科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9802
美國 AP 微積分課程的啟示
—高中生為什麼要學微積分？
單維彰 97 年 12 月 15 日
上個月，我們在本欄中檢視了美國高中生的微積分預修課程（也就是 AP 的微積 分 AB 與 BC 課程）與檢定考試。現在，我希望提出一些值得我們探討的問題。
首先，美國每屆 310 萬名高中生當中，只有略低於 9% 的學生選考微積分 AP 檢定。台灣的公私立高中畢業生（不含高職部門）每屆大約 14 萬人 [1]，例 如今年學科能力測驗的報考人數是 14 萬 2 千人。因為產業結構與中等教育定位 的差異，台灣高中生對於預修微積分的需求率可能比較高，就算是兩倍的 18%
吧，那就是 2 萬 5 千人。
就比例來看，將大學程度的微積分內容正式放在高中課程綱要當中，應該是 不恰當的。就算列為選修之數甲內容，以目前台灣超過 30% 的高三學生選修數 甲來看，在比例上也是需要審慎評估的。所以，讓少數能力足夠的學生，有機會 到大學去選修微積分，以抵免高中（和大學）的對應學分，是比較可行的方案，
也是有些人的願景。但是，在上課時間和學分認定兩方面，都需要高中和大學兩 個行政體系的配合，目前還有困難要克服。若是參照 AP 的作法，改由高中教師 授課，則以每班 45 人計算，需要開 555 班。就算每位老師開兩班，也需要培訓 至少 270 名可以負責微積分課程的高中教師，才能實行這個計畫。
其次，有點不倫不類地，若把微積分 AB 的考生和台灣指考科目數乙的考生 視為升學目標類似的學生，而 BC 考生與數甲考生類似，近年數乙和數甲考生的 人數比例大約維持在 1.8:1 附近 [2]。對照微積分 AB 考生大約是 BC 考生的三倍 來看，台灣的升學科系結構與美國還是大有不同的。這或許顯示，台灣的數乙考 科人數、以及它對應的大學主修學生人數，還有成長的空間。
最重要的，其實是一個理念層次的問題：『高中生為什麼要學習微積分？』
難道微積分的威力能夠解決許多高中時期的數學考題？就台灣較早期的課程來 說，這是成立的。包括多項式和三角函數疊合的極值問題，圓、橢圓和其他二次 曲線的切線相關問題，方程式求近似根或多項式求近似值的問題，不定型式的極 限問題，都能利用微分技術而簡化或加速處理過程。既然如此，我們更該反省的 是，運用微分技術能夠比較輕鬆地解決問題，為什麼不等到微積分課程再學這些 課題，而要求學生用「初等」方法繞一趟遠路？在授課時數受到嚴重拘束的這個 時代，課程的設計應該更注重效率而割捨這些可以用更高技術處理的課題。是 故，從 95 暫綱開始，高中課程就保留了微積分的前置經驗，卻移除了某些適合 以微積分處理的問題。
如果高中數學剔除了適合以微積分處理的課題，為什麼高中生還是要學習微
積分？不僅美國透過 AP 課程提供微積分，英國體系（包括新加坡和香港）在大 學預科提供微積分，日本的高中課程標準也是自高二起學習微積分。張海潮教授 [3] 說『至少有兩個答案』：
1. 微積分的發明在數學及相關問題上的突破，值得高中生學習。
2. 微積分的方法對高中階段能夠解決的問題有所幫助。
我希望提供第三個理由：
3. 因為大學專業課程的需要。
當我們五年級生讀大學的時候（那已經是四分之一個世紀以前的事了），大 學一年級就是學微積分、普物、普化，其他理工學科的專業科目都從大二開始。
過去這四分之一個世紀，科學與工程發生了那麼多的創新與變化，他們的大學基 礎教育當然也跟著演變了。在緩慢而不被注意的演變之後，如今每一個學科都比 以前更早也更大量地使用數學模型，其中最主要的模型就是微分與積分。除了傳 統的物理、電機、機械以外，至少經濟與金融也是如此；許多其他學科則透過統 計模型的需求而使用微積分。因為這樣的演變，許多學門的大學教育，已經等不 及二年級才開始運用微積分，而在大一的入門課程中就有以微分方程或積分型式 所描述的模型。
如果台灣的高等教育能夠自行設計課程，銜接我國的高中課程，不理會國際 的課程發展趨勢，那也就沒問題了。但是，事實上台灣的高等教育習慣採用美國 教科書，更有甚者，經常採用美國較高年級學生的教科書。這使得許多科系的大 一入門專業課程就已經需要微積分，而共同必修的「正式」微積分課程，當然就 顯得緩不濟急。
專業課程提早引用微積分的演變，並非美國所獨有。我們知道日本的高等教 育早就「本土化」了，他們有完整的日文教材，自成一個體系，可以不必理會美 國的發展。但是，日本的高中數學課程也提早引入了微積分。這是不是也給我們 一個提示：這或許是學術界的發展所牽動的課程演變，而不是少數國家製造的風 潮。那麼，微積分在課程設計中的位階，是否應該稍微提前一點以因應整個高等 教育的需求？
順帶一提，根據陳宜良教授蒐集的一套現行日本高中教科書，數學Ⅱ (第二 學年) 的內容是：多項式 (含分式與不等式)，複數系，直線與圓，三角函數，指 數與對數函數，微分法，和積分法。整本書只有 200 頁，在這些條目之下並無深 廣的內容，都是最核心的題材。
從 95 暫綱到 99 課綱，我們的高中數學課程雖然在高三提供選修的微積分，
都是非常淺的淺嘗即止，著重於微分是「瞬間」變化率而積分是變化總量，或者 導數是切線斜率而定積分是曲線下面積這樣的基本概念，認識微分與積分互為反 運算的性質，在技術上僅止於多項式的操作。如此的設計固然符合現實：(1) 數 學授課時數的限制，與 (2) 師資培育需從長計議，卻也不失為合情合理的設計：
在高中時代，建立微積分的基本認識，使得學生能夠銜接大一專業入門課程中提 及的微分或積分模型，卻仍將正式而專業的微積分教學，留給大學一年級的共同
必修課程。
最近一兩年，台灣有一些大學（包括中央大學）提供「微積分先修課程」給 推甄和申請管道入學的大一新生，讓這些在五月已經確定入學的新鮮人有機會提 早在暑假期間完成第一學期的微積分課程；如果順利的話，可以在大學一年級的 上學期就完成整個學年的微積分課程。這種課程設計的理由，除了爭取推甄和申 請的學生以外，總該有些更高瞻遠矚的理由。中央大學的理由是，讓學生有更充 裕的時間達成「五年雙學位」。然而，根據前面所述，筆者猜測這群先修的學生，
在大一其他專業課程中，應該有較深的學習經驗，也比指考入學的同學更能掌握 專業課程中以微分或積分作為模型的課題。我想，應該有許多學者對這個猜想感 興趣，而它的答案還有待研究。
最後一個小反省是：台灣的「傳統」只安排兩學期的微積分課程，未必對所 有大學一體適用。既然美國有許多大學把微積分拆成三個學期來教，台灣的某些 學校以及大學的管理規章，是否也該考慮不必墨守成規，將微積分改成三個學期 的課程？否則，對某些學生而言，不是學得不夠就是學習的梯度太陡而難以達到 教授的期望。
參考文獻
[1] 教育部統計處網站，本文資料來自《高中職概況》表格 http://www.edu.tw/files/site_content/B0013/overview24.xls
[2] 朱惠文，陳慧美《九十七年度指定科目考試試題分析---數學考科》大學入學 考試中心，97 年 11 月。
[3] 張海潮《高中生為什麼要學微積分？》高中數學學科中心電子報第 31 期，
97 年 10 月 (上網搜尋即可找到)。
