q [ ( t ), ( t )] (t ) d t 连续 ,
存在 , 且 有
0 )
( )
( 2
2
t t
且
特别是 , 如果 L 的方程 为
, :
),
( x x a b
y 则
P x x Q x x x
b
a [ , ( )] [ , ( )] d
(x )
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
对空间光滑曲线弧 : 类似有
z z
y x R y
z y x Q x
z y x
P ( , , ) d ( , , ) d ( , , ) d
(t )
)
(t
)
(t )]
( ,
) ( ),
(
[ t t t
Q
)]
( ,
) ( ),
(
[ t t t
R
d t
)]
( ,
) ( ),
(
[ t t t
P
, :
) (
) (
)
(
t t
z
t y
t
x
例 1. 计算 L x y d x , 其中 L 为沿抛物线 y 2 x 解法 1 取 x 为参数 ,
则
OB AO
L : 0 1
: ,
: y x x AO
1 0
: ,
: y x x
OB
L x y d x AO x y d x OB x y d x
1 0 x ( x ) d x 2 0 1 x 3 2 d x 5 4
y y
y y x
y
L x d 1 ( 2 ) d
1
2
x y
x y
解法 2 取 y 为参数 , 则
1 1
: ,
: x y 2 y L
5 d 4
2 1
1
4
y y
从点
x x x d
1
0
的一段 . )
1 , 1 ( )
1 ,
1
( B
A 到 B ( 1 , 1 )
) 1 , 1 ( A
o y
x
例 2. 计算 其中 L 为
, :
,
0 x a a
y
y
B A
a o
a x
(1) 半径为 a 圆心在原点 的
上半圆周 , 方向为逆时针方向 ;
(2) 从点 A ( a , 0 ) 沿 x 轴到点 B (– a , 0 解 : ). (1) 取 L 的参数方程
为
,
2 d x
L y
a cos t , y a sin t , t : 0 x
L y 2 d x
t t a sin d
2 2
0
3 3
2a 3
(2) 取 L 的方程为
L y 2 d x
t
a 2
0
2 sin
( a sin t ) d t
3 1 2
3
3 4 a
a a 0 d x 0
则 则
next
y
o x 例 3. 计算 2 x y d x x 2 d y ,
L 其中 L
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 为 0 1 ; (2) 抛物线 L : x y 2 , y : 0 1 ; (3) 有向折线 L : OA AB .
解 : (1) 原 式
2 x x 2 4 1 x d x
0
3
(2) 原式 2 y 2 y 2 y 5 1 y d y
0
4
(3) 原式 OA 2 x y d x x 2 d y
0 1 ( 2 x 0 x 2 0 ) d x 1
) 0 , 1 ( A
) 1 , 1 ( B
y 2
x
x 2
y
1
0 ( x 2 2 x ) d x
1
0 ( y d 4 ) y
y x
x y
AB 2 x d 2 d
0 1 ( 2 y 0 1 ) d y
1
1
next
例 4. 设在力场 作用下 , 质点由 沿移动到 B ( R , 0 , 2 k ),
) 0 , 0 , (R A
. )
2
( AB
解 : (1) y d x x d y z d z
t t
k
R
2
0
2
2 ) d
(
(2) 的参数方程为 x R , y 0 , z t , t : 0 2 k
AB y d x x d y z d z 0 2 k t d t
B A
z
x y 试求力场对质点所作的功 .
; ,
sin ,
cos )
1
( x R t y R t z k t
) (
2 k 2 R 2
2
2 2 k
其中为 )
, ,
( y x z F
F s
W d
F s
W d
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程 为 x x ( t ) , y y ( t ) ( t )
则两类曲线积分有如下联系
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
L P ( x , y ) cos Q ( x , y ) cos d s
类似地 , 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 z
R y
Q x
P d d d
P cos Q cos R cos d s
例 5. 将积分 P x y x Q x y y
L ( , ) d ( , ) d
化为对弧长的积
分 , x 2 y 2 2 x 0 从 O ( 0 , 0 ) 到 B ( 2 , 0 ).
解：
o y
x
B
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
P x y Q x y s
L ( , ) ( , ) d
2 x x 2 ( 1 x )
其中 L 沿上半圆周
1. 定义
k k k k
n
k
y Q
x
P
( , ) ( , )
lim k k
0 1
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
2. 性质
(1) L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 L i ( i 1 , , k )
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
L
ik
i
y y
x Q x
y x
P ( , ) d ( , ) d
1
(2) L
－表示 L 的反向弧
L
P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
内容小结
3. 计算
) , (
) : (
t y
t
L x t :
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
P [ ( t ), ( t )] Q [ ( t ), ( t )] d t
(t ) (t )
• 对有向光滑弧
• 对有向光滑弧 L : y ( x ) , x : a b
P x x Q x x x
b
a [ , ( )] [ , ( )] d
(x )
L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y
z z
y x R y
z y x Q x
z y x
P ( , , ) d ( , , ) d ( , , ) d
: ,
) (
) (
) (
t t
z
t y
t x
P [ ( t ), ( t ) , ( t )] (t )
)
(t
)
(t 4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y L P cos Q cos d s
z R
y Q
x
P d d d
P cos Q cos R cos d s
)]
( ,
) ( ),
(
[ t t t
Q
)]
( ,
) ( ),
(
[ t t t
R
d t
• 对空间有向光滑弧 :
) 0 , 0 , 1 ( A
) 0 , 1 , 0 ( B
) 1 , 0 , 0 ( C
o x
y z
1. 已知 为折线 ABCOA( 如图 ), 计 算 I d x d y y d z
提示 :
I 0
0
1 ( 1 y ) d y 0 1 dx
2
)
2 1 1
(
1
2
1
0
1 2 x d
1
y x
1
z y
y
AB d x d
BC d y y d z OA d x
2 .
解 : z
x
o y
A
z B
k
2 2
2 y z
x
k z j
y i
x z
k
L z x y z
z z
y y
x k x
2 2
2
d d
d
: L
2 2
t x
2 2
t y
1
t z
) 1 0
:
( t
1
0 1
d 3
t
k t 3k ln 2
) 1 , 2 , 2 ( A 线移动到 B ( 4 , 4 , 2 ) ,
向坐标原点 ,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比 . 沿直
s F
W L d
F ( r 0 )
) 1 , 2 , 2
( AB
r 求 F 所作的功
W. 已知 F 的方向指
一质点在力场 F 作用下由点
3. 设曲线 C 为曲 面
2 2
2
2 y z a
x 与曲面 x 2 y 2 ax ,
) 0 ,
0
( z a 的交线 从 ox 轴正向看去为逆时针方向 (1) 写出曲线 C 的参数方程 ,
; (2) 计算曲线积分 y 2 d x z 2 d y x 2 d z .
C
解 : (1)
2 2 2
2
2 ) ( )
( x a y a
2 2
2 x y
a
z
t x a 2 a 2 cos
t y a 2 sin
sin 2 t
a z
2 0
:
t
(2) 原式
=
a 3 t
8
3sin
t
t t
a 8
3( 1 cos ) 2 cos 2 d
令 u t
0 2
a 8
3sin 3 u a 2
3cos 2 u 2 cos u
u
u u
a 8
3( 1 cos ) 2 sin 2 d
利用“偶倍奇零”
