數學考科

【試題．答案】依據大考中心公布內容

出  版  /   民國一0三年七月

發行所  /   7 0 2 4 8 臺南市新樂路  76  號 編輯部  /   7 0 2 5 2 臺南市新忠路  8 - 1  號 電  話  /（06) 2619621 # 314

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總召集  /  周耀琨 總編輯  /  蔣海燕 主  編  /  王維芬

校  對  /  黃秉璿．黃閔謙．李毓珊．羅蔣偉 美  編  /  李懿娟．杜政賢

Z X C V

NO.00843

數學考科

北門高中 / 朱漢民 老師

臺南女中 / 洪士薰 老師

試題分析

北門高中 │ 朱漢民 老師

試題分析 數 學 甲

大考中心公布的 99 課綱數甲考科測驗範圍大綱：

一

高一數學：數與式、多項式函數、指數與對數函數、機率。

高二數學：三角、直線與圓、平面向量、空間向量、空間中的平面與直線、矩陣。

選修科目數學甲：機率統計 II、三角函數、極限與函數、多項式函數的微積分。

各單元占分：

二

題號 題型 出處 內容 配分

1 單選題 第三冊第二章 直線與圓 6

2 單選題 選修數學甲（上）第二章 三角函數 6

3 單選題 第一冊第三章 指數與對數函數 6

4 單選題 第一冊第二章

選修數學甲（下）第一章

多項式函數

極限與函數 6

5 多選題 第四冊第一章 空間向量 8

6 多選題 選修數學甲（上）第二章 選修數學甲（下）第二章

三角函數

多項式函數的微積分 8 7 多選題 選修數學甲（上）第一章 機率統計 II 8

8 多選題 第一冊第三章

第四冊第三章

指數與對數函數

矩陣 8

9 多選題 第三冊第一章 三角 8

A 選填題 第四冊第一章 空間向量 6

B 選填題 第二冊第三章 機率 6

一 非選題 選修數學甲（下）第二章 多項式函數的微積分 10

二 非選題 第四冊第三章 矩陣 14

e 各單元占分補充說明：若同一題由兩個單元綜合出題，則算一半題分

冊別 配分 說明

第一冊 13 雖然第一章“數與式”並未列入上表，但是在解第1 題 時需要有絕對值的基本概念。

第二冊 6 本冊配分特別少是因為本冊只有一章“機率”被列為主 要出題範圍。

第三冊 14 三角考比較少是因為選修數學甲要考三角函數。

第四冊 32

本冊配分較多是因為除了第8 題考了矩陣以外，非選二 也考了矩陣。雖然第四冊第二章“空間中的平面與直 線”並未列入上表，但是具備該章節的概念將有助於解 第8 題的第5個選項。

選修數學甲（上） 18 選修數學甲總共占了 35 分，相當合適，但三角函數沒 有考疊合比較可惜。

選修數學甲（下） 17

試題特色：

三

創新題型多且漂亮 1

要自創一個題型已屬不易，還要能出得漂亮，並讓計算量適中，考出鑑別度，更屬不 易！例如：第 2、3、4 題；第 6 題的第4、5兩個選項；第 7 題的第4、5兩個選項；第 8 題；非選第二題。分析如下：

1 第 2 題考三角函數的定義，並巧妙結合了三角測量跟等差數列。

2　 第 3 題雖然要取兩次 log 才能算出答案，但是出題者很細心設計數字讓我們可以 估算！不懂得估算的同學，會在此題浪費些許時間。要注意，近幾年的升學考 題，估算這個動作不斷在歷屆題目中出現！

3　 第 4 題雖然很難，但確可以考出真正頂尖的學生！若沒有抓到問題核心的同學會 在此題浪費不少時間。試題表面上是求餘式的常數項，但真正能寫出來的只有商 式；因為被除式跟除式次數相同，所以商式只好是常數，這麼一來不難看出：

2（x+1）ⁿ=（3x-2）ⁿ* 2

3^{n+r（n x），故 rn=r（n 0）=2-2*}

（-2）ⁿ 3ⁿ

（n→ ∞）

2

　　 此題的確有難度，但是漂亮，考得出學生對數學的成熟度。筆者這兩天看媒體報 導，許多老師以為難在計算量大，但此題計算量真的大嗎？其實不然，真正困難 的是難在看出問題的核心！

試題分析

4　 第 6 題的第4個選項把 π 估算為 3（這不就是小學教的圓周率嗎！）即可輕鬆得到答 案！

　　 第 6 題的^第5個選項有兩個關鍵，其一是能看出 f（0）剛好等於 0，其二，要能看 出cos 4π

7 ^略小於cos 4π

8 ^{=cos π}2⁼0，此選項不可以硬算。這些細節藏得巧妙，

同時也在測驗考生的程度！

5　 第 7 題的^第4、5兩個選項根本不用算，再次重申，要抓住問題的核心。

　　 第⁴個選項：p=1

2 表示兩隊旗鼓相當，打得難分難解，故須最多的場數來決定 晉級的隊伍。

　　 第⁵個選項：首先，要看出 f

（

）

（

）

的時候，雖然甲隊的實力不如乙隊，但比p=1

5 時，有多一點的競爭力，能“多 掙扎幾場”，故 f

（

）

（

）

（

）

（

）

6　 第 8 題雖然一開始要經過一個變數代換的動作，但是之後用矩陣的列運算做起來 輕鬆寫意。千萬別用克拉瑪公式來解此題，否則會陷入可怕的計算中！

7　 非選的第二大題的第3小題：如果考生用硬算來推導結果必定要花費許多時間。

我們應該將該平面變換矩陣寫為兩個基本變換矩陣（旋轉矩陣及伸縮矩陣）的乘 積，再加以論證，此舉會遠比用純計算的手法來證明更省時。

基本題與難題落差過大，中等難度題目太少 2

一般程度考生很可能僅能作答出第 1 題；第 5 ∼ 9 題的前一兩個選項；第 A 題；非選 第一大題第1小題以及非選第二大題的第1小題。其餘幾乎都要具有相當的數學成熟度 才能解出。這對中段學生而言是相當不利的！也因為如此，可能使得部分學生在多選題用 猜的，而導致反鑑別的現象出現！

少數創新試題略具計算技巧或略顯刁鑽 3

例如：第 5 題的第3、4兩個選項僅是抽象的代數操作。

　　　第 9 題的第4個選項是個陷阱，此選項略為刁鑽。 F

臺南女中 │ 洪士薰 老師

試題解析 數 學 甲

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 24 分）

說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6分；答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 在坐標平面上，圓 x²+y²+2x-2y+1=0 與 y=│2x+1│的圖形有幾個交點？

1 1 個 2 2 個 3 3 個 4 4 個 5 0 個

答 案 4

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 圓標準式、圓與直線的關係

詳 解 作（x+1）²+（y-1）²=1，y=│2x+1│的圖形如右 共有4 個交點

故選4

2 在地面某定點測得數公里外高塔塔尖的仰角為 θ¹，朝高塔方向沿直線前進100 公尺之後，重新測得塔尖仰角為θ2，再沿同一直線繼續前進100 公尺後，測得 仰角為 θ3。請問下列哪一個選項的數值依序成等差數列？

1 θ1，θ2，θ3

2 sin θ¹，sin θ²，sin θ³ 3 cos θ¹，cos θ²，cos θ³ 4 tan θ¹，tan θ²，tan θ³ 5 cot θ¹，cot θ²，cot θ³

答 案 5

命題出處 選修數學甲（上）第二章　三角函數

測驗目標 三角測量

詳 解 設自定點至塔底距離為 x+200 公尺，塔高為 h 公尺 因此 h

x ^{=tan θ3，} 　　 h

x+100^{=tan θ2，} 　　 h

x+200^{=tan θ1}

試題解析

化成x=h cot θ³， 　　 x+100=h cot θ²， 　　 x+200=h cot θ¹，

故h cot θ²-h cot θ³=100=h cot θ¹-h cot θ² 所以cot θ¹，cot θ²，cot θ³成等差數列 故選5

3 請問指數方程式 2^10x=10⁶的解x 最接近下列哪一個選項？

（log 2 » 0.3010、log 3 » 0.4771、log 7 » 0.8451）

1 1.1 2 1.2 3 1.3 4 1.4 5 1.5

答 案 3

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 指數方程式、指數與對數的應用

詳 解 原式左右同取 log，得 10^x log2=6 因此10^x» 6

0.3010 ^»20，

再取log 值，得 x » log20 » 1.3010 故選3

4 令多項式 2（x+1）ⁿ除以（3x-2）ⁿ所得餘式的常數項為 rn。請問極限limrn為下 列哪一選項？

1 0 2 3

2 ^{3 2 4 3 5不存在}

答 案 3

命題出處 第一冊第二章　多項式函數、選修數學甲（下）第一章　極限與函數

測驗目標 多項式除法、除法原理、餘式定理、數列的極限

詳 解 若 2（x+1）ⁿ除以（3x-2）ⁿ所得餘式為R（x）

比較除式、被除式的xⁿ項係數，得 2（x+1）ⁿ= 2

3^n（3x-2）

n+R（x）

∴R（x）=2（x+1）ⁿ- 2

3^n（3x-2）n

∴rn=R（0）=2- 2

3^n（-2）n

∴lim rn=lim

（

）

故選3

n → ∞

n → ∞ n → ∞

二、多選題（占 40 分）

說明：第5題至第9題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，

得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5 給定向量 au =（2﹐2﹐1），請選出正確的選項：

1可找到向量 av 使得 au •av = 2

2可找到向量 av 使得 au *av =（1﹐3﹐4）

3若非零向量 av 滿足 │au •av│ =2 │aav│ ，則 au *av =a0 4若非零向量 av 滿足 │au *av│ =3 │aav│ ，則 au •av =0 5若向量 av 滿足 au •av =0 且 au *av =a0，則 av =a0

答 案 145

命題出處 第四冊第一章　空間向量

測驗目標 內積、外積及內積與外積的關係

詳 解 │au│= 2²+2²+1²=3

1○：au •av =│au││av│cos θ ! 3│av│cos θ= 2，有解 2×：（au *av ）rau ，但（2﹐2﹐1）•（1﹐3﹐4）_0 3×：│au *av│²+（au •av ）²=│au│²│av│²=9│av│² 　　　│au *av│²+4│av│²=9│av│²!│au *av│²=5│av│² 　　　∴ au *av _a0

4○：9│av│²+（au •av ）²=9│av│²!（au •av ）²=0 ! au •av = 0 5○：0+0=9│av│²!│av│=0 ! av =a0

故選145

6 考慮多項式函數 f（x）=4x³-11x²+6x。請選出正確的選項：

1函數f 的圖形在點（1﹐-1）的切線斜率為正 2函數f 的圖形與直線 y=1 交於三點

3函數f 的唯一相對極小值為 -9 4 4 f（π）>0

5 f

（

）

答 案 34

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 三次多項式的繪圖

試題解析

詳 解 1×： f '（x）=12x²-22x+6，所以 f '（1）=12-22+6=-4<0 2×： f '（x）=12x²-22x+6=2（3x-1）（2x-3），

　　　故 f（x）圖形如右

　　　 f

（

）

（

）

　　　故y=f（x）與 y=1 僅有一交點

3○： 由2知 f

（

）

4○：f（x）在區間

（

）

　　　故f（π）>f（3）=27>0 5×：cos 4π

7 ^{<0，f（x）在區間}

（

）

　　　故 f

（

）

故選34

7 職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲、乙兩隊中有一隊贏得三場比賽 時，就由該隊晉級而賽事結束。每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不 受之前已賽結果影響。假設甲隊在任一場贏球的機率為定值p，以 f（p）表實際 比賽場數的期望值（其中0NpN1），請選出正確的選項：

1只須比賽3 場就產生晉級球隊的機率為 p³+（1-p）³ 2 f（p）是 p 的 5 次多項式

3 f（p）的常數項等於 3 4函數 f（p）在 p=1

2 ^{時有最大值} 5 f

（

）

（

）

答 案 134

命題出處 第一冊第二章　多項式函數、第二冊第三章　機率、

選修數學甲（上）第一章　機率統計Ⅱ

測驗目標 獨立事件、期望值、多項式的極值

詳 解 1○：3 場晉級可能為 甲連勝3 場：p³

乙連勝3 場：（1-p）³ 　　　故機率為p³+（1-p）³

2×：4 場晉級可能為（“+”表甲勝，“-”表乙勝）

　　　++- 　　　+-+

　　　-++

　　　或 　　　+-- 　　　-+- 　　　--+

　　　機率為3（p（³ 1-p）+（1-p）³p）

　　　令A（p）=p³+（1-p）³，B（p）=p（³ 1-p）+（1-p）³p，

　　　則5 場晉級的機率為 1-A（p）-3B（p）

　　　故 f（p）=3•A（p）+4•3B（p）+5•（1-A（p）-3B（p））

　　　 =5-2A（p）-3B（p）

　　　deg A（p）=2，deg B（p）=4，故 f（p）最多為 4 次多項式 3○： f（0）=5-2A（0）-3B（0）=5-2-0=3

4○：A'（p）=3p²+3（1-p）（-² 1）=3（2p-1）

　　　B'（p）=3p（² 1-p）-p³-3p（1-p）²+（1-p）³ 　　　 =3p（1-p）（2p-1）-（p³-（1-p）³）

　　　 =3p（1-p）（2p-1）-（2p-1）（p²+p（1-p）+（1-p）²） 　　　 =-（2p-1）³

　　　故 f '（p）=-6（2p-1）+3（2p-1）³=3（2p-1）（（2p-1）²-2）

　　　因為0NpN1 !（2p-1）²-2<0 　　　所以 f（p）在區間 0﹐1

2 ^{遞增；在區間} 1

2^{﹐1 遞減} 　　　故 f

（

）

5×：考慮 f（p）=f（1-p），f

（

）

（

）

　　　∵ f

（

）

（

）

（

）

（

）

e： 其實選項45可以猜，當 p=1

2 時，表示兩隊實力相當，競爭最激 烈，則比賽場次最多（ f（p）最大），可知4對；

　　 再者，當p 愈接近 1

2 時，競爭愈激烈，則比賽場次也愈多（ f（p）

愈大），故由 f（p）=f（1-p），即可知5錯。

故選134

+：3•p（³ 1-p）

-：3•（1-p）³p

試題解析

8 考慮 x，y，z 的方程組

2^x-3^y+5^z=-1 2^x+1+3^y-5^z=4 2^x+1+3^y+1+a5^z=8

，其中a 為實數。請選出正確的選項：

1若（x﹐y﹐z）為此方程組的解，則 x=0 2若（x﹐y﹐z）為此方程組的解，則 y>0 3若（x﹐y﹐z）為此方程組的解，則 y<z

4當a_-3 時，恰有一組（x﹐y﹐z）滿足此方程組

5當a=-3 時，滿足此方程組的所有解（x﹐y﹐z）會在一條直線上

答 案 12

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數、第四冊第二章　空間中的平面與直線

測驗目標 指數方程式、三元一次方程組

詳 解 令 u=2^x，v=3^y，w=5^z，則原式可寫為

u- v+ w=-1 2u+ v- w=4 2u+3v+aw=8

，

其增廣矩陣為

1 -1 1 -1 2 1 -1 4 2 3 a 8

*（-2）

*（-2）

→

1 -1 1 -1 0 3 -3 6 0 5 a-2 10

*

（

）

0 5 a-2 10 ^*（-5）

*1

→

1 0 0 1 0 1 -1 2 0 0 a+3 0

，故原式可化簡為

2x 　　　　　 =1 3^y- 5^z=2 　　　（a+3）5^z=0 1○2○3×：若有解，則 2^x=1=2⁰

3^y-5^z=2 ! x=0 3^y=5^z+2 　　　　　　 1 x=0 ! 1○

　　　　　　 2 3^y=5^z+2>1=3⁰ !y>0 ! 2○

　　　　　　 3 若 y<z，則 3^y<3^zN5^z<5^z+2（不合）! 3×

4×：a_-3 時，a+3_0 ! 5^z=0（無解）

5×：a=-3 時，原式為 2^x=1 3^y=5^z+2

　　　取z=t，則解為 x=0

y=log（³ 5^t+2）

z=t

，tl

　　　其圖形不是直線 故選12

【另解】

1○：

2^x-3^y+5^z=-1 ………1 2^x+1+3^y-5^z=4……… 2 2^x+1+3^y+1+a5^z=8……3 　　　1+2得2^x+2^x+1=3

　　　即2^x+2．2^x=3 ! 2^x=1，因此 x=0

2○：x=0 代入2得 2+3^y-5^z=4 ! 3^y=2+5^z>2>3⁰ 　　　所以y>0

3×：考慮y=1，z=0 是 3^y=2+5^z的解，但y>z 4×：將 x=0 代回1、2、3得

-3^y+5^z=-2……… 4 3^y-5^z=2……… 5 3•3^y+a•5^z=6 …… 6 　　　4、5同義

　　　得 3^y-5^z=2 ………… 5 3•3^y+a•5^z=6 … 6 　　　-3*5+6得（a+3）．5^z=0 　　　若a_-3 !5^z=0 無解

5×：若 a=-3，則原方程組解為 3^y-5^z=2

x=0 ，其圖形不為直線 故選12

9 在（凸）四邊形 ABCD 中，已知 AB=3，BC=4，CD=3，DA=x，且對角線 AC=4。請選出正確的選項：

1coseABCM3 7

2coseBAD>coseABC 3x 可能為 1

4x<13 2

5若A、B、C、D 四點共圓，則 x=7 4

試題解析

答 案 45

命題出處 第三冊第一章　三角

測驗目標 餘弦定理

詳 解 1×：△ABC 中，coseABC=3²+4²-4² 2•3•4 ⁼

3 8 ^<

3 7 2×：eBAD=eBAC+eCAD>eBAC

　　　又因△ABC 為等腰三角形，所以 eABC=eBAC 　　　故 eBAD>eABC ! coseBAD<coseABC 3×：AD+CD>AC，故 x+3>4 得 x>1

4○：eACD<180n-eACB，因此 coseACD>cos（180n-eACB）

　　　coseACB=4²+4²-3² 2•4•4 ⁼

23

32^，故coseACD>-23 32 　　　由餘弦定理（考慮 △ACD）

　　　x²=3²+4²-2•3•4•coseACD<25-2•3•4•

（

）

　　　得x<13 2

5○：若 A、B、C、D 四點共圓，則 　　　eABC 與 eADC 互補

　　　coseADC=-coseABC=-3 8 　　　又coseADC=x²+3²-4²

2•x•3 ^，解

x²+3²-4² 2•x•3 ^=-

3 8 　　　得4x²+9x-28=0，即 x=7

4 ^{或-4（不合）}

故選45

三、選填題（占 12 分）

說明：1 第 A. 與 B. 題，請將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示 的列號（10 ～ 13）。

　　　2 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 如圖，設 ABCD-EFGH 為空間中長、寬、高分別為 2、3、5 　　 的長方體。已知 AB=2、AD=BC=3，且 DH=5，則內積

aAH•aAC 之值為　0　。

答 案 9

命題出處 第四冊第一章　空間向量

測驗目標 空間向量的內積

詳 解 aAC=aAB+aAD，aAH=aAD+aDH aAH•aAC

=（aAD+aDH）．（aAB+aAD）

=aAD•aAB+aAD•aAD+aDH•aAB+aDH•aAD

=0+9+0+0=9

【另解】

建立坐標系如右圖

aAC=（2﹐3﹐0），aAH=（0﹐3﹐-5）

故 aAC•aAH=9

B. 在遊戲中，阿玲拿到如右的數字卡。主持人隨機從 1 至 9 號球中同 　 時取出三球，若這三球的號碼中任兩個都不在卡片上的同一行也

不在卡片上的同一列時就得獎，則阿玲得獎的機率為　 q

we ^。

（化成最簡分數）

答 案 1 14

命題出處 第二冊第三章　機率

測驗目標 機率的計算

詳 解 每一數字對應一行列位置，例如：8 ←→（2^列﹐^行1）， 因此三個球號的對應位置必為

（1﹐a），（2﹐b），（3﹐c），其中 a，b，c 相異 故機率為 3!

C⁹3

= 6 9•8•7

6

= 1 14

1 2 3 8 9 4 7 6 5

試題解析

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至給零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不 得使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、 在坐標平面上以 Ω 表曲線 y=x-x²與直線y=0 所圍的有界區域。

　　1 試求Ω 的面積。（3 分）

　　2 若直線y=cx 將 Ω 分成面積相等的兩塊區域，試求 c 之值。（7 分）

答 案 1　1 6 2　1- 1

3 2

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 多項式函數所圍區域的面積

詳 解 1　 y=x-x²

y=0 !x（1-x）=0 !x=0 或 1 　

∫

│x-x1 ²│dx=

∫

（x-x1 ²）dx

　　 =

（

）│

2　 y=cx

y=x-x² !cx=x-x²

　 !x²=（1-c）x ! x=0 或（1-c）

∫

1-c （x-x²-cx）dx=

（

）│

　 =（1-c）³

2 ^-

（1-c）³ 3 　 =（1-c）³

6 　（1-c）³

6 ⁼

1 2^*

1

6 ^!（1-c）

3= 1

2 ^!1-c=

1

3 2 　得 c=1- 1

3 2

二、 對於正整數 n，設（1+i）ⁿ=an+ibn，其中i= -1 且 an、bn為實數。

　　1 試求a42

+b42之值。（2 分）

　　2 從恆等式（1+i）ⁿ⁺¹=（1+i）（ⁿ 1+i）可推得 an、bn會滿足矩陣乘法 　　 　 an+1

bn+1

　=T an

bn

，試求矩陣T。（4 分）

　　3　 令P、Q 為坐標平面上異於原點 O 的兩點，若矩陣 T 在平面上定義的線性 變換將P、Q 分別映射到點 P'、Q'，試證 OP'

OP ⁼ OQ'

OQ 且 ePOQ=eP'OQ'。

　　　（8 分）

答 案 1 16 2 1 -1

1 1 3 略

命題出處 第一冊第二章　多項式函數、第四冊第三章　矩陣

測驗目標 複數的四則運算、平面線性變換、伸縮、旋轉變換

詳 解 1　a42+b42=│a4+ib4│²=│（1+i）⁴│²=（（ 1+1）⁴）²=2⁴=16 2　an+1+ibn+1=（an+ibn）（1+i）

=（an-bn）+i（an+bn） 　得 an+1=an-bn，bn+1=an+bn

　故 an+1

bn+1

= 1 -1 1 1

an

bn

，

　T= 1 -1 1 1

3　設P（a﹐b），Q（c﹐d），OP= a²+b²，OQ= c²+d² 　則 P'（a'﹐b'），Q'（c'﹐d'）滿足 a'

b' = 1 -1 1 1 a

b = a-b a+b ， 　所以 OP'= a'²+b'²= ^（a-b）²+（a+b）²= 2（a²+b²）

　∴OP' OP ⁼

2（a²+b²） a²+b^{2 = 2} 　同理， c'

d' = c-d c+d

　得 OQ'= 2（c²+d²）　∴OQ' OQ^{= 2} 　因此，OP'

OP ^{= 2=}

OQ' OQ

試題解析

　cosePOQ= aOP•^aOQ

│aOP│•│^aOQ│⁼

ac+bd OP•OQ 　coseP'OQ'= aOP'•^aOQ'

│aOP'│•│^aOQ'│⁼

（a-b）（c-d）+（a+b）（c+d）

2OP•OQ 　 =ac-ad-bc+bd+ac+ad+bc+bd

2OP•OQ ⁼

2（ac+bd）

2OP•OQ 　 =cosePOQ

　因此 ePOQ=eP'OQ' 　【另解】

　T= 1 -1 1 1 = 2

1 2 ^-

1 1 2

2 1 2

= 2 cos 45n -sin 45n

sin 45n cos 45n （伸縮+旋轉）

　設 P（r cos α﹐r sin α），Q（s cos β﹐s sin β）

　!T r cos α

r sin α = 2 r cos（α+45n）

2 r sin（α+45n）， 　 T s cos β

s sin β = 2 s cos（β+45n）

2 s sin（β+45n）

　∴ P'（ 2 r cos（α+45n）﹐ 2 r sin（α+45n））， 　　 Q'（ 2 r cos（β+45n）﹐ 2 r sin（β+45n））， 　∴OP'

OP ^{= 2=}

OQ' OQ

　ePOQ=│β-α│，eP'OQ'=│（β+45n）-（α+45n）│=│β-α│

　故 eP'OQ'=ePOQ F