高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.10.08 班級
範
圍 1-3 平面座標系(2)
座號
姓 名 一、填充題(每題 10 分)
1. 二直線 L1：ax 6y 5a 3，L2：2x (a 7)y 29 7a，
(1)當 a 時，則 L1 // L2。 (2)當 a 時，則 L1 L2。 解答 (1) a 4 (2) a
2 21 解析
(1) L1 // L2 2a
7 6
a
a a
7 29
3 5
由 2a
7 6
a 得 a2 7a 12a2 7a 12 0(a 3)(a 4) 0，∴a 3 或 a 4
但 3 6 12
3 2 4 8
a
( L1 = L2，不合) ，所以 a 4 (2) L1 L2 (
6 a)(
7 2
a ) 1 2a 6(a 7) 2a 6a 42 4a 42 a
2 21 2. 已知直線 L 的方程式為 3x 4y 5 0
(1)過( 3，2)且平行 L 的直線方程式為 ____________ 。 (2)過(1， 4)且垂直 L 的直線方程式為 ____________ 。 解答 (1) 3x 4y 17 0 (2) 4x 3y 8 0
解析
3x 4y 5 0 斜率 3 3 4 4 m
(1) 3
2 ( 3)
y 4 x 3x 4y 17 0；(2) 4
4 ( 1)
y 3 x 4x 3y 8 0 3. 過(1，1)，(2，6)之直線與二坐標軸圍成的三角形面積為 。
解答 5 8 解析
6 2 y x
1 2
1 6
，即 L：5x y 4 0，y x 截距 0 5
4，x 0 y 截距 4
所圍面積 2 1|
54 ( 4) | 5 8
4. 過 2x 3y 5 與 x 2y 1 交點且過點(3，1)之直線為 ___________ 。 解答 5x 4y 11
解析
設所求直線 L：(2x 3y 5) k(x 2y 1) 0，(3，1)代入，
( 2) 4k 0 k 2
1，則 L：(2x 3y 5) 2
1(x 2y 1) 0，L：5x 4y 11
5. 設 a 為實數，直線 L：ax 7y 9 0 通過點(2，1)，試求直線 L 的斜率為 __ 。 解答
7 8 解析
∵ (2，1)L：ax 7y 9 0 代入，a 8，故斜率 m 7
a
7 8
6. 已知 A(1，2)與 B(3，4)為兩定點，P(x，y)為直線 x 2y 3 上一點，問 PA PB 時，P 點 的坐標為 __ 。
解答 (7， 2) 解析
∵ P(x，y)在 x 2y 3 上 ∴ 令 y t，則 x 3 2t
∵ A(1，2)，B(3，4)，P(3 2t，t)且 AP BP
∴ (32t1)2 (t2)2 (32t3)2 (t4)2
(2 2t)2 (t 2)2 ( 2t)2 (t 4)2 5t2 12t 8 5t2 8t 16
4t 8 ∴ t 2，故 P(7， 2)
7. (1)直線 L：kx 3y k 6 0，k 為任意數，L 恆過一定點，則此定點坐標為 _ 。 (2)設 A( 2，2)，B( 3，1)，所成線段（即 AB ）與直線 L 相交，則 k 的範圍為 _ 。 解答 (1) ( 1， 2) (2)
29 k 12 解析
(1) L：k(x 1) (3y 6) 0，k R 由直線系知必過交點
0 6 3
0 1 y x
x 1，y 2 ∴ 必過點( 1， 2) (2)令 C( 1， 2)，mL
3
k ， AB 與 L 相交 m
AC mL m
BC
1 2
2 2
3k
1 3
2 1
4 3
k 2 3
29 k 12
8. 已知點 A(4， 3)及直線 L：2x y 5 0，Q 為 A 在直線 L 上的投影（過 A 作 L 之垂線 的垂足），A為 A 關於 L 的對稱點，則
(1)Q 點坐標為 ___ 。 (2)A點坐標為 __ 。 解答 (1) (0， 5) (2) ( 4， 7)
解析
直線 L：2x y 5 0，斜率 2 1 2 mL 直線AA'
： 1
3 ( 4) 2 10 0
y 2 x x y
A 在直線 L 上的投影 2 5 0
: (0, 5)
2 10 0 x y
Q Q
x y
A為 A 關於 L 的對稱點即 Q 為AA 中點' A'( 4, 7)
9.直線 L：ax by c 0，abc 0
(1) L 的斜率為 。 (2) ab 0，bc 0 時，L 不通過第 象限。
解答 (1) b
a (2) 二 解析
(1) 直線 L：ax by c 0 斜率為 a m b
(2) 直線 L：ax by c 0 分別交兩軸於 ( c, 0), (0, c)
a a
0 0 0
ab ac
bc
，
0 0 c a c b
，即 L 分別交 ,x y 兩軸分別於正向及負向，L 過一、四、 三
象限，直線不過第二象限。
10.設 A( 1，2)與 B(2，3)為坐標平面上兩定點，則線段 AB 之中垂線的方程式為 __ 。
解答 3x y 4 0 解析
AB 中點為(
2 1，
2
5)，mAB
) 1 ( 2
2 3
3
1 m 3 點斜式：y
25 3(x 2
1) 3x y 4 0
11.ABC 中，A(2，2)，B( 4，0)，C( 4，4)，則AC邊上高的方程式為 _____ 。 解答 3x y 12 0
解析 mAC
2 4
2 4
3
1
，故 BH 之斜率 m 3，
∴ BH ：y 0 3(x 4)，即BH：3x y 12 0
12.設 A(1，a)，B( 3，4)，已知 A，B 二點對稱於直線 y ax b，則 a b __ 。 解答 7
解析
已知 A，B 二點對稱於直線 L：y ax b mABmL 1
) 3 ( 1
4
a a 1 (a 2)2 0，得 a 2
又 AB 之中點 M(
2 ) 3 ( 1
， 2
4
a ) ( 1，3)L，則( 1，3)代入 L：y 2x b，得 b 5，
故 a b 2 5 7
13.設直線 L 的斜率為 5
6，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為 15，試求直線 L 的方程
式為 ___________ 。 解答 6x 5y 30
解析
設 L：6x 5y k，則 x 截距 6
k ，y 截距 5 k
與兩坐標軸所圍成三角形之面積為 2 1|
6 k．
5
k| 15，得 k 30，故直線 L：6x 5y 30
14.直線 L 通過點( 2，2)，且與兩坐標軸所成三角形的面積為 1，則 L 之方程式為 。 解答
x 1
y 1 或2 2x
1y 1 解析
設 L：ax
by 1，a 0，b 0，a，b R，∵ L 過( 2，2) a
2
b2 1……
∴ L 與兩軸所成三角形面積為 1 1 2
1| ab | ab 2……
由得：b a 2 (1)當 b
a
2時代入 a
2 a 1 a2 a 2 0
(a 2)(a 1) 0 a 2 或 1
1
2 b
a 或
2 1 b a
(2)當 b a
2
時代入 a
2
a 1 a2 a 2 0 a 無實數解 故 L：
2x
1y 1 或
x 1
y 1 2
15.xy 平面上，點 A( 2，m)，B(1，n)，C(7，t)共線，
則 BC
AB之值為 __ 。
解答 2 1 解析
自 A，B，C 向 x 軸作射影，各得 A( 2，0)，B(1，0)，C(7，0) 平行線截比例線段性質，∴
BCAB
C B
B A
63 2 1
16.設 mR，二直線 mx 3y 1 0 與 x (m 2)y m 0 相交於第二象限內，則 m 之範圍 為_____________ 。
解答 1 m 3 解析
0 )
2 (
0 1 3
m y m x
y
mx ，得交點為(
3 2
m ， 1
3 m m
)在第二象限內
∴ 3 2
m 0，
3 ) 1 (
m
m 0 m 3 0，m 1 0 ∴ 1 m 3
17.ABC 中， AB = 5，BC = 6，AC = 3，M 為AC之中點，則 BM _____ 。 解答
2 113 解析
由三角形中線定理知BC2BA 2 2BM21 2
AC 2
36 25 2BM2 1 2 3
2
61 2 BM2 4
9 BM2 4
9 122
4
113 BM 2 113
18. 設△ABC 中﹐A(1, 1), (5, 4), (11, 1), B C A的角平分線交邊BC 於 T, 求 T 點的坐標﹐並求AT的長﹒
解答 2 10 解析
2 2
4 3 5
AB ﹐AC 10202 10﹐ 由角平分線截比例線段性值
5 10 1 2
BT：TCAB：AC ： ： ﹐ 由分點公式： 1 11 2 5 1 1 2 4
( , ) (7, 3),
1 2 1 2
T
得
2 2
6 2 2 10
AT ﹒
